97 câu số phức từ các đề thi thử trường chuyên 2018

Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z và 1 i z+... Modun của số phức bằng Đáp án C Câu 42: Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Tập hợp tất cả các điểm biễu diễn

Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là

Cho điểm M a; b biểu diễn số phức z( ) ⇒ = + ⇒ = −z a bi z a bi

Cách giải:

Ta có M 2;1( ) biểu diễn số phức z⇒ = + ⇒ = −z 2 i z 2 i

Câu 3: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức z a bi = + (a,b là các số thực) thỏa mãn

z z 2z i 0 + + = Tính giá trị của biểu thức T a b = + 2

z + + = 6z 13 0 trong đó z1 là số phức có phần ảo âm Tìm số phức ω = +z 2z 1 2

A ω= + 9 2i. B ω = − + 9 2i. C ω = − − 9 2i. D ω= − 9 2i.

Tìm số phức z bằng phép chia số phức, sau đó tính môđun hoặc bấm máy tính

Lời giải: Ta có z 2 i( ) 1 13i z 1 13i 3 5i z 34

2 i

−

−

Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Số phức z a bi a, b= + ( ∈¡ thỏa mãn z 2) − = z

và (z 1 z i+ ) ( )− là số thực Giá trị của biểu thức S a 2b= + bằng bao nhiêu?

và z2 =2w 3− là hai nghiệm phức của phương trình z2+ + =az b 0 Tìm giá trị

⇒ M thuộc đường tròn đường kính AB

Câu 12: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương1

trình z2−2z 5 0.+ = Tìm tọa độ điểm biểu diễn cho số phức

1

7 4iz

− trong mặt phẳng phức?

A P 3; 2 ( ) B N 1; 2 ( ) C Q 3; 2( − ) D M 1; 2 ( )

Đáp án A

Phương pháp

+) Tìm z bằng cách giải phương trình 1 z2−2z 5 0.+ =

+) Thay z vừa tìm được tính 1

1

7 4iz

A(3; 2) là điểm biểu diễn cho số phức z 3 2i,= + có phần thực là 3, phần ảo là 2

Câu 14: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho số phức thỏa mãn

(1 i z 2+ ) + + +(1 i z 2) − =4 2 Gọi m max z ; n min z= = và số phức w m ni.= +

Tính w2018

Đáp án C

Câu 15: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho số phức z = +a bi với a b, là các

số thực bất kỳ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Phần ảo của z là bi. B Môđun của z2 bằng a2 +b2

C z z− không phải là số thưc D Số z và z có môdun khác nhau

Câu 16: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho các số phức z1 = +3 2 ,i z2 = −3 2i

Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 và z2 là:

Câu 17: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Cho số phức z Gọi A, B lần lượt là các

điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z và (1 i z+ ) Tính z biết diện tích tam

2 2

OAB

z AB

A⇒S = = = ⇒ =z Chọn D.

Câu 18: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho các số phức w z, thỏa mãn

60

119119

Câu 21: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho w là số phức thay đổi thỏa mãn w =2 Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn số phức z=3w+ −1 2i chạy trên đường nào?

A Đường tròn tâm I(1; 2− ) , bán kính R=6 B Đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính2

Gọi M M M1, 2, 3 là 3 điểm biểu diễn z z z1, ,2 3

A 3 2i− B 2 3i− +

C 2 3i− D 3 2i+

Đáp án B

Dựa vào hình vẽ ta thấy M biểu thị cho số phức 2 3i− +

Câu 25: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho z , z1 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z2+ =1 0 (trong đó số phức z có phần ảo âm) Tính 1 z1+3z2

Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài toán

Câu 27: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho số phức z 1 i.= + Biết rằng tồn tại các sốphức z1= +a 5i, z2 =b (trong đó a, b∈¡ , b 1)> thỏa mãn 3 z z− 1 = 3 z z− 2 = z1−z 2 Tính

b a−

A. b a 5 3− = B. b a 2 3− = C. b a 4 3− = D. b a 3 3− =

Đáp án D

Đặt M 1;1 , N a;5 , P b;0 b 1( ) ( ) ( ) ( > ) lần lượt là các điểm biểu thị cho các số phức z, z , z 1 2

Vậy MNuuuur= −(a 1; 4 , MP) uuur= − −(b 1; 1)

Từ giả thiết cho ta tam giác MNP cân tại M có ·NMP 120= °

Câu 30: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng

thời hai điều kiện sau: z− +10 2i = + −z 2 14i và z− −1 10i =5 ?

Cách 1

• Đặt ( 2;0), (0; 2), (1; 2), (3; 4), (5;6),E − F − A B C M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z.

• Từ giả thiết, ta có M thuộc đường trung trực : y x∆ = của đoạn EF và

• Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ∆

- Với M’ tùy ý thuộc∆, M’ khác M Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆

Nhận thấy rằng ba điểm A’, M, C thẳng hàng.

a b+ =

Câu 32: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Gọi z , z , z , z là bốn nghiệm phân biệt của 1 2 3 4

phương trình z4+3z2+ =4 0 trên tập số phức Tính giá trị của biểu thức

Câu 34: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho các số phức z, w thỏa mãn

z 5 3i− + =3, iw 4 2i+ + =2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T= 3iz 2w+

Khi đó T= 3iz 2w+ = 3iz− −( 2w) =AB

Yêu cầu bài toán trở thành tìm

max

AB

Vì OI= 554 4 9> +

Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm (5;7), bán kính 5 13

Câu 36: (Chuyên Đại Học Vinh)

Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên Trung điểm của đoạn thẳng

2

y yx

Câu 37:(Chuyên Đại Học Vinh)

Gọi z , z là các nghiệm phức của phương trình 1 2 2

Cách giải:

Do đó có 3 số phức z thỏa mãn bài toán.

Câu 39: (Chuyên Đại Học Vinh) Giả sử z , z là hai trong số các số phức z thỏa mãn1 2

iz+ 2 i 1− = và z1−z2 =2.Giá trị lớn nhất của z1 + z2 bằng

Đáp án D

Phương pháp:

+) Từ giả thiết iz+ 2 i 1− = , tìm ra đường biểu diễn ( )C của các số phức z.

+) Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của z ; z1 2 ⇒ z1−z2 =AB⇒vị trí của AB đối với đường tròn ( )C .

A P B M C N D O

Đáp án D

z 2 i 2i i= − + − = + ⇒3 i số phức z biểu diễn Q 3;1 ( )

Câu 41: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên ) Cho số phức z, biết rằng các điểm biễu diễn

hình học của các số phức z, iz và z iz+ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 Modun của số phức bằng

Đáp án C

Câu 42: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Tập hợp tất cả các điểm biễu diễn các số phức z

thõa mãn z 2 i+ − =4 là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là

Lời giải chi tiết.

Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng z a bi, a,b= + ( ∈¡ Khi đó ta có )

2 2

Chú ý Đối với bài toán liên quan tới cực trị học sinh thường mắc phải sai lầm là quên

tìm giá trị để cực trị xảy ra Điều này có thể dẫn tới việc tìm sai giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Câu 44: (Chuyên Quang Trung -2018) Trong tập các số phức, cho phương trình

( )

2

z − + =6z m 1, m∈¡ 1 Gọi m0 là một giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt z ,z1 2 thỏa mãn z z1 1=z z 2 2 Hỏi trong khoảng (0; 20) có bao nhiêu giá trị m ?

Đáp án D

Phương pháp

Biện luận để tìm trực tiếp nghiệm z , z Sử dụng giả thiết để tìm ra giá trị 1 2 m0

Lời giải chi tiết.

Viết lại phương trình đã cho thành ( )2

0

z 3− = −9 mNếu m0 = ⇒ =9 z 3 Hay phương trình chỉ có một nghiệm (Loại)

Nếu m0 <9 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực

z = −3 9 m , z− = +3 9 m − Do

m ∈ 10;11;12; ;19 Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.

Câu 45: (Chuyên Quang Trung -2018)Gọi số phức z a bi a, b= + ( ∈¡ thỏa mãn)

z 1 1− = và (1 i z 1+ ) ( )− có phần thực bằng 1 đồng thời z không là số thực Khi đó a.b bằng

A. ab= −2 B. ab 2= C. ab 1= D. ab= −1

Đáp án C

Phương pháp

Gọi số phức đã cho có dạng z a bi a, b= + ( ∈¡ ) Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ cho

a, b giải trực tiếp hệ này để tìm a, b

Lời giải chi tiết.

Câu 46: (Chuyên Quang Trung -2018) Cho số phức z thỏa mãn z 2 i( − +) 13i 1.= Tính

mô đun của số phức z

Lời giải chi tiết.

Ta có z 2 i( ) 13i 1 x 1 13i (1 13i 2 i( ) ( ) ( ) ) (2 13 1 26 i) ( ) 3 5i

 

∈ ÷ C. 0

3

m ; 22

Phương pháp.Sử dụng giả thiết để tìm được z a ai a= + ( ∈¡ Thay vào ) z 2− =m0 và

sử dụng yêu cầu bài toán để biện luận và tìm giá trị của m 0

Lời giải chi tiết.

A. M thuộc tia Ox B. M thuộc tia Oy

C. M thuộc tia đối của tia Ox D. M thuộc tia đối của tia Oy

Đáp án C

Phương pháp

Câu 49: (Chuyên Quang Trung -2018)Trong tập các số phức, gọi z , z1 2 là hai nghiệm

Giả sử z a bi a, b= + ( ∈¡ Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm ) z , z Sử dụng 1 2

giả thiết để đánh giá cho cho b Đưa z z− 2 2 về một hàm cho b và sử dụng ước lượng cho

b ở phần trước để tìm giá trị nhỏ nhất của P

Lời giải chi tiết.

Tính toán ta tìm được hai nghiệm z1 1 i 2016, z2 1 i 2016

m 36

0 m 62m 4

− = ⇔ = ±

−Tổng các phần tử của S là 6+ − =( )6 0

Câu 51: (Chuyên Quang Trung -2018) Tìm số phức z thỏa mãn z 2− = z và

(z 1 z i+ ) ( )− là số thực

A. z 1 2i= + B. = − −1 2i C. z 2 i= − D. z 1 2i= −

Đáp án D

Phương pháp

Gọi z a bi a, b= + ( ∈¡ Sử dụng giả thiết để tìm a, bsuy ra giá trị của z.)

Lời giải chi tiết.

Giả sử z a bi= + Khi đó ta có

Sai lầm.Một số học sinh có thể nhớ nhầm i2 = −1 thành i2 =1 do đó quá trình tính toán kết quả sẽ bị sai.

Câu 52: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho hai số phức z1= +2 3i và

Câu 54: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho số phức z thỏa mãn

(1 3i z 5 7i.+ ) − = Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Câu 55: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Cho số phức z và w thỏa mãn

z w 3 4i+ = + và z w 9.− = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T= +z w

A. maxT= 176 B. maxT 14= C. maxT 4= D. maxT= 106

Đáp án D

Đặt A z ;B z theo giả thiết ta có: ( ) ( )1 2 OA OBuuur uuur+ =( )3;4 ; OA OB 9;P OA OBuuur uuur− = = +

( ) (2 )2 ( ) ( )2

106= OA OBuuur uuur+ + OA OBuuur uuur− =2 OA +OB ≥ OA OB+ =P ⇒ ≤P 106

Tổng quát: Với 2 số thwucj z ,z thõa mãn 1 2 z1+ = +z2 a bi và z z1− =2 c

Khi đó ( ) 2 2 2

P= z + z = a + +b c

Câu 56: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D

lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1= − +1 i,z2= +1 2i,z3= −2 i,z4= −3i Gọi S diện tích tứ giác ABCD Tính S

Cách giải: Số phức liên hợp của z= −2 3i là z= +2 3i

Câu 58: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Cho số phức 1 1

3

z= − i Tìm số phức w= +iz 3z được

z− = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = + + − −z i z 2 i

A maxT =8 2 B maxT =8 C maxT =4 2 D maxT =4

− là điểm biểu diễn cho số phức 2 i.+

Dễ thấy A, B∈( )C và AB= 22+22 =2 2 2R= ⇒ABlà đường kính của đường tròn( )C ⇒ ∆MAB vuông tại M ⇒MA2+MB2 =AB2 = ⇒8 MB= 8 MA− 2

Ta có: T= OM OAuuuur uuur− + OM OBuuuur ur− =MA MB MA+ = + 8 MA− 2

Câu 61: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số phức z có biểu diễn

hình học là điểm M ở hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng ?

Câu 63: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Cho i là đơn vị ảo Gọi S là tập hợp các số

nguyên dương n có 2 chữ số thỏa mãn i là số nguyên dương Số phần tử của S làn

2 2

  có 3 số k thỏa mãn

Vậy có tất cả 2.5 3.4 22+ = số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 64: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số phức z= − +3 4i Môđun của z là

Lấy các điểm A 2; 3 , B 2; 1( − ) (− − ) Phương trình ( )1 ⇔SA SB 4 5+ =

⇒ Tập hợp các điểm S là đường elip (E) có tiêu điểm

A 2; 3 , B 2; 1− − − và có độ dài trục lớn là 2a 4 5= ⇒ =a 2 5

Lấy M 4; 4( - Dễ dàng kiểm tra được ) AB 2MA

Suy ra, M là một đỉnh và nằm trên trục lớn của elip (E)

Gọi I là trung điểm AB⇒I 0; 2 , N( − ) là điểm đối xứng của M qua I Khi đó, với mọi điểm S∈( )E : SM MN 2a 4 5≤ = =

max

SM =4 5khi và chỉ khi S trùng N ⇔Pmax =4 5 khi và chỉ khi

S N 4;0≡ − ⇒ = −z 4

Câu 70: ( Chuyên Tiền Giang-2018)

Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức (2 3i 4 i) ( )

Câu 71: ( Chuyên Tiền Giang-2018)

Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 2z2− + =3z 4 0 Tính

Câu 73: ( Chuyên Tiền Giang-2018)

Biết số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i− − = 5 và biểu thức P= +z 22− −z i2 đạt

b2

Câu 76: (Cụm 5 trường chuyên) Cho hai số phức z , z1 2 thỏa mãn z1 =2, z2 = 3 Gọi

M, N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz 2 Biết MON 30 = 0 Tính S= z12+4z ?22

Đáp án

Phương pháp: Tìm các điểm biểu diễn và đưa về bài toán hình học

Cách giải : Đặt z3 =iz2 ⇒z32 = − ⇒ =z22 S z12+4z22 = z12−4z23 = z1−2z z3 1+2z3

M, N là các điểm biểu diễn cho z , z1 3⇒OM 2,ON= = z3 = iz2 =i z2 = 3

Gọi P là điểm biểu diễn cho 2z3và Q là điểm biểu diễn cho −2z3, ta có N là

trung điểm của OP và P, Q đối xứng nhau qua O Khi đó S MP.MQ=

Áp dụng định lí Cosin trong OMP∆ có:

Câu 78: (Chuyên Chu Văn An-2018) Điểm M trong hình bên là điểm

biểu diễn của số phức z Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 79: (Chuyên Chu Văn An-2018) Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương 1 2

trình z2+ + =z 1 0 Giá trị của biểu thức 2 2

z 1 i+ − + − + =z 2 3i MA MB+ nhỏ nhất.

Ta có: MA MB 2 MA.MB,+ ≥ dấu bằng xảy ra ⇔MA MB= ⇒M thuộc trung trực của AB

Gọi I là trung điểm của AB ta có I 1; 1

2

 − 

  và ABuuur=(3; 4 − )Phương trình đường trung trực của AB là 3 x 1 4 y 1( ) 0 3x 4y 11 0

5011

Câu 82: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Tìm phần thực của số phức z12+z ,22

biết rằng z , z1 2 là hai nghiệm phức của phương trình z2−4z 5 0+ =

A z 3 2i= − B z 2 3i= + C z 3 2i= + D z= − +2 3i

Đáp án B

Phương pháp: Số phức liên hợp z của số phức z a bi,a,b R= + ∈ là z a bi= −

Cách giải: Số phức liên hợp z của số phức z 2 3i= − là z 2 3i= +

Câu 88: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình1 2 2

z +2z 10 0.+ = Giá trị của biểu thức T= z12+ z22bằng

1 2

Câu 90: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Xét các số phức z a bi, a, b= + ( ∈¡ thỏa mãn)

z 3 3i− − =6.Tính P 3a b= + khi biểu thức 2 z 6 3i 3 z 1 5i+ − + + + đạt giá trị nhỏ nhất

Phương pháp: Điểm biểu diễn của số phức z a bi, a, b= + ( ∈¡ là ) M a; b( )

Cách giải: Số phức z= − +4 3i được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ M 4;3(− )

Câu 92: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Gọi z , z1 2là hai nghiệm của phương trình

3z − + =z 4 0 Khi đó 1 2

z zP

z z3

chuyển trên elip.

Ta có: IAuur=( )1; 2 , JAuur=( )3;6 ⇒JA 3IA,uur= uur điểm A nằm trên trục lớn của elip

=>AM đạt độ dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I

Gọi S là trung điểm của IJ ⇒S 0; 1( − )

Cách giải: Đặt z a bi a; b= + ( ∈¡ )⇒ = −z a bi, khi đó ta có:

2 2