Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 41 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
41
Dung lượng
2,42 MB
Nội dung
Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Phương trình bậc hai sau có nghiệm + 2i ? A z − 2z + = B z + 2z + = C z − 2z + = D z + 2z + = Đáp án C Phương pháp: Cách 1: Giải phương trình bậc hai ẩn z đáp án, đáp án có nghiệm z = + 2i chọn đáp án Cách 2: Thay nghiệm z = + 2i vào phương trình đáp án Đáp án thỏa mãn chọn đáp án Cách giải: +) Xét phương trình: z − 2z + = z − 2z + + = ( z − 1) = −2 ( z − 1) = 2i 2 z − = 2i z = + 2i z − = 2i loại đáp án A z − = − 2i z = − 2i +) Xét phương trình: z + 2z + = z + 2z + + = ( z + ) = −1 = i 2 z + = i z = −2 + i z+2 =i loại đáp án B z + = −i z = −2 − i +) Xét phương trình: z − 2z + = z − 2z + + = ( z − 1) = −4 = −4i 2 z − = 2i z = + 2i z − = 2i chọn đáp án C z − = −2i z = − 2i Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn sốphức z Sốphức z là: A − i B + 2i C − 2i D + i Đáp án A Phương pháp: Cho điểm M ( a;b ) biểu diễn sốphức z z = a + bi z = a − bi Cách giải: Ta có M ( 2;1) biểu diễn sốphức z z = + i z = − i Câu 3: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho sốphức z = a + bi (a,b số thực) thỏa mãn z z + 2z + i = Tính giá trị biểu thức T = a + b A T = − Đáp án C T = + 2 B Phương pháp giải: Lấy mơđun hai vế để tìm Lời giải: Ta có z + z − = z = −1 + z = − ngược lại để tìm sốphức z z, i 2+2 = −i = i z +2 z + z − = z = −1 + z = − −1 + D T = + T = − 2 z z + 2z + i = ( z + ) z = −i Lấy môđun vế, ta ( z + ) z z=− C i z +2 = −i = 1− 1+ ( ) ( Vậy T = a + b = + − 2 a = i b = − ) = − 2 Câu 4: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình z + 6z + 13 = z1 sốphức có phần ảo âm Tìm sốphức = z1 + 2z A = + 2i B = −9 + 2i C = −9 − 2i D = − 2i Đáp án B Phương pháp giải: Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm phức Lời giải: Ta có z + 6z + 13 = z + 6z + = −4 ( z + 3)2 = ( 2i )2 z1 = −3 − 2i z = −3 + 2i Vậy = z1 + 2z2 = −2 − 2i + ( −3 + 2i ) = −9 + 2i Câu 5: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho sốphức A z = B z = 13 C z = + 2i Tính z z = D z = 13 Đáp án B Phương pháp giải: Sốphức Lời giải: Ta có z = a + bi z = + 2i z = có mơđun 32 + 22 = z = a + b2 13 Câu 6: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Cho hai sốphức z1 , z thỏa mãn iz − + 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2iz1 + 3z z1 − 3i + = A 313 + 16 Đáp án A B 313 C 313 + 313 + D Phương pháp giải: Đưa biện luận vị trí hai điểm thuộc đường tròn để khoảng cách chúng lớn Lời giải: Ta có z1 − 3i + = 2i ( z1 − 3i + 5) = 2i 2iz1 + + 10i = Và iz − + 2i = z − − 2i = z + + i = −3z − − 3i = 12 i u + + 10i = u = 2iz1 Đặt T = 2iz1 + 3z = 2iz1 − ( −3z ) = u − v v = −3z v − − 3i = 12 Tập hợp điểm M biểu diễn sốphức u đường tròn ( x + )2 + ( y + 10 )2 = 16 tâm I1 ( −6; −10 ) , R = Tập hợp điểm N biểu diễn sốphức v đường tròn ( x − )2 + ( y − 3)2 R = 12 Khi T = MN max MN = I1I2 + R1 + R = 122 + 122 + + 12 = 313 + 16 = 144 tâm I2 ( 6;3) , Câu 7: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho sốphức z thỏa mãn z ( − i ) + 13i = Tính mơđun sốphức z A z = 34 B z = 34 34 C z = D z = 34 Đáp án D Phương pháp giải: Tìm sốphức z phép chia số phức, sau tính mơđun bấm máy tính − 13i = + 5i z = 34 Lời giải: Ta có z ( − i ) = − 13i z = 2−i Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Số phức z = a + bi ( a, b ( z + 1) ( z − i ) ) thỏa mãn z − = z số thực Giá trị biểu thức S = a + 2b bao nhiêu? A S = −1 B S = C S = D S = −3 Đáp án D Phương pháp giải: Đặt z = a + bi, thực yêu cầu toán, ý sốphứcsố thực phần ảo Lời giải: Ta có z − = z a + bi − = a + bi ( a − ) + b = a + b a = ( ) Khi z = + bi z = − bi ( z + 1) z − i = ( + bi ) 1 − ( b + 1) i = b + b + − ( b + ) i số thực Khi b + = b = −2 Vậy S = a + 2b = −3 Câu 9: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho sốphức w hai số thực a, b Biết z1 = w + 2i z = 2w − hai nghiệm phức phương trình z + az + b = Tìm giá trị T = z1 + z A T = 97 B T = 85 C T = 13 D T = 13 Đáp án A Phương pháp giải: Đặt sốphức w, biến đổi z sử dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai Lời giải: Đặt w = m + ni ( m, n ) z1 = w + 2i = m + ( n + ) i suy z = 2w − = 2m − + 2ni 3n + = n=− Ta có z1 + z2 = 3m − + ( 3n + ) i = −a số thực 3m − z1 = m + i z = 2m − + i 16 Lại có z1.z = m + i 2m − + i = 2m − 3m + + m − = b số thực 3 m−4=0 m =3 z1 = + i 97 ⎯⎯ → T = z1 + z = Vậy z = − i Câu 10: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho sốphức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + + z − A max T = B max T = C max T = 10 Đáp án A Phương pháp giải: Gọi số phức, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn Lời giải: Cách Gọi z = x + yi ( x, y ) M ( x; y ) D max T = Và A(−1;0), B (1;0 ) Ta có z = x + yi = x + y2 = M thuộc đường tròn đường kính AB MA + MB2 = AB2 = Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có (1 T = MA + 2MB = + 22 )( MA2 + MB2 )AB2 = 5.4 = Vậy giá trị lớn biểu thức max T = Cách Đặt z = x + yi ( x, y ) z + = ( x + 1) + y2 z − = ( x − 1) + y2 Mặt khác z = x + y2 = x + y2 = 1, T= ( x −1) T (1 2 + y2 + ( x −1) + y2 + 22 ) ( x − 1) + y + ( x − 1) + y = 10 ( x + y + 1) = 2 max T = Câu 11: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho sốphức z thỏa mãn z (1 − 2i ) + zi = 15 + i Tìm mơđun sốphức z A z = B z = C z = D z = Đáp án A Phương pháp Gọi z = a + bi z = a − bi Sử dụng định nghĩa hai sốphức Cách giải z = a + bi ( a, b ) ( a + bi )(1 − 2i ) + ( a − bi ) i = 15 + i − 2ai + bi + 2b + + b = 15 + i 2a + 2b + b = 15 a = z = a + bi z = 32 + 42 = −2a + b + a = b = Câu 12: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm − 4i phương trình z − 2z + = Tìm tọa độ điểm biểu diễn cho sốphức mặt z1 phẳng phức? A P ( 3; ) B N (1; ) C Q ( 3; −2 ) D M (1;2) Đáp án A Phương pháp +) Tìm z1 cách giải phương trình z − 2z + = +) Thay z1 vừa tìm tính − 4i z1 +) Sốphức z = a + bi có điểm biểu diễn M ( a;b ) Cách giải z = + 2i − 4i − 4i z − 2z + = z1 = − 2i = = + 2i z1 − 2i z = − 2i Câu 13: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Điểm A hình vẽ bên biểu diễn cho sốphức z Mệnh đề sau đúng? A Phần thực 3, phần ảo B Phần thực 3, phần ảo 2i C Phần thực -3, phần ảo 2i D Phần thực -3, phần ảo Đáp án A Phương pháp Điểm M ( a;b ) điểm biểu diễn cho sốphức z = a + bi, có phần thực a phần ảo b Cách giải A(3; 2) điểm biểu diễn cho sốphức z = + 2i, có phần thực 3, phần ảo Câu 14: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho sốphức thỏa mãn (1 + i ) z + + (1 + i ) z − = Gọi m = max z ;n = z sốphức w = m + ni Tính w 2018 A 41009 B 51009 C 61009 D 21009 Đáp án C Phương pháp Chia vế cho + i suy đường biểu diễn sốphức z Cách giải 2 + z− = z + − i + z −1 + i = 1+ i 1+ i 1+ i Tập hợp điểm z elip có độ dài trục lớn 2a = a = hai tiêu điểm (1 + i ) z + + (1 + i ) z − = z+ F1 (1; −1) ;F2 ( −1;1) c = b = a − c2 = m = max z = 2; n = z = w = + 2i w = w = 61009 Câu 15: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho sốphức z = a + bi với a, b số thực Mệnh đề sau đúng? A Phần ảo z bi B Môđun z a + b C z − z số thưc D Số z z có mơdun khác Đáp án B 2018 Đáp án A Phần ảo sốphức z b nên A sai Đáp án B Ta có z = z = ( a + b2 ) = a + b nên B Đáp án C Ta có z = a + bi z = a − bi z − z = 2bi số thực b = nên C sai Đáp án D Ta có z = a + bi z = a − bi z = z = a + b2 nên D sai Câu 16: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho sốphức z1 = + 2i, z2 = − 2i Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 z là: A z − z + 13 = B z + z + 13 = C z + z − 13 = D z − z − 13 = Đáp án A z + z = Ta có z − 6z + 13 = z z = 13 Câu 17: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Cho sốphức z Gọi A, B điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn sốphức z (1 + i ) z Tính z biết diện tích tam giác OAB A z = 2 B z = C z = Đáp án D HD: Ta có OB = (1 + i ) z = z ; AB = (1 + i ) z − z = z D z = Suy ∆OAB vuông cân A SOAB AB z = = = z = Chọn D 2 Câu 18: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho sốphức w, z thỏa mãn 5w = ( + i )( z − ) Giá trị lớn biểu thức P = z − − 2i + z − − 2i w+i = A B + 13 C 53 D 13 Đáp án C HD: Ta có 5w = ( + i )( z − ) 5w + 5i = ( + i ) z − + i w + i = ( + i ) z − + i (2 + i) z − + i = + i z − 8−i 8−i =3 z− = z − + 2i = 2+i 2+i Tập hợp điểm M ( z ) đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + ) = 9, tâm I ( 3; −2) , R = Gọi A (1;2 ) , B ( 5;2 ) E ( 3; ) trung điểm AB suy P = MA + MB Lại có ( MA + MB ) ( MA2 + MB2 ) = 4.ME + AB2 P lớn ME lớn → MEmax = IE + R = Vậy Pmax = 4.ME + AB = 53 Mà IE = R = ⎯⎯ Câu 19: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Cho sốphức z = + 4i Tính hiệu phần thực phần ảo z A B C −2 D Đáp án C Câu 20: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho biết có hai sốphức z thỏa mãn z = 119 − 120i , kí hiệu z1 z2 Tính z1 − z2 A 169 Đáp án D B 114244 C 338 D 676 Đặt: z = x + yi z = x − y + xyi = 119 − 120i 60 − y = 119 − x − y = 119 y 2 xy = −120 x = − 60 y Câu 21: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho w sốphức thay đổi thỏa mãn w = Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn sốphức z = 3w +1 − 2i chạy đường nào? A Đường tròn tâm I (1; −2 ) , bán kính R = B Đường tròn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R =2 C Đường tròn tâm I (1; −2 ) , bán kính R = D Đường tròn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R=6 Đáp án A Ta có: w = 2; z = x + yi Xét: z = 3w + − 2i z −1 + 2i = 3w z −1 + 2i = w = ( x − 1) + ( y + ) = 36 I (1; −2 ) ; R = 2 Câu 22: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Cho ba sốphức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = Tính giá trị biểu thức M= z2 − z3 − z3 − z1 z1 = z2 z3 z −z = 6+ 2 + −2 A − − − B − − + C Đáp án D z1 = z2 = z3 = Tính M = z2 − z3 − z3 − z1 z1 = z2 z3 z −z = 6+ 2 Cách 1: Đại số Ta có: z1 − z2 = z1 z1 − z2 = z12 − z1 z2 = z2 z3 − z1.z2 6+ 6+ z3 − z1 = (1) 2 Ta lại có: z12 = z2 z3 z12 − z32 = z3 ( z2 − z3 ) = z2 z3 − z1 = z12 − z32 = z3 z2 − z3 z1 + z3 z1 − z3 = z2 − z3 (2) ( Tính chất: z1 + z3 Từ (1) z1 + z3 = z2 − z3 = ( 6+ )( )= z +z + z1 − z3 6− Thế vào (2) ta được: 6− = (3) Từ (1) (3): M = − Cách 2: Hình học ) + − − −2 = 2 D − 6− 2+2 Ta có: z1 − z2 = z1 z1 − z2 = = z2 z3 − z1 z3 − z1 = 6+ = M 1M (1) Gọi M1 , M , M điểm biểu diễn z1 , z2 , z3 Dễ dàng có: M M 1O = 150 M M 1M = 300 M 2OM = 600 OM M M M = z2 − z3 = 1(2) + − − −2 = 2 Cách 3: Chuẩn hóa chọn z1 = Từ (1) (2): M = − Câu 23: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3)Cho sốphức z = + i Tính z A z = 2 B z = C z = D z = 10 Đáp án D z = + i z = − i z = 10 Câu 24: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Điểm M hình vẽ biểu thị cho sốphứcCâu 61: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho sốphức z có biểu diễn hình học điểm M hình vẽ bên Khẳng định sau ? A z = −3 + 2i B z = + 2i C z = −3 − 2i D z = − 2i : Đáp án D Phương pháp: Sốphức z = a + bi biểu diễn điểm M ( a;b ) mặt phẳng phức Cách giải: Ta có: M ( 3; −2) z = − 2i v Câu 62: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Cho sốphức z = + i Sốphức nghịch đảo z là: A 1− i B − i C − i D −1 + i Đáp án C Phương pháp giải: Ta có z = a + bi Lời giải: Ta có z = + i 1 a − bi a − bi = = = z a + bi ( a + bi )( a − bi ) a + b 1 1− i 1− i = = 2 = z 1+ i − i Câu 63: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Cho i đơn vị ảo Gọi S tập hợp số nguyên dương n có chữ số thỏa mãn i n số nguyên dương Số phần tử S A 22 B 23 C 45 D 46 Đáp án A Phương pháp giải: Để i n số nguyên dương n số nguyên dương chia hết cho Lời giải: Xét n = 2k, i n = i 2k = ( i ) = ( −1) số nguyên dương k chẵn k Kết hợp với n 10;11; ;99 suy k k 11 99 5; ; ; k 2 số chẵn 19 29 11 21 Với số 5; ; ; → có số k thỏa mãn, 10; ; ; → có số k thỏa 2 2 mãn Vậy có tất 2.5 + 3.4 = 22 số thỏa mãn yêu cầu toán Câu 64: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho sốphức z = −3 + 4i Môđun z A B C D Đáp án D Phương pháp giải: Sốphức z = a + bi có mơđun z = a + b2 Lời giải: Ta có z = −3 + 4i z = ( −3) + 42 = Câu 65: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho sốphức z = (1 + 2i )( − i ) , z có phần thực A B C Đáp án B Phương pháp: Sốphức z = a + bi ( a, b ) D có phần thực a, phần ảo b Cách giải: z = (1 + 2i )(5 − i ) = − i + 10i − 2i = − i + 10i + = + 9i có phần thực Câu 66: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)số phức z thỏa mãn z = sốphức w = (1 + i ) z Tìm w A 10 B + C Đáp án A Phương pháp: Cho z1 , z hai sốphức bất kì, z1.z2 = z1 z D Cách giải: Ta có: w = (1 + i ) z w = (1 + i ) z = + i z = 12 + 12 = 10 Câu 67: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong số phức: (1 + i ) , (1 + i ) , (1 + i ) , (1 + i ) A (1 + i ) 3 B (1 + i ) sốphứcsố thực? C (1 + i ) D (1 + i ) Đáp án B Phương pháp: Sử dụng (1 + i ) = + 2i + i = + 2i − = 2i Cách giải: (1 + i ) = 2i = (1 + i ) = ( 2i ) = 16 (1 + i ) (1 + i ) = (1 + i ) (1 + i ) = 2i (1 + i ) = 2i − (1 + i ) 2 = (1 + i ) (1 + i ) = ( 2i ) (1 + i ) = −4i + 2 Như vậy, có sốphức (1 + i ) số thực Câu 68: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Xét sốphức z thỏa mãn 10 − + i Mệnh đề đúng? z 3 z z B z C z A D 2 2 Đáp án D Phương pháp: Chuyển vế, lấy mođun hai vế Cách giải: (1 + 2i ) z = 10 10 − + i (1 + 2i ) z + − i = z z 2 10 10 ( z + )( z − 1) i = ( z + ) ( z − 1) = z z (1 + 2i ) z = z + z + + z − z +1 = 2 1 3 z + z − 10 = z = ; 2 2 z 10 Câu 69: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho sốphức z thỏa mãn z − + 3i + z − + i = Tính GTLN P = z − + 4i A max P = B max P = C max P = 5 D max P = Đáp án A Cho sốphức z = x + yi ( x, y ) ,S ( x, y ) điểm biểu diễn z hệ trục tọa độ Oxy ( x − 2) + ( y + 3) + ( x + ) + ( y + 1) A ( 2; −3) , B ( −2; −1) Phương trình z − + 3i + z − + i = Lấy điểm (1) SA + SB = 2 Tập hợp điểm S đường elip (E) có tiêu điểm 2 = (1) A ( 2; −3) , B ( −2; −1) có độ dài trục lớn 2a = a = AB = 2MA Lấy M ( 4; -4) Dễ dàng kiểm tra MA + MB = = 2a Suy ra, M đỉnh nằm trục lớn elip (E) Gọi I trung điểm AB I ( 0; −2 ) , N điểm đối xứng M qua I Khi đó, với điểm S ( E ) : SM MN = 2a = SMmax = S trùng N Pmax = S N ( −4;0) z = −4 Câu 70: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Tìm tọa độ điểm biểu diễn sốphức z = A ( −1; −4) B (1; ) ( − 3i )( − i ) + 2i C (1; −4) D ( −1; 4) Đáp án A Ta có z = ( − 3i )( − i ) = −1 − 4i + 2i Câu 71: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Go ̣i z1 , z hai nghiệm phức phương trình 2z − 3z + = Tiń h 1 w = + + i.z1z z1 z 3 3 A w = − + 2i B w = + 2i C w = + i D w = + 2i Đáp án B 4 z +z 1 3 z1 + z = + 2i = + 2i Ta có w = + + i.z1z = + i ( z1z ) = z1 z z1z 2.2 z1z = Câu 72: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Cho sốphức z = a + bi ( a, b ) thỏa mãn z + + 3i − z i = Tiń h S = a + 3b 7 A S = B S = −5 C S = D S = − 3 Đáp án B a = −1 ta có: a + + bi + 3i − a + b i = 2 b + = a + b a = −1 a = −1 S = −5 b + = b + b = − Câu 73: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Đặt z = a + bi ( a;b ) Biết sốphức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = biểu thức P = z + − z − i 2 đa ̣t giá trị lớn Tính z B z = 50 A z = C z = 10 D z = Đáp án D Đă ̣t z = x + yi ( x, y ) Tâ ̣p hơ ̣p các điể m M là đường tròn (C) có tâm I ( 3; ) , bán kính R = Ta có P = z + − z − i = x + + yi − x + ( y − 1) i = ( x + ) + y − x − ( y − 1) 2 2 2 = x + y2 + 4x + − x − y2 + 2y −1 = 4x + 2y + → ( ) : 4x + 2y + − P = Ta cầ n tìm P cho đương thẳ ng d ( I; ( ) ) R 4.3 + 2.4 + − P 42 + 22 () và đường tròn (C) có điể m chung 23 − P 10 −10 23 − P 10 13 P 33 x = 4x + 2y − 30 = Do đó max P = 33 Dấ u “=” xảy Vâ ̣y 2 y = − x − + y − = ( ) ( ) z = Câu 74: (Cụm trường chuyên)Cho sốphức z1 = + 3i, z = −4 − 5i Tính z = z1 + z A z = − 2i B z = −2 − 2i C z = + 2i D z = −2 + 2i Đáp án B Phương pháp: z1 = a1 + b1i;z2 = a + b2i z1 + z2 = ( a1 + a ) + ( b1 + b2 ) i Cách giải: z1 + z2 = ( + 3i ) + ( −4 − 5i ) = −2 − 2i Câu 75: (Cụm trường chuyên) Nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − z + = z = a + bi, a, b R Tính a + 3b A B C −2 D −1 Đáp án A Phương pháp : Tìm nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − z + = MTCT Cách giải: Sử dụng MTCT ta tính nghiệm phức có phần ảo dương phương trình a= 3 z= + i a + 3b = + = 2 2 b = Câu 76: (Cụm trường chuyên) Cho hai sốphức z1 , z thỏa mãn z1 = 2, z = Gọi M, N điểm biểu diễn cho z1 iz Biết MON = 300 Tính S = z12 + 4z 22 ? A B C 3 D Đáp án Phương pháp: Tìm điểm biểu diễn đưa tốn hình học Cách giải : Đặt z3 = iz z32 = −z 22 S = z12 + 4z 22 = z12 − 4z32 = z1 − 2z3 z1 + 2z M, N điểm biểu diễn cho z1 , z3 OM = 2,ON = z3 = iz = i z = Gọi P điểm biểu diễn cho 2z3 Q điểm biểu diễn cho −2z , ta có N trung điểm OP P, Q đối xứng qua O Khi S = MP.MQ Áp dụng định lí Cosin OMP có: MP = OP + OM − 2OP.OM.cos30 = 12 + − 2.2 3.2 = MP = 2 Áp dụng định lí Cosin OMQ có: MQ2 = OM + OQ − 2OM.OQ.cos1500 = + 12 + 2.2.2 3 =2 S = MP.MQ = 2.2 = Câu 77: (Cụm trường chuyên) Cho hai sốphức z1 , z thỏa mãn z1 + − i = z = iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức z1 − z A m = B m = 2 + C m = 2 D m = + Đáp án B Phương pháp : Đặt z1 = a + bi ( a;b R ) z1 − z = z1 − iz1 = (1 − i ) z1 = z1 = a + b , tìm GTLN Cách giải : Đặt z1 = a + bi ( a;b R ) a + b2 z1 − z = z1 − iz1 = (1 − i ) z1 = z1 = a + b a + bi + − i = ( a + 1) + ( b − 1) = a + b + ( a − b ) = 2 ( a − b ) = − ( a + b2 ) ( a − b ) = ( a + b2 ) − ( a + b2 ) + 2 Ta có : (a + b) a + b2 + 2ab ( a + b2 ) a + b2 − 2ab = ( a − b ) ( a + b2 ) − ( a + b2 ) + ( a + b2 ) ( a + b ) − 12 ( a + b ) + − a + b2 + a + b2 + z1 − z = a + b 2 + Câu 78: (Chuyên Chu Văn An-2018) Điểm M hình bên điểm biểu diễn sốphức z Mệnh đề đúng? A Phần thức phần ảo -4 B Phần thực -4 phần ảo 3i C Phần thực -4 phần ảo D Phần thực phần ảo -4i Đáp án A Phương pháp : Sốphức z = a + bi có điểm biểu diễn mặt phẳng phức M ( a;b ) a phần thực b phần ảo Cách giải: M ( 3; −4 ) Sốphức z có phần thức phần ảo -4 Câu 79: (Chuyên Chu Văn An-2018) Kí hiệu z1 , z hai nghiệm phức phương trình z + z + = Giá trị biểu thức P = z12 + z 22 + z1z bằng: A P = B P = −1 C P = Đáp án C D P = Phương pháp: Sử dụng định lí Vi-et Cách giải: z1 , z hai nghiệm phức phương trình z + z + = nên theo định lí b z1 + z = − a = −1 Vi-et ta có: z z = c = a P = z12 + z 22 + z1z = ( z1 + z ) − z1z = ( −1) − = 2 Câu 80 (Chuyên Chu Văn An-2018): Xét sốphức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = 10 − + i z Mệnh đề đúng? z 2 A B z 2 Đáp án D z 2 C z D Phương pháp: Chuyển vế, lấy mođun hai vế Cách giải: 10 10 − + i (1 + 2i ) z + − i = (1 + 2i ) z = z z 2 10 ( z + ) + ( z − 1) = ( z + ) + ( z − 1) i = 10 z z z + z + + z − z +1 = 2 10 z 1 3 z + z − 10 = z = 1 ; 2 2 Câu 81: (Chuyên Chu Văn An-2018) Xét sốphức z = a + bi, ( a, b R ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z = z + − 3i z + − i + z − + 3i đạt giá trị nhỏ Giá trị P = a + 2b là: 61 A P = − 10 B P = − 252 50 C P = − 41 D P = − 18 Đáp án A Phương pháp: Từ z + yi = z + − 3i tìm quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn cho sốphức z = x + yi Gọi điểm M ( x; y ) điểm biểu diễn cho sốphức z A ( −1;1) ; B ( 2; −3) ta có: z + − i + z − + 3i = MA + MB nhỏ MA = MB Cách giải: Gọi z = x + ui ta có: 2 x + yi = x − yi + − 3i x + y = ( x + ) + ( y + 3) 8x + 6y = −25 Gọi điểm M ( x; y ) điểm biểu diễn cho sốphức z A ( −1;1) ; B ( 2; −3) ta có: z + − i + z − + 3i = MA + MB nhỏ Ta có: MA + MB MA.MB, dấu xảy MA = MB M thuộc trung trực AB 1 Gọi I trung điểm AB ta có I ; −1 AB = ( 3; −4 ) 2 1 11 Phương trình đường trung trực AB x − − ( y + 1) = 3x − 4y − = 2 Để ( MA + MB)min Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 67 x=− 8x + 6y = −25 50 11 3x − 4y = y = − 119 50 67 a=− 67 119 61 50 z=− − i P = a + 2b = − 50 50 10 b = − 119 50 Câu 82: (Chuyên Lê Q Đơn- Quảng Trị -Lần 1)Tìm phần thực sốphức z12 + z 22 , biết z1 , z hai nghiệm phức phương trình z − 4z + = A B C D Đáp án B Phương pháp giải: Áp dụng định lí Vi-et phương trình bậc hai z + z = Lời giải: Ta có z − 4z + = z12 + z 22 = ( z1 + z ) − 2z1z = 42 − 2.5 = z1z = i Tìm Câu 83: (Chun Lê Q Đơn- Quảng Trị -Lần 1) Cho sốphức z = − + 2 sốphức w = + z + z i A − + B C D − 3i 2 Đáp án B Phương pháp giải: Bấm máy khai triển tay tìm sốphức w Lời giải: 1 3 3 Ta có z = − + i z = − + i = − i+ i = − − i 2 2 2 3 i− − i=0 Vậy w = + z + z = − + 2 2 Câu 84: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Cho sốphức − 3i Môđun sốphức w = (1 + i ) z A w = 26 Đáp án A B w = 37 C w = D w = Ta có w = (1 + i )( − 3i ) = − i w = 26 Câu 85: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Biết phương trình z2 + az + b = ( a, b ) có nghiệm z = −2 + i Tính a + b A B D −1 C Đáp án A a z1 + z = −4 = − a = Suy nghiệm lại z = −2 − i a+b=9 z z = = b b = Câu 86: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Với hai sốphức z1 z thỏa mãn z1 + z = + 6i z1 − z = 2, tìm giá trị lớn P = z1 + z2 C P = + B P = 26 A P = D P = 34 + Đáp án B Bổ đề Cho hai sốphức z1 z , ta ln có ( z1 + z2 = z1 − z = z1 + z 2 2 ) (*) ( ) Chứng minh Sử dụng công thức z1 + z = ( z1 + z ) z1 + z z.z = z Khi ( ) ( z1 + z = z1 − z = ( z1 + z ) z1 + z + ( z1 − z ) z1 − z 2 2 ) z1.z + z1.z + z1.z + z z + z1.z1 − z1.z − z1.z + z z ( ) ( = z1.z1 + z z = z1 + z 2 ) → dpcm Áp dụng (*), ta z1 + z − z1 − z = z1 − z = − 2 Theo bất đằng thức Bunhiacopxki, ta P = z1 + z 2 ( ( 3) = z1 − z = z1 + z 2 )=2 26 Câu 87: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Số phức liên hợp z sốphức z = − 3i A z = − 2i B z = + 3i C z = + 2i D z = −2 + 3i Đáp án B Phương pháp: Sốphức liên hợp z sốphức z = a + bi, a, b R z = a − bi Cách giải: Sốphức liên hợp z sốphức z = − 3i z = + 3i Câu 88: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Gọi z1 z hai nghiệm phức phương trình thức T = z1 + z z + 2z + 10 = Giá trị biểu A T = 10 2 C T = 20 B T = 10 D T = 10 Đáp án C Phương pháp: Giải phương trình phức bậc hai, suy nghiệm tính tổng bình phương mơđun nghiệm Sử dụng cơng thức: z = a + bi z = a + b2 Cách giải: z = −1 + 3i z + 2z + 10 = z = −1 − 3i z1 = ( −1) + 32 = 10; z1 = ( −1) + ( −3) 2 = 10 T = z1 + z = 10 + 10 = 20 2 Câu 89: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Gọi S tập hợp sốphức z thỏa mãn Tổng giá trị tất phần tử S A − 3i B −3 − 3i C D − 3i : Đáp án A Phương pháp: Đặt z = a + bi z = a − bi z.z = a + b2 Biến đổi để phương trình trở thành A + Bi = A = B = Cách giải: z − 5+i − = z.z − z − − i = 0, z (1) z Đặt z = a + bi, ( a, b , a + b ) , ta có: (1) a + b − a − bi − − i 3=0 a = −1 a + b − a − = a + − a − = a − a − = a = − b − = b = − b = − b = − z = −1 − i Tổng giá trị tất phần tử S − 2i z = − i Câu 90: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Xét sốphức z = a + bi, ( a, b ) thỏa mãn z − − 3i = Tính P = 3a + b biểu thức z + − 3i + z + + 5i đạt giá trị nhỏ B P = + 20 A P = 20 C P = − 20 D P = −2 − 20 Đáp án A Phương pháp: Cách giải: z = a + bi a + bi − − 3i = ( a − 3)2 + ( b − 3) = 36 Khi ta có: z + − 3i + z + + 5i = a + bi + − 3i + a + bi + + 5i =2 ( a + ) + ( b − 3) 2 ( a + 1) + ( b + ) +3 2 = a + b2 Câu 91: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Sốphức z = −4 + 3i biểu diễn điểm M có tọa độ A M ( 4; −3) B M ( −4;3) C M ( 3; −4 ) D M ( 4;3) Đáp án B Phương pháp: Điểm biểu diễn sốphức z = a + bi, ( a, b ) M ( a;b ) Cách giải: Sốphức z = −4 + 3i biểu diễn điểm M có tọa độ M ( −4;3) Câu 92: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình 3z − z + = Khi P = A − 23 12 Đáp án A z1 z + z z1 B 23 12 C − 23 24 D 23 24 Phương pháp: Áp dụng định lí Vi –et, xác định tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn az + bz + c = 0, a z1 + z = Cách giải: Xét phương trình 3z − z + = Áp dụng định lý Vi-ét: z z = 1 − 2 − 2 z1 z z1 + z ( z1 + z ) − 2z1z 23 P= + = = = = =− 4 z z1 z1z z1z 12 3 Câu 93: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho sốphức z thỏa mãn điều kiện z − − i + z + + 3i = Giá trị lớn z − − 3i B A D 5 C Đáp án D Phương pháp: - Biểu diễn sốphức giải tốn tìm GTLN mặt phẳng tọa độ Cách giải: Gọi I (1;1;) , J ( −1; −3) , A ( 2;3) Xét sốphức z = x + yi, ( x, y R ) , có điểm z −1 − i = z + + i = biểu diễn M ( x; y ) ( x −1) + ( y −1) 2 + ( x + 1) + ( y + 3) 2 =6 (1) MI + MJ = M di chuyển đường elip có tiêu điểm I J, độ dài trục lớn Tìm giá trị lớn z − − 3i tức tìm độ dài lớn đoạn AM M di chuyển elip Ta có: IA = (1; ) , JA = ( 3;6 ) JA = 3IA, điểm A nằm trục lớn elip =>AM đạt độ dài lớn M trùng với B, đỉnh elip nằm trục lớn khác phía A so với điểm I Gọi S trung điểm IJ S ( 0; −1) Độ dài đoạn AB = SA + SB Mà AS = ( −2; −4 ) AS = 5,SB = = AB = 5 Vậy z − − 3i max = 5 Câu 94: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Có sốphức z thỏa mãn (1 + i ) z + ( − i ) z = 13 + 2i ? A B C D Đáp án D Phương pháp: +) Đặt z = a + bi ( a; b R ) z = a − bi, thay vào phương trình a = a ' +) So sánh hai sốphức a + bi = a '+ b 'i b = b ' Cách giải: Đặt z = a + bi ( a; b ) z = a − bi, ta có: (1 + i )( a + bi ) + ( − i )( a − bi ) = 13 + 2i a − b + ( a + b ) i + 2a − b − ( a + 2b ) i = 13 + 2i 3a − 2b − bi = 13 + 2i 3a − 2b = 13 a = z = − 2i −b = b = −2 Câu 95: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Trong sốphức z thỏa mãn z + = z , gọi z1 z sốphức có mơđun lớn nhỏ Khi mơđun lớn sốphức w = z1 + z là: A w = 2 C w = B w = Đáp án A Phương pháp : Sử dụng công thức zz = z Cách giải : Ta có D w = + ( ) z + = z z + = z ( z + 1) z + = 4zz ( ) ( ) ( z + 1) z + = 4zz zz + z + z + − 4zz = ( ) ( ) 2 ( ) z + z + zz − 6zz + = z + z + z − z + = ( z − z +1 = − z + z ) 3−2 z 3+ 2 z1 = − −1 z +1 z = + ( ( ( ( ) ) ) z = − i z1 = − w = z1 + z = 2 z1 = − i Dấu = xảy z = + w = z1 + z = z2 = + i z + z = z = − − i ) ... a;b ) biểu diễn số phức z z = a + bi z = a − bi Cách giải: Ta có M ( 2;1) biểu diễn số phức z z = + i z = − i Câu 3: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức z = a + bi (a,b số thực) thỏa... 6;3) , Câu 7: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn z ( − i ) + 13i = Tính môđun số phức z A z = 34 B z = 34 34 C z = D z = 34 Đáp án D Phương pháp giải: Tìm số phức z phép chia số phức, ... biểu diễn cho số phức z = a + bi, có phần thực a phần ảo b Cách giải A(3; 2) điểm biểu diễn cho số phức z = + 2i, có phần thực 3, phần ảo Câu 14: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho số phức thỏa mãn