43 bài toán thực tế từ các đề thi thử trường chuyên 2018

Câu 1:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Người ta muốn xây bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp tích 200 m3 đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Giá thuê nhân công xây bể 300.000 đồng/ m Chi phí th nhân cơng thấp là: A 75 triệu đồng B 51 triệu đồng C 36 triệu đồng D 46 triệu đồng Đáp án B Gọi chiều rộng hình chữ nhật x ( m ) suy chiều dài hình chữ nhật 2x ( m ) 2 Gọi h chiều cao bể nên ta có V = S.h = 2x h = 200 ⇒ x h = 100 ⇔ h = 2 Diện tích bể S = 2.h.x + 2.2h.x + 2x = 2x + 6.hx = 2x + 100 x2 100 600 x = 2x + x x Áp dụng bất đẳng thức AM − GM, ta có 2x + 600 300 300 300 300 = 2x + + ≥ 3 2x = 3 2.300 x x x x x Dấu = xảy 2x = 300 ⇔ x = 150 ⇒ chi phí thấp th nhân cơng x 3 2.300 300.000 ≈ 51 triệu đồng Câu 2:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi xuất r =0,5% tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi tính theo phần trăm tổng tiền có tháng trước với tiền lãi tháng trước đó) Sau tháng, người có nhiều 125 triệu A 45 tháng B 46 tháng C 47 tháng D 44 tháng Đáp án A Ta có 100 ( + 0,5% ) > 125 ⇔ n > 44, 74 Suy sau 45 tháng An có nhiều 125 triệu n Câu 3: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2;5) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường mà vật di chuyển A 15 ( km ) B 32 ( km ) C 12 ( km ) D 35 ( km ) Đáp án B PT vạn tốc theo thòi gian Parabol có dạng: y = ax + bx +  b =2  a = −1 − ⇔ Do parabol có đỉnh I ( 2;5 ) nên  2a b =  y ( ) = 4a + 2b + =  Khi quãng đường mà vật di chuyển đầu 32 S = ∫ ( − x + 4x + 1) dx + ∫ 4dt = km Câu 4:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 200 triệu đồng theo thể thức lãi kép (tức tiền lãi cộng vào vốn kỳ kế tiếp) Ban đầu người gửi với kỳ hạn tháng, lãi suất 2,1%/kỳ hạn, sau năm người thay đổi phương thức gửi, chuyển thành kỳ hạn tháng với lãi suất 0,65%/tháng Tính tổng số tiền lãi nhận (làm tròn đến nghìn đồng) sau năm A 98217000 đồng B 98215000 đồng C 98562000 đồng D 98560000 đồng Đáp án A Tiền lãi 200.106 ( + 2,1% ) 24 24 36   +  200.106 ( + 2,1% )  ( + 0, 65 ) − 200 ≈ 98.217.000 đồng   Câu 5:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Một đám vi khuẩn ngày thứ x có số lượng 2000 N ( x ) Biết N ' ( x ) = lúc đầu số lượng vi khuẩn 5000 Vậy ngày thứ 1+ x 12 số lượng vi khuẩn (sau làm tròn) con? A 10130 B 5130 C 5154 Đáp án A 12 Ta có 2000 ∫0 + x dx = 2000 ln + x 12 D 10132 = 2000 ln13 = N ( 12 ) − N ( ) ⇒ N ( 12 ) = 2000 ln13 + 5000 ≈ 10130 Câu 6:( Chun Thái Bình Lần 3-2018) Một giải thi đấu bóng đá quốc gia có 16 đội thi đấu vòng tròn lượt tính điểm Hai đội đấu với trận Sau trận đấu, đội thắng điểm, đội thua điểm, hòa đội điểm Sau giải đấu, Ban tổ chức thống kê 80 trận hòa Hỏi tổng số điểm tất đội sau giải đấu bao nhiêu? A 720 B 560 C 280 D 640 Đáp án D Tổng số trận đội phải đá 8.15.2 = 240 trận Suy có 240 − 80 = 160 trận không kết thúc với tỉ số hòa Suy tổng điểm đội giành 160.3 + 80.2 = 640 điểm Câu 7: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Số 6303268125 có ước số nguyên? A 420 B 630 C 240 D 720 Đáp án D Ta có 6303268125 = 54.35.73.112 Suy 63032681252 có ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) = 720 ước số nguyên Câu 8:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Một ô tô chạy với tốc độ 10(m/s) người lái đạp phanh, từ thời điểm tơ chuyển động chậm dần với v ( t ) = −5t + 10 ( m / s ) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ di chuyển mét? A 8m B 10m D 20m C 5m Đáp án B Ơ tơ dừng hẳn ⇔ v ( t ) = ⇔ −5t + 10 = ⇔ t = ( s ) 2   Suy quãng đường ∫ ( −5t + 10 ) dt =  − t + 10t ÷ = 10 ( m )  0 Câu 9: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Trong thời gian liên tục 25 năm, người lao động gửi 4.000.000 đồng vào ngày cố định tháng ngân hàng M suất không thay đổi suốt thời gian gửi tiền 0,6% tháng Gọi A số tiền người có sau 25 năm Hỏi mệnh đề đúng? A 3.500.000.000 < A < 3.550.000.000 B 3.400.000.000 < A < 3.450.000.000 C 3.350.000.000 < A < 3.400.000.000 D 3.450.000.000 < A < 3.500.000.000 Đáp án C Sau tháng thứ người lao động có: 4( 1+ 0,6%) triệu Sau tháng thứ người lao động có: 4( 1+ 0,6%) + ( 1+ 0,6%) = 4( 1+ 0,6%) + ( 1+ 0,6%)  triệu   Sau tháng thứ 300 người lao động có: ( ) 300 299 ( 1+ 0,6%) − ≈ 3364,866 4( 1+ 0,6%) + ( 1+ 0,6%) + + ( 1+ 0,6%)  = 4( 1+ 0,6%)   ( 1+ 0,6%) − 300 ( ≈ 3.364.866.000 đồng) Câu 10:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Một chất điểm chuyển động với 2 vận tốc v0 = 15m/ s tăng vận tốc với gia tốc a( t) = t + 4t m/ s Tính quảng ( ) đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ abwts đầu tăng vận tốc A 70,25m B 68,25m C 67,25m D 69,75m Đáp án D Câu 11: (Đại Học Vinh 2018) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t + 6t với t (giây) khoảng thời gian từ vật bắt đầu chuyển động s ( mét ) quãng đường vật di chuyển thời gian Hỏi khoảng thời gian  6 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 24 ( m / s ) B 108 ( m / s ) C 64 ( m / s ) D 18 ( m / s ) Đáp án A • v ( t ) = s ′ ( t ) = − t + 12t = 0; v′ ( t ) = −3t + 12 = ⇔ t = ∈ [ 0;6 ] • v ( ) = 0; v ( ) = 18; v ( ) = 24 • Vận tốc lớn 24 ( m / s ) Câu 12: (Đại Học Vinh 2018) Một người muốn xây bể chứa nước, dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích 288dm3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể 500000 đồng/ m Nếu người biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi người trả chi phí thấp để th nhân cơng xây dựng bể bao nhiêu? A 1, 08 triệu đồng B 0,91 triệu đồng C 1, 68 triệu đồng D 0,54 triệu đồng Đáp án A • Gọi x ( x > ) chiều rộng đáy bể Ta có: + Chiều dài đáy bể là: 2x 0,144 + Chiều cao bể là: x2 0,864 • Diện tích cần xây: 2x + x 0,864 0,864 Xét f ( a ) = x + Ta có: f ′ ( x ) = x − ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ x = 0, x x • Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có f ( x ) = 2,16 Vậy: chi phí thấp để thuê nhân công xây bể là: 2,16.500000 = 1080000 đồng Câu 13: (Đại Học Vinh 2018) Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội công ty Bảo Việt với thể lệ sau: Cứ đến tháng hàng năm người đóng vào công ty 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi 6% / năm Hỏi sau 18 năm kể từ ngày đóng, người thu tất tiền? Kết làm tròn đến hai chữ số phần thập phân A 403,32 (triệu đồng).B 293,32 (triệu đồng).C 412, 23 (triệu đồng) D 393,12 (triệu đồng) Đáp án D • Sau năm kể từ ngày đóng tiền số tiền người 12 + 12.0,06=12.1,06 triệu đồng Người nạp thêm 12 triệu tổng số tiền có 12.1,06+12=12 ( 1, 06 + 1) triệu • Sau hai năm số tiền người 12 ( 1, 06 + 1) 1, 06 = 12 ( 1, 06 + 1, 06 ) • Người nạp thêm 12 triệu tổng số tiền có là: 12 ( 1, 06 + 1, 06 ) + 12 = 12 ( 1, 062 + 1, 06 + 1) triệu • Sau 18 năm số tiền người có là: 1, 0618 − ; 393,12 triệu 1, 06 − Câu 14: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Một người bán gạo muốn đóng thùng tơn đựng gạo tích khơng đổi m3 , thùng tơn hình hộp chữ nhật có đáy hình vng, khơng nắp Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng 100.000 / m giá tôn làm thành xung quanh thùng 50.000 / m Hỏi người bán gạo cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy để chi phí mua nguyên liệu nhỏ ? A m B 1,5 m C m D m Đáp án C 12 ( 1, 0618 + 1, 0617 + + 1, 06 ) = 12.1, 06 Phương pháp: Lập hàm số chi phí theo ẩn sau tìm giá trị nhỏ hàm số Cách giải: Gọi a chiều dài cạnh đáy hình vng hình hộp chữ nhật b chiều cao hình hộp chữ nhật ta có a b = ( a, b > ) ⇒ ab = a Diện tích đáy hình hộp a diện tích xung quanh 4ab phí để làm thùng tơn 1600 16   100a + 50.4ab = 100a + 200ab = 100a = 100 = 100a + = 100  a + ÷ (nghìn a a a  đồng) 16 8 8 Áp dụng BĐT Cauchy ta có a + = a + + ≥ 3 a + + = 3.4 = 12 a a a a a Dấu xảy a + ⇔ a = a Vậy chi phí nhỏ 1200000 đồng cạnh đáy hình hộp 2m Câu 15: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2) Môt người gửi 75 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 5,4%/năm Biết khơng rút tiền khỏi ngân sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tình lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng bao gồm gốc lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi người khơng rút tiền A năm B năm C năm D năm Đáp án C Áp dụng công thức lãi kép: An = A ( + r ) n Với An yM ' = số tiền nhận sau n năm (cả gốc lãi) A tiền gốc n số năm gửi r lãi suất năm Cách giải: n  5,  Sau n năm người nhận An = 75  + ÷ > 100 ⇔ n > 5, 47  100  Vậy sau năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng Câu 16: ( Chuyên Đại Học Vinh) Ông An gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kỳ hạn năm với lãi suất 8% /năm Sau năm ơng rút tồn tiền dùng nửa để sửa nhà, số tiền lại ơng tiếp tục gửi ngân hàng với lãi suất lần trước Số tiền lãi mà ông An nhận sau 10 năm gửi gần với giá trị sau đây? A 34,480 triệu B 81,413 triệu C 107,946 triệu D 46,933 triệu Đáp án B ( Số tiền lãi bằng: 100 ( + 8% ) 5  100 ( + ) 100 ( + ) − 100 +  ( + 8% ) −  2  )  ÷ ≈ 81, 413 ÷  triệu đồng Câu 17: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2)Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất 6,9% / năm Biết tiền lãi hàng năm nhập vào tiền gốc, hỏi sau năm người có rút gốc lãi số tiền gần với số sau đây? A 116570 000 đồng B 107 667 000 đồng C 105370 000 đồng D 111680 000 đồng : Đáp án D Số tiền thu 8.107 ( + 6,9% ) ≈ 111680 000 đồng Câu 18: (Viên Khoa Học Thương Mại Quốc Tế) Thầy Quang toán tiền mua xe kỳ khoản năm: 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng 20.000.000 đồng Kỳ khoản toán năm sau ngày mua Với lãi suất áp dụng 8% Hỏi giá trị xe thầy Quang mua ? A 32.412.582 đồng B 35.412.582 đồng C 33.412.582 đồng D 34.412.582 đồng Đáp án A Phương pháp : Sử dụng công thức lãi kép : An = A ( + r ) ⇒ A = An ( + r ) Cách giải: Kỳ khoản toán năm sau ngày mua 5.000.000 đồng, qua năm toán 6.000.000 đồng, qua năm toán 10.000.000 đồng qua năm toán 20.000.000 đồng Các khoản tiền có lãi Do giá trị xe tổng khoản tiền lúc chưa có lãi n −n Ta có An = A ( + r ) ⇒ A = An ( + r ) n −n Goi A0 tiền ban đầu mua xe ⇒ A0 = 5.1, 08−1 + 6.1, 08−2 + 10.1, 08−3 + 20.1, 08−4 = 32,, 412582 (triệu đồng) = 32.412.582 đồng Câu 19: (Viên Khoa Học Thương Mại Quốc Tế) Một vật chuyển động với vân tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần parabol có đỉnh I ( 2;9 ) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển : A s = 28,5 ( km ) B s = 27 ( km ) C s = 26,5 ( km ) D s = 24 ( km ) Đáp án B Phương pháp: +) Viết phương trình mơ tả vận tốc vật 3h đầu, 1h t2 +) Sử dụng công thức s = ∫ v ( t ) dt t1 Cách giải: Trong 3h đầu Ta dễ dàng tìm phương trình parabol v ( t ) = − t + 9t 3 81   => Quãng đường vật di chuyển 3h đầu s1 = ∫ v ( t ) dt = ∫  − t + 9t ÷dt = 4  0 27 Tại t = ta có: v ( 3) = 27 27 Trong 1h v = ( km / h ) ⇒ s = ( km ) 4 Vậy quãng đường s mà vật di chuyển : s = s1 + s = 27 ( km ) Câu 20: (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.) Một người tháng đặn gửi vào ngân hàng khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0, 6% tháng Biết sau 15 tháng người có số tiền 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số tiền số sau A 635.000 đồng B 645.000 đồng C 613.000 đồng D 535.000 đồng Đáp án A a  n ( + m ) − 1 ( + m ) với a số tiền gửi hàng tháng,  m  m lãi suất tháng n số tháng, ta Áp dụng công thức lãi suất: Tn = T  15 ( + 0, 6% ) − 1 ( + 0, 6% ) ⇒ T = 0, 635 triệu đồng 0, 6% Câu 21: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 5% năm lãi hàng năm nhập vào vốn Sau năm người nhận số tiền lớn 150% số tiền gửi ban đầu? A năm B 10 năm C năm D 11 năm Đáp án C 10 = Phương pháp:Sử dụng công thức lãi kép A n = A ( + r ) , đó: n A n : tiền gốc lẫn lãi sau n năm A: tiền vốn ban đầu r: lãi suất n: năm Cách giải: Giả sử sau n năm người nhận số tiền lớn 150% số tiền gửi ban đầu Gọi số tiền gửi ban đầu A ta có: n A n = A ( + 0, 05 ) ≥ 150%A ⇔ ( + 0, 05 ) ≥ 1,5 ⇔ n ≥ log1,05 1,5 ≈ 8,31 Vậy sau năm người nhận số tiền lớn 150% số tiền gửi ban đầu Câu 22: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Một vật rơi tự với phương trình chuyển động S = gt , tính mét g = 9,8 m / s Vận tốc vật thời điểm t = 4s A v = 78, m / s B v = 39, m / s C v = 9,8 m / s D v = 19, m / s Đáp án B n Phương pháp giải: Quãng đường đạo hàm vận tốc (ứng dụng tích phân vật lý) 1 2 Lời giải: Ta có v ( t ) = S' ( t ) =  gt ÷ = gt ⇒ v ( ) = 4g = 39, m / s 2  Câu 23: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Theo thống kê dân số giới đến tháng 01/2017, dân số Việt Nam có 94,970,597 người có tỉ lệ tăng dân số 1,03% Nếu tỉ lệ tăng dân số khơng đổi đến năm 2020 dân số nước ta có triệu người, chọn đáp án gần A 104 triệu người B 100 triệu người C 102 triệu người D 98 triệu người Đáp án Phương pháp: Công thức A n = M ( + r% ) Với: A n số người sau năm thứ n, M số người ban đầu, n thời gian gửi tiền (năm), n r tỉ lệ tăng dân số (%) Cách giải: Từ 1/2017 đến năm 2020 có số năm là: năm Dân số Việt Nam đến năm 2020: A = M ( + r% ) = 94,970,597 ( +1, 03% ) ≈ 97,935,519 ≈ 98 riệu (người) 3 Câu 24 ( Chuyên Tiền Giang-2018) Một xe ôtô sau chờ đến hết đèn đỏ bắt đầu phóng nhanh với vận tóc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong parabol có hình bên Biết sau 10 s xe đạt đến vận tốc cao 50 m/s bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường mét ? 100 m Đáp án A A B 1100 m C 1400 m D 300m Gọi (P): y = ax + bx + c phương trình parabol b   = 10 c = 0; − a = − ⇔ 2a Vì (P) qua gốc O đỉnh I ( 10;50 ) ⇒  100a + 10b + c = 50 b = 10;c = 10 1000   m Suy phương trình (P) y = − x + 10x Vậy S = ∫  − x + 10x ÷dx =   Câu 25 (Chuyên Chu Văn An-2018): Đầu tháng anh A gửi vào ngân hàng triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau mơi tháng số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho tháng Hỏi sau tháng (khi ngân hàng tính lãi) anh A có số tiền gốc lẫn lãi nhiều 100 triệu đồng? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi anh A không rút tiền A 30 tháng B 33 tháng C 29 tháng D 28 tháng Đáp án A Phương pháp: Sử dụng công thức lãi kép Cách giải: Số tiền anh A nhận sau n tháng là: n −1 n A ( + r ) + A ( + r ) + + A ( + r ) = A ( + r ) 1 + ( + r ) + + ( + r )  n ( + r ) n − 1 1− ( 1+ r)  > 100 A ( 1+ r ) = A ( 1+ r)  1− ( 1+ r) r ( + 0, 7% ) n ( + 0, 7% ) − 1 > 100 ⇔ n > 29,88   0, 7% Vậy phải cần 30 tháng để anh A có nhiều 100 triệu Câu 26: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8, 4% /năm lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi sau năm người thu gấp đơi số tiền ban đầu? A B C D Đáp án A ⇔ Gọi số tiền ban đầu a ta có a ( + 8, 4% ) = 2a ⇔ n = log1+8,4% ≈ 8, Suy sau năm người có số tiền gấp đôi số tiền ban đầu Câu 27: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v ( t ) = t + 10 ( m / s ) với t thời gian tính đơn vị giây n kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 200 ( m / s ) rời đường bang Quãng đường máy bay di chuyển đường băng 2500 4000 A B 2000 ( m ) C 500 ( m ) D ( m) ( m) 3 A B C D vô số Đáp án A Ta có: v = 200 ⇒ t + 10t = 200 ⇔ t = 10s Máy bay di chuyển đường bang từ thời điểm t = đến thời điểm t = 10 , quãng 10 2500 S = đường đường băng là: ∫0 ( t + 10t ) dx = ( m ) Câu 28 ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Một người gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,45%/tháng Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau 10 tháng, người lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu lãi) gần với số tiền đây, khoảng thời gian người khơng rút lãi suất khơng thay đổi A 210.593.000 đồng B 209.183.000 đồng C 209.184.000 đồng D 211.594.000 đồng Đáp án C Phương pháp: Công thức lãi kép, không kỳ hạn: A n = M ( + r% ) Với: A n số tiền nhận sau tháng thứ n, M số tiền gửi ban đầu, n thời gian gửi tiền (tháng), r lãi suất định kì (%) Cách giải: Sau 10 tháng, người lĩnh số tiền: 10 A10 = 200 ( + 0, 45% ) ≈ 209,184 (triệu đồng) n Câu 29: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 0,5% tháng Theo thỏa thuận tháng người trả cho ngân hàng 10 triệu đồng trả hàng tháng hết nợ (tháng cuối trả 10 triệu) Hỏi sau tháng người trả hết nợ ngân hàng A 57 B 56 C 58 D 69 Đáp án C Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức tốn vay vốn trả góp, tìm tháng, dùng phương pháp quy nạp đưa tổng cấp số nhân Lời giải: Sau tháng thứ số tiền gốc lại ngân hàng 500 ( + 0,5% ) − 10 triệu đồng Sau tháng thứ hai số tiền gốc lại ngân hàng 500 ( + 0,5% ) − 10  ( + 0,5% ) − 10 = 500 ( + 0,5% ) − 10 ( + 0,5% ) + 1 triệu đồng Sau tháng thứ ba số tiền gốc lại ngân hàng 500 ( + 0,5% ) − 10 ( + 0,5% ) + ( + 0,5% ) + 1 triệu đồng   Số tiền gốc lại sau tháng thứ n n n −1 n −2 500 ( + 0,5% ) − 10 ( + 0,5% ) + ( + 0,5% ) + + 1 triệu   Đặt y = + 0,5% = 1, 005 ta có số tiền gốc lại ngân hàng sau tháng thứ n 10 ( y n − 1) n n −1 n−2 n T = 500y − 10 ( y + y + + y + 1) = 500y − = 500.1, 005n − 2000 ( 1, 005n − 1) y −1 Vì lúc số tiền gốc lẫn lãi trả hết ⇒ T = ⇔ 1500.1, 005n = 2000 ⇔ n = log1,005 ≈ 57, 68 Vậy sau 58 tháng người trả hết nợ ngân hàng Câu 30: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2)Trong năm làm, anh A nhận lương 10 triệu đồng tháng Cứ hết năm, anh A lại tăng lương, tháng sau tăng 12% so với tháng trước Mỗi lĩnh lương anh A cất phần lương tăng so với năm trước để tiết kiệm mua ô tơ Hỏi sau năm làm anh A mua tơ giá 500 triệu biết anh gia đình hỗ trợ 32% giá trị xe A 11 B 10 C 12 D 13 Đáp án A Phương pháp: Sử dụng tính chất: IA d ( A; ( P ) ) = IB d ( B; ( P ) ) Cách giải: Ta có: d ( A; ( P ) ) = ⇒ IA d ( A; ( P ) ) = IB d ( B; ( P ) ) 2+2+2+2 1+1+1 = =2 = −1 − + ;d ( B; ( P ) ) = = 1+1+1 Câu 31: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều 300 triệu đồng bao gồm gốc lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi người khơng rút tiền A 21 năm B 20 năm C 19 năm D 18 năm Đáp án C Ta có 100 ( + 6% ) > 300 ⇔ n > log ( 1+ 6% ) = 18,85 Suy sau 19 năm số tiền lớn 300 triệu Câu 32: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Một hải đăng đặt vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB = 5km Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo đò từ A đến M bờ biển với vận tốc 4/ km h đến C với vận tốc 6/ km h Vị trí điểm M cách B khoảng để người đến kho nhanh nhất? A km B 14 + 5 km 12 C km D km Đáp án Phương pháp: Sử dụng phương pháp hàm số Cách giải: Gọi độ dài đoạn MB x, ( ≤ x ≤ km ) ⇒ MC = − x Tam giác ABM vuông B ⇒ AM = MN + AB2 = x + 52 = x + 25 x + 25 − x + x + 25 − x + , x ∈ [ 0;7 ] Thời gian người từ A tới C: Xét hàm số f ( x ) = y' = x − x + 25 x x y' = ⇔ − =0⇔ = ⇔ 3x = x + 25 x + 25 x + 25 ⇔ 9x = 4x + 100 ⇔ x = 20 ⇒ x = Bảng biến thiên: x y' y 14 + 5 12 Vậy, để người đến C nhanh khoảng cách từ B đến M Câu 33: (Chun Hồng Văn Thụ- Lần 2) Ơng A vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 1% tháng Mỗi tháng ông trả ngân hàng m triệu đồng Sau 10 tháng trả hết Hỏi m gần với giá trị đây? A 23 triệu đồng B 20, 425 triệu đồng C 21,116 triệu đồng D 15, 464 triệu đồng Đáp án C N ( 1+ r) r n Phương pháp: Bài toán lãi suất trả góp: A = (1+ r) n −1 Trong đó: N: số tiền vay r: lãi suất A: số tiền phải trả hàng tháng để sau n tháng hết nợ n 10 N ( 1+ r) r 200 ( + 1% ) 1% ⇔m= ≈ 21,116 ( triệu đồng) Cách giải: Ta có: A = n 10 ( + r ) −1 ( + 1% ) − Câu 34: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Hùng tiết kiệm để mua guitar Trong tuần đầu tiên, để dành 42 đô la, tuần tiết theo, thêm đô la vào tài khoản tiết kiệm Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 la Hỏi vào tuần thứ anh có đủ tiền để mua guitar đó? A 47 B 45 C 44 D 46 Đáp án D Ta có 42 +8n =4000 ⇒n =44, 75 Suy đến tuần thứ 46 anh Hùng đủ tiền mua đàn Câu 35: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t + 6t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 180 (m/s) Đáp án B B 36 (m/s) C 144 (m/s) D 24 (m/s)  2 Ta có v( t) = s'( t) =  − t + 6t ÷ ' = − t + 12t = 36− ( t − 6) ≤ 36   v = 36m/ s Suy max Dấu “=” xảy t = Câu 36: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Sau tháng thi cơng cơng trình xây dựng Nhà học thể dục trường X thực khối lượng công việc Nếu tiếp tục với tiến độ dự kiến sau 23 tháng cơng trình hồn thành Để sớm hồn thành cơng trình kịp đưa vào sử dụng, công ty xây dựng định từ tháng thứ 2, tháng tăng 4% khối lượng công việc so với tháng kề trước Hỏi công trình hồn thành tháng thứ sau khởi công? A 19 B 18 C 17 D 20 Đáp án B Phương pháp: Giả sử khối lượng công việc làm tháng đầu x tổng khối lượng cơng việc 24x Giả sử sau n tháng xong cơng trình, tính khối lượng cơng việc hồn thành sau n tháng Cách giải: Giả sử khối lượng công việc làm tháng đầu x tổng khối lượng cơng việc 24x Giả sử sau n tháng xong cơng trình, ta có phương trình 1, 04n − x + 1, 04x + 1, 04 x + + 1, 04 n −1 x = 24x ⇔ = 24 ⇔ n = 17,16 1, 04 − Vậy cơng trình hồn thành tháng thứ 18 Câu 37: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Lãi suất gửi tiền tiết kiệm ngân hàng thời gian qua liên tục thay đổi Bác Mạnh gửi vào ngân hàng số tiền triệu đồng với lãi suất 0,7% / tháng Sau tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên 0,9% / tháng Đến tháng thứ 10 sau gửi tiền, lãi suất giảm xuống 0,6% / tháng giữ ổn định Biết bác Mạnh không rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (ta gọi lãi kép) Sau năm gửi tiền, bác Mạnh rút số tiền ? (biết khoảng thời gian bác Mạnh không rút tiền ra) A 5436566,169 đồng B 5436521,164 đồng C 5452733,453 đồng D 5452771,729 đồng Đáp án C Phương pháp giải: Áp dụng công thức lãi kép T = A ( + m% ) cho giai đoạn n Lời giải: Số tiền bác Mạnh có sau tháng gửi ngân hàng T1 = ( 1+ 0, 7% ) triệu đồng Số tiền bác Mạnh có sau tháng T2 = T1 × ( 1+0,9% ) triệu đồng Số tiền bác Mạnh có sau tháng T3 = T2 × ( 1+0, 6% ) triệu đồng Vậy sau năm gửi tiền, bác Mạnh rút số tiền T3 = 5452733, 453 đồng Câu 38: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Ông V gửi tiết kiệm 200 triệu đồng vào ngân hàng với hình thức lãi kép lãi suất 7,2% năm Hỏi sau năm ông V thu số tiền (cả vốn lẫn lãi) gần với số sau đây? A 283.145.000 đồng B 283.155.000 đồng C 283.142.000 đồng D 283.151.000 đồng Đáp án C Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức lãi kép tốn lãi suất: T = P ( + r ) Lời giải: Số tiền mà ông V thu sau năm 200.( + 7, 2% ) = 283,142 triệu đồng n Câu 39: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Hai người A, B chạy xe ngược chiều xảy va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều thêm quãng đường dừng hẳn Biết sau va chạm, người di chuyển tiếp với vận tốc v1 ( t ) = − 3t mét giây, người lại di chuyển với vận tốc v2 ( t ) = 12 − 4t mét giây Tính khoảng cách hai xe dừng hẳn A 25 mét B 22 mét C 20 mét D 24 mét Đáp án D v1 = − 3t Xe A dừng hẳn ⇔ v1 = ⇔ − 3t = ⇔ t = 2 ⇒ S1 = ∫ ( − 3t ) dt = v2 = 12 − 4t Xe B dừng hẳn ⇔ v2 = ⇔ 12 − 4t = ⇔ t = 3 ⇒ S = ∫ ( 12 − 4t ) dt = 18 Khoảng cách xe là: + 18 = 24 Câu 40: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s tăng tốc với gia tốc a(t) = 6t + 12t2 (m/ s2) Quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 4300 98 m m A B 4300 m C D 11100 m 3 Đáp án D Câu 1: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lòng đáy cốc 6cm , chiều cao lòng cốc 10cm đựng lượng nước Tính thể tích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy A 240cm B 240πcm3 C 120cm D 120πcm3 Câu 1: Đáp án A R h h  2R  2R h 2R tan ϕ V = ∫ ( R − x ) dx = =  2R − ÷= −R R 2R  3 h 2.62.10 ) Do V = = 240cm3 R Câu 42: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Hùng tiết kiệm để mua guitar Trong tuần đầu tiên, để dành 42 đô la, tuần tiết theo, thêm đô la vào tài khoản tiết kiệm Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 đô la Hỏi vào tuần thứ anh có đủ tiền để mua guitar đó? A 47 B 45 C 44 D 46 Đáp án D (Với h = MN; tan ϕ = Ta có 42 + 8n = 4000 ⇒ n = 44, 75 Suy đến tuần thứ 46 anh Hùng đủ tiền mua đàn Câu 43: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t + 6t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 180 (m/s) B 36 (m/s) C 144 (m/s) D 24 (m/s) Đáp án B  13 2 Ta có v( t) = s'( t) =  − t + 6t ÷' = −t + 12t = 36 − ( t − 6) ≤ 36   Suy vmax = 36m/ s Dấu “=” xảy t = ... + r ) ⇒ A = An ( + r ) Cách giải: Kỳ khoản toán năm sau ngày mua 5.000.000 đồng, qua năm toán 6.000.000 đồng, qua năm toán 10.000.000 đồng qua năm toán 20.000.000 đồng Các khoản tiền có lãi Do... 36   v = 36m/ s Suy max Dấu “=” xảy t = Câu 36: (Chuyên Đại Học Vinh -2018) Sau tháng thi cơng cơng trình xây dựng Nhà học thể dục trường X thực khối lượng công việc Nếu tiếp tục với tiến độ... 12 ) − N ( ) ⇒ N ( 12 ) = 2000 ln13 + 5000 ≈ 10130 Câu 6:( Chuyên Thái Bình Lần 3 -2018) Một giải thi đấu bóng đá quốc gia có 16 đội thi đấu vòng tròn lượt tính điểm Hai đội đấu với trận Sau trận