NHỊ THỨC NEWTON

Nhị Thức EBOOK ĐƯỢC LATEX VÀ PHÁT HÀNH MIỄN PHÍ Special Edition  Nhị Thức  NHỊ THỨC NEWTON TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN NHỊ THỨC NEWTON THE BINOMIAL THEOREM TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Ngày 10 tháng 12 năm 2019 Tóm tắt nội dung Trong chương trình phổ thơng lớp 11 làm quen với định lý nhị thức, hay ta hay gọi công thức nhị thức Newton theo dạng tập tìm hệ số khai triển, chứng minh đẳng thức tổ hợp Tuy nhiên theo công thức dạng tốn tương đối hay khó mà bạn khơng tìm hiểu sâu, mà chuyên đề này, đề cập tới gần đầy đủ dạng toán bạn gặp đề thi THPT Quốc Gia hay đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh mảng không chun, nhằm giúp bạn có nhìn bao quát chủ đề Để hoàn thành viết này, không nhắc tới trợ giúp đóng góp từ bạn bè mình, xin gửi lời cảm ơn tới Bạn Doãn Quang Tiến - Đại Học KHTN TP.HCM Bạn Nguyễn Mai Hoàng Anh - Trường THPT Thực Hành Cao Nguyên - Đắk Lắk Bạn Ngô Nguyên Quỳnh - Đại học Sư Phạm Quy Nhơn Thầy Trần Văn Dũng - Tư Duy Mở Trong viết có sử dụng tư liệu ngồi nước, bạn đọc xem phần cuối tài liệu Mọi ý kiến đóng góp thắc mắc vui lòng gửi NGUYỄN MINH TUẤN Email tuangenk@gmail.com Facebook fb.com/tuankhmt.fpt Fanpage fb.com/OlympiadMathematical/ 1.1 Kí hiệu tổ hợp Hệ số nhị thức Hệ số nhị thức ký hiệu n k hệ số x k khai triển nhị thức n ( x + 1) n = ∑ k =0 n k x k n số tổ hợp n chập k (n choose k) Lưu ý có số quốc gia châu Á có Việt Nam, k sách thị trường, tài liệu thường kí hiệu Cnk , nhiên tài liệu viết theo quy n ước quốc tế k Ta đọc 1.2 Cơng thức tổ hợp Trong Tốn học, tổ hợp cách chọn phần tử từ nhóm lớn mà không phân biệt thứ tự Trong trường hợp nhỏ đếm số tổ hợp Ví dụ cho ba loại quả, táo, cam lê, có ba cách kết hợp hai loại từ tập hợp này: táo lê; táo cam; lê cam Theo định nghĩa, tổ hợp chập k n phần tử tập tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập gồm k phần tử riêng biệt thuộc S không thứ tự Số tổ hợp chập k n phần tử với hệ số nhị thức Ta có n n ( n − 1) ( n − k + 1) n! = = k k ( k − 1) k!(n − k)! TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC k 2.1 n, k > n kết Chú ý n! = 1.2 n quy ước 0! = Tam giác Pascal hình thành cơng thức nhị thức Newton Sự hình thành cơng thức nhị thức Các trường hợp đặc biệt định lý nhị thức biết đến từ vào kỷ thứ trước Cơng ngun nhà tốn học Hy Lạp Euclid đề cập đến trường hợp đặc biệt định lý nhị thức cho số mũ Các hệ số nhị thức, đại lượng tổ hợp biểu thị số cách chọn k đối tượng số n mà khơng thay thế, nhà tốn học Ấn Độ cổ đại quan tâm Tài liệu tham khảo sớm vấn đề kết hợp Chandahsastra, nhà thơ trữ tình Ấn Độ Pingala (khoảng năm 200 trước Cơng ngun), có đề cập tới phương pháp giải vấn đề Nhà bình luận Halayudha từ kỷ thứ 10 sau Cơng ngun giải thích phương pháp cách sử dụng cơng cụ tam giác Pascal Vào kỷ thứ sau Cơng ngun, nhà tốn học Ấn n! Độ biểu thị giá trị hệ số nhị thức theo công thức , điều đưa tài liệu Lilavati (nk)!k! Bhaskara vào kỷ thứ 12 Công thức định lý nhị thức bảng hệ số nhị thức, tìm thấy tác phẩm Al-Karaji , nhà tốn học Al-Samaw’al trích dẫn tác phẩm "al-Bahir" ơng Al-Karaji mơ tả mơ hình tam giác hệ số nhị thức đưa lời chứng minh cho định lý nhị thức tam giác Pascal phương pháp quy nạp toán học Khai triển nhị thức với đa thức có bậc nhỏ biết đến cơng trình tốn học kỷ 13 nhà toán học Trung Quốc Yang Hui Chu Shih-Chieh Năm 1544, Michael Stifel giới thiệu thuật ngữ "hệ số nhị thức" cách sử dụng chúng để biểu diễn (1 + a)n (1 + a)n thông qua (1 + a)n−1 (1 + a)n−1 cách sử dụng "tam giác Pascal" Tuy có nhiều nhà tốn học nghiên cứu định lý nhị thức, mang tên Newton ý tưởng Newton khơng dừng lại việc áp dụng công thức cho trường hợp số mũ số nguyên dương mà cho số mũ bất kì: số dương, số âm, số nguyên phân số Chính ý tưởng cho ý nghĩa lớn lao việc phát triển toán học Các nhà toán học đương thời thấy tầm quan trọng công thức công thức áp dụng rộng rãi nhiều cơng trình nghiên cứu tốn học, đặc biệt đại số giải tích Nhân phải nói thêm cơng thức nhị thức Newton khơng phải đóng góp lớn Newton cho tốn học Newton đóng góp nhiều cho việc mở đầu hướng tốn học cao cấp, phép tính đại lượng vơ bé Và đôi lúc Newton coi người sáng lập ngành Giải tích tốn học 2.2 Câu chuyện nhị thức Newton Để ghi nhớ công lao Isaac Newton (1642 – 1727) việc tìm công thức khai triển nhị thức sau, gọi nhị thức Newton ( x + 1) m = + m m ( m − 1) m (m − 1) (m − 2) 3.2.1 m x+ x + + x 1! 2! m! (1) Trên bia mộ Newton tu viện Wesminster (là nơi an nghỉ Hoàng gia người tiếng nước Anh) người ta khắc họa hình Newton với nhị thức Newton Vậy có phải lồi người khơng biết cơng thức khai triển nhị thức trước có phát minh nhà bác học vĩ đại ? Theo văn lưu giữ từ lâu trước Newton, từ 200 năm trước Cơng ngun nhà tốn học Ấn Độ quen biết với bảng tam giác số học Trong tác phẩm nhà toán học Trung Quốc Chu Sinh viết từ năm 1303 người ta tìm thấy bảng số sau 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 15 1 21 35 35 21 1 28 56 70 56 28 Nguyễn Minh Tuấn - Nhị thức Newton ứng dụng Rõ ràng hệ số cơng thức khai triển nhị thức Newton từ cấp đến cấp 8, dù nhà tốn học khơng nói cho hệ số công thức tổng quát chúng, theo cách thức lập bảng ơng, ta dễ dàng tìm quy luật cho phép viết hàng Vào nửa đầu kỉ XV tác phẩm chìa khóa số học viết tiếng Ả rập nhà toán học, thiên văn học Xamacan có tên Giêm Xit-Giaxedin Casi người ta lại gặp tam giác số học mà tác giả gọi tên rõ hệ số nhị thức với dẫn cách thành lập hàng nhị thức Với lối dẫn (khơng chứng minh) Casi cho ta khả khai triển nhị thức cấp Có thể coi phát biểu văn lịch sử định lí nhị thức Newton Ở châu Âu, tam giác số học tìm thấy cơng trình nhà tốn học người Đức Stiffel M Công bố vào năm 1544 Trong cơng trình dẫn hệ số nhị thức cấp 17 Gần trăm năm sau, hoàn toàn độc lập với nhau, Các nhà tốn học người Anh Bơ-rit-gơn (1624), nhà tốn học Pháp Fermat (1636) nhà toán học Pháp Pascal (1654) đưa cơng thức hồn hảo hệ số nhị thức Newton Đặc biệt cơng trình mang tên Luận văn tam giác số học công bố vào năm 1665, Pascal trình bày chi tiết tính chất hệ số tam giác số học từ tam giác số học sử dụng cách rộng rãi tên tam giác Pascal đời thay cho tam giác số học Rõ ràng mà nói mặt lịch sử tam giác số học nhà tốn học Á đơng xét đến trước Pascal nhiều Vậy vai trò Newton đâu q trình hình thành cơng thức nhị thức Newton ? Năm 1676 thư thứ gửi Ô-đen Hiaro – Chủ tịch Viện Hàn Lâm hồng gia Anh, Newton đưa cơng thức (1) mà khơng dẫn giải cách chứng minh Sau lâu thư thứ hai gửi đến Viện Hàn Lâm, Newton trình bày rõ ràng cách ơng đến cơng thức Thì cách Newton tìm cơng thức Newton từ năm 1665 mà ông 22 tuổi Nhưng dù việc đưa trình cơng thức Newton khơng nói điều cho nhà tốn học đương thời 2.3 Tam giác Pascal Trong toán học, tam giác Pascal mảng tam giác hệ số nhị thức Trong phần lớn giới phương Tây, đặt theo tên nhà tốn học người Pháp Blaise Pascal, nhà toán học khác nghiên cứu hàng kỷ trước Pascal Ấn Độ, Ba Tư (Iran), Trung Quốc, Đức Ý Các hàng tam giác Pascal liệt kê theo quy ước bắt đầu hàng n = (hàng 0) Các mục hàng đánh số từ đầu bên trái với k = thường đặt so le so với số hàng liền kề Tam giác xây dựng theo cách sau Trong hàng (hàng cùng), có số Mỗi số hàng xây dựng cách thêm số bên trái với số sang bên phải, coi mục trống Ví dụ số ban đầu hàng (hoặc số khác) (tổng 1), số hàng thứ ba thêm vào để tạo số hàng thứ tư Hay ta hiểu đơn giản • Ở hàng đầu tiên, viết số • Ở hàng tiếp theo, viết hai số • Tiếp tục hàng tiếp theo, số số cuối 1; số bên tổng hai số đứng hàng phía Ví dụ + = 2, + = 3, + = 3, + = 4, + = 6, + = Ta có sơ đồ sau n=0 n=1 1 n=2 n=3 3 n=4 n = 5 10 10 Nhận xét i) Xét hàng thứ nhất, ta có = ,1 = TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC ii) Ở hàng thứ 2, ta có = ,2 = ,1 = iii) Ở hàng thứ 3, ta có = ,3 = ,3 = ,1 = Như số hàng thứ n tam giác Pascal dãy gồm (n + 1) số n n n n n , , , , , n−1 n Chúng ta dùng tam giác số Pascal để khai triển biểu thức ( x + y)n ( x − y)n sau Khai triển ( x + y)n 1 1 3 1 1 10 10 → → → → → → ( x + y )0 ( x + y )1 ( x + y )2 ( x + y )3 ( x + y )4 ( x + y )5 =1 = x+y = x2 + 2xy + y2 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4 = x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 + 5xy4 + y5 → → → → → → ( x − y )0 ( x − y )1 ( x − y )2 ( x − y )3 ( x − y )4 ( x − y )5 =1 = x−y = x2 − 2xy + y2 = x3 − 3x2 y + 3xy2 − y3 = x4 − 4x3 y + 6x2 y2 − 4xy3 + y4 = x5 − 5x4 y + 10x3 y2 − 10x2 y3 + 5xy4 − y5 Khai triển ( x − y)n 1 1 1 3 1 10 10 Chúng ta đánh số hàng tam giác Pascal theo thứ tự bắt đầu hàng số 0, tiếp đến hàng số 1, hàng số 2, v.v Còn hàng, xếp thứ tự số bắt đầu số thứ 0, tiếp đến số thứ 1, số thứ 2, v.v Chúng ta gọi số thứ k hàng thứ n pn,k Từ suy cơng thức để xây dựng tam giác Pascal pn−1,k−1 + pn−1,k = pn,k Ta có sơ đồ → → → → → → Hàng thứ Hàng thứ Hàng thứ Hàng thứ Hàng thứ Hàng thứ Từ ta có cơng thức tổng qt pn,k pn,k = n k 1 1 1 3 1 1 10 10 = n! k!(n − k )! 5! 1×2×3×4×5 = = = 10 2!3! 1×2×1×2×3 Ngồi từ cơng thức xây dựng tam giác Pascal, ta có cơng thức sau Ví dụ p5,2 = n k = n−1 n−1 + k−1 k Công thức người ta gọi theo tên nhà tốn học Pascal - Công thức Pascal 2.4 Chứng minh công thức tổng quát pn,k công thức nhị thức Newton Bây chứng minh quy nạp theo biến số n công thức sau pn,k = n k = n! k!(n − k)! Nguyễn Minh Tuấn - Nhị thức Newton ứng dụng 0! , công thức với trường hợp n = Chúng ta lưu ý 0! 0!0! Giả sử công thức với trường hợp n N Bây ta chứng minh công thức với trường hợp n = N + Thật vậy, với trường hợp k = k = N + ta có Với n = 0, có p0,0 = = p N +1,0 = p N +1,N +1 = = ( N + 1) ! = 0!( N + 1)! N+1 N+1 N+1 = Với trường hợp k N ta có p N +1,k = p N,k−1 + p N,k Theo giả thiết quy nạp cơng thức với trường hợp n = N, mà p N,k−1 = N k−1 = N! ,p = (k − 1)!( N − k + 1)! N,k N k = N! k!( N − k)! Từ suy N! N! + (k − 1)!( N − k + 1)! k!( N − k)! N!k N!( N − k + 1) = + k!( N − k + 1)! k!( N − k + 1)! N!( N + 1) ( N + 1) ! = = = k!( N − k + 1)! k!( N − k + 1)! p N +1,k = p N,k−1 + p N,k = N+1 k Như chứng minh công thức cho trường hợp n = N + Tóm lại, theo nguyên lý quy nạp chứng minh công thức cho hệ số tam giác Pascal pn,k = 2.5 n k = n! k!(n − k)! Chứng minh công thức nhị thức Newton Chứng minh Bây dùng quy nạp để chứng minh định lý khai triển nhị thức Newton ( a + b)n = n ∑ k =0 n n−k k a b = k n n n n −1 n n−k k n n a + a b + + a b + + b k n Với n = n = hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Giả sử công thức trường hợp n N, với N 1, ta chứng minh trường hợp n = N + Thật vậy, ta có ( x + y) N +1 = ( x + y)( x + y) N = ( x + y)( x N + p N,1 x N −1 y + p N,2 x N −2 y2 + · · · + p N,N −2 x2 y N −2 + p N,N −1 xy N −1 + y N ) = x N +1 + p N,1 x N y + p N,2 x N −1 y2 + · · · + p N,N −2 x3 y N −2 + p N,N −1 x2 y N −1 + xy N + x N y + p N,1 x N −1 y2 + p N,2 x N −2 y3 + · · · + p N,N −2 x2 y N −1 + p N,N −1 xy N + y N +1 Để ý theo công thức xây dựng tam giác Pascal ta có p N,1 + = p N +1,1 , p N,2 + p N,1 = p N +1,2 , , p N,N −1 + p N,N −2 = p N +1,N −1 , + p N,N −1 = p N +1,N , từ suy ( x + y) N +1 = x N +1 + p N +1,1 x N y + p N +1,2 x N −1 y2 + · · · + p N +1,N −1 x2 y N −1 + p N +1,N xy N + y N +1 Vậy chứng minh công thức cho trường hợp n = N + Theo nguyên lý quy nạp chứng minh xong định lý khai triển nhị thức Newton ( x + y)n = x n + pn,1 x n−1 y + pn,2 x n−2 y2 + · · · + pn,n−2 x2 yn−2 + pn,n−1 xyn−1 + yn = xn + n n −1 n n −2 n n x y+ x y +···+ x y n −2 + xyn−1 + yn n−2 n−1 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Hoặc ta có lời giải sử dụng tam giác Pascal nhìn tường minh sau Lời giải Sử dụng phương pháp quy nạp, ta thấy n = 0, 1, đẳng thức đúng, ta giả sử đẳng thức với n − tức n −1 n − n −1− i i ( x + y ) n −1 = ∑ x y i i =0 Khi ( x + y)n = ( x + y)( x + y)n−1 = ( x + y) n −1 n − n −1− i i x y i ∑ i =0 Sử dụng tính chất phân phối, ta n −1 x ∑ i =0 n −1 n − n −1− i i n − n −1− i i n −1 n − n − i i n −1 n − n −1− i i +1 x y +y ∑ x y = ∑ x y +∑ x y i i i i i =0 i =0 i =0 Bây ta biến đổi chút để đưa tổng, ta n −1 ∑ i =0 n − n − i i n −1 n − n −1− i i +1 x y +∑ x y i i i =0 n −1 = n n − n −i i n − n −i i x y +∑ x y i i−1 i =1 ∑ i =0 = n−1 n n − n n −1 n − n − i i n −1 n − n − i i x y + y x y +∑ x +∑ i−1 n−1 i i =1 i =1 = n − n n −1 x +∑ i =1 n−1 n−1 + i i−1 x n −i yi + n−1 n y n−1 Khi sử dụng cơng thức Pascal ta n − n n −1 x +∑ i =1 n−1 n−1 + i i−1 x n −i yi + = n − n n −1 n n − i i n−1 n x +∑ x y + y i n−1 i =1 = n n n −1 n n − i i n n x +∑ x y + y i n i =1 n = ∑ i =0 n−1 n y n−1 n n −i i x y i n−1 Chú ý bước tiếp theo, ta sử dụng công thức = n n−1 n−1 = n n Như định lý chứng minh 3.1 Một số tính chất Nhắc lại khai triển nhị thức Newton Trước tiên ta có cơng thức khai triển nhị thức Newton phát biểu sau ĐỊNH LÝ (3.1) Với a, b số thực n số nguyên dương, ta có ( a + b)n = n ∑ k =0 n n−k k a b = k n n n n −1 n n−k k n n a + a b + + a b + + b k n Quy ước a0 = b0 = Công thức gọi công thức nhị thức Newton (1) Nguyễn Minh Tuấn - Nhị thức Newton ứng dụng Trong biểu thức vế phải cơng thức (1) ta có a) Số hạng tử n + b) Số hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n, tổng số mũ a b hạng tử n c) Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối HỆ QUẢ Với a = b = 1, ta có 2n = n n n + + + n Với a = 1; b = −1, ta có = n n n n − + + (−1)k + + (−1)n k n CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN TỚI KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON n k n n + k k+1 k = n k = n k+1 k n n−k = n+1 , (n k+1 1) n ( n − 1) ! n−1 k.n! = =n k−1 (n − k)!k! ( n − k ) ! ( k − 1) ! = k.n! n+1 n ( n − 1) ! = = n+1 k+1 (k + 1) (n − k)!k! ( n + 1) ( n − k ) ! ( k + 1) ! NGỒI RA TA CỊN CĨ MỘT SỐ CƠNG THỨC KHÁC NHƯ SAU • 2n = n n n + + + n • 2n −1 = n n n n + + + n2 • 2n −1 = n n n + + + Ngồi từ cơng thức k n k n−1 k−1 =n n n −1 ta mở rộng công thức sau n+2 k+2 n n n +2 + k k+1 k+2 n n n n +3 +3 + k k+1 k+2 k+3 3.2 +1 = = n+3 k+3 Dấu hiệu toán sử dụng nhị thức Newton toán chứng minh đẳng thức Sau số dấu hiệu giúp ta nhận biết dạng toán phần này, dạng toán hướng dẫn kỹ phần sau Một số dấu hiệu n n + Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có ∑ với i số tự nhiên liên tiếp i i =1 n n + Trong biểu thức có ∑ i (i − 1) ta dùng đạo hàm (i ∈ N), ngồi i i =1 n • Trong biểu thức có ∑ (i + k ) i =1 n • Trong biểu thức có ∑ ak i =1 n i n i ta nhân vế với x k lấy đạo hàm ta chọn giá trị x = a thích hợp ... lúc Newton coi người sáng lập ngành Giải tích tốn học 2.2 Câu chuyện nhị thức Newton Để ghi nhớ công lao Isaac Newton (1642 – 1727) việc tìm cơng thức khai triển nhị thức sau, gọi nhị thức Newton. .. a b + + b k n Quy ước a0 = b0 = Công thức gọi công thức nhị thức Newton (1) Nguyễn Minh Tuấn - Nhị thức Newton ứng dụng Trong biểu thức vế phải công thức (1) ta có a) Số hạng tử n + b) Số hạng... nhận biết ta sử dụng đến cơng thức Nhị thức Newton, sau giải dạng tập phần Các dạng toán liên quan tới nhị thức newton 4.1 Bài toán khai triển nhị thức chứng minh đẳng thức Đầu tiên ta tìm hiểu thuật