BÀI TOÁN VẬN DỤNG ĐẠO HÀM PHẦN 1

CHƯƠNG 01: BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI Đầu tiên xin nhắc lại kiến thức đạo hàm, phần kiến thức chương trình tốn THPT lớp 11 học kì II Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số lim x → x0 y = f ( x) f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 tồn giới hạn y = f ( x) x0 f ' ( x0 ) Lưu ý: Nếu hàm số có đạo hàm khoảng chưa Các quy tắc tính đạo hàm Chú ý: điểm x0 ∈ ( a; b ) hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm hàm số y ' ( x0 ) = lim Ký hiệu xác định khoảng ( a; b ) ( a; b ) liên tục khoảng ngược lại u = u ( x) ,v = v ( x) • ( u ± v ) ' = u '± v ' • ( u.v ) ' = u '.v + u.v ' ( ku ) ' = ku ' ' ' k v '  u  u '.v − v '.u k ữ = v ữ = ; ( v ≠ ) v v v v BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP Hàm số Hàm số hợp ( C) ' = ( x) ' = (C số) ( x ) ′ = α x α ( u ) ′ = α u α α −1  ′  ÷ =− x  x với x≠0 α −1 u′  ′  ÷ =− u u u′ với u≠0 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ( x )′ = 21x ( u ) ′ = 2u′u với x>0 với u>0 ( sin x ) ′ = cos x ( sin u ) ′ = u′.cos u ( cos x ) ′ = − sin x ( cos u ) ′ = −u′.sin u ( tan x ) ′ = cos x ( cot x ) ′ = − ( ln x ) ′ = x≠ với sin x với π + kπ x ≠ kπ x x>0 với ( log a x ) ′ = x>0 x ln a với ex ′ = ex ( ) ( a ) ′ = a ln a x ( tanu ) ′ = u′ cos u ( cot u ) ′ = − u≠ với u sin u u′ ( ln u ) ′ = u với π + kπ u ≠ kπ u>0 với u′ ( log a u ) ′ = u>0 u ln a với eu ′ = u′.eu ( ) ( a ) ′ = u '.a ln a x u u Tiếp theo xin trình bày cách tìm GTLN, GTNN hàm số biến đạo hàm, kỹ quan trọng để ứng dụng giải Bài toán thực tế Định nghĩa GTLN, GTNN y = f ( x) Cho hàm số xác định khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng) f ( x ) ≤ f ( x0 ) , ∀x ∈ K f ( x0 ) x0 ∈ K + Nếu có cho gọi giá trị lớn hất hàm số max y = f ( x0 ) K khoảng K Kí hiệu: f ( x ) ≥ f ( x0 ) , ∀x ∈ K f ( x0 ) x0 ∈ K + Nếu có cho gọi giá trị nhỏ hất hàm số y = f ( x0 ) K khoảng K Kí hiệu: Phương pháp tìm GTLN, GTNN Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng K: Phương pháp: Lập bảng biến thiên khoảng K, nhìn để kết luận max, HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang y = f ( x) [ a; b ] : Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên khoảng kết luận Phương pháp 2: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] ta có bước làm sau: y = f ( x) Tính đạo hàm hàm số cho f '( x ) = f '( x) x1; x2 ; ; xn [ a; b ] Tìm điểm đoạn , không xác định f ( a ) ; f ( x1 ); f ( x2 ); ; f ( xn ); f (b) Tính: Tìm số lớn M số nhỏ m số (ở mục 3) M = max f ( x ) ;m = f ( x ) Khi đó: [ a ;b ] Chú ý: y = f ( x) [ a ;b ] [ a; b ] Hàm số liên tục đoạn hàm số f(x) tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tất giá trị trung gian nằm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f(x) đoạn Nếu đề khơng cho rõ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng, đoạn cón nghĩa ta tìm GTLN, GTNN hàm số tập xác định hàm số min f ( x ) = f ( a ) y ' ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] ⇒  max f ( x ) = f ( b ) y' Tính đạo hàm Nếu min f ( x ) = f ( b ) y ' ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] ⇒  max f ( x ) = f ( a ) y' Tính đạo hàm Nếu Ngồi cần trang bị thêm số kiến thức bất đẳng thức để giải nhanh hơn: Bất đẳng thức Cauchy cho số: A, B ≥ A + B ≥ AB A=B Hai số: Với ta ln có , dấu xảy A, B, C ≥ A + B + C ≥ 3 ABC A=B=C Ba số: Với ta ln có , dấu xảy BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng Một số toán ứng dụng kinh doanh, sản suất sống Ý tưởng giải cố gắng thiết lập hàm số biến sau ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN Bài 1: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Một cơng ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2.000.000 đồng tháng hộ có người thuê lần tăng giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng có thêm hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, cơng ty phải cho th với giá hộ bao nhiêu? A 2.250.000 B 2.350.000 C 2.450.000 D 2.550.000 Lời giải: x ≥ 2000.000 x Gọi x giá thuê thực tế hộ, ( : đồng ; đồng) Ta lập luận sau: Tăng giá 100.000 đồng có hộ bị bỏ trống x − 2.000.000 Tăng giá đồng có hộ bị bỏ trống Theo quy tắc tam xuất ta có số hộ bị bỏ trống là: ( x − 2.000.000 ) x − 2.000.000 = 100.000 50.000 Do cho thuê với giá x đồng số hộ cho thuê là: x − 2.000.000 x 50 − =− + 90 50.000 50.000 Gọi F ( x) hàm lợi nhuận thu cho thuê hộ, (F(x): đồng) x   F ( x) =  − + 90 ÷x = − x + 90 x 50.000  50.000  Ta có: ( số hộ cho thuê nhân với giá cho thuê hộ) F ( x) = − x + 90 x x ≥ 2.000.000 50.000 Bài tốn trở thành tìm GTLN , ĐK: F '( x ) = − x + 90 25.000 F '( x ) = ⇔ − x + 90 = ⇔ x = 2.250.000 25.000 Bảng biến thiên: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang X 2.000.000 F’(x) F(x) + 2.250.000 +∞ Fmax − x = 2.250.000 Suy F(x) đạt giá trị lớn Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng hộ lãi lớn Chọn A Nhận xét: F ( x) = − x + 90 x 50.000 Sau tìm hàm Ta khơng cần phải khảo sát vẽ bảng biến thiên Đề cho bốn đáp án x, ta dùng phím CALC MTCT để thay giá trị vào, làm cho F(x) lớn giá trị cần tìm Bài 2: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng Phú Thọ với giá bán 50.000 đồng Với giá bán cửa hàng bán khoảng 40 bưởi Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 5000 đồng số bưởi bán tăng thêm 50 Xác định giá bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu 30.000 đồng A 44.000đ B 43.000đ C 42.000đ D 41.000đ Lời giải: 30.000 ≤ x ≤ 50.000 Gọi x giá bán thực tế bưởi Đoan Hùng, (x: đồng; đồng) Ta lập luận sau: Giá 50.000 đồng bán 40 bưởi Giảm giá 5.000 đồng bán thêm 50 Giảm giá 50.000 – x bán thêm quả? Theo quy tắc tam xuất số bán thêm là: 50 = ( 50000 − x ) ( 50000 − x ) 5000 100 Do Số bưởi bán tương ứng với giá bán x: 1 40 + ( 50000 − x ) = − x + 540 100 100 F ( x) Gọi F ( x) hàm lợi nhuận thu ( : đồng) HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang   F ( x) =  − x + 540 ÷ ( x − 30.000 ) = − x + 840 x − 16.200.000 100  100  Ta có: Bài tốn trở thành tìm GTLN F ( x) = − x + 840 x − 16.200.000 100 , Đk: 30.000 ≤ x ≤ 50.000 x + 840 50 F ' ( x ) = ⇔ − x + 840 = ⇔ x = 42.000 50 F '( x ) = − Vì hàm F(x) liên tục F ( 30.000 ) = 30.000 ≤ x ≤ 50.000 nên ta có: F ( 42.000 ) = 1.440.000 F ( 50.000 ) = 800.000 x = 42.000 F ( x) Vậy với đạt GTLN Vậy để cửa hàng thu lợi nhuận lớn giá bán thực tế bưởi Đoan Hùng 42.000 đồng Chọn C Bài Một xe khách từ Việt Trì Hà Nội chở tối đa 60 hành khách chuyến Nếu 5m    30 − ÷   chuyến chở m hành khách giá tiền cho hành khách tính đồng Tính số hành khách chuyến xe để nhà xe thu lợi nhuận chuyến xe lớn nhất.? A 30 B 40 C 50 D 60 Lời giải: (0 < x ≤ 60) Gọi x số hành khách chuyến xe để số tiền thu lớn nhất, Gọi F(x) hàm lợi nhuận thu (F(x): đồng) Số tiền thu : 5x  25  F ( x ) =  300 − ÷ x = 90.000 x − 1500 x + x   Bài tốn trở thành tìm x để F(x) đạt giá trị lớn HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang F ' ( x ) = 90000 − 3000 x + 75 x F ' ( x ) = ⇔ 90000 − 3000 x + Bảng biến thiên X F’(x ) F(x)  x = 120(loai ) 75 x =0⇔  x = 40(t/ m) 40 + 60 − Fmax Vậy để thu số tiền lớn chuyến xe khách phải chở 40 người Chọn B Bài Một công ty chuyên sản xuất thùng phi nhận đơn đặt hàng với yêu cầu thùng phi phải chứa 16π ( m3 ) Hỏi thùng phải có kích thước để sản suất tốn vật liệu nhất? R = 2( m) , h = 4( m) R = 4( m) , h = 2( m) A B R = 3( m ) , h = ( m ) R = 4( m) , h = 4( m) C D Lời giải: Do thùng phi có dạng hình trụ nên: 16 Vtru = π R h = 16π ⇔ h = , ( 1) R Diện tích tồn phần thùng phi là: STp = 2π R + 2π Rh = 2π R ( h + R ) , ( ) Thay (1) vào (2) ta được:  16   16  STp = 2π R  + R ÷ = 2π  + R ÷ R  R   16  4π S 'Tp = 2π  − + R ÷ = ( R − )  R  R 4π S 'Tp = ⇔ ( R − ) = ⇔ R = R Bảng biến thiên R +∞ HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang S’(R ) S(R) − + Smin Vậy để sản xuất thùng phi tốn vật liệu R= 2(m) chiều cao h = (m) Chọn A Bài Gia đình ơng Thanh ni tơm với diện tích ao ni là 1( kg / m ) 100m Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ tôm giống sản lượng tôm thu hoạch khoảng tôm Với kinh nghiệm ( 200 g / m ) nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết thả giảm tơm giống sản lượng tơm thu hoạch 2,2 tôm Vậy vụ tới ông phải thả kg tôm giống để đạt sản lượng tôm cho thu hoạch lớn nhất? (Giả sử khơng có dịch bệnh, hao hụt nuôi tôm giống) 230 kg 70kg 72kg 69kg A B C D Giải: Số Kg tôm giống mà ông Thanh thả vụ vừa qua: 100.1= 100(kg) Gọi x (00 Đặt x số thứ nhất, 02a Bài 52: 60 ( cm ) Một sợi dây kim loại dài cắt thành hai đoạn, đoạn thứ uốn thành hình vng, đoạn thứ hai uốn thành hình tròn Phải cắt sợi dây để tổng diện tích hình vng hình tròn nhỏ Giải: 60 x= ( cm ) π +4 Độ dài cạnh hình vng Đoạn dây uốn thành hình vuông 240 ≈ 33,6 ( cm ) π +4 r= Bán kính đường tròn 30 ( cm ) π +4 Đoạn dây dây uốn thành vòng tròn có độ dài là: 30 − π r 30 x + 2π r = 60 ⇒ x = ;0 < r < π Ta có: 60 ≈ 26, ( cm ) π +4 S = π r + x2 = π r + ( 30 − π r ) Tổng diện tích hình vng hình tròn 30 r= π +4 Dễ thấy S đạt GTNN điểm Bài 53: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn nhau, khơng có nắp phía với thể tích 1,296m Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với kích thước ngăn a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a, ,b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy kính khơng đáng kể a = 3,6cm; b = 0,6cm; c = 0,6cm A HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 48 B C D a = 2,4cm; b = 0,9cm; c = 0,6cm a = 0,9cm; b = 1,2cm; c = 0,6cm a = 1,2cm; b = 1,2cm; c = 0,9cm Giải: V = ( abc ) = 1,296 Ta có: S = ( ac + bc ) + ab + 2ac + bc + ab = 4ac + 3bc + 2ab V = ( abc ) = 1, 296 ⇔ abc = Theo đề a , b, c Smin Bài tốn trở thành tìm để Từ (1) Ta có: 4abc 3abc 2abc S= + + b a c 81 81 81 =4 + + 125 b 125 a 125 c 81   81 4.3.2 =  + + ÷≥ 125  b a c  125 abc ≥ 81 125 (1) (2) với ĐK (2) 81 24 125 81 125 3b  a=   = = ⇒ b a c c = b  Dấu “=” xảy khi: 3b b 81 3b3 81 b = ⇔ = ⇔ b = 1, 125 125 Thay vào (2): a = 0,9; c = 0,6 Vậy Chọn C HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 49 ... ta ln có , dấu xảy BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng Một số toán ứng dụng kinh doanh, sản suất sống Ý tưởng giải cố gắng thiết lập hàm số biến sau ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN Bài 1: HOCTAI.VN – Trang... này: F ( x ) = ( 10 00 − x ) ( 1, 5 + 0,0625 x ) = −0,0625 x + 61x + 15 00 F ( x) Bài toán trờ thành tìm x để đạt GTLN Ta có: F ' ( x ) = −0 ,12 5 x + 61 F ' ( x ) = ⇔ −0 ,12 5 x + 61 = ⇔ x = 488 X... https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 18 A Rộng 6m, dài 12 m, cao 8m Tiền: 216 triệu B Rộng 6m, dài 12 m, cao 8m Tiền: 215 triệu C Rộng 6m, dài 12 m, cao 8m Tiền: 214 triệu D Rộng 6m, dài 12 m, cao 8m Tiền: 213 triệu Giải: