CÁC CÁCH CM HÌNH HỌC 8

CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU: 1/ Sử dụng quan hệ bắc cầu: Chứng minh chúng bằng nhau hoặc cùng bù,cùng phụ với một góc thứ hai Ví dụ: 2/ Sử dụng tính chất của tia phân giác Tia phân giá

MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP TRONG

HÌNH HỌC LỚP 8

I CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU:

1/ Sử dụng quan hệ bắc cầu:

Chứng minh chúng bằng nhau ( hoặc cùng bù,cùng phụ) với một góc thứ hai

Ví dụ:

2/ Sử dụng tính chất của tia phân giác

Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai phần bằng nhau

4/ Sử dụng tính chất của tam giác cân

Tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau

4/ Sử dụng tính chất của đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song tạo với một các tuyến

- Hai góc so le trong bằng nhau

- Các góc đồng vị bằng nhau

5/ Sử dụng tính chất của góc đối đỉnh

Hai góc đối dỉnh thì bằng nhau

6/ Sử dụng tính chất góc có cạnh song song hoặc vuông góc

hai góc có cạnh tương ứng song song (hoặc vuông góc ) thì bằng nhaunếu cùng nhọn

hoặc cùng tù

7/ Sử dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt

Trong hình thang cân hai góc kề một đáy thì bằng nhau

Trong hình bình hành (hình chữ nhật,hình thoi ,hình vuông) hai góc đối bằng nhau

Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau:

Hai tam giác bằng nhau thì các góc tương ứng bằng nhau

9/ Sử dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng :

Hai góc đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau

II CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU:

Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể sử dụng một trong các cách sau

đây

1/ Sử dụng quan hệ bắc cầu

Chứng minh chúng bằng một đoạn thẳng thứ ba

2/ Sử dụng tính chất của tam giác cân

Trong tam giác cân; hai cạnh bên bằng nhau

Trong tam giác đều ba cạnh bằng nhau

3/ Sử dụng tính chất của tam giác vuông

Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh

huyền

4/ Sử dụng tính chất của đường trung trực của đoạn thẳng

Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của

đoạn thẳng

5/ Sử dụng tính chất của tia phân giác của một góc

Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

6/ Sử dụng tính chất đường song song cách đều

Nhiều đường thẳng song song cách đều định ra trên một cát tuyến bất kì những đoạn

thẳng bằng nhau

8/ Sử dụng các tính chất của tứ giác đặc biệt

- Trong hình thang cân thì:

Hai cạnh bên bằng nhau

Hai đường chéo bằng nhau

Trong hình bình hành (hình chữ nhật,hình thoi,hình vuông):

Các cạnh đối bằng nhau

Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Trong hình chữ nhật, hình vuông thì hai đường chéo bằng nhau

9/ Sử dụng tính chất đối xứng:

Hai đoạn thẳng đối xứng nhau qua một điểm thì bằng nhau

Hai điểm đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì bằng nhau

III CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Để chứng minh hai đường thẳng song song thì ta có thể sử dụng một trong các cách

sau:

1/ Sử dụng điều kiện song song:

Khi hai đường thẳng tạo với một cát tuyến:

- Hai góc so le trong ( so le ngoài ) bằng nhau; hoặc

- Hai góc đồng vị bằng nhau; hoặc

- Hai góc trong cùng phía bù nhau

Thì hai đường thẳng song song với nhau

2/ sử dụng liên hệ với đường thẳng thứ ba

Hai đường thằng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ thứ ba thì song song với

nhau

3/ Sử dụng tính chất của đường trung bình

Đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh còn

lại

Đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh bên của hình thang thì song song với

cạnh đáy

4/ Sử dụng tính chất của tứ giác đặc biệt:

Trong hình thang hai cạnh đáy song song với nhau

Trong hình bình hành (hình chữ nhật;hình thoi,hình vuông) thì các cạnh đối song song

5/ Sử dụng định lí đảo của định lí Ta let

- nếu một đường thẳng định ra trên hai cạnh của một tam giác những đoạn thẳng

tương ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn lại

- ba dường thẳng trong đó có hai đường thẳng song, định ra trên hai cát tuyến bất

kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng ấy song song với nhau

6/ Sử dụng tính chất đối xứng:

Hai đường thẳng đối xứng với nhau qua một điểm thì song song với nhau

7/ Sử dụng Tiên đề Ơ Clit và phương pháp chứng minh phản chứng:

- Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau ta giả sử chúng cắt

nhau tại một điểm A và lí luận để đi đến một điều vô lí (hoặc trái với giả thiết)

- Ta cũng có thể làm như sau: qua điểm A thuộc a; kẽ đường thẳng a’//b; sau đó

chứng minh a’ trùng với a

IV CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

* Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau; ta có thể sử dụng một trong

các cách sau đây

1/ Sử dụng tính chất của các đường phân gíac

Các tia phân giác của của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau

2/ Sử dụng tính chất của tam giác cân

Trong tam giác cân thì đường trung tuyến ( hoặc phân giác ) kẽ từ đỉnh cũng là đường

cao ( vuông góc với đáy)

3/ Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường cao của tam giác

Trong một tam giác ba đường cao đồng quy tại trực tâm do đó đường thằng đi qua trực

tâm thì vuông góc với cạnh đối diện với đỉnh ấy

4/ Sử dụng tính chất của tứ giác đặc biệt:

Trong hình thoi ( hình vuông ) hai đường chéo vuông góc với nhau

5 Sử dụng tính chất của tam giác vuông

Để chứng minh hai đuờng thẳng vuông góc với nhau,ta chứng minh chúng là hai cạnh

góc vuông

V CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG:

Để chứng minh ba ba đểm chẳng hạn A;B;C theo thứ tự đó thẳng hàng trên cùng (nằm

một đường thẳng); ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

1/ Sử dụng điều kiện điểm nằm giữa hai điểm:

A;B;C thẳng hàng khi và chỉ khi AC = AB + BC

2/ Sử dụng Tiên đề Ơ clit:

Ta chỉ cần chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng nào đó

3/ Sử dụng tính chất của hai góc kề bù

Cần chúng minh  0

180

ABC 

4/ Sử dụng các đường thẳng đặc biệt:

cần chứng minh A,B,C cùng nằm trên một đường thẳng nào đó; chẳng hạn cùng thuộc

đường trung trực của đoạn thẳng; tức là cùng cách đều hai mút của đoạn thẳng ấy,

hoặc cùng thuộc tia phân giác của một góc, tức là cùng cách đều hai cạnh của góc

VI CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY:

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

1/ Để chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng kia:

trong trường hợp này ta thường đưa bài toán về việc chứng các điểm thằng hàng

2/ Sử dụng tính chất các đường thằng đồng quy trong tam giác

trong tam giác thì ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm, ba đường cao đồng

quy tại trực tâm, ba đừơng phân giác đồng quy tại một điểm, ba đường trung trực đồng

quy tại một điểm

Do vậy để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta cần chứng minh chúng là các trung

tuyến, các đường cao các đường phân giác hay các đường trung trực của tam giác nào

đó

3/ Sử dụng định lí đảo của định lí Ta let mở rộng:

nhiều đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ

lệ thì chúng đồng quy tại một điểm

VII CHỨNG MINH MỘT SỐ HÌNH

1/ Chứng minh tam giác cân:

- Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau

- Chứng minh tam gáic đó cạnh bằng nhau

- Chứng minh tam giác đó hai trong ba đường trung tuyến, phân giác, đường

cao, trung trực ứng với một cạnh là trùng nhau

2/ Chứng minh tam giác đều:

để chứng minh một tam giác đều, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

- Là một tam giác có một góc 600

- Là tam giác có ba cạnh bằng nhau

- Là tam giác có hai góc bằng 600

3/ Chứng minh tam giác vuông

để chứng minh tam giác vuông, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

- Chứng có tổng hai góc bằng 900

- Chứng minh có đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng

- Sử dụng định lí đảo của định lí Pi ta go



2 2 2 0

: 90

ABC AB AC BC  A



4/ Chứng minh hình thang cân:

để chứng minh hình thang cân, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

- Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy là bằng nhau

- Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau.

6/ Chứng minh hình bình hành:

7/ Chứng minh hình chữ nhật

8/ chứng minh hình thoi

9/chứng minh hình vuông

VIII CHỨNG MINH MỘT VÀI HỆ THỨC

1/ Chứng minh các đẳng thức bậc nhất đối với các đoạn thẳng học các góc

( chẳng hạn: AB + CD = EF; ABC EPF GHK  )

Ta đưa về việc chứng minh các đoạn thẳng ( hoặc các góc ) bằng nhau

2/ Chứng minh các đẳng thức có chứa bình phương của các đoạn thẳng:

Trong trường hợp này nên sử dụng các tam giác vuông để áp dụng định lí

Pi ta go

3/ Chứng minh các đẳng thức dạng tích hoặc tỉ số:

chẳng hạn AB.CD = A’B’ C’D’

Nên sử dụng định lí Ta lét hoặc các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

4/ Chứng minh các bất đẳng thức giữa các đoạn thẳng hoặc các góc:

Ta dựa vào các bất đẳng thức tam giác và các định lí liên hệ giữa các cạnh và các góc

trong tam giác:

- Trong tam giác, mỗi cạnh nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu hai của hai cạnh còn

lại

- Trong một tam giác vuông thì cạnh huyền lớn hơn hai cạnh góc vuông

- Nếu từ một điểm ta kẽ đường thẳng không chứa điểm đó thì:

+ Đoạn vuông góc là đoạn ngắn nhất

+ đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại

- Góc ngoài của tam giác thì bằng tổng hai góc tong không kề với nó

Góc ngoài của tam giác thì lớn hơn góc trong không kề với với nó

- trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại