05 HKI 1718 THPT KIM LIEN HN HDG 1718

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MƠN TỐN KHỐI 12 TRƯỜNG THPT KIM LIÊN Năm học: 2017-2018 (Đề thi gồm 06 trang) Thời gian làm 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ tên thí sinh: SBD: Mã đề thi 590 Câu [2H1-1] Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V = a3 B V = a C V = a3 D V = Câu [2D1-2] Cho hàm số y = sin x + cos x + Mệnh đề đúng? 3π + k 2π , k ∈ ¢ A Hàm số đạt cực đại điểm x = − π B Hàm số đạt cực đại điểm x = + k 2π , k ∈ ¢ π C Hàm số đạt cực tiểu điểm x = + k 2π , k ∈ ¢ π D Hàm số đạt cực tiểu điểm x = − + k 2π , k ∈ ¢ Câu [2D1-1] Tìm số điểm cực trị hàm số y = 3x − x3 + x − A B C Câu [2D1-2] Tìm tất giá trị củar tham số m để đồ thị hàm số y = A m = Câu B m = −4 C m ≠ −4 a3 12 D mx − có tiệm cận đứng x+2 D m ≠ [1D1-2] Tìm giá trị lớn M hàm số y = 2sin x − sin x + 11 A M = 12 − B M = 10 + C M = 12 + D M = 10 − Câu [2D1-1] Hàm số y = − x + 3x − đồng biến khoảng đây? A ( −∞; − 1) B ( −1;1) C ( −∞;1) D ( 1; + ∞ ) Câu [2D1-2] Biết đồ thị hai hàm số y = x − y = Tính độ dài đoạn thẳng AB A AB = 2 B AB = Câu C AB = [2D2-2] Tìm tập xác định D hàm số y = log 2017 ( − x ) + ( x − 3)  3 3  A D =  −3; ÷∪  ;3  2 2  Câu 2x −1 cắt hai điểm phân biện A , B x +1 B D = ( −3;3) D AB = −2018 3 3   C D =  −3; ÷∪  ;3 ÷ 2 2   3  D D =  ;3 ÷ 2  [2D1-2]Cho hàm số y = x − x với x ∈ [ 2; +∞ ) Mệnh đề đúng? A Hàm số có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn B Hàm số có giá trị nhỏ giá trị lớn C Hàm số khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn D Hàm số khơng có giá trị nhỏ có giá trị lớn p −q 1 Câu 10 [2D2-2] Cho p , q số thực thỏa mãn: m =  ÷ , n = e p − q , biết m > n So sánh p q e A p < q B p ≥ q C p ≤ q D p > q TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 1/29 Câu 11 [2D2-2] Hình vẽ sau đồ thị ba hàm số y = xα , y = x β , y = xγ (với x > α , β , γ số thực cho trước) Mệnh đề đúng? A β > α > γ B γ > β > α C α > β > γ D β > γ > α y = xα y = xβ y = xγ Câu 12 [2D1-3] Cho hàm số y = x + x − x − Tiếp tuyến song song với đường thẳng x + y − = đồ thị hàm số có phương trình A x + y + = B x + y − = C x + y + = D y = x + Câu 13 [2D1-2] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề sai? A Hàm số đồng biến khoảng ( −3; − 1) B Đồ thị hàm số đường tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng D Hàm số nghịch biến ( 0; 1) ∪ ( 1; ) Câu 14 [2D2-2] Tính tổng S = x1 + x2 biết x1 , x2 giá trị thực thỏa mãn đẳng thức x −3 1 = ÷ 4 A S = −5 2x − x +1 B S = C S = D S = Câu 15 [2H2-3] Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M không gian thỏa mãn hệ thức uuur uuur uuuu r MA + MB + MC = a (với a số thức dương không đổi) là: a A Mặt cầu bán kính R = C Đoạn thẳng độ dài B Đường tròn bán kính R = a a D Đường thẳng Câu 16 [2H2-3] Mặt cầu tâm I bán kính R = 11 ( cm ) cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến đường tròn qua ba điểm A , B , C Biết AB = ( cm ) , AC = ( cm ) , BC = 10 ( cm ) Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng ( P ) A d = 21 ( cm ) B d = ( cm ) C d = ( cm ) D d = 146 ( cm ) Câu 17 [2H2-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A V = 15π a 54 B V = 3π a 27 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C V = 5π a D V = 15π a 18 Trang 2/29 Câu 18 [2D1-2] Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x − x − m − = có hai nghiệm phân biệt 13 A m ≥ −1 m = − B m > −1 13 C m ≥ −1 D m > −1 m = − Câu 19 [2D1-4] Cho Parabol ( P ) : y = x + x − 1, qua điểm M thuộc ( P ) kẻ tiếp tuyến với ( P ) cắt hai trục Ox , Oy hai điểm A , B Có điểm M để tam giác ABO có diện tích A B C D Câu 20 [2H2-3] Cho tứ diện ABCD có cạnh 2a Tính bán kính r mặt cầu tiếp xúc với tất mặt tứ diện 6a 6a 6a 6a A r = B r = C r = D r = 12 Câu 21 [ 2D2-2] Cho hàm số y = esin x Mệnh đề sau sai? A y ′.cos x − y.sin x − y ′′ = B y ′ sin x = sin x.esin x D y ′.cos x − y.sin x − y ′′ = C y ′ = cos x.esin x Câu 22 [2D2-1] Biết log a = ( < a ≠ 1) Tính I = log a A I = B I = 64 C I = 36 D I = D I = b 1− a Câu 23 [2D2-2] Biết log = a, log = b Tính I = log theo a, b b A I = a B I = b a −1 C I = b 1+ a Câu 24 [2H1-2] Cho khối lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân A với AB = a, A′B tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc α Biết thể tích lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 Tính α A α = 45° B α = 70° C α = 60° D α = 30° Câu 25 [2D1-3] Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng khối chóp tứ giác có độ dài cạnh bên số thực dương không đổi Gọi α góc cạnh bên kim tự tháp với mặt đáy Khi thể tích kim tự tháp lớn nhất, tính sin α 3 A sin α = B sin α = C sin α = D sin α = 3 Câu 26 [2D2-2] Tìm n biết x ≠ A n ∈ ∅ 1 1 465 + + + + = với x > 0, log x log 22 x log 23 x log 2n x log x B n = 30 C n = −31 D n = 31 Câu 27 [2D2-2] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , mặt bên tạo với đáy góc 60° Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/29 A S = Câu 28 25π a B S = a2 12 C S = 32π a D S = 8π a [2D1-4] Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng với C qua D , N trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tính thể tích V khối đa diện chứa đỉnh C A V = 6a 36 B V = 6a 72 C V = 6a 72 D V = 6a 36 Câu 29 [2D1-3] Cho số thực dương x , y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = + x 4y A Pmin = 34 B Pmin = 65 C Pmin không tồn D Pmin = Câu 30 [2D2-1] Số hình đa diện lồi hình là: A B C Câu 31 [2D1-1] Trong hàm số sau, hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất? x−2 A y = B y = x + x C y = x + x + x +1 D D y = x − Câu 32 [2D1-1] Tìm số giao điểm hai đồ thị hàm số y = x + y = x + A B C D Câu 33 [2D1-4] Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = sin x − mx nghịch biến ¡ A m < B m ≥ C m ≥ −1 D m > Câu 34 [2H1-1]Người ta nối trung điểm cạnh hình hộp chữ nhật cắt bỏ hình chóp tam giác góc hình hộp hình vẽ sau Hình lại đa diện có số đỉnh số cạnh là: A 12 đỉnh, 24 cạnh B 10 đỉnh, 24 cạnh C 12 đỉnh, 20 cạnh D 10 đỉnh, 48 cạnh Câu 35 [ 2D2-2] Tìm số nguyên n lớn thỏa mãn n360 < 3480 A n = B n = C n = D n = 2 Câu 36 [2D1-3] Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − x + ( 2m − 1) x + đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) 2 ≤m≤ 2 2 C m ≤ − m ≥ 2 A − TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 2 2 B − Trang 4/29 Câu 37 [2D1-2] Tìm số tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số y = A B C x +1 x − 3x − D Câu 38 [2D1-3] Cáp tròn truyền nhiệt nước bao gồm lõi đồng bao quanh lõi đồng lõi cách nhiệt hình r tỉ lệ bán kính độ dày đo đạc thực h nghiệm người ta thấy vận tốc truyền tải tín hiệu vẽ Nếu x = với < x < Nếu bán kính x lõi cách nhiệt cm vật liệu cách nhiệt có bề dày h (cm) để tốc độ truyền tải tín hiệu lớn nhất? A h = e (cm) B h = 2e (cm) C h = (cm) e cho phương trình v = x ln D h = (cm) e Câu 39 [2H1-2] Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh SB , BC , CD , DA Biết thể tích khối chóp S ABCD V0 Tính thể tích khối chóp M QPCN theo V0 A V = V0 B V = V0 16 C V = V0 D V = V0 16 Câu 40 [2H1-2] Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân với đáy AD BC Biết AD = 2a , AB = BC = CD = a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc đoạn AD thỏa mãn HD = 3HA , SD tạo với đáy góc 45° Tính thể tích V khối chóp S ABCD 3a A V = 3a 3 B V = 3a C V = 3a D V = Câu 41 [2D1-3] Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d với a ≠ Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A ( 1; −1) , B ( −1;3) Tính f ( ) A f ( ) = −53 B f ( ) = 17 C f ( ) = −17 D f ( ) = 53 Câu 42 [2H1-1] Số mặt phẳng đối xứng hình lăng trụ đứng có đáy hình vng là: A B C D Câu 43 [2D1-3] Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m ( x + x ) − x − x + = có nghiệm thỏa mãn x ≤ −3 A C Khơng có giá trị m B D Vô số giá trị m Câu 44 [2H1-1] Cho tứ diện OMNP có OM , ON , OP đơi vng góc Tính thể tích V khối tứ diện OMNP 1 A V = OM ON OP B V = OM ON OP C V = OM ON OP D V = OM ON OP TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 5/29 2 Câu 45 [2D1-2] Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = ( m + 1) x − ( m − 1) x − có cực trị A m < ; m ≠ −1 B m ≤ C m > −1 D m ≤ ; m ≠ −1 Câu 46 [2D2-2] Rút gọn biểu thức P = a a : 24 a , với ( a > ) a 1 B P = a A P = a C P = a D P = a Câu 47 [2D2-2] Tìm tất giá trị thực x để đồ thị hàm số y = log 0,5 x nằm đường thẳng y = A < x < B x > C < x ≤ D x ≥ Câu 48 [2D2-3] Theo số liệu từ Tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2015 91, triệu người Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm Việt Nam giai đoạn 2015 − 2050 mức không đổi 1,1% Hỏi đến năm dân số Việt Nam đạt mức 120,5 triệu người? A 2039 B 2040 C 2042 D 2041 Câu 49 [2D1-2] Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số đây: Hàm số hàm số nào? y −1 O A y = ( x + 1) ( x + 2) B y = ( x − 1) ( x + 2) x C y = ( x − 1) ( x − ) D y = ( x − 1) ( x + ) 2 Câu 50 [2D1-2] Đồ thị hàm số hàm số có tâm đối xứng? A y = x − x + B y = x + C y = x − x + 3x D y = x − x + HẾT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 6/29 BẢNG ĐÁP ÁN B 26 B B 27 A C 28 C C 29 D C 30 D B 31 A A 32 D C 33 B A 34 A 10 A 35 B 11 D 36 C 12 A 37 B 13 D 38 A 14 C 39 D 15 A 40 B 16 B 41 D 17 A 42 B 18 D 43 C 19 C 44 A 20 A 45 D 21 A 46 C 22 A 47 A 23 D 48 B 24 C 49 B 25 B 50 C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu [2H1-1] Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = a Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 A V = B V = a a3 C V = Lời giải a3 D V = 12 Chọn B Tam giác ABC tam giác cạnh 2a nên có diện tích S ABC ( 2a ) = = a2 1 Thể tích V khối chóp S ABC là: V = S ABC SA = a 3.a = a 3 Câu [2D1-2] Cho hàm số y = sin x + cos x + Mệnh đề đúng? 3π + k 2π , k ∈ ¢ A Hàm số đạt cực đại điểm x = − π B Hàm số đạt cực đại điểm x = + k 2π , k ∈ ¢ π C Hàm số đạt cực tiểu điểm x = + k 2π , k ∈ ¢ π D Hàm số đạt cực tiểu điểm x = − + k 2π , k ∈ ¢ Lời giải Chọn B π Ta có y ′ = cos x − sin x = ⇔ tan x = ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢ TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 7/29 π 3π + k 2π x = − + k 2π , k ∈ ¢ 4 Mặt khác: y ′′ = − sin x − cos x ; Nên: π  π  π  π  π  y ′′  + k 2π ÷ = − sin  + k 2π ÷− cos  + k 2π ÷ = − sin  ÷− cos  ÷ = − < 4  4  4  4 4  3π   3π   3π   3π   3π y ′′  − + k 2π ÷ = − sin  − + k 2π ÷− cos  − + k 2π ÷ = − sin  − ÷− cos  −          π Do đó, hàm số đạt cực đại điểm x = + k 2π , k ∈ ¢ Hay y ′ = ⇔ x = Câu [2D1-1] Tìm số điểm cực trị hàm số y = 3x − x3 + x − A B C Lời giải Chọn C 2 Ta có: y ′ = 12 x − 24 x + 12 x = 12 x ( x − x + 1)  ÷= >  D Xét y ′ = ⇔ x = Ta thấy y ′ đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x = ⇒ Hàm số có điểm cực trị (cực tiểu) Câu [2D1-2] Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = A m = B m = −4 C m ≠ −4 Lời giải mx − có tiệm cận đứng x+2 D m ≠ Chọn C *TXĐ: D = ¡ \ { −2} mx − mx − ⇒ Để đồ thị hàm số y = *Ta có: lim y = lim có tiệm cận đứng điều kiện là: x →−2 x →−2 x + x+2 lim y = ∞ ⇔ −2m − ≠ ⇔ m ≠ −4 x →−2 Câu [1D1-2] Tìm giá trị lớn M hàm số y = 2sin x − sin x + 11 A M = 12 − B M = 10 + C M = 12 + Lời giải D M = 10 − Chọn C Tập xác định D = R π  Ta có y = 2sin x − sin x + 11 = − cos x − sin x + 11 = 12 − cos  x − ÷ 4  π y = 12 + Dấu " = " xảy cos  x − ÷ = −1 Suy M = max R 4  Câu [2D1-1] Hàm số y = − x + 3x − đồng biến khoảng đây? A ( −∞; − 1) B ( −1;1) C ( −∞;1) D ( 1; + ∞ ) Lời giải Chọn B Tập xác định D = R Đạo hàm y ′ = −3 x + Ta có y ′ > ⇔ −3x + > ⇔ −1 < x < TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/29 Vậy hàm số cho đồng biến khoảng ( −1;1) Câu [2D1-2] Biết đồ thị hai hàm số y = x − y = Tính độ dài đoạn thẳng AB A AB = 2 B AB = 2x −1 cắt hai điểm phân biện A , B x +1 C AB = Lời giải D AB = Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai hàm số cho: 2x −1 = x − 1, ( x ≠ −1) x +1  x = ⇒ y = −1 ⇔ ⇒ Toạ độ giao điểm ( 0; −1) ( 2;1) x = ⇒ y = Vậy độ dài đoạn thẳng AB = 2 Câu [2D2-2] Tìm tập xác định D hàm số y = log 2017 ( − x ) + ( x − 3)  3 3  A D =  −3; ÷∪  ;3  2 2  3 3   C D =  −3; ÷∪  ;3 ÷ 2 2   −2018 B D = ( −3;3) 3  D D =  ;3 ÷ 2  Lời giải Chọn C  −3 < x < 9 − x > 3 3    ⇔ Hàm số xác định ⇔  Vậy tập xác định là: D =  −3; ÷∪  ;3 ÷ 2 2   2 x − ≠  x ≠ Câu [2D1-2]Cho hàm số y = x − x với x ∈ [ 2; +∞ ) Mệnh đề đúng? A Hàm số có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn B Hàm số có giá trị nhỏ giá trị lớn C Hàm số khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn D Hàm số giá trị nhỏ có giá trị lớn Lời giải Chọn A Tập xác định: D =  − 3;0  ∪  3; +∞ Hàm số xác định liên tục với x ∈ [ 2; +∞ ) ) 3x − ; y ′ = ⇔ x = ±1 ; y ′ xác định với x ∈ [ 2; +∞ ) x3 − 3x Thấy y ′ > , ∀x ∈ [ 2; +∞ ) hàm số có giá trị nhỏ x = khơng có giá trị Ta có y ′ = lớn p −q 1 Câu 10 [2D2-2] Cho p , q số thực thỏa mãn: m =  ÷ , n = e p − q , biết m > n So sánh p e q A p < q B p ≥ q C p ≤ q D p > q Lời giải Chọn A TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 9/29 p−q 1 Ta có m =  ÷ e = eq −2 p Theo giả thiết: m > n ⇔ e q − p > e p − q ⇔ q − p > p − 2q (do số e > ) ⇔ p < q Câu 11 [2D2-2] Hình vẽ sau đồ thị ba hàm số y = xα , y = x β , y = xγ (với x > α , β , γ số thực cho trước) Mệnh đề đúng? y = xα y = xβ y = xγ A β > α > γ B γ > β > α C α > β > γ Lời giải D β > γ > α Chọn D Theo hình vẽ đồ thị tương ứng β > , < γ < α < nên suy β > γ > α Câu 12 [2D1-3] Cho hàm số y = x + x − x − Tiếp tuyến song song với đường thẳng x + y − = đồ thị hàm số có phương trình A x + y + = B x + y − = C x + y + = D y = x + Lời giải Chọn A Đường thẳng D : x + y − = viết lại dạng y = −2 x + Suy ra, hệ số góc D −2 Gọi ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Tiếp tuyến song song với D , suy ra: y ′ ( x0 ) = −2  x0 = Þ y0 = −1 Û 3x02 + x0 − = −2 Û x02 + x0 Û   x0 = −2 Þ y =  Tại điểm ( 0; −1) , ta phương trình tiếp tuyến y = −2 ( x − ) − = −2 x − Û x + y + =  Tại điểm ( −2;7 ) , ta phương trình tiếp tuyến y = −2 ( x + ) + = −2 x + (loại, trùng với đường thẳng D ) Vậy, tiếp tuyến cần tìm có phương trình x + y + = Câu 13 [2D1-2] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề sai? x −∞ y′ + y − − +∞ −1 +∞ + +∞ −∞ −∞ A Hàm số đồng biến khoảng ( −3; − 1) B Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận ngang TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 10/29 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒ AO ⊥ ( BCD ) Giả sử mặt cầu tiếp xúc với tất mặt tứ diện có tâm I , bán kính r Ta có VABCD = VI BCD + VI ABC + VI ABD + VI ACD = 4VI BCD = .r.S ∆BCD Ta có VABCD = ( Suy r = 2a ) ( 2a ) ; S ∆BCD = 12 3VABCD 4.S ∆BCD 8a 12 = a = 4a 4 Cách khác Bốn đường cao tứ diện ABCD 2a đồng quy điểm I chia đường cao theo tỉ lệ :1 Vì I điểm cách mặt, hay I tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện Khi bán kính mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt r = TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 2a a = Trang 15/29 Câu 21 [ 2D2-2] Cho hàm số y = esin x Mệnh đề sau sai? A y ′.cos x − y.sin x − y ′′ = B y ′ sin x = sin x.esin x D y ′.cos x − y.sin x − y ′′ = C y ′ = cos x.esin x Lời giải Chọn A Ta có: y ′ = cos x.esin x nên loại C y′ sin x = cos x.esin x sin x = sin x.esin x nên loại B y ′′ = − sin x.esin x + cos x.esin x y ′.cos x − y.sin x − y′′ = cos x.esin x − sin x.esin x − ( − sin x.esin x + cos x.esin x ) = nên loại D Vậy chọn đáp án A Câu 22 [2D2-1] Biết log a = ( < a ≠ 1) Tính I = log a A I = B I = 64 C I = 36 D I = D I = b 1− a Lời giải Chọn A Ta có I = log a = 1 = log a Câu 23 [2D2-2] Biết log = a, log = b Tính I = log theo a, b b A I = a B I = b a −1 C I = b 1+ a Lời giải Chọn D 1 = = Ta có log log − log5 − log b 1 b a = log 6.log = log ⇒ I = = a 1− a Lại có b − b b log log b = = Cách khác: I = log = log log 6 − log − a I = log = Câu 24 [2H1-2] Cho khối lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng cân A với AB = a, A′B tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc α Biết thể tích lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 Tính α A α = 45° B α = 70° C α = 60° D α = 30° Lời giải Chọn C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 16/29 · ′BA Lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ ⇒ A′A ⊥ ( ABC ) ⇒ (·A′B; ( ABC ) ) = A A′A A′A ⇒ α = ·A′BA ⇒ tan α = = AB a (1) a3 1 = A′A.S ABC = A′A AB AC = A′A a.a ⇒ A′A = a 2 Thế vào (1) ta tan α = ⇒ α = 60° Ta có VABC A′B′C ′ = Câu 25 [2D1-3] Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng khối chóp tứ giác có độ dài cạnh bên số thực dương khơng đổi Gọi α góc cạnh bên kim tự tháp với mặt đáy Khi thể tích kim tự tháp lớn nhất, tính sin α A sin α = B sin α = C sin α = 3 Lời giải D sin α = Chọn B Vì hình dạng kim tự tháp hình chóp tứ giác nên hình vẽ có dạng Giả sử gọi cạnh bên kim tự tháp x với x > 0, x ∈ ¡ SO chiều cao hình chóp · SA = SB = SC = SD = x , góc cạnh bên hình chóp với mặt đáy SBO =α Ta có SO = x.sin α ; OB = x.cos α suy BD = x.cos α 1 2 Vậy thể tích: VS ABCD = SO.S ABCD = x.sin α ( x.cos α ) = x sin α cos α 3 V ( α ) = VS ABCD = x3 sin α cos α 3 Suy V ( α ) = x sin α ( − sin α ) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 17/29 Ta khảo V ′( t ) = sát hàm V ( t) = 33 x t − x t = x ( t − t3 ) 3 với t = sin α ∈ [ −1;1] x − x 3t = ⇔ t = ± Ta có bảng biến thiên: 3 max V ( t ) = [ −1;1] x sin α = = 3 Cách khác: VS ABCD = 3 x sin α cos α = x 2sin α cos α cos α 3 Vậy VS ABCD  2sin α + cos α + cos α  x3 ≤ x  = ÷ 3 27   Dấu " = " xảy 2sin α = cos α hay sin α = Câu 26 [2D2-2] Tìm n biết x ≠ A n ∈ ∅ π (do < α < ⇒ sin α > ) 1 1 465 + + + + = với x > 0, log x log 22 x log 23 x log 2n x log x B n = 30 C n = −31 Lời giải D n = 31 Chọn B 1 1 465 n 465 + + + + = ⇔ + + + + = log x log 22 x log 23 x log 2n x log x log x log x log x log x log x 465  n = 30 n ( 1+ n) ( + + + + n ) = ⇔ = 465 ⇔ n + n − 930 = ⇔  log x log x  n = −31 Do n số nguyên dương nên n = 30 ⇔ Câu 27 [2D2-2] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , mặt bên tạo với đáy góc 60° Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A S = 25π a B S = a2 12 C S = 32π a D S = 8π a Lời giải Chọn A TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 18/29 S R K I A D 60° M 2a H B C Gọi H tâm đáy, K M trung điểm SA AB · ⇒ ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) = SMH = 60° Kẻ KI ⊥ SA , I ∈ SH suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Ta có: AH = a , SH = MH tan 60° = a = a , SA = SH + AH = 3a + 2a = a SA2 5a 5a = = SH 2a 25a 25π a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: S = 4π R = 4π = 12 Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: R = SI = Câu 28 [2D1-4] Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng với C qua D , N trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tính thể tích V khối đa diện chứa đỉnh C A V = 6a 36 B V = 6a 72 C V = 6a 72 D V = 6a 36 Lời giải Chọn C S I N A 60° Q K D a H B M P C Gọi P = MN ∩ SD , Q = BM ∩ AD Suy BNPQ thiết diện ( BMN ) với hình chóp S ABCD TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 19/29 Gọi H tâm đáy, ta có: SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH = AH tan 60° = a a 3= 2 Ta có: VCDPQBN = VN BCDQ + VN DPQ SH Ta lại có: M điểm đối xứng với C qua D , suy Q trung điểm AD a  a + ÷.a  nên ( BC + DQ ) CD =   = 3a , S BCDQ = 2 Do N trung điểm SC , suy d ( N , ( BCDQ ) ) = 1 a 3a 6a3 ⇒ VN BCDQ = SH S BCDQ = = 6 48 d ( N , ( DPQ ) ) NS d ( C , ( SAD ) ) CA = = , = = , d ( N , ( DPQ ) ) = d ( H , ( SAD ) ) Ta có: d ( C , ( DPQ ) ) CS d ( H , ( SAD ) ) HA Mà HQ ⊥ AD , kẻ HI ⊥ SQ = { I } ⇒ d ( H , ( SAD ) ) = HI 1 14 = + = + = ⇒ HI = a 2 HI SH HQ 3a a 3a 14 Xét ∆SCM , có N D trung điểm SC CM suy P trọng tâm ∆SCM ⇒ DP = SD Kẻ PK ⊥ DQ = { K } , SQ PK = = Suy ra: S DPQ SH + HQ 1 a a a , ⇒ VN DPQ = = DQ.PK = = 2 24 Vậy VCDPQBN = 2 3a a + =a = 3 a a a = 14 24 144 a a 5a + = 48 144 72 Cách khác Gọi P = MN ∩ SD , Q = BM ∩ AD Suy BNPQ thiết diện ( BMN ) với hình chóp S ABCD Gọi H tâm đáy, ta có: SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH = AH tan 60° = a a 3= 2 1 a a3 Gọi V = VS ABCD = SH S ABCD = a = 3 Do N trung điểm SC , D trung điểm CM nên P trọng tâm tam giác SCM NM d ( N , ( BCM ) ) ⇒ = = PM d ( P, ( BCM ) ) 1 a3 S BCM nên VN BCM = VS ABCD = 12 1 VP DQM = VN BCM = VN BCM a 5a Vậy VNPBCDQ = VN BCM − VP.DQM = VN BCM − VN BCM = = 6 12 72 Dễ thấy S ABQ = SQDM = TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 20/29 Câu 29 [2D1-3] Cho số thực dương x , y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu + x 4y 34 = thức P = A Pmin B Pmin = 65 C Pmin không tồn D Pmin = Lời giải Chọn D 5 5 − x Vì y > nên − x > ⇒ x < Do < x < 4 8 2 10 − 15 x P= + = + = x 5  x − x −8 x + x với < x < Ta có  − 2x ÷ 4  Từ giả thiết ta có y = P′ = −120 x + 160 x − 50 ( −8 x + 5x )   5  x = ∉  0; ÷   Có P′ = ⇒ −120 x + 160 x − 50 = ⇒    5  x = ∈  0; ÷  8  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin = Câu 30 [2D2-1] Số hình đa diện lồi hình là: A B C Lời giải D Chọn D Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc(H) Khi đa diện giới hạn (H) gọi đa diện lồi Do có hình cuối hình đa diện lồi Câu 31 [2D1-1] Trong hàm số sau, hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất? x−2 A y = B y = x + x C y = x + x + x +1 Lời giải Chọn A x−2 x−2 = −∞ nên y = Ta có lim− khơng có giá trị nhỏ x →−1 x + x +1 D y = x − Câu 32 [2D1-1] Tìm số giao điểm hai đồ thị hàm số y = x + y = x + TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 21/29 A C Lời giải B D Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm  x + ≥  x ≥ −1 ⇔ x + = x +1  ⇔  x + x − =  x + = ( x + 1)  x ≥ −1  ⇔   x = 1( n ) ⇔ x = có nghiệm nên có giao điểm   x = −2 ( l )  Câu 33 [2D1-4] Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = sin x − mx nghịch biến ¡ A m < B m ≥ C m ≥ −1 D m > Lời giải Chọn B Ta có: y ′ = cos x − m Hàm số nghịch biến ¡ khi: y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ cos x − m ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ cos x ≤ m, ∀x ∈ ¡ Mà cos x ∈ [−1;1] Vậy m ≥ Câu 34 [2H1-1]Người ta nối trung điểm cạnh hình hộp chữ nhật cắt bỏ hình chóp tam giác góc hình hộp hình vẽ sau Hình lại đa diện có số đỉnh số cạnh là: A 12 đỉnh, 24 cạnh B 10 đỉnh, 24 cạnh C 12 đỉnh, 20 cạnh D 10 đỉnh, 48 cạnh Lời giải Chọn A Đa diện có đỉnh thuộc mặt đáy trên, đỉnh thuộc mặt đáy đỉnh thuộc cạnh bên Vậy có 12 đỉnh Mỗi mặt hình hộp có cạnh đa diện có 24 cạnh Câu 35 [ 2D2-2] Tìm số nguyên n lớn thỏa mãn n360 < 3480 A n = B n = C n = Lời giải Chọn B n360 < 3480 ⇔ ( n3 ) 120 < ( 34 ) 120 D n = ⇔ −81 < n3 < 81 ⇔ −3 3 < n < 3 Mà n số nguyên lớn ⇒ n = 2 Câu 36 [2D1-3] Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − x + ( 2m − 1) x + đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) A − 2 ≤m≤ 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập B − 2 2 Lời giải Chọn C y ′ = x − x + 2m − Hàm số đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) ⇔ x − x + 2m − ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ x3 − x ≥ − 2m , ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ( 1) Xét hàm số g ( x ) = x − x ( 1; +∞ ) g ′ ( x ) = 12 x − g′ ( x) = ⇔ x = ± 3 x +∞ g′ ( x ) + +∞ g ( x)  m ≤ − ( 1) ⇔ − 2m2 ≤ ⇔   m ≥  Câu 37 [2D1-2] Tìm số tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số y = A B C x +1 x − 3x − D Lời giải Chọn B Tập xác định: D = ¡ \ { −1; 2} lim y = ⇒ đường thẳng y = đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →±∞ lim + y = lim + x →( −1) x →( −1) x +1 ( x + 1) ( x − ) = lim + x →( −1) ( x + 1) ( x − ) = −∞ ⇒ đường thẳng x = −1 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số lim y = lim+ = +∞ ⇒ đường thẳng x = đường tiệm cận đứng đồ thị hàm x → 2+ x → ( x + 1) ( x − ) số Vậy số tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số Câu 38 [2D1-3] Cáp tròn truyền nhiệt nước bao gồm lõi đồng bao quanh lõi đồng lõi cách nhiệt hình vẽ Nếu x = r tỉ lệ bán kính độ dày đo đạc thực nghiệm h với x < x < Nếu bán kính lõi cách nhiệt cm vật liệu cách nhiệt có bề dày h (cm) để tốc độ truyền tải tín hiệu lớn nhất? người ta thấy vận tốc truyền tải tín hiệu cho phương trình v = x ln TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 23/29 A h = e (cm) (cm) e C h = B h = 2e (cm) D h = (cm) e Lời giải Chọn A hàm số xác định liên tục < x < x 1   −1   v′ = x ln + x x  ÷ = x ln − x = x  ln − 1÷ x x x  x   v = x ln x = 0( l ) x =   v′ = ⇔ x  ln − 1÷ = ⇔  1 ⇔  ln = x  x= n) (    x e x v′ v + Vậy tốc độ truyền tải lớn x = e GTLN − r ⇔ = ⇔ = ⇔ h = e (cm) h h e e e Cách làm trắc nghiệm h 2 Thay giá trị h cho đáp án vào hàm số v =  ÷ ln , ta kết v lớn h h = e Câu 39 [2H1-2] Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh SB , BC , CD , DA Biết thể tích khối chóp S ABCD V0 Tính thể tích khối chóp M QPCN theo V0 A V = V0 B V = V0 16 C V = V0 Lời giải D V = V0 16 Chọn D TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 24/29 S M A B Q N D C P 1 Ta có: V0 = S ABCD d ( S , ( ABCD ) ) ; VM QPCN = SQPCN d ( M , ( QPCN ) ) 3 Mà d ( M , ( QPCN ) ) = d ( S , ( ABCD ) ) ; 1 SQPCN = SCDQN − S DPQ = S ABCD − DP.DQ = S ABCD 2 Khi đó: 3 VM QPCN = Sabcd d ( A, ( ABCD ) ) = V0 16 Câu 40 [2H1-2] Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân với đáy AD BC Biết AD = 2a , AB = BC = CD = a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc đoạn AD thỏa mãn HD = 3HA , SD tạo với đáy góc 45° Tính thể tích V khối chóp S ABCD 3a A V = B V = 3a 3 C V = 3a D V = 3a Lời giải Chọn B Ta có HD hình chiếu vng góc SD lên mặt phẳng ( ABCD ) · , ( ABCD ) = SDH ) · = 45° ( SD Tam giác SHD vng cân H có SH = HD = 3a AD = Trong mặt phẳng ( ABCD ) , kẻ BE ⊥ AD , CF ⊥ AD AE = DF = a a ; BE = 2 Khi đó: S ABCD = 3a AD + BC BE = ( ) 3a 3 VSABCD = S ABCD SH = TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 25/29 S 45° A H B C B D A C E D F Câu 41 [2D1-3] Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d với a ≠ Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A ( 1; −1) , B ( −1;3) Tính f ( ) A f ( ) = −53 B f ( ) = 17 C f ( ) = −17 D f ( ) = 53 Lời giải Chọn D Ta có f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A ( 1; −1) , B ( −1;3)  f ′ ( 1) = 3a + 2b + c = a =   b =  f ′ ( −1) = 3a − 2b + c =  ⇔ ⇔   f ( 1) = −1  a + b + c + d = −1 c = −3  f −1 = − a + b − c + d = d =  ( ) Khi f ( x ) = x − x + Vậy f ( ) = 53 Câu 42 [2H1-1] Số mặt phẳng đối xứng hình lăng trụ đứng có đáy hình vuông là: A B C D Lời giải Chọn B Câu 43 [2D1-3] Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m ( x + x ) − x − x + = có nghiệm thỏa mãn x ≤ −3 A C Khơng có giá trị m B D Vô số giá trị m Lời giải Chọn C Đặt t = x + x TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 26/29 Xét g ( x ) = x + x , x ≤ −3 ta miền giá trị t [ 3; +∞) Phương trình cho viết lại: mt − 2t + = ( ) Do đó: phương trình cho có nghiệm x ≤ −3 phương trình ( ) có nghiệm t ∈ [ 3; +∞ ) 2t − t3 2t − −4t + < 0, ∀t ≥ Xét f ( t ) = ta có: f ′ ( t ) = t t4 Ta có: ( ) ⇔ mt = 2t − ⇔ m = f ( t ) = ; f ( 3) = nên hàm số f ( t ) nghịch biến [ 3; +∞ ) mà: tlim →+∞ 27 Bảng biến thiên: t +∞ − f ′( t ) f ( t) 27 Vậy: Phương trình cho có nghiệm thỏa mãn x ≤ −3 < m ≤ mà m ngun 27 nên khơng có giá trị m Câu 44 [2H1-1] Cho tứ diện OMNP có OM , ON , OP đơi vng góc Tính thể tích V khối tứ diện OMNP 1 A V = OM ON OP B V = OM ON OP C V = OM ON OP D V = OM ON OP Lời giải Chọn A Tứ diện OMNP có OM , ON , OP đơi vng góc nên thể tích V khối tứ diện 1 OMNP là: V = OM SONP = OM ON OP 2 Câu 45 [2D1-2] Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = ( m + 1) x − ( m − 1) x − có cực trị A m < ; m ≠ −1 B m ≤ C m > −1 Lời giải D m ≤ ; m ≠ −1 Chọn D Tập xác định: D = ¡ x = y ′ = ( m + 1) x − ( m − 1) x ; y ′ = ⇔  2  ( m + 1) x = m − ( 1) Hàm số có cực trị ⇔ y′ = có nghiệm • Nếu m = −1 y = −1 hàm số khơng có cực trị m −1 m −1 ≤ ⇔ m ≤1 • Nếu m ≠ −1 ( 1) ⇔ x = Do hàm số có cực trị ⇔ 2 TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 27/29 Vậy m ≤ ; m ≠ −1 hàm số có cực trị Cách trình bày khác: • m = −1 hàm số trở thành y = −1 khơng có cực trị Vậy loại m = −1 • m ≠ −1 hàm số hàm trùng phương, điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị  − ( m + 1) ( m − 1) >   m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( −1;1) ⇔ ⇔ m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( −1;1]   m + ≠ m =    m − = Câu 46 [2D2-2] Rút gọn biểu thức P = a a : 24 a , với ( a > ) a 1 B P = a A P = a C P = a Lời giải D P = a Chọn C Ta có: P = a ×( a ) 1 7 + − − 24 ì ữ : a 24 = a 24 24 = a a Câu 47 [2D2-2] Tìm tất giá trị thực x để đồ thị hàm số y = log 0,5 x nằm đường thẳng y = A < x < B x > C < x ≤ D x ≥ Lời giải Chọn A Điều kiện: x > Đồ thị hàm số y = log 0,5 x nằm đường thẳng y = log 0,5 x > ⇔ x < ( 0,5 ) ⇔ x < 1 Vậy < x < 4 Câu 48 [2D2-3] Theo số liệu từ Tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2015 91, triệu người Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm Việt Nam giai đoạn 2015 − 2050 mức không đổi 1,1% Hỏi đến năm dân số Việt Nam đạt mức 120,5 triệu người? A 2039 B 2040 C 2042 D 2041 Lời giải Chọn B Áp dụng công thức lãi kép, dân số Việt Nam sau n năm kể từ năm 2015 là: P = 91, 7.e 0,011n (triệu người)  1205  ln  ÷ 1205 917  Ta có: năm  0,011n 0,011n 91, e = 120,5 ⇔ e = ⇔n= ≈ 24,8 917 0, 011 Vậy khoảng đến năm 2015 + 25 = 2040 dân số Việt Nam đạt mức 120,5 triệu người Câu 49 [2D1-2] Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số đây: Hàm số hàm số nào? TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 28/29 A y = ( x + 1) ( x + 2) B y = ( x − 1) ( x + 2) C y = ( x − 1) ( x − ) D y = ( x − 1) ( x + ) 2 Lời giải Chọn B Từ hình vẽ ta nhận thấy đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = −2 nên hàm số có dạng y = ( x + ) g ( x ) Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành điểm có hồnh độ x = nên hàm số có dạng y = ( x − 1) h ( x ) Đối chiếu kết đáp án ta hàm số cần tìm là: y = ( x − 1) ( x + 2) Câu 50 [2D1-2] Đồ thị hàm số hàm số có tâm đối xứng? A y = x − x + C y = x − x + 3x D y = x − x + B y = x + Lời giải Chọn C  38  Đồ thị hàm số bậc có tâm đối xứng điểm uốn đồ thị I  ; ÷  27  Chứng minh: Gọi I ( a; b ) tâm đối xứng tồn số thỏa mãn f ( a + x ) + f ( a − x ) = 2b Ta có f ( a + x ) = ( a + x ) − ( a + x ) + ( a + x ) , f ( a + x ) = ( a + x ) − ( a + x ) + ( a + x ) 3 ⇒ f ( a + x ) + f ( a − x ) = 2a + 6ax − 4a − x + 6a = ( 3a − ) x + 2a − 4a + 3a − = 38 f ( a + x ) + f ( a − x ) = 2b ⇒  ⇒ a = ,b = 27  2a − 4a + = 2b  38  Hàm số y = x − x + 3x có tâm đối xứng I  ; ÷  27  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 29/29 ... 30° Câu 25 [2D1-3] Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng khối chóp tứ giác có độ dài cạnh bên số thực dương không đổi Gọi α góc cạnh bên kim tự tháp với mặt đáy Khi thể tích kim tự tháp lớn nhất,... = Câu 25 [2D1-3] Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng khối chóp tứ giác có độ dài cạnh bên số thực dương khơng đổi Gọi α góc cạnh bên kim tự tháp với mặt đáy Khi thể tích kim tự tháp lớn nhất,... sin α = C sin α = 3 Lời giải D sin α = Chọn B Vì hình dạng kim tự tháp hình chóp tứ giác nên hình vẽ có dạng Giả sử gọi cạnh bên kim tự tháp x với x > 0, x ∈ ¡ SO chiều cao hình chóp · SA =