Ứng dụng toán học để giải các bài cực trị vật lí thpt trong bồi dưỡng học sinh giỏi

SỞGIÁO GIÁODỤC DỤCVÀ VÀĐÀO ĐÀOTẠO TẠOTHANH THANHHOÁ HOÁ SỞ TRƯỜNGTHPT THPTTHẠCH THẠCHTHÀNH THÀNH33 TRƯỜNG SÁNGKIẾN KIẾNKINH KINHNGHIỆM NGHIỆM SÁNG ỨNG HỌC ĐỂ GIẢI BÀI GIẢI DỤNG NHANHTOÁN CÁC BÀI ĐIỆN XOAYCÁC CHIỀU CỰC TRỊ VẬT THPT TRONGPHÁP CÓ YẾU TỐ THAY ĐỔILÍ BẰNG PHƯƠNG BỒI DƯỠNG GIỎI “CHUẨN HĨAHỌC GÁNSINH SỐ LIỆU” Người thực hiện: Nguyễn Tất Thành Chức vụ: Giáo viên Người thực hiện: Nguyễn Tất Thành SKKN thuộc mơn: Vật lí Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Vật lí THANH HỐ NĂM 2019 Mục lục Trang I Mở đầu …… 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………… … 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………… ……… 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………… …… …1 II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………… … ….….2 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm……………………… …….2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… ….2 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề…… …3 2.3.1 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ……………… … 2.3.2 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki …… ………… … 2.3.3 Vận dụng định lí hàm số sin, cosin … 10 2.3.4 Vận dụng tam thức bậc hai …… ……… … 12 2.3.5.Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số …… …… …… .15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường………………………………… ….18 III Kết luận, kiến nghị………………………….…………………….… ….19 3.1 Kết luận………………………………………………………… … 19 3.2 Kiến nghị……………………………………………………….…….19 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… … … 20 Các thuật ngữ viết tắt bài: GV – giáo viên HS – học sinh HSG – học sinh giỏi SKKN – sáng kiến kinh nghiệm THPT – trung học phổ thông THPT QG – trung học phổ thơng Quốc gia ĐLHS – định lí hàm số I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình vật lí THPT, việc sử dụng tốn học vào giải tốn vật lí điều khơng thể thiếu Nhưng việc lựa chọn phương pháp cho phù hợp, ngắn gọn, hiệu dễ hiểu đơn giản, tốn khó toán cực trị HS thường lúng túng gặp tốn dạng tốn u cầu trình độ tư cao, phải có vốn kiến thức tốn học vững chắc, dạng thường xuất đơn lẻ, tính hệ thống, khơng có phương pháp giải cụ thể Nhằm giúp cho HS có cách nhìn tởng qt tốn cực trị điển hình vật lí THPT có phương pháp lựa chọn, định hướng phương pháp giải, bước giải cụ thể phù hợp với dạng nên tơi thực đề tài: “Ứng dụng toán học để giải cực trị Vật lí THPT bồi dưỡng học sinh giỏi” 1.2 Mục đích nghiên cứu Khi đưa tập vào hệ thống tập rèn luyện phát triển tư dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi nhận thấy học sinh có nhiều tiến bộ, rèn luyện kĩ giải tập, HS hứng thú hơn, thấy hay q trình tìm tòi khám phá tốn cực trị phức tạp khác vật lí 1.3 Đối tượng nghiên cứu Ứng dụng kiến thức toán học như: Bất đẳng thức Cauchy; Bunhiacopxki; định lí hàm số sin, cosin tam giác; tam thức bậc hai; khảo sát hàm số để giải cực trị Vật lí THPT Q trình áp dụng chủ đề HS giỏi lớp 10, 11 đội tuyển thi HSG cấp tỉnh nhóm HS giỏi lớp 12A1 12A2 ôn thi THPT QG 1.4 Phương pháp nghiên cứu Mỗi dạng tập phải biết phương pháp giải, nhằm mục đính giúp học sinh hệ thống kiến thức rèn luyện kỹ nhận định, tính nhanh, đáp ứng thi HSG theo hướng làm trắc nghiệm THPT QG Có đưa phương pháp giải chung, bước làm, hướng dẫn lược giải tập minh họa Trang II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Bằng thực tế giảng dạy ôn luyện thi đại học bồi dưỡng HSG qua số năm nhận thấy: Các tốn cực trị vật lí tốn khó mà em HS hay gặp đề thi HSG cấp tỉnh đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm gần Khi gặp toán này, thực tế cho thấy nhiều HS gặp khó khăn Để giải tốn khơng HS phải nắm vững kiến thức vật lí mà bên cạnh em phải có kiến thức tốt tốn Mặc dù dạng tốn khó sách tham khảo viết dạng toán này, có đề cập đến vài số đề thi không phân thành dạng cụ thể Trên sở tơi định lựa chọn đề tài với mục đích: - Giúp em HS gặp toán thuộc loại đưa hướng để giải cách nhanh chóng tốn - Làm tài liệu mà đồng nghiệp tham khảo q trình ơn thi HSG ơn thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Nhiệm vụ nghiên cứu: - Vận dụng phương trình tốn học (như bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, phương pháp khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác…) để ứng dụng việc khảo sát dạng tốn cực trị vật lí THPT - Hướng dẫn đưa phương pháp giải số dạng tốn đặc trưng - Các ví dụ minh họa hướng dẫn giải 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Hiện không phần đông HS mà giáo viên phổ thông nhận định là: Nội dung chương trình vật lí phở thơng nhiều rộng việc tiếp thu nhớ em khó khăn, dẫn đến thực trạng tâm lý sợ học Vật lí Những năm gần đây, hình thức thi tốt nghiệp, đại học mơn vật lí trắc nghiệm làm cho khả trình bày, tư HS kém Tại trường THPT Thạch Thành mà tơi cơng tác HS chủ yếu em dân tộc mường, điều kiện kinh tế khó khăn nhiên, bên cạnh có nhóm em có khả tư tốn học vật lí chọn vào đội tuyển HSG vật lí 10, 11 nòng cốt để thi lấy điểm trở lên kì thi THPT QG Trang 2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Bài toán cực trị toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu đại lượng vật lí Muốn có phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta tìm hiểu hệ thống tập điển hình cực trị chương trình vật lí từ lớp 10, 11 đến lớp 12, sử dụng cơng thức tốn học đặc biệt bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai, công thức cộng vận tốc, sử dụng định lí hàm số sin, cosin tam giác khảo sát hàm số Qua rút phương hướng, chọn phương pháp giải bước để sử dụng phương pháp nhanh nhất, hiệu Quy trình thực hiện: Bước 1: Giới thiệu phương pháp, thứ tự bước giải Bước 2: Cho HS vận dụng tập dượt số tập minh hoạ cụ thể để rèn luyện kỹ Bước 3: Kiểm tra đánh giá kết vận dụng HS thơng qua hình thức (kiểm tra buổi dạy bồi dưỡng HS giỏi, kiểm tra ôn THPTQG…) 2.3.1 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) a) Bất đẳng thức Cauchy a + b ≥ ab Với a,b ≥ Dấu “=” xảy a=b a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an Với a1,a2, .,an ≥ Dấu “=” xảy a1=a2= .=an Ưu ý: Bất đẳng thức Cauchy thường áp dụng toán phần học, điện chiều xoay chiều đặc biệt khó (lấy 9, 10 điểm) đề thi đại học (THPT QG) năm gần đề thi HSG cấp tỉnh Với tập vận dụng ta rút phương pháp chung để định hướng chọn bước giải toán cực trị sử dụng bất đẳng thức Cauchy sau: Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị biến đởi để đưa dạng phân số tử số (hoặc mẫu số) hàm chứa biến, thành phần lại số Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết điều kiện hàm chứa biến có thỏa mãn điều kiện sử dụng bất đẳng thức Cauchy hay khơng Đó điều kiện số hạng khơng âm a1,a2, .,an ≥ tích chúng không đổi a1.a2 an = const Trang Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị cực đại ,cực tiểu toán Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ bất đẳng thức xảy b) Bài tập vận dụng Bài Cauchy Một mạch điện mắc R1 nối tiếp (đèn Đ mắc song song R ) Bóng đèn ghi 6V-3W, R1 =4Ω, U=10V, R2 biến trở a) R2 để công suất tiêu thụ R2 đạt giá trị cực đại b) R2 để công suất tiêu thụ đoạn mạch song song đạt giá trị Id cực đại [1] Đ R1 I I2 R2 Giải: a) Điện trở bóng đèn: R = = 12 Ω Công suất tiêu thụ R2 là: P = I R U − I 2.R2 I 2.R 10 I 2.R 7,5 = − Mà I = I- I = => I 2= R1 Rd R2 + 7,52 7,52 P2= R2 = + đạt => P2 đạt max R2 + (R2 + 3)2 R2 + +6 R2 R2 Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có : R2 + Dấu ‘=’ xảy R2 = + ≥ 2.3+ R2 ⇔ R2 = 3Ω R2 Vậy R2 = Ω P2 đạt giá trị cực đại b) Cơng suất tiêu thụ đoạn mạch song song : U − I.R d2 U 10 = P= I2 Rđ2 mà I = => I = R1 Rd2 + R d2 + Với 1 1 = + = + Rd2 Rd R2 12 R2 102 100 16 P= Rd2 = + đạt 16 => P đạt max Rd2 + (R d2 + 4) Rd2 + +8 Rd2 R d2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : Rd2 + 16 + ≥ 16 Rd2 Dấu ‘=’ xảy Rd2=4 => R2 = 1,5Ω Vậy R2 = 1,5Ω công suất đoạn mạch song song đạt giá trị cực đại Bài Cauchy Cho mạch điện xoay chiều hình vẽ Trang U= 100 cos (100πt+π) , R0 = 2Ω 10−4 (F); R thay đổi L = (H); c= π 2π a) Xác định R để công suất tiêu thụ R đạt cực đại b) Xác định R để công suất tiêu thụ toàn mạch đạt cực đại [1] = 200Ω , Z = (R + R 0)2 + (ZL − ZC )2 Giải: Ta có : ZL = ω L = 100Ω, ZC = ωC a) Công suất tiêu thụ R : U2 U2 = PR = I2R = R2 + (ZL − ZC )2 y R+ + 2R R PR đạt max y đạt Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : y ≥ R20 + (ZL − ZC )2 + 2R Dấu ‘=’ xảy R = R20 + (ZL − ZC )2 Vậy R = R + (ZL − ZC ) PR (max) = U2 2 R20 + (ZL − ZC )2 + 2R b) Cơng suất tiêu thụ tồn mạch là: U2 P = I (R+R ) = (R+R ) = (R+R )2 +(ZL -ZC )2 U2 U2 = (ZL -ZC )2 y (R+R )+ (R+R ) P đạt max y đạt Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : y ≥ 2|ZL − ZC | Dấu ‘=’ xảy R+R =|Z L -ZC | => R=|ZL -ZC | −R U2 U2 = Vậy R=|ZL - ZC | −R P(max) = 2(R + R 0) 2|ZL − ZC | Bài Cauchy (CÂU ĐỀ THI HSG VẬT LÍ-THANH HĨA NĂM 2019) Nhúng thước thẳng AB vào bể nước B suốt có chiết suất n = cho thước tạo với mặt nước α góc α Đầu A thước chạm đáy bể, I giao điểm I thước với mặt nước (hình vẽ) Khi nhìn xuống đáy bể A’ β theo phương thẳng đứng ta thấy A nâng lên đến vị n trí A’ cách mặt nước 15 cm A a Tính chiều cao lớp nước bể? Trang b Gọi β góc tạo A’I với AI Xác định α để β đạt giá trị cực đại? Giải: - Gọi H chân đường cao hạ từ A đến mặt phân cách Chứng minh công thức lưỡng chất phẳng: AH A'H = n n' B H A’ α I β n A AH A'H = - Suy ra: ⇒AH = A’H = 20cm 3 Vậy chiều cao lớp nước bể 20cm - Từ hình vẽ ta có: tgα - tgβ AH ' = HI tg (α − β ) tg (α − β ) = ⇒ = AH = HI tgα  tgα ( + tgα.tgβ) tgα - Suy ra: 3tanα + 3tan2α.tanβ = 4tanα - 4tanβ tgα 1 = ≤ => tanβ = 3.tg α + 3.tgα + 12 tgα - Nên βmax (tanβ)max 3tanα = => tgα = tgα => α ≈ 49,10 Vậy để βmax α ≈ 49,10 Bài Cauchy ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 Câu 39 (Mã đề thi 318) [3] Trong thí nghiệm giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp O O2 dao động pha, biên độ Chọn hệ trục tọa độ vng góc xOy thuộc mặt nước với gốc tọa độ vị trí đặt nguồn O nguồn O2 nằm trục oY Hai điểm P Q nằm Ox có OP=4,5cm OQ=8cm Dịch chuyển nguồn O trục Oy đến vị trí cho góc PO2Q có giá trị lớn phần tử nước P khơng dao động phần tử nước Q dao động với biên độ cực đại Biết P Q không cực đại khác Trên đoạn OP, điểm gần P mà phần tử nước dao động với biên độ cực đại cách P đoạn là: A 3,4cm B 2,0cm C 2,5cm D 1,1cm Giải: Trang 4.5 − tan ϕ − tan ϕ1 a a = 3,5 y = tan( ϕ − ϕ = = Xét hàm số 1) 36 + tan ϕ tan ϕ1 + 36 a+ a a 36   y đạt cực đại  a +  a   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a+ 36 36 ≥ a = 12 a a Dấu “=”khi a = cm Khi d2 = 10 cm d’2 = 7,5cm Mặt khác ta có 10-8=k λ 7,5- 4,5= (k+ )λ suy λ = 2cm, k = Điểm Q cực đại bậc N gần P cực đại ứng với k = ta có ON + a − ON = 2λ ⇒ ON = 2,5cm => PN=2cm Đáp án: B 2.3.2 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki a) Bất đẳng thức Bunhiacopxki (ax+by) ≤ (a +b )(x +y ) Dấu “=” xảy : = (ax+by+cz) ≤ (a +b+c)(x +y +z) Dấu “=” xảy : = = Ưu ý: Bất đẳng thức Bunhiacopxki hay sử dụng tập vật lí Ở toán phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thấy toán giải cách nhanh gọn, dễ hiểu Đối tượng áp dụng chủ yếu toán học Điều kiện để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki không đưa rõ ràng bất đẳng thức Cauchy ta thấy dấu hiệu để nhận biết sử dụng bất đẳng thức tích (a +b ).(x +y) phải số Cụ thể trường hợp ta thấy xuất cos2α + sin2 α = Các bước giải toán loại này: Bước 1: Biến đởi đưa đại lượng cần tìm giá trị cực trị dạng phân số tử số (hoặc mẫu số) hàm chứa biến, thành phần lại số Bước 2: Xét hàm chứa biến cho tích (a +b ).(x +y )=const, có xuất cos2α + sin2 α = Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị cực đại ,cực tiểu toán Trang 10 Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ bất đẳng thức xảy b) Bài tập vận dụng Bài Bunhia Người ta quấn sợi dây không giãn khối lượng không đáng kể quanh khối trụ khối lượng m Hỏi phải kéo dây lực F min, góc α để khối trụ quay chỗ Cho biết hệ số ma sát khối trụ sàn k [4] y r Giải: Các lực tác dụng biểu hình F r Do khối trụ không chuyển động tịnh tiến nên x N • O tởng hình chiếu lực phương 0x, 0y α Tức là: Fms − F cosα = r Fms Trong : Fms =k.N  P Fsin α + N − P =  kmg kmg = Từ hệ phương trình ta có : F = cosα + ksinα y => F đạt y đạt max Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : y = cosα + ksinα ≤ (1+ k2)(cos2α + sin2 α) = 1+ k2 Dấu ‘=’ xảy Vậy Fmin = k = ⇔ tgα = k cosα sinα kmg tgα = k 1+ k2 Bài Bunhia Kéo vật lên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α, u r hệ số ma sát k Hỏi góc β vec tơ lực kéo F mặt nghiêng để lực kéo cực tiểu [2] x y Giải: Áp dụng định luật II Newton ta có : β u r ur u r u r r P + N + F + F ms = 0(1) O Chiếu (1) lên Ox: α − Psinα − kN + F cosβ = (2) Chiếu (1) lên Oy: − Pcosα + N + Fsinβ = (3) Psinα + kPcosα Từ (2) (3) ta có : F = ksinβ + cosβ Nhận xét: Trong biểu thức F : tử số không đổi, mẫu số thay đổi F đạt mẫu số đạt max Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : Trang 11 ksinβ + cosβ ≤ (k2 + 1)(sin2 β + cos2β) = (k2 + 1) k = tgβ = k sinβ cosβ Psinα + kPcosα Dấu ‘=’ xảy Khi Fmin = k2 + Vậy: Để vật chuyển động với lực kéo cực tiểu góc hợp vec tơ lực kéo mặt nghiêng thỏa mãn: tgβ = k Bài Bunhia (CÂU ĐỀ THI HSG VẬT LÍ-THANH HĨA NĂM 2019) Khung dây cứng có dạng hình tam giác vng với α = 300 đặt mặt phẳng thẳng đứng Hai vật m1 = m1 β m2 0,1 kg m2 = 0,3 kg nối với sợi dây nhẹ trượt khơng ma sát dọc theo hai cạnh α khung dây (hình vẽ) Tính lực căng dây nối góc β hai vật vị trí cân bằng? Cân hệ vật bền hay khơng bền? Vì sao? Lấy g = 10 m/s2 Giải: y - Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ uur uur ur uu r x O + Các ngoại lực tác dụng lên hệ hai vật: N1 , N , P1 , P2 uur uur uur ur uu r r N1 a + Khi hệ cân bằng: N1 + N + P1 + P2 = m1 β L m2 u r uu r ur T uu r T P α P2 - Chiếu lên hệ trục tọa độ Oxy: + Trên Ox: N1sinα = N2cosα => N2 = N1tanα + Trên Oy: N1cosα + N2sinα = P1 + P2 => N1(cosα + tanα.sinα) = P1 + P2 => N1 = (m1 + m2).g.cosα = (N) uur ur ur r ur uur ur - Xét với vật m1: N1 + P1 + T1 = => T1 = −( N1 + P1 ) (1) => T12 = N12 + P12 + N1 P1.c os(1800 − α) => T2 = T1 = ≈ 2,65(N) - Chiếu (1) lên phương thanh: P1sinα = T1cosβ => cosβ = => β≈ 79,10 14 - Gọi khoảng cách từ m1 đến O a, chiều dài sợi dây hệ cân L Cân hệ hai vật bền tọa độ trọng tâm trục y thấp Trên Oy, ta có: + Vật m1 : y1 = - a.sinα Vật m2 : y2= - L2 − a cosα Trang 12 + Tọa độ trọng tâm hệ vật: yG = m1 y1 + m2 y2 a.sin α L2 − a = −( + c osα) m1 + m2 4 - Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có a.sinα + 3.cosα L2 − a ≤ (a + L2 − a ).(sin α + cos α) = L Dấu xảy => yG a = a L L2 − a = a = sin α 14 3cos α L L cosβ = => β = 79,10 14 14 Vậy cân bền G vị trị thấp 2.3.3 Vận dụng định lí hàm số sin, cosin a) Định lí hàm số sin, cosin Định lí hàm số sin tam giác: = = Định lí hàm số Cosin tam giác : a = b + c- 2b.c.cosA ( cosα)max = ⇔ α = 00 ( sinα)max = ⇔ α = 900 Ưu ý: Phương pháp vận dụng công thức cộng vận tốc kết hợp công thức lượng giác cách giải vấn đề nhanh gọn toán chuyển động thay cho cách làm lập phương trình chuyển động thơng thường đặc biệt khó (lấy – 10 điểm) phần tổng hợp dao động điện xoay chiều đề thi đại học năm gần Phương pháp có nét đặc trưng hình thành bước giải cụ thể sau : r Bước : Tính vận tốc tương đối vật với v12 qua biểu thức vectơ cộng vận tốc Bước : Dựa vào phương chiều vecto vận tốc thành phần để xác định r độ lớn v12 Bước : Tìm phụ thuộc đại lượng tìm cực trị với độ lớn v12 Bước : Ở vận dụng định lí hàm số sin, cosin ( cosα)max = ⇔ α = 00 ( sinα)max = ⇔ α = 900 b) Bài tập vận dụng Trang 13 Bài ĐLHS Hai động tử m1 m2 đồng thời chuyển động hai đường thẳng đồng quy với vận tốc v1 v2 Tìm khoảng cách ngắn chúng thời gian đạt khoảng cách đó, biết khoảng cách ban đầu l góc hai đường thẳng α [2] Giải: Xét chuyển động tương đối vật vật ta có : r r r r r v12 = v1 + (− v2) = v1 − v2 dmin= AH = AB sinβ (1) Xét tam giác BMN: v12 = v12 + v22 − 2v1v2 cos(180 − α) = v12 + v22 + 2v1v2 cosα BM BN BN = = sinβ sin(1800 − α) sinα v2 sinα v v => = 12 = > sinβ = (2) v12 sinβ sinα Áp dụng định lí hàm số sin ta có : Thay (2) vào (1) => dmin= = lv2 sinα v12 + v22 + 2v1v2 cosα l − d2min BH = Thời gian để đạt khoảng cách dmin : t = v21 v12 + v22 + 2v1v2 cosα Bài ĐLHS ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2012 Câu 11 (Mã đề 958) [3] π Hai dao động phương có phương trình x = A1 cos(π t + ) (cm) π x = A cos(π t + ϕ ) (cm) Thay đổi A1 biên độ A đạt giá trị cực tiểu x2 = cos(π t − ) (cm) Dao động tổng hợp hai dao động có phương trình π A ϕ = − rad B ϕ = π rad π C ϕ = − rad D ϕ = rad Trang 14 Giải: Vẽ giãn đồ hình vẽ Theo định lí hàm sin x1 A1 A π = π sin sin( − ϕ ) A1 π π/6 ϕ A đạt giá trị cực tiểu sin( - ϕ) = Do ϕ = Chọn đáp án D A2 A x x2 2.3.4 Vận dụng tam thức bậc hai a) Tam thức bậc hai Cho hàm y = f (x) = ax2 + bx + c + Nếu a > ymin đỉnh Parabol + Nếu a < ymax đỉnh Parabol b −∆ + Tọa độ đỉnh : x = - ; y = (∆ = b2 - 4ac) 2a 4a + Nếu ∆ = phương trình y = ax2= bx + c = có nghiệm kép + Nếu ∆ > phương trình có nghiệm phân biệt Ưu ý: Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai dùng phổ biến chương trình, tốn điện xoay chiều nên học sinh khơng q khó khăn tiếp cận phương pháp Đặc điểm phương pháp yêu cầu tính cẩn thận bước làm rõ ràng: Bước 1: Biến đởi đại lượng cần tính cực trị hàm bậc biến x Bước 2: Dùng dấu hiệu nhận biết tam thức bậc hai để suy cực trị ví dụ a > ymin đỉnh Parabol,nếu a < ymax đỉnh Parabol Bước 3: Tìm giá trị biến x để đạt giá trị cực trị b) Bài tập vận dụng Bài tam thức Có 20g khí Heli chứa xilanh đậy kín pittơng biến đổi chậm từ (1)=>(2) theo đồ thị mô tả hình : Cho V1=30 lít , p1=5 atm, V2 =10 lít , p2=15 atm Hãyp(atm) tìm nhiệt độ cao mà khí đạt q trình biến đởi [1] (2) P2 m Giải: n= = 5(mol) , R=0,082(atm.lít/mol.K) M Gọi phương trình đường thẳng qua trạng thái (1) (2): p=aV+b (*) (1) Tìm a,b: Phương trình (*) thỏa mãn: P1 V2 Trang 15 V1 V(lít)  p1 = aV1 + b V a = −  p = − + 20  p2 = aV2 + b b = 20 Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng: V ( − + 20)V −V + 40V pV pV=nRT=> T= = = nR nR 2nR 0 nên đạt cực trị   R2 + ZC2 b ZC Z = → L = CR + = (H)  L X = − = ZC ω2C π 2a R + ZC2   ⇒  ∆ R U R2 + Z2C y = − =  = 200 2(V)  U L max = 4a R2 + ZC2 R Vậy L= (H) ULmax=200 (V) 2.3.5 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số a) Khảo sát hàm số Xét hàm y=f(x) + Đạo hàm y theo biến x + Lập bảng biến thiên hàm số, tìm giá trị cực trị hàm Ưu ý: Phương pháp khảo sát hàm số phương pháp dùng đạo hàm để tìm cực trị đại lượng vật lí mà bước tiến hành sau: Bước 1: Tính đạo hàm hàm cần tìm cực trị theo biến x Bước 2: Lập bảng biến thiên Trang 17 Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên suy vị trí cực trị Bước 4: Thay giá trị biến mà hàm đạt cực trị để tìm giá trị cực trị b) Bài tập vận dụng Bài hàm số Cho mạch điện xoay chiều hình vẽ Đặt vào hai đầu mạch với nguồn R điện xoay chiều có hiệu điện A U = const tần số thay đổi M Xác định giá trị ω để hiệu điện hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại [1] U U U L = I.ZL = ZL = Z (1) Z Giải: Ta có : ZL L C N B   R +  ωL −  Z R2   Đặt ωC ÷   A = = 2 +  1− ÷ ÷ = Z ( ω L) ω L  ω LC   L 2 R2 x  Đặt x = > A = x +  1− ÷ (2) ωL L  C R2  x −  1− ÷ Lấy đạo hàm A theo biến số x ta thu được: A '(x) = L C C  Xét A’(x) = => x = Vì x > ⇒ 2LC − R2C2 2L 2L > R2 ta thu bảng biến thiên: C x 2LC − R2C2 2L A’(x) +∞ + A(x) Amin 2 2LC − R C Thay giá trị x = vào biểu thức (2) ta thu được: 2L R2(4LC − R2C2) A = 4L2 Trang 18 Thay Amin vào (1) suy ra: U LMax = Nhận xét : Khi x ≤ ⇒ 2U.L R 4LC − R2C2 ω= 1 C L R2 − C 2L ≤ R2 Amin x = A làm hàm số bậc có hệ C > nên hàm số có cực tiểu phần âm, x = làm cho A C2 miền xác định x Khi ω lớn làm cho ZL lớn làm cho I = Do khơng thể tìm giá trị ω làm cho ULmax số a = Bài hàm số Cho mạch điện xoay chiều hình vẽ L R C Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế: A B π M UAB = 200 cos(100πt- )(V) Cuộn dây cảm,điện dung C thay đởi Xác định giá trị C để UAM đạt cực đại [1] Giải: Do đoạn mạch AM có R C mắc nối tiếp suy U AM = U RC = I R + Z = 2 C R2 + (ZL − ZC )2 Đặt B = R2 + ZC2 U R2 + Z2C R2 + (ZL − ZC )2 = U R2 + (ZL − ZC )2 R2 + ZC2 (1) (2) Ta thực việc khảo sát hàm số B theo biến số Z C để tìm giá trị ZC cho Bmin giá trị URC đạt max Ta có : Đạo hàm B theo biến số ZC ta thu : −2(ZL − ZC )(R2 + Z2L ) − 2ZC[R + (ZL − ZC )2] B'(ZC ) = (R2 + Z2C )2 = ZL ZC2 − Z2L ZC − ZL R2 (R2 + ZC2 )2 B’(ZC) = ZL ZC2 − Z2L ZC − ZL R2 = (3)  ZL + 4R2 + Z2L  ZC1 = >0 Nghiệm phương trình (3) là:   2 Z − 4R + Z L L Z =