Đo độ và tích phân

Đo độ và tích phân

GII TCH (C S)Phn 3. o V Tớch PhõnChuyờn ngnh: Gii Tớch, PPDH ToỏnĐ1. o(Phiờn bn ó chnh sa)PGS TS Nguyn Bớch HuyNgy 18 thỏng 4 nm 20051 PHN Lí THUYT1. Khụng gian o cnh ngha :1) Cho tp X = ứ; mt h F cỏc tp con ca X c gi l mt i s nu nú thamón cỏc iu kin sau :i. X F v nu A F thỡ Ac F, trong ú Ac= X \ A.ii. Hp ca m c cỏc tp thuc F cng l tp thuc F .2) Nu F l i s cỏc tp con ca X thỡ cp (X, F ) gi l mt khụng gian o c; mi tp A F gi l tp o c (o c vi F hay F o c)Tớnh chtGi s F l i s trờn X. Khi ú ta cú :1) ứ X.Suy ra hp ca hu hn tp thuc F cng l tp thuc F .2) Giao ca hu hn hoc m c cỏc tp thuc F cng l tp thuc F.3) Nu A F, B F thỡ A \ B F.2. onh ngha :Cho mt khụng gian o c (X, F )1) Mt ỏnh x à : F [0, ] c gi l mt o nu :i. à(ứ) = 0ii. à cú tớnh cht cng, hiu theo ngha{An}n F, (An Am= ứ, n = m) à(n=1An) =n=1à(An)2) Nu à l mt o xỏc nh trờn i s F thỡ b ba (X, F, à) gi l mt khụnggian o1 Tính chất :Cho µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F; các tập được xét dưới đây đều giả thiếtlà thuộc F .1) Nếu A ⊂ B, thì µ(A) ≤ µ(B), hơn nữa nếu µ(A) < ∞ thì ta cóµ(B \ A) = µ(B) − µ(A)2) µ(∞n=1An) ≤∞n=1µ(An).Do đó, nếu µ(An) = 0 (n ∈ N∗) thì µ(∞n=1An) = 03) Nếu An⊂ An+1(n ∈ N∗) thì µ(∞n=1An) = limn→∞µ(An)4) Nếu An⊃ An+1(n ∈ N∗) và µ(A1) < ∞ thìµ(∞n=1An) = limn→∞µ(An)Quy ước về các phép toán trong RGiả sử x ∈ R, a = +∞ hoặc a = −∞. Ta quy ước :1) −∞ < x < +∞2) x + a = a, a + a = a3) x.a =a , nếu x > 0−a , nếu x < 0, a.a = +∞, a.(−a) = −∞4)xa= 0Các phép toán a − a, 0.a,a0,x0,∞∞không có nghĩa.Khi thực hiện các phép toán trong R ta phải hết sức cẩn trọng. Ví dụ, từ x + a = y + akhông suy ra được x = y (nếu a = ±∞).Định nghĩaĐộ đo µ xác định trên σ−đại số F các tập con của X được gọi là :1) Độ đo hữu hạn nếu µ(X) < ∞.2) Độ đo σ− hữu hạn nếu tồn tại dãy {An} ⊂ F sao choX =∞n=1An, µ(An) < ∞ ∀n ∈ N∗3) Độ đo đủ nếu nó có tính chất(A ⊂ B; B ∈ F, µ(B) = 0) ⇒ A ∈ F3. Độ đo Lebesgue trên RTồn tại một σ−đại số F các tập con của R mà mỗi A ∈ F gọi là một tập đo dược theoLebesgue (hay (L)− đo được) và một độ đo µ xác định trên F (gọi là độ đo Lebesguetrên R ) thỏa mãn các tính chất sau :1) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng, . là (L)−đo được. Nếu I làkhoảng với đầu mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ t) thì µ(I) = b − a2) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L)−đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0.2 3) Tập A ⊂ R là (L)−đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập đóng F , tập mởG sao choF ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε4) Nếu A là tập (L)−đo được thì các tập x + A, xA cũng là (L)−đo được và :µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A)5) Độ đo Lebesgue là đủ, σ− hữu hạn2 PHẦN BÀI TẬP1. Bài 1 Cho không gian độ đo (X, F, µ), tập Y = ø và ánh xạ ϕ : X −→ Y Ta định nghĩa :A = {B ⊂ Y : ϕ−1(B) ∈ F }Chứng minh A là σ−đại số trên Y và γ là độ đo xác định trên FGiải• Ta kiểm tra A thỏa hai điều kiện của σ−đại số :i. Ta có Y ∈ A vì ϕ−1(Y ) = X ∈ FGiả sử B ∈ A, ta cần chứng minh Bc= Y \ B ∈ A. Thật vậy, ta cóϕ−1(Y \B) = ϕ−1(Y )\ϕ−1(B) = X\ϕ−1(B)ϕ−1(B) ∈ F ( do B ∈ A) nên X \ ϕ−1(B) ∈ F⇒ ϕ−1(Y \ B) ∈ F hay Y \ B ∈ Aii. Giả sử Bn∈ A(n ∈ N∗) và B =∞n=1Bn. Ta cóϕ−1(B) =∞n=1ϕ−1(Bn)ϕ−1(Bn) ∈ F (n ∈ N∗)⇒ ϕ−1(B) ∈ F hay B ∈ A.• Tiếp theo ta kiểm tra γ là độ đo.Với B ∈ A ta có ϕ−1(B) ∈ F nên số µ[ϕ−1(B)] xác định, không âm. Vậy số γ(B) ≥ 0,xác định.i. Ta có γ(ø) = µ[ϕ−1(ø)] = µ(ø) = 0ii. Giả sử Bn∈ A (n ∈ N∗), Bn∩ Bm= ø (n = m) và B =∞n=1Bn.Ta cóϕ−1(B) =∞n=1ϕ−1(Bn),ϕ−1(Bn) ∩ ϕ−1(Bm) = ϕ−1(Bn∩ Bm) = ø (n = m).⇒ µ[ϕ−1(B)] =∞n=1µ [ϕ−1(Bn)] (do tính σ−cộng của µ)⇒ γ(B) =∞n=1γ(Bn)3 2. Bài 2 Cho không gian độ đo (X, F, µ) và các tập An∈ F (n ∈ N∗). Đặt :B =∞k=1∞n=kAn(Tập các điểm thuộc mọi Antừ một lúc nào đó)B =∞k=1∞n=kAn(Tập các điểm thuộc vô số các An).Chứng minh1) µ(B) ≤ limn→∞µ(An)2) µ(C) ≥ limn→∞µ(An) Nếu có thêm điều kiện µ(∞n=1An) < ∞Giải2) Đặt Ck=∞n=kta có :Ck∈ F (k ∈ N∗), C1⊃ C2⊃ . . . , µ(C1) < ∞; C =∞k=1CkDo đó : µ(C) = limk→∞µ(Ck) (1)Mặt khác ta có Ck⊃ Aknênµ(Ck) ≥ µAk∀k ∈ N∗vàlimk→∞µ(Ck) ≥ limk→∞µ(Ak) (2)Từ (1), (2) ta có đpcm.3. Bài 3 : Cho σ−đại số F và ánh xạ :µ : F −→ [0, ∞]thỏa mãn các điều kiện sau :i. µ(ø) = 0ii. Nếu A1, A2∈ F, A1∩ A2= ø thì µ(A1∪ A2) = µ(A1) + µ(A2)(Ta nói µ có tính chất cộng hữu hạn)iii. Nếu An∈ F (n ∈ N∗), A1⊃ A2⊃ . . . và∞n=1An= ø thì limn→∞µ(An) = 0 Chứngminh µ là độ đo.GiảiGiả sử Bn∈ F (n ∈ N∗), Bn∩ Bm= ø (n = m) và B =∞n=1Bn, ta cần chứng minhµ(B) =∞n=1µ(Bn) (1)4 ĐặtCk=∞n=kBn(k = 1, 2 . . .),ta cóCk∈ F, C1⊃ C2⊃ . . .vàB = B1∪ . . . ∪ Bn∪ Cn+1∞k=1Ck= ø (Xem ý nghĩa tập C, bài 2 và giả thiết về các Bn)⇒µ(B) =nk=1µ(Bk) + µ(Cn+1) (2) ( do tính chất ii.)limm→∞µ(Cn) = 0 ( do tính chất iii.)Cho n → ∞ trong (2) ta có (1).4. Bài 4 : Ký hiệu µ là độ đo Lebesgue trên R. Cho A ⊂ [0, 1] là tập (L)−đo được vàµ(A) = a > 0. Chứng minh rằng trong A có ít nhất một cặp số mà hiệu của chúng là sốhữu tỷ.GiảiTa viết các số hữu tỷ trong [0, 1] thành dãy {rn}nvà đặt An= rn+ A (n ∈ N∗). Ta chỉcần chứng minh tồn tại n = m sao cho An∩ Am= ∅. Giả sử trái lại, điều này khôngđúng. Khi đó ta cóµ(∞n=1An) =∞n=1µ(An) (1)Mặt khác, ta cóµ(An) = µ(A) = a,∞n=1An⊂ [0, 2]Do đó vế phải của (1) bằng +∞ còn vế trái ≤ 2, vô lý5. Bài 5 : Cho tập (L)− đo được A ⊂ R. Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ Cvới B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L)−đo được, có độ đo Lebesgue bằng 0.GiảiDo tính chất 3) của độ đo Lebesgue, với mỗi n ∈ N∗ta tìm được tập mở Gn⊃ A sao choµ(Gn\ A) <1nĐặt B =∞n=1Gnvà C = B \ A.Ta có B là (L)− đo đưực và do đó C cũng là (L)− đo được. VìC ⊂ Gn\ A ∀n = 1, 2, . . .nên ta có :µ(C) ≤1n∀n = 1, 2, . . .Vậy µ(C) = 0.5 6. Bài 6 : Cho tập L− đo được A ⊂ [0, 1] với µ(A) = a > 0. Chứng minh:1) Hàm f(x) = µ(A ∩ [0, x]) liên tục trên [0, 1].2) ∀b ∈ (0, a) ∃B ⊂ A : B (L)− đo được, µ(B) = bGiải1) Với 0 ≤ x < y ≤ 1 ta cóf(y) =µ(A ∩ [0, y])=µ(a ∩ [0, x]) + µ(A ∩ (x, y])⇒ f(x) − f(y) = µ(A ∩ (x, y])⇒ 0 ≤ f(x) − f(y) ≤ y − xDo đó f liên tục trên [0, 1]2) Ta có f(0) = 0, f(1) = a và f liên tục nên tồn tại xo∈ (0, 1) thỏa f(xo) = b hayµ(A ∩ [0, x]) = b. Tập B := A ∩ [0, xo] cần tìm.6 . của R mà mỗi A ∈ F gọi là một tập đo dược theoLebesgue (hay (L)− đo được) và một độ đo µ xác định trên F (gọi là độ đo Lebesguetrên R ) thỏa mãn các tính. (L) đo được và :µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A)5) Độ đo Lebesgue là đủ, σ− hữu hạn2 PHẦN BÀI TẬP1. Bài 1 Cho không gian độ đo (X, F, µ), tập Y = ø và ánh