Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, Năm 2014 Mưc lưc Mð ƒu Líi c£m ìn B£ng k‰ hi»u Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 1.2 Nỵi rºng º o 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 H m o ÷ỉc 1.4 C¡c kh¡i ni»m cıa gi£i t‰ch h m 1.4.1 1.4.2 Tch phƠn theo quan im ca lỵ thuyt o 2.1 Tch phƠn Lebesgue tru tữổng 2.2 Chuyn giợi hn dữợi dĐu tch phƠn Le 2.3 Tch phƠn Riemann v t‰ch ph¥n Le 2.3.1 T‰ch ph¥n: C¡ch ti‚p c“n theo gi£i t‰ch h m 3.1 T‰ch ph¥n c§p v trung b…nh Dan 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 Mð rºng t‰ch ph¥n 3.3 T‰nh o ÷ỉc Daniell 3.3.1 3.3.2 3.4 Sü t÷ìng ÷ìng giœa kh£ t‰ch Daniell v 3.5 T‰nh ch§t Maximality T i li»u tham kh£o M u Lỵ thuyt o v tch phƠn l nãn tÊng xƠy dỹng cho nhiãu mổn khoa hồc chuyản ng nh nhữ: Lỵ thuyt xĂc suĐt, giÊi tch h m — ch÷ìng tr…nh o t⁄o i hồc, cao hồc  bữợc u nghiản cứu vã lỵ thuyt o, tch phƠn Trong lun vôn n y s sò dửng cĂc kt quÊ cỡ bÊn vã º o v t‰ch ph¥n ð b“c ⁄i håc v Cao hồc nghiản cứu sƠu hỡn vã Tch phƠn theo quan i”m º o Ngo i ra, lu“n v«n trung nghiản cứu vã cĂch tip cn tch phƠn theo quan i”m cıa gi£i t ‰ch h m Ta  bit rng lợp h m khÊ tch Riemann rĐt hàp bao gỗm cĂc h m s m cĂc i”m gi¡n o⁄n câ th” bä qua üìc CỈn c¡c h m sŁ o ÷ỉc tŒng qu¡t th… nâi chung câ th” khỉng kh£ t‰ch Riemann (v‰ dư nh÷ h m sŁ Dirichlet) ” v÷ỉt qua ÷ỉc sü h⁄n ch‚ Đy, Lebesgue  chia miãn lĐy tch phƠn th nh cĂc nhọ, mỉi bao gỗm nhng im ứng vỵi gi¡ trà gƒn cıa f(x), theo quan i”m cỡ bÊn õ Lebesgue  xƠy dửng mt khĂi niằm tch phƠn tng quĂt hỡn, Ăp dửng cho tĐt cÊ c¡c h m sŁ o ÷ỉc v bà ch°n Ngo i ra, chuyn giợi hn dữợi dĐu tch phƠn ca tch phƠn Lebesgue khổng cn ặi họi kht khe vã iãu kiằn hi tử ãu nhữ tch phƠn Riemann, t õ ữa ữổc nhiãu kt quÊ quan trồng nh÷ t‰nh hºi tư ìn i»u, hºi tư bà l m trºi Tuy nhi¶n, n‚u muŁn mð rng nh nghắa tch phƠn v o nhng lắnh vỹc phức hỡn nhữ xt tnh tuyn tnh, tch phƠn trản khổng gian Banach th tch phƠn Lebesgue gp khõ khôn Do õ, lun vôn trung nghiản cứu phữỡng phĂp tip cn tch phƠn bng giÊi tch h m, sò dửng tnh tuyn tnh v cĐu trúc liản tửc ca tch phƠn sỡ cĐp xƠy dỹng tch phƠn trản Daniell I (f) = inf " I (h) : h E ; f h Khi õ I cõ ữổc cĂc tnh chĐt nhữ: I l h m khæng gi£m; I l tuy‚n t‰nh; I l h m - cng tnh dữợi Ngo i ra, tữỡng ứng vợi tch phƠn trản I l trung bnh Daniell k:k : R ! [0; 1] cho bði f 7!I (jfj) vợi cĂc tnh chĐt cỡ bÊn nhữ tnh thun nhĐt tuyằt i, tnh cng tnh dữợi m ữổc CĂc inh lỵ hi tử ỡn iằu, hi tử b tri theo trung b…nh cơng d„ d ng ÷ỉc chøng minh iãu c biằt ca tch phƠn Daniell l xƠy dỹng tch phƠn trữợc rỗi mợi nh nghắa khĂi niằm º o Khi â, º o Lebesgue ⁄t ÷ỉc nh÷ l tch phƠn ca h m ch tiảu CĂc tnh chĐt cỡ bÊn nhữ cng tnh, tnh o ữổc ca t“p Borel l h» qu£ cıa t‰ch ph¥n T‰nh o ÷ỉc Daniell mỉ t£ c§u tróc àa ph÷ìng cıa qu¡ trnh khÊ tch Daniell v sò dửng tch phƠn Daniell d d ng chứng minh ữổc nh lỵ biu din Riesz cho phi‚m h m tuy‚n t‰nh bà ch°n tr¶n khỉng gian C(X) cıa c¡c h m li¶n tưc tr¶n khæng gian tæpæ compact X Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n v t i li»u tham kh£o, lu“n v«n ÷ỉc chia l m ba ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Ki‚n thøc chu'n bà Ch÷ìng n y tr…nh b y nhœng ki‚n thøc cì b£n v• º o, mð rºng º o v c¡c ki‚n thøc cì b£n v• gi£i t‰ch h m l m cì sð ” x¥y düng nºi dung cĂc chữỡng tip theo Chữỡng 2: Tch phƠn theo quan i”m º o Ch÷ìng n y tr…nh b y c¡ch xƠy dỹng tch phƠn ca h m o ữổc - tch phƠn Lesbegue, cĂc nh lỵ vã chuyn giợi hn dữợi dĐu tch phƠn, tch phƠn Riemann v tch phƠn Lebesgue trản R v mt s tnh chĐt ca tch phƠn Chữỡng 3: Tch phƠn: Tip cn bng giÊi tch h m Ch÷ìng n y l phƒn ch ‰nh cıa lun vôn, trnh b y cĂch xƠy dỹng tch phƠn trản Daniell, trung bnh Daniell v cĂc tnh chĐt, kh¡i ni»m o ÷ỉc Daniell, sü t÷ìng ÷ìng giœa kh£ t‰ch Lebesgue v kh£ t‰ch Daniell, t‰nh ch§t maximality cıa trung b nh Daniell Lới cÊm ỡn Trữợc tr…nh b y nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n t¡c giÊ xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi PGS.TS Phan Vit Thữ ngữới  tn tnh hữợng dÔn tĂc giÊ Cũng to n th cĂc thy cổ gi¡o khoa To¡n - Cì - Tin håc, thƒy cổ t b mổn "Lỵ thuyt xĂc suĐt v thng kả toĂn hồc" trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ Nhiản  tn tnh dy bÊo tĂc giÊ sut quĂ trnh hồc ti trữớng ỗng thới tĂc giÊ cụng gòi lới cÊm ỡn tợi cĂc ỗng nghiằp Khoa Khoa håc Cì b£n, ban gi¡m hi»u tr÷íng ⁄i hồc Sao ọ  giúp ù v to iãu kiằn tŁt nh§t ” t¡c gi£ ho n th nh khâa hồc NhƠn dp n y tĂc giÊ cụng xin ữổc gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh tợi gia nh, bn b  luổn tổi c vụ, ng viản, gióp ï t¡c gi£ C£m ìn c¡c b⁄n lỵp  gõp ỵ giúp ù tĂc giÊ lun vôn n y Do lƒn ƒu mỵi l m quen vỵi cổng tĂc nghiản cứu khoa hồc v cặn hn ch vã ngoi ng, thới gian nản l m lun v«n khỉng tr¡nh khäi nhœng sai sât T¡c gi£ mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ v nhng ỵ kin phÊn bi»n cıa qu‰ thƒy cæ v b⁄n åc H nºi, th¡ng 08 n«m 2014 T¡c gi£ lu“n v«n Nguy„n Thà Hu» B£ng k‰ hi»u M : T“p t§t c£ c¡c t“p M([a; b]): - o ÷ỉc - ⁄i sŁ Lebesgue sinh bði [a; b] MR: Lỵp c¡c h m thỹc o ữổc M: Lợp cĂc o ữổc cıa M(k:k): T“p hỉp t§t c£ c¡c trung b…nh trản E trũng vợi k:k trản E+ L1( ; F; ): T“p hỉp c¡c h m kh£ t‰ch Lebesgue tr¶n L1(k:k): T“p hæp c¡c h m kh£ t‰ch Łi vỵi trung b…nh k:k Cho E l mºt d n v†ctì âng vỵi ph†p ch°t cưt ho°c l d n v nh â: E: Bao âng cıa E u : Bao âng •u cıa E E " E := E F: : Giao cıa t§t c£ c¡c d n âng chøa - ⁄i sŁ c¡c t“p cıa n o F := f R : kfk < 1A (x) := ( h Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà Ch÷ìng n y s‡ h» thŁng l⁄i kin thức vã o, phữỡng phĂp nợi rng o, h m o ữổc, nh lỵ Stone Weierstrass, nh lỵ vã lợp h m thỹc CĂc kin thức n y s ữổc sò dửng nhiãu cĂc chữỡng sau C¡c nºi dung cıa phƒn n y t¡c gi£ tham kh£o chı y‚u c¡c t i li»u [1], [3], [4], [6], [8] 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n ành ngh¾a 1.1 Mºt t“p hỉp c¡c F cıa l mºt ⁄i sŁ n‚u (i) ;2F c (ii) N‚u A F th… A = nA F (iii) N‚u A; B F th… A [ B F F gåi l (iii)’ N‚u Ai F th… N‚u F l ành ngh¾a 1.2 T“p hỉp S c¡c t“p ca ữổc gồi l nòa v nh nu: (i) ;2S nh lỵ 3.18 GiÊ sò rng (E,I) l mt tch phƠn sỡ cĐp v k:k l trung bnh Daniell, A M n‚u v ch¿ n‚u (3.13) kEk = kE \ Ak + kEnAk vỵi måi E : Chøng minh °t M l t“p hỉp t§t c£ c¡c t“p thäa m¢n (3.13), ta s‡ chøng tä r‹ng M trịng vợi hồ tĐt cÊ cĂc o ữổc M iãu ki»n cƒn: Gi£ sß A M v cho E N‚u kEk = 1, (3.13) thäa m¢n theo t‰nh cng tnh dữợi Nu kEk < th theo nh lỵ 3.7 cõ L1 B E thọa mÂn kEk = kBk BŒ • 3.7 chøng tä r‹ng c£ B \ A v BnA l tnh cng tnh dữợi cıa trung b…nh v =I(1B V… v“y A M iãu kiằn : Thỹc hiằn li cĂc bữợc chứng minh ca nh lỵ 1.7 ta s chứng c tọ ÷ỉc r‹ng M l - ⁄i sŁ Theo ành ngh¾a , rª r ng A M n‚u v ch¿ n‚u A M Ta chøng tä r‹ng M l hổp m ữổc, nõ xt dÂy cĂc fAngn2N M æi mºt khæng giao Ta chøng tä b‹ng quy n⁄p r‹ng kEk Vỵi måi E Vỵi n = 1, nõ l mÂn vợi n T An+1 M c kE \ ( Ak )k = kE \ ( n+1 \ c = kE \ An+1k + kE \ ( A k)k k=1 n Theo t‰nh vœng ch›c kE \ ( k=1 S c Ak) k kE \ ( S c c A k) k Do â theo (3.14) k=1 54 v t‰nh cºng tnh dữợim ữổc ca trung bnh k:k , n X [ kEk = lim ( kE \ Akk + kE \ ( Ak)ck ) n!1 k=1 X [ k=1 c kE \ Akk + kE \ ( Ak) k k=1 [ kE \ k=1 k=1 [ Akk + kE \ ( c k=1 Ak) k kEk Do â [ Ak M , v ta k‚t lu“n r‹ng M l - ⁄i sŁ k=1 Gi£ sß A M v cho E L1 Chøng minh i•u ki»n cƒn chøng tä r‹ng M l chøa t“p kh£ t‰ch Do â E \A M Theo nh lỵ 3.7 th cõ L1 A \E thäa m ¢n kE \ Ak = kBk Tł kBk = kB \ (E \ A)k + kBn (E \ A)k = kBk + kBn (E \ A)k nâ chøng tä r‹ng kBn (E \ A)k = V… v“y, E \ A L1 BŒ • 3.7 suy l A2M B ã 3.9 Cho k:k = nhữ (3.12) v cho k:k l trung b…nh Daniell Th… Chứng minh Theo nh nghắa, = k:k trản R GiÊ sò (A) < th cõ dÂy S P fAng R thäa m¢n A An v I (An) < (A) + " Nâ chøng tä tł sü hºi tö n bà trºi cıa Daniell r‹ng B n S n An R \ L1 Cịng vỵi (A) = inf fI (B) :A nh lỵ 3.7 cõ nghắa rng B Rg = kAk : nh lỵ sau s tõm lữổc kt quÊ ca mửc n y nh lỵ 3.19 (Daniell Stone) Cho (E; I) l mºt t‰ch ph¥n c§p v k:k l trung b…nh Daniell cıa nâ v M l cĂc h m o ữổc i vợi k:k Th… v = k:k x¡c (E) ành mºt o trản khổng gian o ữổc ( ; M) thäa m¢n 55 M (E) = I (E) = kEk ; E M v — ¥y I l I (f) = R fd mð rºng Daniell cıa (E; I) Ngo i ra, vỵi f L1 x¡c E ành nhĐt trản v nh R (E) v nh t⁄o bði f (B) : f E; B B (Rn f0g) N‚u câ mºt h m d÷ìng thüc sü f L1( ; (E) ; ) th… R (E) = (E) : Gi£ sß X l mºt khỉng gian Hausdorf comp›c àa ph÷ìng v I l mºt phim h m tuyn tnh dữỡng trản C00(X) Kt quÊ ÷ỉc tr…nh b y sau ¥y chøng tä r‹ng (E,I) l tch phƠn sỡ cĐp l mt phim h m tuyn tnh dữỡng trản E = C00(X) B ã 3.10 GiÊ sò I + Nu dÂy ffng C00 v im th Ifn& 0: fn&0 theo tng Chứng minh nh lỵ Dini suy r‹ng fn&0 •u Do K = supp (f1) l compact Câ g C00(X) thäa m¢n K g Khi â, cho " > câ N thäa m¢n n N câ suy " f (x) < n V… v“y + I(g) g(x); 8x X "I(g) I(f ) < n + I(g) < "; n > N: Cho G, F v K t÷ìng øng l t“p hỉp c¡c t“p mð, âng X nh lỵ 3.20 Cho k:k l trung bnh Daniell tr¶n (E,I) â (i) kKk < 1; 8K K (ii) Vỵi måi G G kGk = sup fI ( ) : 0Gg = sup kKk : K K G (iii) Trung b…nh Daniell l cºng t‰nh tr¶n G (iv) F M tøc l t“p âng l o ÷ỉc 56 Chøng minh (i) K °t G G K vợi G K Theo nh lỵ Urysohn, câ E vỵi G Do â kKk k k = I ( ) < (ii) ƒu ti¶n ta chøng minh flng thøc b¶n ph£i °t E+ 1G Vỵi mØi f n n2E Cho " > th cõ N lợn thọa mÂn Biu thức trĂi ca (3.15) ữổc chứng minh Nu G th… K K = supp ( ) G v k k = I ( ) kKk kGk suy bi”u thøc ð v‚ ph£i ÷ỉc chøng minh 0 (iii) Cho G; G G ríi Theo t‰nh cng tnh dữợi m ữổc kG [ G k kGk + kG k M°t kh¡c n‚u 0G v 0 â V… v“y k (iv) Ta s‡ chøng minh rng mồi F F thọa mÂn iãu kiằn o ữổc CaratheodoryDaniell (3.13) Vợi E X bĐt ký, t E G G Tł â GnF l t“p mð, t (3.15) v nh lỵ D.0.15 cõ dÂy fVng G vợi fVng K thọa mÂn Vn Vn Vn+1 GnF v kVnk % kGnF k Phƒn (iii) chøng tä r‹ng kGk kGn@Vnk = GnVn + kVnk kG \ F k + kVnk Khi n % th… kGk kG \ F k + kGnF k kE \ F k + kEnF k Do â theo (3.7) ta k‚t lu“n r‹ng kEk = infkGk : E Nâ chøng tä r‹ng t“p âng l G 2G kE \ F k + kEnF k kEk o ÷ỉc, â (F ) =B(X) X Mºt trung b…nh tr¶n R ho°c mºt º o ngo i trản P(X) ữổc gồi l chnh quy nu t‰nh ch‰nh quy ngo i (3.7) v ch‰nh quy (3.15) ữổc thọa mÂn 57 G nh lỵ 3.21 ( nh lỵ biu din Riesz) GiÊ sò I l mt phim h m tuyn tnh dữỡng trản C00 (X) Khi õ tỗn ti nhĐt o Radon I chnh quy ı x¡c ành tr¶n mºt - ⁄i sŁ MI B(X) thäa m¢n Z I (f) = f d I ; f C00 (X) X Nu thảm iãu kiằn I l liản tửc th Il hu hn vợi kIk = I (X) = kXk : Chøng minh Theo bŒ ã 3.10 th (E; I) l tch phƠn sỡ cĐp Theo nh lỵ 3.19 th l chnh quy trản M B(X) T nh lỵ Daniell Stone suy iãu phÊi chøng minh N‚u I li¶n tưc, tøc l n‚u jI (f)j kIk kfku vỵi f E th… tł t‰nh ch‰nh quy suy I (X) kI (X)k Ng÷ỉc li, jI (f)j = nh lỵ 3.22 ( nh lỵ Lusin): Cho f l mºt h m phøc o ÷ỉc N‚u A M, c (A) < v ff = 0g A th… vỵi måi " > câ g C00 (X) thäa m¢n (ff 6= gg) < " Ngo i n‚u f l bà ch°n câ th” chån g ” kgku kfku Chøng minh Phƒn ƒu l cõ t nh nghắa o ữổc Daniell ca h m phức Chứng minh mằnh ã trản, giÊ sò: R = kfku < 1, x†t ¡nh x⁄ ’ tr¶n C cho bði ’ (z) = z1 fjzj Rg (z) + R z jzj N‚u g C00 (X) thäa m¢n (ff 6= gg) < " x¡c ành g = ’ (g) th… kgku kfku v tł ff 6= gg ff 6= g g, (3.16) ữổc thọa mÂn Hằ quÊ 3.3 Cho f v A nhữ nh lỵ Lusin Câ mºt d¢y fgng C00 (X) thäa m ¢n kgnku kfku v gn ! f - hƒu ch›c ch›n 58 nh lỵ 3.23 (Vitali - Caratheodory) GiÊ sò f L1 ( ) \ R Vỵi måi " > tỗn ti cĂc h m u f v thọa mÂn u v v tữỡng ứng l cĂc h m nòa liản tửc R trản v nòa liản tửc dữợi v 3.5 u) d < " Tnh chĐt Maximality N‚u k:k v k:k v (v l hai trung b…nh trản d n vctỡ E õng vợi php cht cửt, kfk kfk vỵi måi f R , th… nâ chøng tä r‹ng L1(k:k ) L1(k:k) Khi k:k = k:k l trung bnh Daniel ca tch phƠn sỡ cĐp (E, I), mt cƠu họi tỹ nhiản ữổc t l câ c¡c trung b…nh kh¡c bà trºi bði k:k , m trung b…nh â t⁄o hå lỵn hìn c¡c h m kh£ t‰ch sü hºi tö bà ch°n ữổc thọa mÂn Ta s thĐy rng trung bnh Daniel l trung bnh maximal trản ( E, I) thọa mÂn k k = I (j j) vỵi måi E Nõ cõ nghắa rng trung bnh Daniel cung cĐp m rng nhọ nhĐt ca tch phƠn sỡ cĐp m dÂy Cauchy hºi tư v sü hºi tư bà trºi ÷ỉc thọa m Ân B ã 3.11 GiÊ sò rng E l t“p hæp c¡c h m bà ch°n v l mºt d n v†ctì âng vỵi ph†p ch°t cưt ho°c l v nh N‚u k:k v k:k l c¡c trung bnh thọa mÂn k k k k vợi mồi E, th… kfk kfk vỵi måi f E : Chøng minh Cho f L1(k:k ), v gi£ sß f ng E hºi tö ‚n f theo trung b…nh k:k = lim k nk lim k k = kfk : n Cho h E n Theo nh lỵ hºi tư ìn i»u k h2E, khk = kjhjk kjhjk = khk : 59 B ã 3.12 Vợi mồi trung bnh k:k ca E tỗn ti trung bnh maximal k:k trũng vợi k:k trản E+ Chứng minh Cho M(k:k) l hổp tĐt cÊ cĂc trung bnh trản E trũng vợi k:k trản E+ XĂc nh b b kfk = supfkfk : k:k M(k:k)g: Rª r ng k:k trịng vợi k:k trản E Tnh thun nhĐt tuyằt i, tnh vng d d ng ữổc chứng minh Nõ cặn chứng tọ rng k:k l cng tnh dữợi m ữổc b Cho ffng l mºt d¢y cıa c¡c h m khỉng ¥m Th…, vỵi måi k:k M(k:k) nâ chøng tä r‹ng X X b k n X b fnk n kfnk n kfnk : b Bng cĂch lĐy supremum vữổt qua k:k M(k:k), chóng ta câ X X k n fnk n ÷ỉc kfnk : Mºt trung b…nh k:k trản E l maximal nu nõ trũng vợi (3.17) Kt qu£ ti‚p theo l °c tr÷ng cho måi trung b…nh maximal ca E nh lỵ 3.24 GiÊ sò k:k l trung b…nh maximal cıa E Th… kfk = inffkhk : jfj h E g } } Chøng minh K‰ hi»u bði k:k bi”u thøc v‚ ph£i cıa (3.18) Rª r ng, k:k hºi tö ‚n k:k l k:k v } ỗng ỵ vợi k:k trản E V vy, d d ng kim tra ữổc rng k:k } ỗng nhĐt tuyằt i, thọa mÂn tnh vng Nu ta chứng tọ ữổc rng } l sò cng tnh dữợi m ÷æc, th… (3.18) s‡ ÷æc chøng tä l“p tøc Gi£ } kfnk P n < r < th… tỗn ti h m hn E thọa m Ân j fnj h n v 60 Tł â, j n fnj P r‹ng chøng tä X X } k P } V“y k fnk = P n fnk X k hnk n khnk < r n } khnk : n n B ã 3.13 GiÊ sò k:k l trung bnh maximal cıa E Th… vỵi måi f F(k:k )+, tỗn ti h E , f h thọa mÂn kfk = khk nh lỵ 3.25 Cho E l t“p hæp c¡c h m bà ch°n v l d n v†ctì âng vỵi ph†p ch°t cưt ho°c l v nh (i) Nu (E; I) l tch phƠn sỡ cĐp v k:k l trung b…nh Daniell, th… k:k l trung bnh maximal trũng vợi I trản E+ (ii) Mồi trung b…nh maximal k:k cıa E thäa m¢n sup k n Vợi mồi dÂy khổng giÊm ffng " Chứng minh (i) Tł E R+ E , ta câ ÷ỉc kfk = supfkhk : jfj h2E " supfkfk : jfj h E g = kfk T‰nh maximal cıa trung b…nh Daniell ÷ỉc chøng tä tł (3.18) (ii) N‚u sup kfnk = th… khæng câ g… cƒn chøng minh Gi£ sò sup kfnk < 1, n n t b ã 3.13 cõ dÂy fhng E \ L1(k:k) vợi fn hn thäa m¢n kfnk = khnk D¢y fn = infk n hk L l khỉng gi£m vỵi fn fn hn; Do â, kfnk = fn Sü hºi tö ìn = khnk i»u chøng tä r‹ng fn hºi tö theo trung b…nh ‚n sup fn V… v“y sup f k n BĐt flng thức ngữổc li sup kfnk n nk ksup fnk , chøng tä t‰nh vœng tł fn n 61 Kt lun chung Lun vôn  tr…nh b y ÷ỉc mºt sŁ nºi dung cì b£n nhữ: Thứ nhĐt: XƠy dỹng tch phƠn ca h m o ữổc theo phữỡng phĂp tch phƠn Lebesgue Xt ữổc cĂc iãu kiằn chuyn giợi hn dữợi dĐu tch phƠn Lebesgue, ữa nh lỵ vã sỹ hi tử ỡn i»u, hºi tư bà l m trºi Sü t÷ìng ÷ìng ca tch phƠn Lebesgue v tch phƠn Riemann trản R Thứ hai: XƠy dỹng tch phƠn trản Daniell t tch phƠn cỡ bÊn (E; I) Xt t nh o ữổc Daniel nhữ l tnh chĐt a phữỡng ca tnh khÊ tch Xt ữổc cĂc tnh chĐt cỡ bÊn ca tch phƠn Daniell v trung bnh Daniell tữỡng ứng ca t ch phƠn So sĂnh ữổc sỹ tữỡng ữỡng gia tnh kh£ t‰ch Daniell v kh£ t‰ch Lebesgue Ch¿ ÷ỉc t‰nh ch§t maximality cıa trung b…nh Daniell V… thíi gian v kin thức cặn hn ch nản lun vôn khổng tr¡nh khäi thi‚u sât T¡c gi£ mong nh“n ÷ỉc sü quan tƠm, õng gõp ỵ kin ca cĂc thy cổ v cĂc bn ỗng nghiằp lun vôn ữổc ho n thi»n hìn T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn! 62 T i li»u tham kh£o [1] “u Th‚ C§p, Gi£i t‰ch h m, NXB Gi¡o dưc, 2002 [2] Nguyn XuƠn Liảm, GiÊi tch, NXB GiĂo dửc, 1998 [3] Nguyn Vit Phú, Nguyn Duy Tin, Cỡ s lỵ thuyt X¡c su§t, NXB ⁄i håc QuŁc gia H Nºi, 2004 [4] ng Hũng Thng, XĂc suĐt nƠng cao, NXB i håc QuŁc gia H Nºi, 2013 [5] Nguy„n Duy Ti‚n, Vụ Vit Yản, Lỵ thuyt xĂc suĐt, NXB GiĂo dửc, 2004 [6] Ho ng Töy, Gi£i t‰ch hi»n ⁄i, NXB Gi¡o döc, 1979 [7] Bartle, Robert G, The elements of integration and Lebesgue measure, Wiley Classics Library, New York, 1995 [8] Bauer, Heinz, Measure and Integration Theory, De Gruyter Studies in Math-ematics 26, Berlin, 2001 [9] Munroe, M E, Introduction to measure and integration, Cambridge, Mass: Addison-Wesley Publishing Company Inc, 1953 [10] Oliver R D‰az - Espinosa, Integration and Measure Theory, SAMSI Duke University, 2010 [11] P.Billing, Probability and Measure, Willey, New York 1995 [12] P Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York, 1982 63 [13] R.M.Dudley, Real Analysis and Probality, Cambridge Uni, New York, 2002 [14] Shilov, G.E, and Gurevich, B.L., Integral, Measure, and Derivative: A Uni-fied Approach, Richard A [15] Walter Rudin, Real and complex analysis, McGraw-HillBook Co, New York, 1987 64 ... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA