Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

Header Page of 16 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 Footer Page of 16 Header Page of 16 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, Năm 2014 Footer Page of 16 Header Page of 16 Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Nới rộng độ đo 10 1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue 11 1.2.2 Độ đo Lebesgue độ đo Lebesgue- Stieltjes 13 1.2.3 Độ đo Hausdorff không gian Metric 14 1.3 Hàm đo 15 1.4 Các khái niệm giải tích hàm 17 1.4.1 Định lý Stone –Weierstrass 17 1.4.2 Các lớp đơn điệu hàm số 19 Tích phân theo quan điểm lý thuyết độ đo 21 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng 21 2.2 Chuyển giới hạn dấu tích phân Lebesgue 24 2.3 Tích phân Riemann tích phân Lebesgue R 29 2.3.1 31 Một số tính chất tích phân Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 3.1 Tích phân sơ cấp trung bình Daniell 34 3.1.1 35 Tích phân Daniell Footer Page of 16 34 Header Page of 16 3.1.2 Trung bình Daniell 37 3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình 41 3.2 Mở rộng tích phân 44 3.3 Tính đo Daniell 47 3.3.1 Tính đo 48 3.3.2 Tính đo không gian mêtric 52 3.4 Sự tương đương khả tích Daniell khả tích Lebesgue-Caratheodory 53 3.5 Tính chất Maximality Tài liệu tham khảo 63 Footer Page of 16 59 Header Page of 16 Mở đầu Lý thuyết độ đo tích phân tảng xây dựng cho nhiều môn khoa học chuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm Ở chương trình đào tạo đại học, cao học bước đầu nghiên cứu lý thuyết độ đo, tích phân Trong luận văn sử dụng kết độ đo tích phân bậc Đại học Cao học để nghiên cứu sâu Tích phân theo quan điểm độ đo Ngoài ra, luận văn tập trung nghiên cứu cách tiếp cận tích phân theo quan điểm giải tích hàm Ta biết lớp hàm khả tích Riemann hẹp bao gồm hàm số mà tập điểm gián đoạn bỏ qua đựơc Còn hàm số đo tổng quát nói chung không khả tích Riemann (ví dụ hàm số Dirichlet) Để vượt qua hạn chế ấy, Lebesgue chia miền lấy tích phân thành tập nhỏ, tập bao gồm điểm ứng với giá trị gần f (x), theo quan điểm Lebesgue xây dụng khái niệm tích phân tổng quát hơn, áp dụng cho tất hàm số đo bị chặn Ngoài ra, chuyển giới hạn dấu tích phân tích phân Lebesgue không cần đòi hỏi khắt khe điều kiện hội tụ tích phân Riemann, từ đưa nhiều kết quan trọng tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị làm trội Tuy nhiên, muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào lĩnh vực phức tạp xét tính tuyến tính, tích phân không gian Banach tích phân Lebesgue gặp khó khăn Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phương pháp tiếp cận tích phân giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính cấu trúc Footer Page of 16 Header Page of 16 liên tục tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân Daniell I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h Khi I ∗ có tính chất như: I ∗ hàm không giảm; I ∗ tuyến tính; I ∗ hàm σ - cộng tính Ngoài ra, tương ứng với tích phân I ∗ trung bình Daniell ∗ Ω : R → [0, ∞] cho f → I ∗ (|f |) với tính chất tính tuyệt đối, tính cộng tính đếm Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình dễ dàng chứng minh Điều đặc biệt tích phân Daniell xây dựng tích phân trước định nghĩa khái niệm độ đo Khi đó, độ đo Lebesgue đạt tích phân hàm tiêu Các tính chất σ – cộng tính, tính đo tập Borel hệ tích phân Tính đo Daniell mô tả cấu trúc địa phương trình khả tích Daniell sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minh định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn không gian C(X) hàm liên tục không gian tôpô compact X Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức độ đo, mở rộng độ đo kiến thức giải tích hàm làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo Chương trình bày cách xây dựng tích phân hàm đo - tích phân Lesbegue, định lý chuyển giới hạn dấu tích phân, tích phân Riemann tích phân Lebesgue R số tính chất tích phân Chương 3: Tích phân: Tiếp cận giải tích hàm Chương phần luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân Daniell, trung Footer Page of 16 Header Page of 16 bình Daniell tính chất, khái niệm đo Daniell, tương đương khả tích Lebesgue khả tích Daniell, tính chất maximality trung bình Daniell Footer Page of 16 Header Page of 16 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư người tận tình hướng dẫn tác giả Cùng toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô tổ môn "Lý thuyết xác suất thống kê toán học" trường Đại học Khoa học Tự Nhiên tận tình dạy bảo tác giả suốt trình học tập trường Đồng thời tác giả gửi lời cảm ơn tới đồng nghiệp Khoa Khoa học Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành khóa học Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả Cảm ơn bạn lớp góp ý giúp đỡ tác giả luận văn Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế ngoại ngữ, thời gian nên làm luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quí thầy cô bạn đọc Hà nội, tháng 08 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Huệ Footer Page of 16 Header Page of 16 Bảng kí hiệu Mµ : Tập tất tập µ - đo M([a, b]): σ - đại số Lebesgue sinh [a, b] MR : Lớp hàm thực đo M: Lớp tập đo Ω M( ): Tập hợp tất trung bình E trùng với E+ L1 (Ω, F, µ): Tập hợp hàm khả tích Lebesgue Ω L1 ( ): Tập hợp hàm khả tích trung bình Cho E dàn véctơ đóng với phép chặt cụt dàn vành đó: E : Bao đóng E u E : Bao đóng E E ↑ := h ∈ R : ∃ {φn } ⊂ E thỏa mãn h = supn φn E Σ : Giao tất dàn đóng chứa E dàn đóng bé chứa E F: σ - đại số tập Ω Ω F := f ∈ R : f < ∞ 1A (x) := x ∈ A x ∈ /A dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hàm tiêu tập A Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương hệ thống lại kiến thức độ đo, phương pháp nới rộng độ đo, hàm đo được, định lý Stone –Weierstrass, định lý lớp hàm thực Các kiến thức sử dụng nhiều chương sau Các nội dung phần tác giả tham khảo chủ yếu tài liệu [1], [3], [4], [6], [8] 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Một tập hợp F Ω đại số (i) ∅ ∈ F (ii) Nếu A ∈ F Ac = Ω\A ∈ F (iii) Nếu A, B ∈ F A ∪ B ∈ F F gọi σ - đại số thỏa mãn (i), (ii) điều kiện (iii)’ Nếu Ai ∈ F ∞ Ai ∈ F i=1 Nếu F σ - đại số cặp (Ω, F) gọi không gian đo Định nghĩa 1.2 Tập hợp S tập Ω gọi nửa vành nếu: (i) ∅ ∈ S Footer Page 10 of 16 Header Page 52 of 16 u Ta kết luận f hàm hạn chế hàm g ∈ E B Vì vậy, f hàm đo Định lý 3.14 (i) Lớp MR hàm thực đo dàn đại số đóng với phép chặt cụt chứa E Σ (ii) Nếu f ∈ MR ϕ : R −→ R liên tục ϕ ◦ f ∈ MR (iii) Lớp M tập đo Ω σ - đại số Chứng minh (i) Cho f, f hàm đo r ∈ R Cho A ∈ L1 ε > 0, có A0 ⊂ A hàm ϕ, ϕ ∈ E u thỏa mãn A\A0 < ε |f − ϕ| = = |f − ϕ | L1 A0 Thì |f | = |ϕ|, rf + f = rϕ + ϕ , f ◦ f = ϕ ◦ ϕ |f | ∧ = |ϕ| ∧ A0 u Từ E dàn vành đóng với phép chặt cụt Ta kết luận MR Bây ta chứng tỏ 1Ω ∈ MR Đặt A ∈ L1 , theo định lý 3.11 có tập U ∈ L1 u g ∈ E thỏa mãn U < ε 1A = g U c Nếu A0 = A\U A\A0 < ε g = 1Ω A0 Từ E ⊂ MR theo định lý Egorov, tính liên tục đóng ta kết luận E ⊂ MR (ii) Theo định lý Stone Weierstrass có dãy {pn } đa thức R thỏa mãn pn hội tụ theo điểm đến ϕ Do đó, pn ◦ f ∈ MR theo định lý Egorov ϕ ◦ f ∈ MR (iii) Từ 1Ω\A = − 1A , ta kết luận M đóng với phép lấy phần bù Từ An = lim max {1Ak : ≤ k ≤ n} ta kết luận từ phần (i) định lý Egorov n n M đóng với hợp đếm Kết phân loại đầy đủ không gian L1 theo tính đo hữu hạn trung bình Bổ đề 3.7 Một tập A ∈ M A ∩ B ∈ L1 với B ∈ L1 Chứng minh Nếu A ∈ L1 với B ∈ L1 ε > có tập L1 u Bk ⊂ B hàm gk ∈ E thỏa mãn B\Bk < 2−k 1A = gk Bk Mỗi hàm fk = gk 1Bk thuộc vào L1 Ngoài ra, fk hội tụ tới 1A B = Bm k m≥k 50 Footer Page 52 of 16 Header Page 53 of 16 B\Bm ≤ 2−k+1 → 0, ta kết luận fk hội tụ hầu chắn ≤ Từ B\B m≥k tới 1A∩B Dãy fk bị trội 1B 1A∩B ∈ L1 theo hội tụ bị làm trội Giả sử A ∩ B ∈L1 với B ∈ L1 cho ε > Theo định lý 3.11, có tập u U ∈ L1 hàm φ ∈ E thỏa mãn U c < ε 1A∩B = φ U Vậy, 1A = φ B0 = B ∩ U B\B0 ≤ U < ε Ω Định lý 3.15 Một hàm f ∈ R khả tích có f ∈ F ∩ MR = {f = 0} σ - hữu hạn Do đó, E Σ ∩ F ∈ L1 Ngoài ra, với f − f (E , I ) tích phân sơ cấp ∗ trung bình Daniel ta có L1 ( ∗ ) = F ∩ MR Chứng minh Nếu f ∈ L1 f ∈ F {|f | = ∞} = Với L1 A ⊂ Ω ta có f 1A ∈ L1 ; Vậy f đo Bổ đề 3.5 chứng tỏ An = {|f | > 1/n} ∈ An σ - hữu hạn Nếu f ∈ E Σ với {φn } ⊂ E , L1 ; Vậy {f = 0} = n {f = 0} ⊂ {φn = 0} Vậy, {f = 0} σ - hữu hạn theo bổ đề 3.5 n Ngược lại, giả sử f ∈ E ∩ MR Đầu tiên ta chứng tỏ với A ∈ L1 , u hàm f 1A ∈ L1 Có tập khả tích Ak ⊂ A hàm gk ∈ E thỏa mãn A\Ak < 2−k f = gk Ak Thì hàm fk := f 1Ak hàm khả tích Chú ý Am dãy fn hội tụ theo điểm tới f Từ A = k m≥k ≤ A\A 2−m = 2−k+1 → A\Am ≤ m≥k m≥k ta kết luận fn hội tụ tới f 1A hầu chắn Từ {fk } bị trội |f | ∈ F , hội tụ bị trội có nghĩa f.1A ∈ L1 Tổng quát, giả sử {An } dãy tăng tập khả tích thỏa mãn 1Ak 1{f =0} fn := f 1An khả tích bị trội |f | Từ fn → f - hầu chắn, theo tính hội tụ bị trội ta kết luận f ∈ L1 Trong trường hợp trung bình Daniell tích phân sơ cấp (E , I ), f ∈ M An = |f | > tỏ An ∗ ≤ n f n ∗ ∈ M Nếu f ∗ < ∞ Định lý 3.7 có nghĩa với n, có L1 51 Footer Page 53 of 16 < ∞, bất đẳng thức Chebyshev chứng Header Page 54 of 16 Bn ⊃ An thỏa mãn An Vậy {f = 0} = ∗ = Bn ∗ ; Do đó, theo bổ đề 3.7, An = An ∩ Bn ∈ L1 An σ - hữu hạn n Bổ đề 3.8 Giả sử f ∈ L1 |γ ◦ f | ≤ h với hàm liên tục γ đó, với γ (0) = h ∈ F γ ◦ h ∈ L1 Định lý 3.16 Giả sử D ⊂ R trù mật Khi đó, f ∈ MR {f > d} ∈ M với d ∈ D Chứng minh Nếu f ∈ MR fn = 1∧ (n (f − f ∧ 1) ∈ MR Do đó, lim fn = n 1{f >1} ∈ MR Do đó, với d > 0, {f > d} = {f \d > 1} ∈ M {f > 0} = {f > 1/n} ∈ M Cho ≤ dn {f > dn } ∈ M Sử dụng d {f ≥ d} = n n −f thay cho f cho {f < −d} , {f ≤ −d} , {f < 0} ∈ M Từ MR , ta có 1{f >−d} = − 1{−f ≥d} ∈ MR Tương tự 1{f ≥−d} = − 1{−f >d} ∈ MR Giả sử {f > d} ∈ M với d ∈ D, {f > r} , {f ≥ r} , {f < r} , {f ≤ r} ∈ M với r ∈ R Vì fn = 2−n [2n f ] 1{|f |≤n} n2n = k=−n2n k 2n 1{k≤2n f có A0 ∈ L1 với A\A0 < ε mà f E - liên tục Ta ký hiệu ME không gian hàm đo nhận giá trị E Định lý Egorov nhận mở rộng trường hợp tổng quát 52 Footer Page 54 of 16 Header Page 55 of 16 Định lý 3.17 Giả sử {fn } dãy hàm đo nhận giá trị E hội tụ hầu chắn đến f Thì f hàm đo Ngoài ra, với A ∈ L1 ε > có L1 A0 ⊂ A với A\A0 < ε cho hội tụ A0 Chứng minh Chứng minh bổ đề 3.6 chứng tỏ mở rộng L1 với A\A0 < ε A0 ⊂ A thỏa mãn mỗifn E - liên tục A’0 Chú ý f, g E - liên tục hàm φ : ω → d (f (ω) , g (ω)) liên tục Từ |φ (x) − φ (y)| ≤ d (f (x) , f (y)) + d (g (x) , g (y)) Do φm,n = d (fn , fm ) E - liên tục A0 theo định lý Stone Weierstrass tổng quát, ta kết luận 1A0 φm,n ∈ L1 Lặp lại bước chứng minh định lý 3.12 áp dụng định lý hội tụ đơn điệu ta có L1 S (n, k) = A0 ∩ φi,j < i,j≥n k A0 với k cố định Cho S (nk , k) dãy với A0 \S (nk , k) < ε2−k−1 đặt A0 = k S (nk , k), khả tích theo định lý hội tụ đơn điệu Rõ ràng A\A0 < ε Và fn hội tụ đến f A0 Vậy f E - liên tục A0 3.4 Sự tương đương khả tích Daniell khả tích Lebesgue-Caratheodory Trung bình Daniell ∗ xác định hàm cộng tính đếm I vành R=R(E ) tạo hàm sơ cấp E Phương pháp Lebesgue-Caratheodory mở rộng tích phân I thành độ đo đủ µ σ - đại số Mµ ⊃ σ(E) thông qua độ đo µ∗ (E) = inf{ Rn , Rn ∈ R} I (Rn ) : E ⊂ n (3.12) n Trong phần tiếp theo, ta thấy hai phương pháp đưa hàm khả tích hàm đo 53 Footer Page 55 of 16 Header Page 56 of 16 Định lý 3.18 Giả sử (E ,I ) tích phân sơ cấp ∗ trung bình Daniell, A ∈ M ∗ E = E∩A ∗ ∗ + E\A (3.13) với E ⊂ Ω Chứng minh Đặt M∗ tập hợp tất tập thỏa mãn (3.13), ta chứng tỏ M∗ trùng với họ tất tập đo M ∗ Điều kiện cần: Giả sử A ∈ M cho E ⊂ Ω Nếu E theo tính cộng tính Nếu E mãn E ∗ ∗ = ∞, (3.13) thỏa mãn < ∞ theo định lý 3.7 có L1 B ⊂ E thỏa = B ∗ Bổ đề 3.7 chứng tỏ B ∩ A B\A khả tích Theo tính cộng tính trung bình định lý 3.9 ∗ 1E ∗ = 1E∩A + 1E\A ∗ ≤ 1B∩A ∗ + = 1B\A = I (1B∩A ) + I 1B\A = I (1B ) = 1E ∗ ∗ Vì A ∈ M∗ Điều kiện đủ: Thực lại bước chứng minh định lý 1.7 ta chứng tỏ M∗ σ - đại số Theo định nghĩa , rõ ràng A ∈ M∗ Ac ∈ M∗ Ta chứng tỏ M∗ hợp đếm được, đủ xét dãy tập {An }n∈N ⊂ M∗ đôi không giao Ta chứng tỏ quy nạp n E ∗ n E ∩ Ak = ∗ Ak )c + E∩( k=1 ∗ (3.14) k=1 Với E ⊂ Ω Với n = 1, theo định nghĩa Giả thiết mệnh đề thỏa mãn với n ≥ Từ An+1 ∈ M∗ n E∩( n Ack ) = E∩( k=1 n Ack ) ∩ An+1 ∗ + E∩( k=1 Ack ) ∩ Acn+1 ∗ k=1 n+1 = E ∩ An+1 ∗ Ack ) + E∩( ∗ k=1 n Theo tính vững E ∩ ( k=1 Ak )c ∗ 54 Footer Page 56 of 16 ∞ ≥ E∩( k=1 Ack )c ∗ Do theo (3.14) Header Page 57 of 16 tính cộng tính đếm trung bình ∗ , ∞ n E ∗ E ∩ Ak = lim ( n→∞ ∗ k=1 k=1 ∞ ∞ E ∩ Ak ≥ ∗ + E∩( Ak )c ∗ Ak )c ∗ k=1 ∞ k=1 ∞ ≥ E∩ Ak ∗ + E∩( k=1 ≥ E Ak )c ∗ ) + E∩( k=1 ∗ ∞ Do ∪ Ak ∈ M∗ , ta kết luận M∗ σ - đại số k=1 Giả sử A ∈ M∗ cho E ∈ L1 Chứng minh điều kiện cần chứng tỏ M∗ chứa tập khả tích Do E ∩ A ∈ M∗ Theo định lý 3.7 có L1 ⊃ A ∩ E thỏa mãn E ∩ A ∗ = B ∗ Từ B ∗ = B ∩ (E ∩ A) ∗ = B chứng tỏ B\ (E ∩ A) ∗ ∗ + B\ (E ∩ A) + B\ (E ∩ A) ∗ ∗ = Vì vậy, E ∩ A ∈ L1 Bổ đề 3.7 suy A ∈ M Bổ đề 3.9 Cho µ∗ (3.12) cho ∗ ∗ trung bình Daniell Thì = µ∗ Chứng minh Theo định nghĩa, µ∗ = {An } ⊂ R thỏa mãn A ⊂ An n ∗ R Giả sử µ∗ (A) < ∞ có dãy I (An ) < µ (A) + ε Nó chứng tỏ từ hội tụ n An ∈ R ∩ L1 Cùng với định lý 3.7 có nghĩa bị trội Daniell B ⊂ n µ∗ (A) = inf {I (B) :A ⊂ B ∈ R} = A ∗ Định lý sau tóm lược kết mục Định lý 3.19 (Daniell Stone) Cho (E, I) tích phân sơ cấp ∗ trung bình Daniell M tập hàm đo ∗ Thì σ (E) ⊂ M µ = ∗ xác định độ đo không gian đo (Ω, M) thỏa mãn 55 Footer Page 57 of 16 Header Page 58 of 16 µ (E) = I (E) = E ∗ , E ∈ M I (f ) = f dµ với f ∈ L1 ⊃ E Ở I mở rộng Daniell (E, I) Ngoài ra, µ xác định σ vành Rσ (E) vành tạo f −1 (B) : f ∈ E, B ∈ B (R\ {0}) Nếu có hàm dương thực f ∈ L1 (Ω, σ (E) , µ) Rσ (E) = σ (E) Giả sử X không gian Hausdorf compắc địa phương I phiếm hàm tuyến tính dương C00 (X) Kết trình bày sau chứng tỏ (E ,I ) tích phân sơ cấp Bổ đề 3.10 Giả sử I phiếm hàm tuyến tính dương E = C00 (X) + Nếu dãy {fn } ⊂ C00 fn theo điểm Ifn Chứng minh Định lý Dini suy fn Do K = supp (f1 ) compact Có g ∈ C00 (X) thỏa mãn K ≺ g ≤ Khi đó, cho ε > có N thỏa mãn n ≥N có suy ≤ fn (x) < ε g(x), ∀x ∈ X + I(g) ≤ I(fn ) < εI(g) < ε, n > N + I(g) Vì Cho G, F K tương ứng tập hợp tập mở, đóng X Định lý 3.20 Cho (i) K ∗ ∗ trung bình Daniell (E,I ) < ∞, ∀K ∈ K (ii) Với G ∈ G G ∗ = sup {I (φ) : ≤ φ ≺ G} = sup (iii) Trung bình Daniell cộng tính G (iv) F ⊂ M tức tập đóng đo 56 Footer Page 58 of 16 K ∗ :K K⊂G (3.15) Header Page 59 of 16 Chứng minh (i) Đặt G G ⊃ K với G ∈ K Theo định lý Urysohn, có φ ∈ E với ∗ K ≺ φ ≺ G Do K ∗ ≤ φ = I (φ) < ∞ (ii) Đầu tiên ta chứng minh đẳng thức bên phải Đặt E + n ∈ N ta có Kn = φ≥ n ⊂ φ> n+1 φ ≤1G Với = Gn Theo định lý Urysohn có fn ∈ E thỏa mãn Kn ≺ fn ≺ Gn Rõ ràng ≤ φn ≤ fn φ ≺ G φn = fn φ φ Cho ε > có N đủ lớn thỏa mãn I (φ) < I (φN ) + ε ≤ sup {I (ψ) : ≤ ψ ≺ G} + ε Biểu thức bên trái (3.15) chứng minh Nếu ≤ φ ≺ G K ∗ supp (φ) ⊂ G φ ∗ = I (φ) ≤ K ≤ G ∗ K = suy biểu thức vế phải chứng minh (iii) Cho G, G ∈ G rời Theo tính cộng tính đếm G ∪ G G ∗ + G ∗ ∗ ≤ Mặt khác ≤ φ ≺ G ≤ φ ≺ G ≤ φ + φ ≺ G ∪ G Do I φ+φ Vì G ∗ + G ∗ ≤ G∪G = I (φ) + I φ ≤ G∪G ∗ ∗ (iv) Ta chứng minh F ∈ F thỏa mãn điều kiện đo CaratheodoryDaniell (3.13) Với E ⊂ X bất kỳ, đặt E ⊂ G ∈ G Từ G\F tập mở, từ (3.15) định lý D.0.15 có dãy {Vn } ⊂ G với {Vn } ⊂ K thỏa mãn Vn ⊂ Vn ⊂ Vn+1 ⊂ G\F Vn ∗ G\F G Khi n ∗ ∗ Phần (iii) chứng tỏ ≥ G\∂Vn ∞ G ∗ ∗ = G\Vn ≥ G∩F ∗ ∗ + Vn + G\F ∗ ∗ ≥ G∩F ≥ E∩F ∗ ∗ + Vn + E\F ∗ ∗ Do theo (3.7) ta kết luận E ∗ = inf G ∗ : E ⊂ G ∈G ≥ E ∩ F ∗ + E\F ∗ ≥ E ∗ Nó chứng tỏ tập đóng đo được, σ(F ) =B(X) Một trung bình RX độ đo P(X) gọi quy tính quy (3.7) quy (3.15) thỏa mãn 57 Footer Page 59 of 16 Header Page 60 of 16 Định lý 3.21 (Định lý biểu diễn Riesz) Giả sử I phiếm hàm tuyến tính dương C00 (X) Khi tồn độ đo Radon µI quy đủ xác định σ - đại số MI ⊃ B(X) thỏa mãn f dµI , f ∈ C00 (X) I (f ) = X Nếu thêm điều kiện I liên tục µI hữu hạn với I = µI (X) = X ∗ Chứng minh Theo bổ đề 3.10 (E, I) tích phân sơ cấp Theo định lý 3.19 µ quy M ⊃ B(X) Từ định lý Daniell Stone suy điều phải chứng minh Nếu I liên tục, tức |I (f )| ≤ I f với f ∈ E từ tính quy u suy µI (X) ≤ I (X) ∗ Ngược lại, |I (f )| = X f dµI ≤ f u µI (X), tức I ≤ µI (X) Định lý 3.22 (Định lý Lusin): Cho f hàm phức đo Nếu A ∈ M, µ (A) < ∞ {f = 0} ⊃ Ac với ε > có g ∈ C00 (X) thỏa mãn (3.16) µ ({f = g}) < ε Ngoài f bị chặn chọn g để g u ≤ f u Chứng minh Phần đầu có từ định nghĩa đo Daniell hàm phức Chứng minh mệnh đề trên, giả sử: R = f u < ∞, xét ánh xạ ϕ C cho ϕ (z) = z 1{|z|≤R} (z) + R z |z| Nếu g ⊂ C00 (X) thỏa mãn µ ({f = g}) < ε xác định g = ϕ (g) g u ≤ f u từ {f = g} ⊂ {f = g }, (3.16) thỏa mãn Hệ 3.3 Cho f A định lý Lusin Có dãy {gn } ⊂ C00 (X) thỏa mãn gn u ≤ f u gn → f µ - hầu chắn 58 Footer Page 60 of 16 Header Page 61 of 16 Định lý 3.23 (Vitali - Caratheodory) Giả sử f ∈ L1 (µ) ∩ RΩ Với ε > tồn hàm u ≤ f ≤ v thỏa mãn u v tương ứng hàm nửa liên tục (v − u) dµ < ε nửa liên tục 3.5 Tính chất Maximality hai trung bình dàn véctơ E đóng với phép chặt cụt, Nếu f ≤ f Ω với f ∈ R , chứng tỏ L1 ( Khi = ∗ ) ⊂ L1 ( ) trung bình Daniel tích phân sơ cấp (E , I ), câu hỏi tự nhiên đặt có trung bình khác bị trội ∗ , mà trung bình tạo họ lớn hàm khả tích hội tụ bị chặn thỏa mãn Ta thấy trung bình Daniel trung bình maximal (E , I ) thỏa mãn φ ∗ = I (|φ|) với φ ∈ E Nó có nghĩa trung bình Daniel cung cấp mở rộng nhỏ tích phân sơ cấp mà dãy Cauchy hội tụ hội tụ bị trội thỏa mãn Bổ đề 3.11 Giả sử E tập hợp hàm bị chặn dàn véctơ đóng với phép chặt cụt vành Nếu φ ≤ φ với f ∈ E Σ với φ ∈ E , f ≤ f Chứng minh Cho f ∈ L1 ( trung bình thỏa mãn ), giả sử {φn } ⊂ E hội tụ đến f theo trung bình Thì hội tụ theo trung bình Vì vậy, Cho h ∈ E + = lim φn n ≥ lim φ = f n {φn = 0} với {φn } ⊂ E Nó chứng tỏ {h = 0} ⊂ n n E ∩ L1 ( ) hn = (h ∧ n) 1{|φk |>1/n} h k=1 Theo định lý hội tụ đơn điệu h = sup hn ≤ sup hn n n h ∈ E Σ, h = |h| ≤ |h| 59 Footer Page 61 of 16 = h = h Với tùy ý Header Page 62 of 16 Bổ đề 3.12 Với trung bình E tồn trung bình maximal trùng với E+ Chứng minh Cho M( ) tập hợp tất trung bình E trùng với E+ Xác định f Rõ ràng = sup{ f b : b ∈ M ( )} (3.17) trùng với E Tính tuyệt đối, tính vững dễ dàng chứng minh Nó chứng tỏ cộng tính đếm Cho {fn } dãy hàm không âm Thì, với b ∈ M( ) chứng tỏ fn b ≤ n b fn ≤ n Bằng cách lấy supremum vượt qua fn fn n b ∈ M ( ), có ≤ n fn n Một trung bình E maximal trùng với (3.17) Kết đặc trưng cho trung bình maximal E trung bình maximal E Thì Định lý 3.24 Giả sử f : |f | ≤ h ∈ E Σ } = inf{ h Chứng minh Kí hiệu ♦ tụ đến ♦ (3.18) biểu thức vế phải (3.18) Rõ ràng, ♦ hội E Σ Vì vậy, dễ dàng kiểm tra ♦ đồng tuyệt đối, thỏa mãn tính vững Nếu ta chứng tỏ ♦ đồng ý với cộng tính đếm được, (3.18) chứng tỏ Giả sử fn ♦ < r < ∞ tồn hàm hn ∈ E Σ thỏa mãn |fn | ≤ hn n 60 Footer Page 62 of 16 fn n < r Header Page 63 of 16 |fn | ≤ fn | ≤ Từ đó, | n n n n hn ∈ E Σ , tính cộng tính hn chứng tỏ fn Vậy ♦ fn hn = n ♦ ♦ ≤ ≤ hn n hn