MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60.46.01.06 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, Năm 2014 Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Nới rộng độ đo 1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue 1.2.2 Độ đo Lebesgue độ đo Lebesgue- Stieltjes 1.2.3 Độ đo Hausdorff không gian Metric 1.3 Hàm đo 1.4 Các khái niệm giải tích hàm 1.4.1 Định lý Stone - Weierstrass 1.4.2 Các lớp đơn điệu hàm số Tích phân theo quan điểm lý thuyết độ đo 11 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng 11 2.2 Chuyển giới hạn dấu tích phân Lebesgue 12 2.3 Tích phân Riemann tích phân Lebesgue R 13 2.3.1 13 Một số tính chất tích phân Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 3.1 15 Tích phân theo phương pháp Daniell 15 3.1.1 Tích phân Daniell 15 3.1.2 Trung bình Daniell 16 3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình 17 3.2 Mở rộng tích phân 18 3.3 Tính đo Daniell 18 3.3.1 Tính đo 19 3.3.2 Tính đo không gian mêtric 20 3.4 Sự tương đương khả tích Daniell khả tích Lebesgue-Caratheodory 20 3.5 Tính chất Maximality Tài liệu tham khảo 21 24 Mở đầu Lý thuyết độ đo tích phân tảng xây dựng cho nhiều môn khoa học chuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm Ở chương trình đào tạo đại học, cao học bước đầu nghiên cứu lý thuyết độ đo, tích phân Trong luận văn sử dụng kết độ đo tích phân bậc Đại học Cao học để nghiên cứu sâu Tích phân theo quan điểm độ đo Ngoài ra, luận văn tập trung nghiên cứu cách tiếp cận tích phân theo quan điểm giải tích hàm Ta biết lớp hàm khả tích Riemann hẹp bao gồm hàm số mà tập điểm gián đoạn bỏ qua đựơc Còn hàm số đo tổng quát nói chung không khả tích Riemann (ví dụ hàm số Dirichlet) Để vượt qua hạn chế ấy, Lebesgue chia miền lấy tích phân thành tập nhỏ, tập bao gồm điểm ứng với giá trị gần f (x), theo quan điểm Lebesgue xây dụng khái niệm tích phân tổng quát hơn, áp dụng cho tất hàm số đo bị chặn Ngoài ra, chuyển giới hạn dấu tích phân tích phân Lebesgue không cần đòi hỏi khắt khe điều kiện hội tụ tích phân Riemann, từ đưa nhiều kết quan tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị chặn Tuy nhiên, muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào lĩnh vực phức tạp xét tính tuyến tính, tích phân không gian Banach tích phân Lebesgue gặp khó khăn Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phương pháp tiếp cận tích phân giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính cấu trúc liên tục tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân Daniell I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h Khi I ∗ có tính chất như: I ∗ hàm không giảm; I ∗ tuyến tính; I ∗ hàm σ - cộng tính Ngoài ra, tương ứng với tích phân I ∗ trung bình Daniell ∗ Ω : R → [0, ∞] cho f → I ∗ (|f |) với tính chất tính tuyệt đối, tính cộng tính đếm Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình dễ dàng chứng minh Điều đặc biệt tích phân Daniell xây dựng tích phân trước định nghĩa khái niệm độ đo Khi đó, độ đo Lebesgue đạt tích phân hàm tiêu Các tính chất σ – cộng tính, tính đo tập Borel hệ tích phân Tính đo Daniell mô tả cấu trúc địa phương trình khả tích Daniell sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minh định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn không gian C(X) hàm liên tục không gian tôpô compact X Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức độ đo, mở rộng độ đo kiến thức giải tích hàm làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo Chương trình bày cách xây dựng tích phân hàm đo - tích phân Lesbegue, định lý chuyển giới hạn dấu tích phân, tích phân Riemann tích phân Lebesgue R số tính chất tích phân Chương 3: Tích phân: Tiếp cận giải tích hàm Chương phần luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân Daniell, trung bình Daniell tính chất, khái niệm đo Daniell, tương đương khả tích Lebesgue khả tích Daniell, tính chất maximality Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư người tận tình hướng dẫn tác giả Cùng toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô tổ môn "Lý thuyết xác suất thống kê toán học" trường Đại học Khoa học Tự Nhiên tận tình dạy bảo tác giả suốt trình học tập trường Đồng thời tác giả gửi lời cảm ơn tới đồng nghiệp Khoa Khoa học Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành khóa học Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên tác giả cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả Cảm ơn bạn lớp góp ý giúp đỡ tác giả luận văn Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế ngoại ngữ, thời gian nên làm luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quí thầy cô bạn đọc Hà nội, tháng 08 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Huệ Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.5 Một hàm cộng tính đếm µ : F → [0, ∞) F gọi độ đo với dãy {An } ⊂ F đôi không giao ∞ µ( ∞ Ak ) = k=1 µ (Ak ) k=1 Bộ ba (Ω, F, µ) gọi không gian có độ đo Nếu µ(Ω) = µ gọi độ đo xác suất (Ω, F, µ) gọi không gian xác suất 1.2 Nới rộng độ đo 1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue Định nghĩa 1.8 Không Ω không gian mẫu Một độ đo Ω hàm µ∗ : P(Ω) → [0, ∞) thỏa mãn: (i) µ∗ (∅) = (ii) Nếu A ⊂ B ∈ Ω µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) (Tính đơn điệu tăng) (iii) µ∗ ( ∞ n=1 ∞ An ) ≤ µ∗ (An ) (Tính chất nửa σ - cộng tính dưới) n=1 Định lý 1.2 Cho Ω tập không rỗng Cho tập khác rỗng E ⊂ P(Ω), ∅ ∈ E , hàm h : E → R+ với h (∅) = định nghĩa µ∗ (A) = inf{ h(An ) : A ⊂ n An , An ∈ E} (1.1) n µ∗ độ đo Định lý 1.3 Cho µ∗ độ đo Ω Tập hợp Mµ ∗ tất tập µ∗ - đo σ - đại số chứa tất tập µ∗ - bỏ qua Ngoài (Ω, Mµ ∗, µ∗) không gian có độ đo đủ Định lý 1.4 (Mở rộng Caratheodory) Giả sử µ hàm tập không âm cộng tính đếm nửa vành E thỏa mãn µ (∅) = Thì µ mở rộng thành độ đo đủ σ - đại số Mµ chứa σ (E ) 1.2.2 Độ đo Lebesgue độ đo Lebesgue- Stieltjes Trong phần ta trình bày độ đo không gian Borel (Rd , B(Rd )) Cho F : Rd → R hàm liên tục phải tức lim+ F (x) = F (a) Với a ≤ b x→a 10 Hδg (A) độ đo Định nghĩa 1.11 Một độ đo µ∗ không gian metric thỏa mãn µ∗ (A ∪ B) = µ∗ (A) + µ∗ (B) d (A, B) > gọi độ đo metric Chú ý: Nếu A, B ⊂ X d(A, B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} > Hδg (A ∪ B) = Hδg (A) + Hδg (B) Định lý 1.8 (Caratheodory) Nếu µ∗ độ đo metric tập Borel µ∗ - đo 1.3 Hàm đo Định nghĩa 1.12 (i) Cho không gian đo (X , S ) (Y , R) Ánh xạ f : X → Y gọi ánh xạ đo với A ∈ R ta có f−1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} ∈ S (ii) Cho không gian có độ đo (X, S, µ) Hàm số f : X → [−∞, +∞] gọi µ - đo với tập Borel B ⊂ R ta có f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} ∈ S(µ) Định lý 1.12 (Egorov) Cho (fn ) , f hàm đo cho fn → f µ - hầu khắp nơi Khi với ε > tồn tập A với µ(Ac ) < ε cho fn hội tụ tới f A Định lý 1.12 Cho (Ω, F) không gian đo (S , d) không gian metric Nếu {fn } ⊂ S Ω dãy hội tụ hàm đo f = lim fn hàm đo n được.par 1.4 1.4.1 Các khái niệm giải tích hàm Định lý Stone - Weierstrass Định nghĩa 1.14 Cho E V họ hàm thực phức xác định Ω (iv) Một tập M ⊂ CΩ hàm phức lớp phép nhân phức đóng với hữu hạn phép nhân số phức liên hợp Định lý 1.18 (Lớp hàm thực đơn điệu) Cho V không gian véctơ thực hàm (Tương ứng: Hàm bị chặn) chứa hàm lớp đơn điệu (Tương ứng: Đơn điệu bị chặn) Nếu M ⊂ V lớp nhân hàm bị chặn V chứa tất hàm đo giá trị thực σ(M) Định nghĩa 1.17 Họ V ⊂ RΩ dãy đóng giới hạn dãy hội tụ V thuộc V Cho họ E ⊂ RΩ , giao tất dãy đóng chứa E dãy đóng bé chứa E gọi bao đóng E , kí hiệu E Σ Bổ đề 1.3 Giả sử E vành dàn đóng với phép chặt cụt đó: (i) E Σ vành dàn đóng với phép chặt cụt (ii) Nếu E ∈ RΩ đóng kín phép toán +, −, , ∨, ∧, ∧1 |.| E Σ (iii) Tập hợp R(E) tập E Σ trùng với σ vành R (E) sinh φ−1 ((r, ∞)) : φ ∈ E, r > (iv) f ∈ E Σ f −1 (I) ∈ R (E) với khoảng R\ {0} Đặt MR (E) tập hợp hàm thực đo σ(E) 10 Chương Tích phân theo quan điểm lý thuyết độ đo Trong giải tích cổ điển, ta nghiên cứu tích phân Riemann ứng dụng Tuy nhiên, nhiều trường hợp có hàm đo đơn giản không khả tích Riemann Do đó, Lebesgue đưa phương pháp chia miền lấy tích phân thành tập hợp nhỏ, tập bao gồm điểm ứng với giá trị gần f (x) Khi đó, ta dùng hàm bậc thang để xấp xỉ f (x) 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng Định nghĩa 2.1 Giả sử s hàm đơn giản, đo không âm, {a1 , a2 , an } tập hợp tất giá trị khác s Khi s = n ak 1{s=ak } Với E ∈ F, tích phân s E độ đo µ xác định k=1 n ak µ (E ∩ Ak ) sdµ := E (2.1) k=1 Định nghĩa 2.2 Với hàm đo f : Ω → [0, ∞] tích phân f E cho f dµ = sup{ E sdµ : ≤ s ≤ f với s hàm đơn giản} E 11 (2.3) Định nghĩa 2.3 Một hàm giá trị phức giá trị thực mở rộng đo |f |dµ < ∞ f Ω khả tích Ω Tập tất hàm khả tích Ω kí hiệu L1 (Ω, F, µ) 2.2 Chuyển giới hạn dấu tích phân Lebesgue Trong giải tích xác suất ta thường phải chuyển giới hạn dấu tích phân Đối với tích phân Riemann việc chuyển qua giới hạn đòi hỏi nhiều điều kiện khắt khe điều kiện hội tụ Đối với tích phân Lebesgue vấn đề giải đơn giản Định lý 2.2 (Hội tụ đơn điệu) Cho {fn }n dãy hàm đo thỏa mãn (i) ≤ ≤ fn (ω) ≤ fn+1 (ω) ≤ ≤ ∞, ∀ω ∈ Ω (ii) lim fn (ω) = f (ω) , ∀ω ∈ Ω n→∞ Thì f đo lim fn dµ = n→∞ f dµ Ω (2.6) Ω Hệ 2.2 (Beppo Levi) Cho fn : Ω → [0, ∞] dãy hàm đo được, ∞ ∞ fn dµ fn dµ = Ω n=1 (2.10) n=1 Ω Hệ 2.3 Giả sử f : Ω → [0, ∞] hàm đo đặt f dµ, E ∈ F ηf (E) = (2.11) E ηf độ đo F với hàm đo g : Ω → [0, ∞] ta có gdηf = Ω (2.12) gf dµ Ω Định lý 2.3 (Bổ đề Fatou) Nếu fn : Ω → [0, ∞] dãy hàm đo được, lim inf fn dµ ≤ lim inf n n n Ω fn dµ n Ω 12 (2.13) Định lý 2.5 (Hội tụ bị làm trội Lebesgue) Cho {fn }n {gn }n dãy hàm đo (thực phức) hội tụ theo điểm µ - h.c.c thỏa mãn f = lim fn µ - h.c.c, g = lim gn µ - h.c.c n n |fn | ≤ gn µ- h.c.c (2.16) Giả sử lim n gdµ < ∞ gn dµ = (2.17) f ∈ L1 |fn − f | dµ = 0; lim n→∞ lim Ω 2.3 f dµ < ∞ fn dµ = n→∞ Ω (2.18) Ω Tích phân Riemann tích phân Lebesgue R Định nghĩa 2.5 Một hàm f : [a, b] → R khả tích Riemann sup L (f, P ) = inf U (f, P ) P ∈P (2.19) P ∈P Giá trị A(f ) (1.23) gọi tích phân Riemann f [a, b] Định lý 2.8 Giả sử f khả tích Riemann [a, b] đặt M([a, b]) σ - đại số Lebesgue Thì f ∈ L1 ([a, b], M([a, b]), λ) f liên tục λ - hầu chắn Hơn nữa, A(f ) = f dλ [a,b] Định lý 2.9 (Lebesgue) Một hàm f khả tích Riemann [a, b] f hàm bị chặn, liên tục λ - hầu chắn [a, b] Khi khả tích theo nghĩa Lebesgue hai tích phân 2.3.1 Một số tính chất tích phân Cho f hàm từ E × [a, b] → R Ta giả thiết hàm x → ft (x) = f (x, t) đo với t ∈ [a, b], ft ∈ (ME , B; R, BR ) ta quan tâm đến tính chất hàm t→ f (x, t) dµ (x) E với µ đo đo dương B 13 Định lý 2.10 (Tính liên tục) Giả sử lim f (x, t) = l (x) với x ∈ E, t0 ∈ t→t0 [a, b], |f (x, t)| ≤ g (x), g µ – khả tích với t ∈ [a, b] Khi lim f (x, t) dµ (x) = t→t0 E l (x) dµ (x) E Định lý 2.11 (Tính khả vi) Với điều kiện sau đây: (i) Tồn t0 ∈ [a, b] cho x → f (x, t0 ) µ – khả tích E (ii) ∂f ∂t tồn E × [a, b] ∂f ∂t (iii) Tồn hàm g µ – khả tích E cho: (x, t) ≤ g (x) với t ∈ [a, b] Khi đó, hàm số t → F (t) = f (x, t) dµ (x) khả vi [a, b] ta có: E dF (t) d = dt dt df (x, t) dµ (x) dt f (x, t) dµ (x) = E E Định lý 2.12 (Tính khả tích Riemann) Với điều kiện sau: (i) t → f (x, t) liên tục [a, b] với x ∈ E (ii)Tồn g µ – khả tích E cho: |f (x, t)| ≤ g (x) b Khi đó, hàm số t → F (t) = b [ a f (x, t) dµ (x)]dt = E 14 f (x, t) dt]dµ (x) [ E a Chương Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm Cách tiếp cận tích phân trực tiếp Daniell sử dụng tuyến tính cấu trúc liên tục tích phân sơ cấp không dùng lý thuyết độ đo Phương pháp Daniell mở rộng tích phân sơ cấp tới tập lớn hàm mà tính tuyến tính hội tụ bị trội thỏa mãn 3.1 Tích phân theo phương pháp Daniell Cho Ω tập hợp, E tập không rỗng hàm thực bị chặn Ω dàn véctơ đóng với phép chặt cụt vành Định nghĩa 3.1 (i) Một tích phân sơ cấp E phiếm hàm tuyến tính giá trị thực E (ii) Tích phân sơ cấp I dương I (f ) ≥ ≤ f ∈ E (iii) Tích phân sơ cấp I δ - liên tục I (fn ) 3.1.1 E fn Tích phân Daniell Bổ đề 3.1 Giả sử E dàn véctơ Khi đó, không gian E ↑ đóng đối với: (i) Phép cộng 15 (ii) Nhân với vô hướng không âm (iii) inf hữu hạn (iv) sup đếm Định nghĩa 3.2 Tích phân hàm h ∈ E ↑ định nghĩa I ∗ (h) = sup {I (φ) : φ ∈ E, φ ≤ h} (3.1) Tích phân hàm thực f Ω định nghĩa I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h (3.2) Rõ ràng I ∗ (φ) = I (φ) φ ∈ E Sự biểu diễn (3.1) (3.2) trùng E ↑ Định lý 3.1 Giả sử E dàn véctơ Thì tích phân I ∗ Daniell có tính chất sau: (i) I ∗ không giảm dương (ii) Nếu {hn } ⊂ E ↑ dãy không giảm I ∗ (hn ) I ∗ (sup hn ) n (iii) I ∗ tuyến tính E ↑ (iv) I ∗ σ - cộng tính tức là, fn ≥ I ∗ ( I ∗ (fn ) fn ) = n 3.1.2 n Trung bình Daniell Định nghĩa 3.3 Giả sử E dàn véctơ Trung bình Daniell tích phân sơ cấp (E ,I ) ánh xạ ∗ Ω : R → [0, ∞] cho f → I ∗ (|f |) Định lý 3.2 Trung bình Daniel ∗ hữu hạn E Ngoài ra, Ω (i) Tính tuyệt đối: Với a ∈ R f ∈ R , af (ii) Tính vững: Nếu |f | ≤ |g| f ∗ ∗ = |a| f ∗ ≤ g ∗ (iii) Cộng tính đếm được: Nếu {fn } dãy hàm giá trị thực suy rộng không âm fn n ∗ fn ∗ ≤ n 16 n (iv) Nếu ≤ φn ∈ E sup n φk ∗ < ∞ lim φn n k=1 ∗ = (v) Với φ ∈ E , |I (φ)| ≤ φ ∗ Định nghĩa 3.4 Cho E ⊂ RΩ không gian véc tơ hàm bị chặn Một Ω phiếm hàm R hữu hạn E thỏa mãn (i)-(iv) định lý 3.2 gọi trung bình E Định lý 3.4 Cho E dàn véctơ đóng với phép chặt cụt vành Nếu trung bình E Ω (i) F = {f ∈ R : f < ∞} dàn véctơ đóng với phép chặt cụt (ii) (F , ) không gian đủ có nửa chuẩn (iii) Nếu {fn } ⊂ F lim f − fn = có dãy {fnk } hội tụ theo n điểm tới f - hầu chắn (iv) Bao đóng E (F, ) kí hiệu L1 ( ) dàn véctơ đóng với phép chặt cụt Các hàm số L1 ( ) gọi khả tích trung bình 3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình Định lý 3.5 (Định lý hội tụ đơn điệu) Giả sử {fn } ⊂ L1 dãy tăng dãy giảm thỏa mãn sup fn < ∞ Nếu fn hội tụ theo điểm tới f n f ∈ L1 lim f − fn = n Hệ 3.1 Nếu E dàn véctơ E ↑ ⊂ F ⊂ L1 Định lý 3.6 (Hội tụ bị làm trội Daniell Lebesgue) Giả sử {fn } ⊂ L1 hội tụ hầu chắn đến f Giả sử có g ∈ F thỏa mãn |fn | ≤ g hầu chắn với n Thì f ∈ L1 lim fn − f = n Bổ đề 3.5 Giả sử f ∈ L1 a ∈ (0, ∞) 1{f >a} , 1{f Tồn tập U ∈ E ↑ với U < ε u hàm g ∈ E (bao đóng E ) thỏa mãn f = g , - hầu chắn U c 18 Định lý 3.12 Cho {fn } ∈ L1 giả sử {fn } hội tụ đến f hầu chắn tập A ∈ L1 Thì với ε > có L1 A0 ⊂ A thỏa mãn A\A0 < ε fn hội tụ đến f A0 3.3.1 Tính đo Tính đo mô tả cấu trúc địa phương trình khả tích Định nghĩa 3.7 Một hàm f ∈ RΩ đo trung bình với A ∈ L1 ε > có L1 u A0 ⊂ A g ∈ E thỏa mãn A\A0 < ε f = g A0 Tập B ⊂ Ω đo 1B đo Hệ 3.2 Giả sử D tập trù mật L1 Một hàm giá trị thực f đo với tập A ∈ L1 ε > có L1 A0 ⊂ A với A\A0 < ε thỏa mãn f giới hạn dãy D Bổ đề 3.6 Giả sử {fn } ⊂ RΩ dãy hàm đo Thì với A ∈ L1 ε > tồn L1 u B ⊂ A dãy {gn } ⊂ E thỏa mãn A\B < ε fn = gn B Định lý 3.13 (Định lý Egorov) Cho {fn } ⊂ RΩ dãy hàm đo hội tụ đến f hầu chắn Thì f đo được; Ngoài ra, với A ∈ L1 ε > có L1 B ⊂ A với A\B < ε thỏa mãn fn hội tụ đến f B Định lý 3.14 (i) Lớp MR hàm thực đo dàn đại số đóng với phép chặt cụt chứa E Σ (ii) Nếu f ∈ MR ϕ : R −→ R liên tục ϕ ◦ f ∈ MR (iii) Lớp M tập đo Ω σ - đại số Kết phân loại đầy đủ không gian L1 theo tính đo hữu hạn trung bình Bổ đề 3.7 Một tập A ∈ M A ∩ B ∈ L1 với B ∈ L1 Ω Định lý 3.15 Một hàm f ∈ R khả tích có f ∈ F ∩ MR với f − f = {f = 0} σ - hữu hạn Do đó, E Σ ∩ F ∈ L1 Ngoài ra, 19 (E , I ) tích phân sơ cấp ∗ trung bình Daniel ta có L1 ( ∗ ) = F ∩ MR Định lý 3.16 Giả sử D ⊂ R trù mật Khi đó, f ∈ MR {f > d} ∈ M với d ∈ D 3.3.2 Tính đo không gian mêtric Định nghĩa 3.8 Cho (E , I ) tích phân sơ cấp trung bình trội I Giả sử E không gian metric Một hàm f ∈ E Ω đo với A ∈ L1 ε > có A0 ∈ L1 với A\A0 < ε với f E - liên tục Ta ký hiệu ME không gian hàm đo nhận giá trị E Định lý Egorov nhận mở rộng trường hợp tổng quát Định lý 3.17 Giả sử {fn } dãy hàm đo nhận giá trị E hội tụ hầu chắn đến f Thì f hàm đo Ngoài ra, với A ∈ L1 ε > có L1 3.4 A0 ⊂ A với A\A0 < ε cho hội tụ A0 Sự tương đương khả tích Daniell khả tích Lebesgue-Caratheodory Trung bình Daniell ∗ xác định với hàm cộng tính đếm I vành R=R(E ) tạo hàm sơ cấp E Phương pháp Lebesgue-Caratheodory mở rộng tích phân I thành độ đo đủ µ σ - đại số Mµ ⊃ σ(E) thông qua độ đo µ∗ (E) = inf{ Rn , Rn ∈ R} I (Rn ) : E ⊂ n (3.12) n Định lý 3.18 Giả sử (E ,I ) tích phân sơ cấp ∗ trung bình Daniell, A ∈ M + E\A ∗ (3.13) Bổ đề 3.9 Cho µ∗ (3.12) cho ∗ trung bình Daniell Thì E ∗ = E∩A ∗ với E ⊂ Ω ∗ = µ∗ 20 Định lý 3.19 (Daniell Stone) Cho (E, I) tích phân sơ cấp ∗ trung bình Daniell M tập hàm đo ∗ Thì σ (E) ⊂ M µ = ∗ xác định độ đo không gian đo (Ω, M) thỏa mãn ∗ µ (E) = I (E) = E , E ∈ M I (f ) = f dµ với f ∈ L1 ⊃ E Ở I mở rộng Daniell (E, I) Ngoài ra, µ xác định σ vành Rσ (E) vành tạo f −1 (B) : f ∈ E, B ∈ B (R\ {0}) Nếu có hàm dương thực f ∈ L1 (Ω, σ (E) , µ) Rσ (E) = σ (E) Bổ đề 3.10 Giả sử I phiếm hàm tuyến tính dương E = C00 (X) + Nếu dãy {fn } ⊂ C00 fn theo điểm Ifn Định lý 3.21 (Định lý biểu diễn Riesz) Giả sử I phiếm hàm tuyến tính dương C00 (X) Khi tồn độ đo Radon µI quy đủ xác định σ - đại số MI ⊃ B(X) thỏa mãn f dµI , f ∈ C00 (X) I (f ) = X Nếu thêm điều kiện I liên tục µI hữu hạn với I = µI (X) = X 3.5 ∗ Tính chất Maximality Nếu f ≤ f hai trung bình dàn véctơ E đóng với phép chặt cụt, Ω với f ∈ R , chứng tỏ L1 ( ) ⊂ L1 ( ) Trung bình Daniel trung bình maximal (E , I ) thỏa mãn φ ∗ = I (|φ|) với φ ∈ E Nó có nghĩa trung bình Daniel cung cấp mở rộng nhỏ tích phân sơ cấp mà dãy Cauchy hội tụ hội tụ bị trội thỏa mãn Bổ đề 3.11 Giả sử E tập hợp hàm bị chặn dàn véctơ đóng với phép chặt cụt vành Nếu φ ≤ φ với φ ∈ E , f ≤ f Định lý 3.24 Giả sử f trung bình thỏa mãn với f ∈ E Σ trung bình maximal E Thì : |f | ≤ h ∈ E Σ } = inf{ h 21 (3.18) Bổ đề 3.13 Giả sử F( trung bình maximal E Thì với f ∈ )+ , tồn h ∈ E Σ , f ≤ h thỏa mãn f = h Định lý 3.25 Cho E tập hợp hàm bị chặn dàn véctơ đóng với phép chặt cụt vành (i) Nếu (E, I) tích phân sơ cấp ∗ trung bình Daniell, ∗ trung bình maximal trùng với I E+ E thỏa mãn (ii) Mọi trung bình maximal sup fn = sup fn n n Ω Với dãy không giảm {fn } ⊂ R+ 22 (3.19) Kết luận chung Luận văn trình bày số nội dung như: Thứ nhất: Cách xây dựng tích phân hàm đo theo phương pháp tích phân Lebesgue Xét điều kiện chuyển giới hạn dấu tích phân Lebesgue, đưa định lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội Sự tương đương tích phân Lebesgue tích phân Riemann R Thứ hai: Xây dựng tích phân Daniell từ tích phân (I, E) Xét tính đo Daniel tính chất địa phương tính khả tích Xét tính chất tích phân Daniell trung bình Daniell tương ứng tích phân So sánh tương đương tính khả tích Daniell khả tích Lebesgue Chỉ tính chất maximality trung bình Daniell 23 Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2002 [2] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, NXB Giáo dục, 1998 [3] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [4] Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013 [5] Hoàng Tụy, Giải tích đại, NXB Giáo dục, 1979 [6] Bartle, Robert G, The elements of integration and Lebesgue measure, Wiley Classics Library, New York, 1995 [7] Bauer, Heinz, Measure and Integration Theory, De Gruyter Studies in Mathematics 26, Berlin, 2001 [8] Munroe, M E, Introduction to measure and integration, Cambridge, Mass: Addison-Wesley Publishing Company Inc, 1953 [9] Oliver R Díaz - Espinosa, Integration and Measure Theory, SAMSI Duke University, 2010 [10] P.Billing, Probability and Measure, Willey, New York 1995 [11] Shilov, G.E, and Gurevich, B.L., Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A [12] Walter Rudin, Real and complex analysis, McGraw-HillBook Co, New York, 1987 24 [...]... giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue, đưa ra định lý về sự hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội Sự tương đương của tích phân Lebesgue và tích phân Riemann trên R Thứ hai: Xây dựng tích phân trên Daniell từ tích phân cơ bản (I, E) Xét tính đo được Daniel như là tính chất địa phương của tính khả tích Xét được các tính chất cơ bản của tích phân Daniell và trung bình Daniell tương ứng của tích phân So sánh được... của tích phân sơ cấp và không dùng lý thuyết độ đo Phương pháp của Daniell mở rộng tích phân sơ cấp tới tập lớn nhất có thể của các hàm mà tính tuyến tính và hội tụ bị trội được thỏa mãn 3.1 Tích phân theo phương pháp Daniell Cho Ω là một tập hợp, E là tập không rỗng các hàm thực bị chặn trên Ω và là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là một vành Định nghĩa 3.1 (i) Một tích phân sơ cấp trên E... chặt cụt hoặc là vành (i) Nếu (E, I) là tích phân sơ cấp và ∗ là trung bình Daniell, thì ∗ là trung bình maximal trùng với I trên E+ của E thỏa mãn (ii) Mọi trung bình maximal sup fn = sup fn n n Ω Với mọi dãy không giảm {fn } ⊂ R+ 22 (3.19) Kết luận chung Luận văn đã trình bày được một số nội dung cơ bản như: Thứ nhất: Cách xây dựng tích phân của hàm đo được theo phương pháp tích phân Lebesgue Xét... (E, I) là một tích phân sơ cấp và ∗ là trung bình Daniell của nó và M là tập các hàm đo được đối với ∗ Thì σ (E) ⊂ M và µ = ∗ xác định một độ đo trên không gian đo được (Ω, M) thỏa mãn ∗ µ (E) = I (E) = E , E ∈ M và I (f ) = f dµ với f ∈ L1 ⊃ E Ở đây I là mở rộng Daniell của (E, I) Ngoài ra, µ xác định duy nhất trên σ vành Rσ (E) vành tạo bởi f −1 (B) : f ∈ E, B ∈ B (R\ {0}) Nếu có một hàm dương... với σ vành R (E) sinh bởi φ−1 ((r, ∞)) : φ ∈ E, r > 0 (iv) f ∈ E Σ nếu và chỉ nếu f −1 (I) ∈ R (E) với mọi khoảng trong R\ {0} Đặt MR (E) là tập hợp các hàm thực đo được của σ(E) 10 Chương 2 Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo Trong giải tích cổ điển, ta đã nghiên cứu tích phân Riemann và các ứng dụng của nó Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp có những hàm đo được đơn giản nhưng không khả tích. .. L1 và giả sử rằng {fn } hội tụ đến f hầu chắc chắn trên một tập con A ∈ L1 Thì với mọi ε > 0 có L1 A0 ⊂ A thỏa mãn A\A0 < ε và fn hội tụ đều đến f trên A0 3.3.1 Tính đo được Tính đo được mô tả cấu trúc địa phương của quá trình khả tích Định nghĩa 3.7 Một hàm f ∈ RΩ là đo được đối với trung bình nếu với mọi A ∈ L1 và ε > 0 có L1 u A0 ⊂ A và g ∈ E thỏa mãn A\A0 < ε và f = g trên A0 Tập B ⊂ Ω là đo. .. bởi hàm sơ cấp E Phương pháp Lebesgue-Caratheodory mở rộng tích phân I thành độ đo đủ µ trên σ - đại số Mµ ⊃ σ(E) thông qua độ đo ngoài µ∗ (E) = inf{ Rn , Rn ∈ R} I (Rn ) : E ⊂ n (3.12) n Định lý 3.18 Giả sử rằng (E ,I ) là một tích phân sơ cấp và ∗ là trung bình Daniell, A ∈ M nếu và chỉ nếu + E\A ∗ (3.13) Bổ đề 3.9 Cho µ∗ như trong (3.12) và cho ∗ là trung bình Daniell Thì E ∗ = E∩A ∗ với mọi E... và ∗ A 3.2 = B ∗ Mở rộng tích phân Giả sử rằng (E ,I ) là tích phân sơ cấp và đặt là trung bình trội của tích phân cơ bản tức là |I (φ)| ≤ φ , ∀φ ∈ E Khi đó, I nhận được một mở rộng tới (L1 , ) bằng cách cho (3.8) I (f ) = lim I (φn ) n với mọi {φn } ⊂ L1 thỏa mãn f − φn → 0 Định lý 3.9 Giả sử là trung bình trội trên tích phân cơ bản (E ,I ) (i) Mở rộng của I lên (L1 , ) là tuyến tính, dương và. .. λ - hầu chắc chắn trên [a, b] Khi đó nó khả tích theo nghĩa Lebesgue và hai tích phân bằng nhau 2.3.1 Một số tính chất của tích phân Cho f là hàm từ E × [a, b] → R Ta giả thiết rằng hàm x → ft (x) = f (x, t) đo được với mỗi t ∈ [a, b], ft ∈ (ME , B; R, BR ) và ta quan tâm đến tính chất của hàm t→ f (x, t) dµ (x) E với µ là một đo đo dương trên B 13 Định lý 2.10 (Tính liên tục) Giả sử lim f (x, t) =... dãy các hàm đo được hội tụ đến f hầu chắc chắn Thì f là đo được; Ngoài ra, với mọi A ∈ L1 và ε > 0 thì có L1 B ⊂ A với A\B < ε thỏa mãn fn hội tụ đều đến f trên B Định lý 3.14 (i) Lớp MR các hàm thực đo được là một dàn đại số đóng với phép chặt cụt và chứa E Σ (ii) Nếu f ∈ MR và ϕ : R −→ R là liên tục thì ϕ ◦ f ∈ MR (iii) Lớp M các tập con đo được của Ω là một σ - đại số Kết quả tiếp theo phân loại