MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

Ở chương trình đàotạo đại học, cao học đã bước đầu nghiên cứu về lý thuyết độ đo, tích phân.Trong luận văn này sẽ sử dụng các kết quả cơ bản về độ đo và tích phân ở bậcĐại học và Cao học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

PGS.TS PHAN VIẾT THƯ

Hà Nội, Năm 2014

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản 8

1.2 Nới rộng độ đo 10

1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue 11

1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes 13

1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric 14

1.3 Hàm đo được 15

1.4 Các khái niệm của giải tích hàm 17

1.4.1 Định lý Stone –Weierstrass 17

1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số 19

2 Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo 21 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng 21

2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue 24

2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R 29

2.3.1 Một số tính chất của tích phân 31

3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 34 3.1 Tích phân sơ cấp và trung bình Daniell 34

3.1.1 Tích phân trên Daniell 35

3.1.2 Trung bình Daniell 37

3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình 41

3.2 Mở rộng tích phân 44

3.3 Tính đo được Daniell 47

3.3.1 Tính đo được 48

3.3.2 Tính đo được trên không gian mêtric 52

3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory 53 3.5 Tính chất Maximality 59

Mở đầu

Lý thuyết độ đo và tích phân là nền tảng xây dựng cho nhiều môn khoa họcchuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm Ở chương trình đàotạo đại học, cao học đã bước đầu nghiên cứu về lý thuyết độ đo, tích phân.Trong luận văn này sẽ sử dụng các kết quả cơ bản về độ đo và tích phân ở bậcĐại học và Cao học để nghiên cứu sâu hơn về Tích phân theo quan điểm độ đo.Ngoài ra, luận văn tập trung nghiên cứu về cách tiếp cận tích phân theo quanđiểm của giải tích hàm

Ta đã biết rằng lớp hàm khả tích Riemann rất hẹp bao gồm các hàm số màtập các điểm gián đoạn có thể bỏ qua đựơc Còn các hàm số đo được tổng quátthì nói chung có thể không khả tích Riemann (ví dụ như hàm số Dirichlet) Đểvượt qua được sự hạn chế ấy, Lebesgue đã chia miền lấy tích phân thành cáctập nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với giá trị gần nhau của f (x), theoquan điểm cơ bản đó Lebesgue đã xây dụng một khái niệm tích phân tổng quáthơn, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn Ngoài ra, khi chuyểngiới hạn dưới dấu tích phân của tích phân Lebesgue không cần đòi hỏi khắt khe

về điều kiện hội tụ đều như tích phân Riemann, từ đó đưa ra được nhiều kếtquả quan trọng như tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị làm trội

Tuy nhiên, nếu muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào những lĩnh vực phứctạp hơn như xét tính tuyến tính, tích phân trên không gian Banach thì tíchphân Lebesgue gặp khó khăn Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phươngpháp tiếp cận tích phân bằng giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính và cấu trúc

liên tục của tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân trên Daniell

I∗(f ) = infI∗(h) : h ∈ E↑, f ≤ h

Khi đó I∗ có được các tính chất như: I∗ là hàm không giảm; I∗ là tuyến tính;

I∗ là hàm σ - cộng tính dưới Ngoài ra, tương ứng với tích phân trên I∗ là trungbình Daniell

k.k∗ :RΩ → [0, ∞] cho bởi f 7→ I∗(|f |)

với các tính chất cơ bản như tính thuần nhất tuyệt đối, tính cộng tính dưới đếmđược Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình cũng dễ dàngđược chứng minh

Điều đặc biệt của tích phân Daniell là xây dựng tích phân trước rồi mới địnhnghĩa khái niệm độ đo Khi đó, độ đo Lebesgue đạt được như là tích phân củahàm chỉ tiêu Các tính chất cơ bản như σ – cộng tính, tính đo được của tậpBorel là hệ quả của tích phân Tính đo được Daniell mô tả cấu trúc địa phươngcủa quá trình khả tích Daniell và sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minhđược định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian

C(X) của các hàm liên tục trên không gian tôpô compact X

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm

ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày những kiến thức

cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ

sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo

Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo Chương này trình bàycách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý vềchuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesguetrên R và một số tính chất của tích phân

Chương 3: Tích phân: Tiếp cận bằng giải tích hàm Chương này làphần chính của luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân trên Daniell, trung

bình Daniell và các tính chất, khái niệm đo được Daniell, sự tương đương giữakhả tích Lebesgue và khả tích Daniell, tính chất maximality của trung bìnhDaniell.

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư người đã tận tình hướng dẫn tác giả.Cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô trong

tổ bộ môn "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" trường Đại học Khoa học

Tự Nhiên đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.Đồng thời tác giả cũng gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp trong Khoa Khoahọc Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ đã giúp đỡ và tạo điều kiệntốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học

Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên tôi cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả Cảm ơn các bạn tronglớp đã góp ý giúp đỡ tác giả trong luận văn này

Do lần đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế

về ngoại ngữ, thời gian nên khi làm luận văn không tránh khỏi những sai sót.Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quí thầy cô

và bạn đọc

Hà nội, tháng 08 năm 2014Tác giả luận vănNguyễn Thị Huệ

Bảng kí hiệu

Mµ: Tập tất cả các tập µ - đo được

M([a, b]): σ - đại số Lebesgue sinh bởi [a, b]

MR: Lớp các hàm thực đo được

M: Lớp các tập con đo được của Ω

M(k.k): Tập hợp tất cả các trung bình trên E trùng với k.k trên E+

L1(Ω,F, µ): Tập hợp các hàm khả tích Lebesgue trên Ω

L1(k.k): Tập hợp các hàm khả tích đối với trung bình k.k

Cho E là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là dàn vành khi đó:

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ hệ thống lại kiến thức về độ đo, phương pháp nới rộng độ đo,hàm đo được, định lý Stone –Weierstrass, định lý về lớp hàm thực Các kiếnthức này sẽ được sử dụng nhiều ở các chương sau

Các nội dung của phần này tác giả tham khảo chủ yếu trong các tài liệu [1],[3], [4], [6], [8]

1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Một tập hợp các F của Ω là một đại số nếu

Nếu F là σ - đại số thì cặp (Ω,F) gọi là không gian đo được

Định nghĩa 1.2 Tập hợp S các tập con của Ω được gọi là nửa vành nếu:(i) ∅ ∈ S

Bộ ba (Ω, F, µ) được gọi là không gian có độ đo.

Nếu µ(Ω) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (Ω, F, µ) gọi là không gianxác suất

Các tính chất cơ bản của độ đo

(1) µ (∅) = 0

(2) A, B ∈ F ,A ⊂ B, µ (B) < ∞ ⇒ µ (A\B) = µ (A) − µ (B)

(3) Tính đơn điệu: A, B ∈ F ,A ⊂ B ⇒ µ (A) ≤ µ (B).

(1) µ là độ đo;

(2) µ là nửa σ – cộng tính dưới;

(3) µ liên tục dưới, tức là nếu An ↑ A thì µ (An) ↑ µ (A)

Nếu thêm điều kiện µ là hữu hạn thì các điều kiện trên tương đương vớimột trong các điều kiện sau:

(4) µ liên tục trên, tức là nếu An ↓ A thì µ (An) ↓ µ (A)

(5) µ liên tục tại ∅, tức là nếu An ↓ ∅ thì µ (An) ↓ 0

Định nghĩa 1.6 Cho µ là độ đo trên σ – vành S, µ được gọi là độ đo đủ khi

và chỉ khi ∀A ∈ S, µ (A) = 0 và (B ⊂ A) suy ra B ∈ S Ta cũng nói rằng S là

đủ đối với độ đo µ hoặc µ - đủ

Định nghĩa 1.7 Một hàm tập cộng tính trên vành S của không gian tôpô Xnhận giá trị trong R+ được gọi là độ đo chính quy nếu thỏa mãn các tính chất:

∀ε > 0, ∀A ∈ S, ∃K ∈ S,∃F ∈ S với K là tập compact tương đối sao cho:

K ⊂ A ⊂ F ,◦ µ (A\K) < ε, µ (F \A) < ε

1.2 Nới rộng độ đo

Cho trước một độ đo dương µtrên một vànhC Khi đó, ta có thể nới rộng độ

đo này lên σ – vành sinh bởi C bằng cách dùng độ đo ngoài của Caratheodory

1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue

Định nghĩa 1.8 Không Ω là một không gian mẫu Một độ đo ngoài trên Ω làmột hàm µ∗: P(Ω) → [0, ∞) thỏa mãn:

Định nghĩa 1.9 Cho µ∗ một độ đo ngoài trên Ω Một tập E ⊂ Ω thỏa mãn

µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ Ec) , ∀A ∈ Ω (1.2)được gọi là µ∗ - đo được Nếu µ∗(E) = 0 thì E được gọi là µ∗ - bỏ qua được.Định lý 1.3 Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên Ω Tập hợp Mµ∗ tất cả các tập

µ∗ - đo được là một σ - đại số và chứa tất cả các tập µ∗ - bỏ qua được Ngoài ra

(Ω, Mµ∗, µ∗) là một không gian có độ đo đủ

Định lý 1.4 (Mở rộng của Caratheodory) Giả sử rằng µ là hàm tập cộng tính

và cộng tính dưới đếm được trên nửa vành E thỏa mãn µ (∅) = 0 Thì µ được mởrộng thành một độ đo đủ trên σ - đại số Mµ chứa σ(E)

Chứng minh Ta có, các hàm µ∗ cho bởi (1.1) với h = µ là một độ đo ngoài.Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng: (i) µ∗ và µ là trùng nhau và (ii) Tập tất cả các tập

µ∗ - đo được là σ - đại số và nó chứaE

Thật vậy

(i) Giả sử I ∈ E và I 1 , I 2 là dãy các tập con của I bao phủI Từ định nghĩacủa µ∗, tính σ - cộng tính dưới và tính cộng tính hữu hạn củaµ chứng tỏ rằng

Vậy, µ∗(I) = µ (I)

(ii) Cho I ∈ E và giả sử rằng A ⊂ Ω bị bao phủ bởi I1, I2 với Ik ∈ E với mọi

Hệ quả 1.1 Cho (Ω, σ (E ) , µ) là mở rộng Caratheodory của µ trên nửa vành E,

µ∗ là độ đo ngoài cho bởi (1.1) và E↑ là họ của các hợp đếm được các tập trong

E Thì, với mọi E ⊂ Ω, tồn tại B ∈ σ(E) sao cho E ⊂ B và

µ∗(E) = infµ (C) : E ⊂ C ∈ E↑ = µ (B) (1.3)Nếu η là một mở rộng khác của µ trên (Ω, σ (E )) thì η ≤ µ Thêm nữa, nếu E

là một vành thì η (E) = µ (E) , ∀E ∈ σ (E ) với µ (E) < ∞

Định lý 1.5 Giả sửE là nửa vành trên Ωvà µ là hàm cộng tính dưới đếm được.Nếu mở rộng Caratheodory là σ - hữu hạn trên σ(E ) thì Mµ = σ (E ) và mở rộng

đó là duy nhất

1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes

Trong phần này ta sẽ trình bày độ đo trên không gian Borel (Rd, B(Rd)) Ta

kí hiệuE là tập hợp tất cả các khoảngd - chiềuQd

k=1 (ak, bk] = (a, b], với ak ≤ bk.Khi đó, E là nửa vành

Cho F : Rd →R là hàm liên tục phải tức là lim

x→a + F (x) = F (a) Với a ≤ b và

Chứng minh Rõ ràng µ (∅) = 0 và µ là cộng tính hữu hạn trên E

Bây giờ ta chứng minhµlàσ- cộng tính dưới trênE Nếu(a, b] =

∞

S

m=1 (a(m), b(m)],tính liên tục phải và có gia số không âm của F suy ra là với mọi ε > 0, có aε và

∞

[

m=1 (a (m) , b ε (m))

Có N0 ∈ N sao cho (aε, b] ⊂ [a, b] ⊂

N 0S

m=1 (a (m) , bε(m)) Cộng tính hữu hạn cónghĩa là cộng tính dưới hữu hạn trên nửa vành E, do đó

µ ((a, b]) < µ ((aε, b]) + ε

2 ≤

N 0X

Tính cộng tính dưới đếm được của µ trên E có được khi cho ε & 0 Kết luận

có được từ định lý mở rộng của Caratheodory

Định nghĩa 1.10 Với mỗi F ∈F tồn tại duy nhất một độ đo σ - hữu hạn trên

σ - đại số B(Rd) xác định bởi

µ([a, b)) = F (b) − F (a)

Khi đó, độ đo µ được gọi là độ đo Lebesgue - Stieltjes

Độ đo Lebesgueλ là độ đo tương ứng với trường hợp đặc biệt khiF (s) =

d

Q

j=1

sj,trong trường hợp này λ ((a, b]) =

d

Q

j=1 (b j − a j ) và Mλ là σ - đại số Lebesgue.Định lý 1.7 Cho Rd ,B Rd

, µ
là không gian có độ đo Borel hữu hạn và xácđịnh hàm phân bố của µ bởi F (x) := µ {y : y ≤ x} Thì

i F là hàm tăng không âm

ii F là chính xác nghĩa là lim

min k x k %∞ F (x) = µ Rd
, lim

min k x k &−∞ F (x) = 0.iii F là liên tục phải

Ngược lại, nếu F thỏa mãn (i)-(iii) thì có độ đo µ trên Rd ,B Rd

với phân

bố F

1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric

Giả sử (X, d) là một không gian metric và giả sử rằng g : R + → R + là hàmkhông giảm với g(0) = 0 Định nghĩa h : P(X) → R + là hàm A 7→ g(diam(A))

với diam(∅) = 0 và diam(A) = sup {d(x, y), x; y ∈ A} nếu A 6= ∅

Với mỗi δ > 0 đặt Eδ là tập hợp các tập có đường kính tối đa là δ thì hàmtập Hδg định nghĩa bởi:

được gọi là độ đo metric ngoài.

Chú ý: Nếu A, B ⊂ X và d(A, B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} > 0 thì

Hs/α(f (A)) ≤ Ls/αHs(A)

Chứng minh Chú ý rằng diam(f (A)) ≤ L(diam(A))α Cho δ > 0 đặt δ∗ = Lδα.Nếu {An ⊂ Eδ là phủ đếm được của A, thì {f (An)} ⊂ Eδ là phủ mở của f (A) Khiđó:

Hδs/α(f (A)) ≤X

n

diam (f (An))s/α ≤ Ls/αX

n (diam (An))s

hệ quả là Hs/α(f (A)) ≤ Ls/αHs(A) với mọi A ⊂ X

1.3 Hàm đo được

Định nghĩa 1.12 (i) Cho các không gian đo được (X, S) và (Y, R) Ánh xạ

f : X → Y gọi là ánh xạ đo được nếu với mọi A ∈R ta có

f−1(A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} ∈ S

(ii) Cho không gian có độ đo (X, S, µ) Hàm số f : X → [−∞, +∞] được gọi

là µ - đo được nếu với mọi tập Borel B ⊂R ta có

f−1(B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} ∈ S(µ)

Định lý 1.10 Các khẳng định sau là tương đương

1 Hàm số f : X → [−∞, +∞] là đo được

2 Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) > r} đo được

3 Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) ≥ r} đo được

4 Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) < r} đo được

5 Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) ≤ r} đo được

Định lý 1.11 1 Giả sửf, glà các hàm đo được Khi đó, các tập{f < g} , {f ≤ g} , {f = g} là đo được

2 Giả sử f, g các là hàm đo được Khi đó, f ∨ g = max {f, g} ; f ∧ g = min {f, g} ; f + g; fg (g 6= 0) ; |f |α(α ∈R+ ) là đo được

3 Nếu f đo được và g(x) = f (x) µ - hầu khắp nơi thì g cũng đo được

4 Cho (fn) là dãy hàm đo được khi đó các hàm

sup fn; inffn; lim sup fn; lim inffn

là đo được

Định lý 1.12 (Egorov) Cho (fn) , f là các hàm đo được sao cho fn → f µ - hầukhắp nơi Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại tập A với µ(Ac) < εsao cho fn hội tụ đềutới f trên A

Định nghĩa 1.13 Cho hai không gian đo được (Ω, A) và (Ω, B) và f là ánh

xạ từ Ω vào X Ánh xạ f được gọi là ((A - B)) – đo được hay gọi tắt là đo đượcnếu ∀B ∈ B, f−1(B) ∈ A, tức là nghịch ảnh của một tập đo được là một tập đođược:

f−1(B) ∈ A

Định lý 1.13 Giả sử (Ω, A) và (Ω, B) là hai không gian đo được và B = σ(C)

là một σ - đại số các tập con của Ω Khi đó, f là (A - B) – đo được nếu và chỉnếu f−1(C) ⊂ A

Bổ đề 1.1 Cho (Ω,F) là không gian đo được Một hàm f trênΩ với giá trị trênkhông gian metric (S, d) là đo được nếu và chỉ nếu g ◦ f : Ω → R là đo được với

mọi hàm giá trị thực g trên S

Định lý 1.14 Cho (Ω,F) là không gian đo được và (S, d) là không gian metric.Nếu {fn} ⊂ S Ω dãy hội tụ các hàm đo được thì f = lim

n fn là hàm đo được

1.4 Các khái niệm của giải tích hàm

Trong mục này trình bày kết quả trong Giải tích cổ điển: Định lý Weierstrass dạng cổ điển, các lớp hàm liên tục, hàm liên tục trong tập compact

Stone-có thể xấp xỉ đều bởi đa thức Kết qủa này sẽ được sử dụng nhiều khi ta xâydựng lý thuyết tích phân theo quan điểm giải tích hàm

1.4.1 Định lý Stone –Weierstrass

Định nghĩa 1.14 Cho E và V là họ các hàm thực hoặc phức xác định trên Ω.(i) E gọi là vành thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ thực hoặc phứcđối với cộng từng điểm và phép nhân vô hướng và nó là đóng dưới với phépnhân từng điểm

(ii) V là dàn véctơ thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ đối với phépcộng theo từng điểm và phép nhân vô hướng, và f ∧ g := min {f, g} ∈ V;

f ∨ g := max {f, g} ∈ V với mọi hàm thực f, g ∈ V

(iii) Một họ các hàm V gọi là đóng với phép chặt cụt nếu f ∧1 ∈ V với mọihàm thực f ∈ V

Bổ đề 1.2 (Định lý Dini) Cho S là tập compact và cho {φn}n là một dãy cáchàm liên điểm tăng hội tụ điểm đến hàm liên tục φ Thì φn hội tụ đều đến φ

Định lý 1.15 Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên một tập nào đó Nếu E

là một vành hoặc một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt thì bao đóng đều E của

E cũng là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt

Định lý 1.16 (Định lý Stone Weierstrass) Giả sử S là một không gian Hausdorffcompact và E ⊂ C(S) là một vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt Giảthiết rằng E tách các điểm tức là với mọi cặp điểm s 6= t trong S thì tồn tại φ ∈

E thỏa mãn φ (s) 6= φ (t) thì ta có:

(i) Nếu E không có không điểm chung z ∈ S thì hợp bao đóng đều E = C(S).(ii) Nếu E có không điểm chung duy nhất z ∈ S thì E = {φ ∈ C(S): φ (z) = 0 }.Chứng minh Kí hiệu V là không gian tất cả các hàm liên tục trên S nếu (i)thỏa mãn, hoặc là không gian tất cả các hàm liên tục trên S triệt tiêu tại x

nếu trường hợp (ii) thỏa mãn Khi đó E là một vành đóng với phép chặt cụt và

E = E Vậy nó là đầy đủ với giả thiết E là dàn vành đóng với phép chặt cụt.Cho f ∈ V Với mọi s 6= t trong S, chọn ψst ∈ E sao cho ψst(s) 6= ψst(t) Vậy,với mỗi t ∈ S trong trường hợp (i) hoặc t ∈ S\ {z} trong trường hợp (ii), chọn

ψt ∈ E sao cho ψt(t) = 1 và cho ψt ≡ 0 trong trường hợp (ii) và t = z Với mỗicặp s 6= t ∈ S xác định

j=1 ftj ∈ E và |f (t) − fε(t)| < ε

với mọi x ∈ S Vậy f ∈ E

Hệ quả 1.2 Cho E là một vành của các hàm bị chặn trên một tập nào đó Thì

E là một vành và dàn véctơ đóng với phép chặt cụt Ngoài ra, với f ∈ C(R) vớimọi f (0) = 0 và φ ∈ E thì f ◦ φ ∈ E

Hệ quả 1.3 Cho E là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt trên tập S

nào đó và đặt S0 ⊂ S Một hàm thực f trên S0 có thể được xấp xỉ đều trên S0

bởi hàm trên E nếu và chỉ nếu f là hạn chế trên S0 của một hàm ef ∈ E nào đó.Định nghĩa 1.15 Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên tập S Tính E - đềucủa S là tập hợp giả metric 

1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số

Định nghĩa 1.16 Cho Ω là tập không rỗng bất kỳ

(i) Một tập V ⊂ RΩ là một lớp đơn điệu (Tương ứng: Lớp đơn điệu bị chặn)nếu nó đóng dưới giới hạn từng điểm của dãy hội tụ đơn điệu (đơn điệu bịchặn)

(ii) Một tập V của các hàm phức hoặc thực bị chặn là lớp bị chặn nếu nó đóngdưới giới hạn theo từng điểm của dãy hội tụ bị chặn; Khi đó, với {fn} ⊂ V

thỏa mãn sup kfnku < ∞ và f (x) = limnfn(x) với mọi x thì f ∈ V

(iii) Tập hợp M ⊂ RΩ là lớp nhân tính thực nếu nó đóng dưới hữu hạn phépnhân.

(iv) Một tập M ⊂ CΩ hàm phức là lớp nhân phức nếu nó đóng dưới hữu hạnphép nhân và đóng dưới phép lấy số phức liên hợp

Định lý 1.18 (Lớp hàm thực đơn điệu) Cho V là không gian véctơ thực của cáchàm (Tương ứng: Hàm bị chặn) chứa hàm hằng và nó là lớp đơn điệu (Tươngứng: Đơn điệu bị chặn) Nếu M ⊂ V là lớp nhân của các hàm bị chặn thì V chứatất cả hàm đo được giá trị thực σ(M)

Định nghĩa 1.17 Họ V ⊂ RΩ là đóng theo dãy nếu giới hạn của một dãy hội

supnφ n > 0 trên Ω Trong trường hợp đó R(E ) = σ(E ) và EΣ =MR (E )

Một ứng dụng quan trọng của định lý lớp đơn điệu của hàm số là để xácđịnh xem liệu hai độ đo hữu hạn trên B(Rd) có trùng nhau không

là chia miền lấy tích phân thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểmứng với những giá trị gần nhau của f (x) Khi đó, ta có thể dùng những hàm bậcthang để xấp xỉ f (x).

2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng

Cho (Ω,F) là không gian đo được Với mỗi A ⊂ Ω, hàm giá trị thực đượcxác định bởi 1A(ω) = 1 khi ω ∈ A và 1A(ω) = 0 khi ω / ∈ A được gọi là hàm chỉtiêu của A Chú ý rằng 1A là đo được khi và chỉ khi A ∈F Một hàm đo được

s : Ω →R gọi là đơn giản nếu nó nhận hữu hạn các giá trị.

Định nghĩa 2.1 Giả sử rằng s là một hàm đơn giản, đo được không âm,

{a 1 , a 2 , a n }là tập hợp tất cả các giá trị khác nhau củas Khi đós =

n

P

k=1

ak1{s=ak}.Với mỗi E ∈F, tích phân của s trên E đối với độ đo µ xác định bởi

Z

E sdµ :=

n

X

k=1

akµ (E ∩ Ak) (2.1)

Bổ đề 2.1 Cho s và t là hai hàm đơn giản không âm Cho ν :F → [0, ∞] xácđịnh bởi

ν (E) =R

E sdµ

thì ν là một độ đo trên (Ω,F) Ngoài ra

Chứng minh Giả sử rằng {a1, a2, an} là tất cả các giá trị xác định bởis và đặt

Ak = s−1({ak}) Từ (2.1) dễ dàng có được ν (∅) = 0 Nếu E i là một dãy các tập

đo được rời nhau và E =SiE i thì

Z

Ω tdµ.

Từ bổ đề 2.1 ta có:

sdµ =R

Ω tdµ

với E ∈F và 0 ≤ s ≤ t là các hàm đơn giản

Bổ đề 2.2 Cho f : (Ω,F) → [0, ∞) hàm đo được Borel Thì

(i) Có một dãy các hàm đơn giản không âm thỏa mãn 0 ≤ sn ≤ sn+1 < ∞ vớimỗi n ∈Z+ và lim

n→∞ sn(ω) = f (ω) , ∀n ∈Z+, ω ∈ Ω.(ii) Có một dãy các tậpAn ∈F và dãy các hằng sốαn ≥ 0sao chof =

∞

P

n=1

αn1An.Định nghĩa 2.2 Với mọi hàm đo được f : Ω → [0, ∞] thì tích phân của f trên

E được cho bởi

Từ định nghĩa suy ra:

f−(ω) với f + (ω) := f (ω) ∨ 0; f−(ω) := f (ω) ∧ 0 Rõ ràng f là đo được khi và chỉkhif+, f− là các hàm đo được Tương tự, một hàm giá trị phức g là đo được khi

và chỉ khi u = Re(g) và v = Im(g) là các hàm đo được

Định nghĩa 2.3 Một hàm giá trị phức hoặc giá trị thực mở rộng đo được f

Nếu g là hàm phức, u = Re(g) ∈ L 1 và v = Im(g) ∈ L 1 thì

Ω gdµ định nghĩabởi

Z

Ω gdµ =

Kí hiệu: P xuất hiên µ - hầu chắc chắn hoặc µ - h.c.c

2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue

Trong giải tích và xác suất ta thường phải chuyển giới hạn dưới dấu tích phân.Đối với tích phân Riemann việc chuyển qua giới hạn như thế đòi hỏi nhiều điềukiện khắt khe như điều kiện hội tụ đều Đối với tích phân Lebesgue vấn đề này

sẽ được giải quyết đơn giản hơn

Định lý 2.2 (Hội tụ đơn điệu) Cho {fn}n là dãy các hàm đo được thỏa mãn(i) 0 ≤ ≤ fn(ω) ≤ fn+1(ω) ≤ ≤ ∞, ∀ω ∈ Ω

(ii) lim

n→∞ fn(ω) = f (ω) , ∀ω ∈ Ω

Thì f là đo được và

lim n→∞

thì ηf là một độ đo trên F và với mọi hàm đo được g : Ω → [0, ∞] ta có

Z

Ω gdηf =

Z

Ω

f n dµ (2.13)Định lý 2.4 Nếu f ∈ L1(Ω,F, µ) thì

Z

Ω

f dµ ∈ C và α ∈ S1 thỏa mãn αz = |z| Khiđó:

Z

Ω

f dµ

= α

Bổ đề 2.3 Giả sử f ∈ L1 thì với mỗi ε > 0 có δ > 0 mà với mỗi A ∈ F, nếu

Giả sử rằng

lim n

Z

g n dµ =

Z

gdµ < ∞ (2.17)thì f ∈ L 1 và

lim n→∞

Z

Ω (gn+ g − |fn− f |) dµ

Định lý 2.6 Cho dãy (fn) ⊂ L1(X, µ) hội tụ tới f µ - hầu khắp nơi Giả sử dãy

(fn) là khả tích đều theo nghĩa sau đây

Z

fndµ =

Z

f dµ

Vìfnc−fc → 0, kfnc− fck → 2cnên theo định lý hội tụ bị làm trộiR kfnc− fckdµ →

0 Vậy tồn tại m sao cho nếu n > m thìR kfnc− fckdµ → 0 Vậy với n > m ta có

fndµ =R f dµ khi và chỉ khi (fn) khả tích đều

Chứng minh Nếu (fn) khả tích đều thì fn >0 thì lim

Z

min (f, fn) dµ =

Z

f dµ

2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R

Xét không gian đo được ([a, b], B([a, b]), λ) Một phân hoạch hữu hạn của[a,b] là tập P = {a = t0, t1, , tn = b} Định nghĩa mk = inf {f (t) , t ∈ [tk−1, tk]} và

Mk = sup {f (t) , t ∈ [tk−1, tk]} Tổng Darboux –Riemann dưới và trên được địnhnghĩa bởi

Đặt P là tập hợp tất cả các phân hoạch của [a, b]

Định nghĩa 2.5 Một hàm f : [a, b] →R là khả tích Riemann nếu

Dễ thấy rằng với mọi phân hoạch P1, P2 của [a, b]

L (f, P1) ≤ L (f, P1∪ P2) ≤ U (f, P1∪ P2) ≤ U (f, P1)

Nó chứng tỏ rằng f khả tích Riemann trên [a, b] khi và chỉ khi f là bị chặn

và với mọi ε> 0 có phân hoạch Pε thỏa mãn

U (f, Pε) − L (f, Pε) < ε (2.20)

Định lý 2.8 Giả sử rằng f là khả tích Riemann trên [a, b] và đặt M([a, b]) là

σ - đại số Lebesgue Thì f ∈ L 1 ([a, b],M([a, b]), λ) và f là liên tục λ - hầu chắcchắn Hơn nữa, A(f ) = R

Chứng minh Với mỗi r > 0, xác định Jr =x ∈ [a, b] : ωf(x) > r Mỗi Jr là tậpcon đóng trong [a, b] và tập hợp các điểm gián đoạn của f là J = ∪

k∈N J1/k Thìmỗi J1/k là tập compăct có đô đo zero Vậy, với mỗi k, có hữu hạn tập mở Ak

phủ Jk có độ dài nhỏ hơn 1/k Phần bù của hợp các khoảng Ak là tập hữu hạncủa các khoảng đóng Bk Từ bổ đề 1.5 có δk > 0 mà nếu T ⊂ [a, b] \S

k

Ak và

diam(T ) < k thì Ωf(T ) < 1k Cho Pr là phân hoạch chuẩn bởi điểm cuối của Ak

và khoảng con chứa trong Bk độ dài nhỏ hơn δk Thì

Cho f là hàm từ E × [a, b] → R Ta giả thiết rằng hàm x 7→ ft(x) = f (x, t)

đo được với mỗi t ∈ [a, b], ft ∈ (ME ,B;R,BR) và ta quan tâm đến tính chất củahàm

t 7→

Z

E

f (x, t) dµ (x)

với µ là một đo đo dương trên B

Định lý 2.10 (Tính liên tục) Giả sử lim

t→t 0

f (x, t) = l (x) với mọix ∈ E, t0 ∈ [a, b],

|f (x, t)| ≤ g (x), g µ – khả tích với mọi t ∈ [a, b] Khi đó

lim t→t 0Z

Và áp dụng định lý hội tụ bị làm trội ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.11 (Tính khả vi) Với các điều kiện sau đây: