Chương 6 Tích phân xác định.doc

Chương 6 Tích phân xác định.doc

Tích phân xác định: 1/ Bài tốn diện tích hình thang cong: 2/ Định nghĩa tích phân xác định: 3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction): 4/ Các tính chất tích phân xác định: b 5/ Công thức Newton – Leibnitz: f  x  F  b   F  a  F  x  b a 11 a 6/ Tính gần tích phân xác định: .13 a/ Đa thức nội suy: 13 Công thức hình thang: 14 Công thức Simpson: .15 7/ Ứng dụng hình học tích phân xác định: 17 7.1/ Tính diện tích hình phẳng: 17 a a * I  f  x  dx 2 f  x  dx a a * I  f  x  dx 0 with f  x  hàm chan : f  x  f   x  19 with f  x  hàm le : f  x   f   x  20 a 7.2/ Trường hợp biên hình phẳng cho tọa độ cực .21 7.3/ Tính độ dài đường cong phẳng 22 7.4/ Tính thể tích vật thể .24 7.5/ Tính thể tích vật thể tròn xoay .25 7.6/ Tính diện tích mặt trịn xoay 26 8/ Sơ đồ ứng dụng tích phân .27 9/ Tích phân suy rộng .28 9.1/ Trường hợp cận lấy tích phân vô hạn: .28 9.2/ Trường hợp hàm số lấy tích phân ko bị chặn 29 9.3/ Tiêu chuẩn so sánh: .29 9.4/ Hội tụ tuyệt đối 31 Cách đưa tích phân suy rộng loại tích phân suy rộng loại 31 Bài tập 32  *I ax e sin bx.dx  b .32 2 a  b 1/ Xét hội tụ tích phân suy rộng: 33   ln x  dx / J  34 p x  / I   tan x  dx .35 p b 10 / I x a    x   11/ L  x a  bx e dx 36 37  12/ Xét hội tụ tích phân: I  x p  x e dx .37 dx 38  13/ Xét hội tụ tích phân: I  sin x 2/ Tính tích phân sau .39 b dx / I  a  x  a  b  x  2/ I dx 1  x   3/  2  39 40 ln x 1  x dx 0 .41 b  x b a e  ex / K  x a    5/ I    dx 0 41    x e dx   42 2  2n!!    2n   !!  1  / Wallis formula : lim   lim   44   n     2n  1 !!  2n  n     2n   !!  2n  n * I n  sin x  dx   cos x  sin x  n   n  1 I n  n 45 n * J 2n   /2  /2   2i  1 0  2i 2n 2n   sin x  dx    cos x  dx  i 0 n i 1   2n  1 !!   45 2n!! n  /2 * J 2n 1    sin x  2n 1  2i dx  n i 1    2i  1 2n!! 45  2n  1 !! i 0 te t 2 7/ I  dt  47  2t  e    1 n n! * x  ln x  dx  .48 n 1 a    n a * x n ln x.dx  1  n  1 48 2 / I  dt   48 t 1 3/ Dùng định nghĩa tính tích phân: 49 4/ Tính đạo hàm: 51 5/ Tính giới hạn .51   1 1 / I  lim        a  0, b   51 n.a   n  1 b  n    n.a n.a  b n.a  2b t log t n  2n  !  52 n n! e n   / lim b a b   n a  b a  b     n  n.a  i.b    / lim    53 a e  n   n  i 1       / lim n   n2 n i i  n   54 e i 1 n i a 1  ln  .ia e   56 n   n a 1 i 1 n / lim  n  i.   2k  1 !!  / lim  sin 2k    2k!! n   2n i 1  2n   n 2k!!  i.  / lim  sin 2k 1    n   2n i 1  2n   2k  1 !! 57 1/ Bài toán diện tích hình thang cong: Cho hàm số y  f(x), xác định, liên tục khoảng đóng [a, b] Xét hình thang cong AabB hình giới hạn đồ thị hàm số f(x) [a, b], đường thẳng x  a, x  b trục hoành Ox Ta định nghĩa diện tích S hình thang cong AabB Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ điểm chia: x o a  x1  x  x i   x i  x n b ta gọi cách chia phân điểm P   Bay gio, tu cac diem chia x i i 0, n ta dung cac duong thang x x i , nhu the ta da chia hình thang cong AabB  thành n hình thang cong nho Pi  1x i  1x i Pi i 1, n    moi hình thang cong nho dó có day x i x i  x i  i 1, n Theo gia thiet, hàm so f  x  lien tuc tren  a, b  ,  nên cung liên tuc  x i  1, x i  , i 1, n dó f  x  dat dc giá tri nho nhat mi  and giá tri lon nhat M i  max x x i  1,x i   x x i  ,x i  f  x f  x  mi f  x  M i  mi x i f  x  x i M i x i Về mặt hình học: tích số mi x i diện tích hình chữ nhật có chiều rộng x i chiều dài mi Tích số Mi x i diện tích hình chữ nhật ngồi có chiều rộng x i chiều dài Mi , hình thang cong nhỏ thứ i Pi  1x i  1x i Pi ln bị hình chữ nhật ngồi kẹp Gọi S* and S* tổng diện tích hình chữ nhật ngồi, gọn, gọi S* tổng and S* tổng ngồi, ln có bdt: n n i 1 i 1 S* S* , S*  mi x i , S*  M i x i from mi x i f  x  x i Mi x i   lim n  mi xi  lim x i  i 1 n n n i 1 i 1 n i 1  mi x i  f  x  x i  Mi x i n  f  x  x i xlim  Mi x i S x i  i 1 i i 1 2/ Định nghĩa tích phân xác định: Define Cho hàm số f(x) xác định bị chặn khoảng đóng [a, b], chia [a, b] thành khoảng nhỏ phân điểm P, khoảng nhỏ  xi  1,xi  lấy điểm ci tùy ý cho : x i  ci x i  i 1, 2, n  n Và lap tong: A  f  ci  x i with x i x i  x i  i 1 if when n   and max x i  A có gioi han huu han I lim A I xi  thi I dc goi tich phan xac dinh cua hàm so f  x  lay khoang dong  a, b  b kí hieu : I f  x  dx a Khi đó, ta nói hàm số f(x) khả tích (intergrable) in [a, b] b Diện tích (area) hình thang cong AabB là: S f  x  dx a 3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction): * Định lí (theorem): dk (condiction) để (of) hàm số (function) f(x) khả tích (intergrability) [a, b] là: lim  S  s  0 x i  n s   mi x i tong tich phan duoi, i 1 n S   M i x i tong tich phan tren i 1 b n   Prove that: gia su ton tai tich phan I f  x  dx  lim A  A   f  ci  x i    x i  i 1   a  I    A  I   from mi x i f  x  x i M i x i    lim n n n n i 1 i 1 i 1  mi x i   f  x  x i  Mi x i n n  mi x i xlim  f  x  x i xlim  M i x i I x i  i 1 i i i 1 lim s  lim A  lim S I  lim x i  x i  x i  x i  i 1  S  s  0 gia su  assume  có  has  lim xi   S  s  0 mà s I S, s A S  A  I    f kha tich  intergrable   a, b  let i Mi  mi i dc goi dao dong cua f  x i  1, x i  n n i 1 i 1 suy  derive  : S  s   Mi  mi  x i  i x i and can be write dieu kien  condition  kha tich  intergrable  duoi dang : lim n  i xi 0 xi  i 1 * Định lí (theorem 2nd): If f(x) liên tục (continuous) in [a, b] (derive) f(x) khả tích (intergrable) [a, b] Cm: because f(x) continuous in closed interval (khoảng đóng) [a, b] derive (suy ra) f(x) liên tục (uniformly continuous) in [a, b] (therefore) with any (bất kì) ε  ln (always) tìm (found) 1  cho (so that) x i  x i   1 with x i  1, x i   a, b  always have f  x i   f  x i      i   n  n  i xi   xi    b  a   i 1 i 1 lim n  i x i 0 x i  i 1 Do (therefore) f(x) khả tích in [a, b] * Theorem third: If f(x) bị chặn (bounded) and đơn điệu (monotone) in [a, b] derive f(x) khả tích (intergrable) in [a, b]: Cm: giả sử f(x) đơn điệu tăng in [a, b],  1  because f  x  don dieu tang nên f  b   f  a   f  b  f  a  cho x i  1, i 1, n   lim n  i x i 0 x i  i 1 n n i 1 i 1  i xi  1   f  x i   f  xi    1  f  b   f  a    therefore f  x  intergrable in  a, b  * Examples (VD): * Calculate I x dx because f  x  continuous  lien tuc  in  0,1  f  x  intergrable  kha tich  in  0,1 x n c i x i  x  dx  lim i i 1 i 1 choose ci   x i  1, x i  , ci   x i   n n n  chia  0,1 thành n khoang nho bang  x i   n  , therefore : n n n  n  1  2n  1 i      lim  i  lim x dx nlim   i 1  n  n n   n i 1 n  n b * Calculate I sin x.dx because f  x  sin x continuous  lien tuc  in  0,1 a  f  x  intergrable  kha tich  in  0,1 therefore  dó  can be choose phan diem cho : x o a, x i a  ih with h  b a , i 1, n max x i x i h n b choose ci a   i  1 h  sin x.dx  lim a n  sin ci h h  i 1 n n n  sin  a   i  1 h  h.2sin  h/2  i 1 i 1 2sin  h/2  dat A   sin ci h   sin  a   i  1 h  h  i 1 n h h     cos  a   i  1 h    h 2     i 1 h 2sin  h   h     h h    cos a   cos a  n        h  cos  a    cos  b    h   2   2         h h 2sin 2sin 2  because a  nh b      cos  a   i  1 h  h  h h     I sin x.dx  lim  cos  a    cos  b    cos a  cos b 2  h  sin h    a b 4/ Các tính chất tích phân xác định: 1/ Trong định nghĩa ta giả thiết a  b, if a  b ta hiểu hướng lấy tích phân thay đổi Khi ta có phân hoạch: a a x o  x1   x n b b  x i x i 1  x i   f  x  dx  f  x  dx b b 2/ Tích phân xác định ko phụ thuộc biến: a b b f  x  dx f  t  dt f  y  dy a a a a 3/ f  x  dx 0 a b 4/ c b f  x  dx f  x  dx  f  x  dx a a c Cm : gia su a  c  b and f  x  kha tich tren  a, b  Xét phân diem P diem c dc chon làm diem chia :   lim c b i a i a i c  f  di  x i   f  di  x i   f  di  x i b c b  f  di  xi xlim  f  di  x i  xlim  f  di  x i x i  i a b b i c i i a b  f  x  dx f  x  dx  f  x  dx a a c i c d i  x i b 5/ b f  x  dx f  x  dx a ta cm tinh kha tich cua f  x  a if in  x i  1, x i  i hvae f  x i   f  x i    f  x i   f  x i   therfore  dó  , if ki hieu i* dao dong cua hàm so f  x  in  x i  1, x i  , thi i* i , i*  f  x i   f  x i   , i  f  x i   f  x i     i*.x i  i x i because f  x  kha tich in  a, b    i*.x i  0, therefore f  x   i x i  kha tich in  a, b  b b  f  ci  x i  f  ci  x i  f  x  dx f  x  dx a a b b b / If m f  x  M, x   a, b   m dx f  x  dx M dx a a a b  m  b  a  f  x  dx M  b  a  a 7/ Định lí trung bình 1: cho f(x) khả tích [a, b], and m  f(x)  M with x  [a, b], tồn c cho: b f  x  dx c  b  a  , m c M if f  x  lien tuc in  a, b  a b  ton tai d cho : f  x  dx f  d   b  a  a b b a a Cm : ta có m  b  a  f  x  dx M  b  a  and dat c  f  x  dx b a  gia su f  x  lien tuc in  a, b   theo dinh li ve cac giá tri trung gian, ton tai d   a, b  cho f  d  c; m c M 8/ Định lí trung bình 2: Giả sử: 1/ f(x) tích f(x).g(x) khả tích [a, b] 2/ m  f(x)  M 3/ g(x) ko đổi dấu [a, b] (g(x)  or g(x)  0) 4/ f(x) liên tục in [a, b] b dó : b f  x  g  x  dx f  c  g  x  dx a a c b a Cm : gia su g  x  0  m.g  x  f  x  g  x  M.g  x  b b b  m.g  x  dx f  x  g  x  dx M.g  x  dx a a a b b b because g  x  0  g  x  dx 0, if g  x  dx 0  f  x  g  x  dx 0 a b a b a b if g  x  dx   f  x  g  x  dx/ g  x  dx d m d M a a a because f  x  lien tuc in  a, b   ton tai c   a, b  cho f  c  d x 9/ Cho G  x  f  t  dt, x   a, b  a If f(t) khả tích đoạn [a, b] G(x) liên tục x  [a, b] Cm: cho x số gia ∆x  h cho x + h  [a, b], ta có: x h G x  h  x x h x h  f  t  dt f  t  dt   f  t  dt G  x    f  t  dt a a x h  G  x  h  G  x  x x  f  t  dt d.h x with m d M, m  inf  x,x h  f  t  , M  sub f  t   x,x h   lim  G  x  h   G  x    lim d.h 0 h h  lim G  x  h  G  x   G  x  lien tuc tren doan  a, b  h If f(t) liên tục t  x G(x) có đạo hàm x G '  x  f  x  G  x  h  G  x I have : d, because f  t  continuous at t x h  f  x     f  t   f  x   , t   x, x  h  , because m inf f  t  , M sup f  t  , t   x, x  h   f  x    m M f  x   , because m d M  f  x    d f  x     d  f  x     G '  x   lim h G x  h  G x h  lim d f  x  h 10 ... x a  bx e dx 36 37  12/ Xét hội tụ tích phân: I  x p  x e dx .37 dx 38  13/ Xét hội tụ tích phân: I  sin x 2/ Tính tích phân sau .39 b dx... h  sin h    a b 4/ Các tính chất tích phân xác định: 1/ Trong định nghĩa ta giả thiết a  b, if a  b ta hiểu hướng lấy tích phân thay đổi Khi ta có phân hoạch: a a x o  x1   x n b... - a)/(3*length(x))*(4*y1 + 2*y2 + y(1) + y(length(x))) 16 7/ Ứng dụng hình học tích phân xác định: 7.1/ Tính diện tích hình phẳng: Dien tích hình thang cong gioi han boi duong thang : b y 0,