Tích độ đo và tích phân lặp theo nghĩa lebesgue

1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời để gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Lê Thị Thiên Hương khoảng thời gian mà tận tình hướng dẫn, giúp đỡ mặt nghiên cứu niềm tin để hồn thành khóa luận Bên cạnh đó, tơi bày tỏ lòng cảm ơn thầy cô tổ môn Giải tích có nhận xét góp ý để tơi có hội hồn thành bảo vệ khóa luận tốt nghiệp Tơi xin cảm ơn tồn thể thầy khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu suốt thời gian bốn năm chương trình Đại học Võ Đăng Khoa MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số  -đại số,  -đại số sinh họ tập, họ sơ cấp 1.2 Độ đo tiền độ đo 1.3 Độ đo Lebesgue  12 1.4 Hàm đo tính chất 13 1.5 Tích phân hàm đo được, tích phân Lebesgue 16 CHƯƠNG II : TÍCH CÁC ĐỘ ĐO 21 2.1 Tích  -đại số 21 2.2 Xây dựng tích độ đo 24 2.3 Định nghĩa tích độ đo tính chất 27 2.4 Độ đo Lebesgue  n  n   29 CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN TRÊN KHƠNG GIAN TÍCH 44 3.1 Tích phân độ đo 44 3.2 Định lý Fubini 53 3.3 Tích chập 59 LỜI KẾT 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 LỜI MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Đo đạc hoạt động xa xưa loài người Ngay từ thời nguyên thủy người phải đếm số trái cây, số thú vật săn bắt được, số thành viên lạc; phải cân đong ngũ cốc, thức uống… Đến văn cổ đại, người biết đo đạc ruộng đất, đo độ dài, diện tích, thể tích vật, tính tốn ngày giờ, lập lịch, dự báo thời tiết Thời gian trôi đi, công việc đo đạc ngày càngphát triển trở nên tinh vi, phức tạp Lý thuyết đo đạcvà ứng dụng ngày rộng rãi sâu sắc Độ đo tích phân khái niệm có ý nghĩa quan trọng vấn đề đo đạc giải tích, nhiều phân mơn Tốn học ngành khoa học khác Ta biết định nghĩa, tính chất độ đo dương tổng quát xây dựng lý thuyết tích phân khơng gian độ đo cho trước Vấn đề đặt là: từ số không gian độ đo ban đầu, làm để tạo độ đo khơng gian tích, từ đưa mối liên hệ tích phân khơng gian tích với tích phân khơng gian thành phần Kéo theo loạt câu hỏi: Tính diện tích mặt, thể tích vật thể từ độ dài nào? Liệu có định lý Fubini cho phép chuyển từ tích phân bội sang tích phân lặp lý thuyết tích phân tổng quát tương tự trường hợp hàm nhiều biến hay không? Khóa luận xem xét, tìm câu trả lời cho vấn đề Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu khóa luận độ đo tích định lý Fubini Sử dụng kiến thức chương trình Đại học số kiến thức tham khảo khác Quy mơ nghiên cứu vừa tầm với khóa luận tốt nghiệp Nội dung khóa luận Khóa luận trình bày việc xây dựng độ đo khơng gian tích, từ đưa cách thiết lập độ đo Lebesgue  n , đồng thời xem xét mối liên hệ tích phân khơng gian tích với tích phân khơng gian thành phần Khố luận gồm ba chương Chương I nhắc lại kiến thức lý thuyết độ đo-tích phân như:   đại số, độ đo tính chất, hàm đo được, tích phân tính chất, làm cho vấn đề chuyên sâu chương II chương III Chương II trình bày cách xây dựng tích độ đo theo trình tự: trước hết tạo họ sơ cấp tích Descartes tập đo không gian nhỏ gọi gian, sau lấy hợp hữu hạn gian rời đại số, lập tiền độ đo đại số đó, cuối dùng định lý Hahn để mở rộng tiền độ đo thành độ đo tích tổng quát Nhưng độ đo chưa đầy đủ nên muốn có độ đo Lebesgue  n phải thêm bước bổ sung đầy đủ Chương khảo sát vài tính chất độ đo Lebesgue tính quy, bất biến qua phép tịnh tiến, mối liên hệ tập Lebesgue tập Borel… Chương III nêu cách đưa tích phân bội khơng gian tích với độ đo xây dựng tích phân lặp khơng gian thành phần Đây nội dung củađịnh lý Fubini Trong trình thiết lập cơng thức, khóa luận xem xét cách khác để định nghĩa độ đo tích, cách thường sử dụng ta quan tâm đến tích phân độ đo Cuối chương có đề cập đến ứng dụng quan trọng tích chập hai hàm số khả tích CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Đại số  -đại số,  -đại số sinh họ tập, họ sơ cấp 1.1.1 Đại số   đại số Định nghĩa Cho Xlà tập khác rỗng Một   đại số tập X (hoặc   đại số trênX ) họ khác rỗng M  P  X  đóng với phép hợp đếm phép lấy phần bù, tức i) A M AC  M ;   ii)  A j   M  A j  M j 1 j 1 Họ khác rỗng M gọi đại số đóng với phép hợp hữu hạn phép lấy phần bù, tức thay ii) ii’) n n ii’)  A j   M  A j  M j 1 j 1 Tính chất C Với tập Aj ta có  A j    ACj  nên   đại số đóng với phép j  j  giao đếm đại số đóng với phép giao hữu hạn Cho M đại số Do M   nên tồn A M Từ AC  M   A  A C  M , X  A  AC  M Cho M   đại số Nếu A1 , A2 , , An  M dãy  A j  n  j 1 ,  A j   với j  n , thuộc M nên  A j   Aj  M Vậy   đại số đại j 1 j 1 số 1.1.2  - đại số sinh họ tập Định nghĩa Cho E họ tập X Họ  - đại số chứa E khác rỗng (vì P  X   - đại số chứa E ) giao  - đại số chứa E  - đại số chứa E Giao tất  - đại số chứa E gọi  - đại số sinh E , kí hiệu M  E  Tính chất Từ định nghĩa dễ dàng suy với họ tập E F X thỏa mãn E  M  F  M  E   M  F  1.1.3  - đại số Borel Định nghĩa Cho X không gian metric topo Ta gọi  - đại số sinh topo X (họ tất tập mở X )  - đại số Borel X, kí hiệu BX Mỗi phần tử thuộc BX gọi tập Borel Như tập Borel bao gồm tập mở, tập đóng, giao đếm tập mở (kí hiệu G ), hợp đếm tập đóng (kí hiệu F ) Định lý 1.1 B sinh họ tập sau  : a) Họ khoảng mở E1   a, b  | a  b ; b) Họ khoảng đóng E2   a, b  | a  b ; c) Họ khoảng nửa mở E3   a, b  | a  b E4   a, b  | a  b ; d) Họ nửa đường thẳng mở E5   a,   | a   E5   , a  | a   ; e) Họ nửa đường thẳng đóng E7   a,   | a   E8   , a  | a   1.1.4 Họ sơ cấp Định nghĩa Họ E tập X gọi họ sơ cấp i)   E ; ii) A, B  E A  B  E ; iii) A E AC hợp hữu hạn tập rời E Định lý 1.2 Nếu E họ sơ cấp tập X họ A hợp hữu hạn tập rời E đại số X Hơn M  E   M  A  1.2 Độ đo tiền độ đo 1.2.1 Định nghĩa độ đo Cho Xlà tập khác rỗng   đại số M X Ta gọi hàm tập  : M  0,   thỏa điều kiện sau đậy độ đo M (hoặc  X , M  X ) i)      ;  ii) Nếu  A j  j 1    dãy tập rời M    Aj      A j   j 1  j 1 Tính chất ii) gọi tính chất cộng tính đếm (hay   cộng tính) Tính chất sau đâyđược gọi tính chất cộng tính hữu hạn n n ii’) Nếu A1 , A2 , , An tập rời M    Aj      A j   j 1  j 1 Dễ dàng nhận thấy từ i) ii) suy ii’) Nếu  thỏa mãn i) ii’) khơng thỏa mãn ii)  gọi độ đo cộng tính hữu hạn Tập X   đại số M X gọi khơng gian đo được, kí hiệu  X , M  Mỗi A M gọi tập đo được, hay M - đo Nếu  độ đo  X , M  ba  X , M ,   gọi không gian độ đo, M gọi miền độ đo  Độ đo  gọi hữu hạn   X     Độ đo  gọi   hữu hạn tồn dãy  A j  M cho j 1   A j  X   A j    với j   * j 1  Tập A  X gọi tập   hữu hạn tồn dãy  A j  j 1 M  cho  A j  A   A j    với j   * j 1 Độ đo  gọi nửa hữu hạn A M ,   A    tồn B  M , B  A cho    B    Một độ đo   hữu hạn nửa hữu hạn điều ngược lại nói chung khơng 1.2.2 Định nghĩa tiền độ đo Cho A  P  X  đại số Hàm  : A  0,   gọi tiền độ đo : i)          ii)  Ai i 1  A tập rời  Ai  A    Ai      Ai  i 1  i 1  i 1 Các khái niệm hữu hạn,   hữu hạn, nửa hữu hạn tiền độ đo định nghĩa giống độ đo Hiển nhiên độ đo tiền độ đo   đại số coi đại số 1.2.3 Tính chất Định lý 1.3 Giả sử  tiền độ đo đại số A Khi a) Nếu A, B  A , B  A   B     A  (Tính chất đơn điệu); b) Nếu A, B  A , B  A,   B      A \ B     A     B  ; c) Nếu  Aj      A  A j  A    Aj      A j  (Tính chất cộng tính dưới); j 1 j 1  j 1  j 1  10    d) Nếu   Aj   0, j  1, 2,  A j  A    Aj   ; j 1  j 1  e) Nếu A, B  A ,   B     A  B     A \ B     A  ; f) Nếu  Aj     A , A1  A2   A j  A    Aj   lim   A j  (Tính chất liên j 1 j 1  j 1  j  tục dưới); g) Nếu  Aj     A , A1  A2  ,  A j  A   A1       Aj   lim   A j  j 1 j 1  j 1  j  (Tính chất liên tục trên); Vì độ đo tiền độ đo nên có tính chất kể Định lý 1.4 Độ đo bất biến với phép tịnh tiến Tức cho không gian độ đo  X , M ,   với A thuộc M , s thuộc X   s  A     A  1.2.4 Mở rộng tiền độ đo Cho A đại số X ,  tiền độ đo A Ta tìm cách mở rộng tiền độ đo  thành độ đo    đại số M chứa A Định lý 1.5(Định lý Hahn) Cho A đại số X ,  tiền độ đo A Khi tồn   đại số M X chứa A độ đo  M mở rộng  , cụ thể    * | M với      * xác định  *  A   inf    A j  |  A j  j 1  A , A   A j  , A  P  X  j 1  j 1  Hơn   - hữu hạn  mở rộng  Nhận xét 50 Gọi C họ tất tập E  M  N mà kết luận định lý Hiển nhiên C  M  N - Nếu E gian, E  A  B, A  M , B  N   E x    A  x    B    E y    B  y    A  hàm số đo tương ứng X , Y    E     A    B     B  d     A  x    B  d      E x  d  A X X    E     A    B      A  d    B  y    A  d     E y  d B Y Y Suy E  C - Nếu họ  E j  m j 1 Với E j1 , E j2   E j   Ta có A j1  B j1  m m j 1 j 1 gian rời nhau, đặt E   E j Ta có : E x    E j   x m j 1 x , j1  j2 E j1  A j1  B j1 , E j2  A j2  B j2    A   B j x  Aj   ,  x  A  j1     j2  B j2  x    B j x  Aj    x  Aj2      Vì A j1  Aj2  B j1  B j2  Aj1  B j1  A j2  B j2   nên Aj1  Aj2   B j1  B j2   Với x  X ta có trường hợp sau :  +Nếu x  A j1 x  A j2 Aj1  B j1   A j2 x  Bj2  x  +Nếu Aj1  Aj2   B j1  B j2   Với x  Aj1  A j2 A j1    Bj1  Aj2  B j2 Vậy họ x  E   j x  x  Bj1  B j2   m j 1 rời nằm N (định lý 3.1) m m Khi   Ex       E j     x  j 1  j 1  Ej  x  m    A j  x    B j  đo j 1 51 Và m m m j 1 j 1 A j j 1 X    E      Aj    B j       B j  d      Aj  x    B j  d   m       Aj  x    B j   d     E x  d  X  j 1  X Tương tự với lát cắt E y Như E  C Ta có C chứa hợp hữu hạn gian rời (chính đại số A sinh   đại số M  N ).Ta cần chứng minh C lớp đơn điệu theo định lý 3.2 suy C  C A  M A  M  N -   Với  E j  j 1 dãy tăng C E   E j lim    E j      E  (do tính j 1 j  chất liên tục độ đo   )   Khi  E   j x j 1 dãy tăng N E x    E j  j 1 x Theo tính chất liên tục độ đo , ta có   E x   lim j    E   mà hàm j x  E   đo nên   E  đo X x j x    E   Mặt khác  j x j 1 dãy hàm không âm, tăng đến   E x  X nên theo định lý hội tụ đơn điệu ta có   E  d   lim   E  x X j  j x Tương tự   E y  đo Y  j 1 j  j    E  d     E  y Y Vậy E   E j  C  d   lim    E      E  X 52 -   Với  E j  j 1 dãy giảm C E   E j lim    E j      E  (do  , j 1 j  hữu hạn nên    E1      X  Y     X  Y    với tính chất liên tục độ đo   ) Khi   E j x    j 1 dãy giảm N , Ex    E j  và   E1  x    Y    x j 1 Theo tính chất liên tục độ đo  , ta có   E x   lim j    E   mà hàm j x  E   đo nên   E  đo X x j x Vì    E1  x  d      E1    nên   E1  x  khả tích X X  Mặt khác    E   j x j 1 dãy hàm hội tụ đến   E x  X , bị chặn    E1  x  khả tích X nên theo định lý hội tụ bị chặn ta có   E  d   lim   E  x j  X j x  d   lim    E      E  X j  j Tương tự   E y  đo Y    E y  d     E  Y  Vậy E   E j  C j 1 Như C lớp đơn điệu chứa A  Nếu  , độ đo   hữu hạn  X   Ak ,   Ak   ; k 1  Y   Bk ,  Bk    k 1 j j   k 1 k 1 j 1 j 1 Đặt X j   Ak , Y j   Bk X   X j   X j   , Y   Y j  Y j    Khi lấy ta có X  Y hợp tăng dãy gian  X j  Y j  hữu hạn  j 1 có độ đo 53  Với E  M  N , đặt E j  E   X j  Y j   E j  Dễ thấy   E j x   j 1 j 1  tăng E   E j j 1  tăng E x    E j  nên theo tính liên tục độ đo   x j 1 lim    E j      E  j    Ta có    E j      X j  Y j      E j   X j  x  Ex Yj   Yj    x Nên, tương tự trường hợp độ đo hữu hạn,ta có âm tăng đến   E x    E   đo X không j x   E   d      E  j x j X Suy ra  E x  đo X Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu, ta có   E  d   lim   E  x X j  j x  d   lim    E      E  j  X Tương tự,   E y  đo Y j    E  d     E  y Y Nhận xét Nếu xây dựng độ đo tích mục đích chứng minh định lý Fubini dùng định lý để định nghĩa độ đo tích Từ xây dựng độ đo Lebesgue n 3.2 Định lý Fubini Trong giải tích hàm nhiều biến, đưa tích phân bội tích phân lặp Điều thực với lý thuyết tích phân tổng qt khơng? Định lý sau trả lời cho câu hỏi Định lý 3.4 (Định lý Fubini) 54 Cho  X , M ,   Y , N ,  không gian độ đo   hữu hạn Khi a) Nếu f hàm đo khơng âm A  B độ đo   g  x    f x d , h  y    f y d  đo không âm tương ứng A B B A b) Nếu f khả tích A  B độ đo   f x khả tích B hầu khắp x  A , f y khả tích A hầu khắp y  B hàm g  x    f x d , h  y    f y d  tương B A ứng khả tích A B c) Nếu f đo không âm A  B f khả tích A  B  A B     f  x, y  d         f  x, y  d   d     f  x, y  d  d  B A  A B  Cũng phát biểu sau Cho  X , M ,   Y , N ,  không gian độ đo   hữu hạn, f  x, y  hàm đo A  B  M  N theo độ đo   Nếu f  x, y  không âm khả tích A  B ta có      f  x, y  d         f  x, y  d   d     f  x, y  d  d  A B B A A B f  x, y  khả tích A  B thì, với hầu hết x  A hàm số f x khả tích B ; đồng thời, với hầu hết y  B hàm số f y khả tích A Chứng minh Bằng cách đặt f  x, y   x  A hay y  B giả sử A  X , B  Y Giả sử f  x, y    E  x, y  với E  M  N Hiển nhiên  X Y  E  x , y  d         E  55 Theo định lý 3.3ta có    E     E x  d      E y  d X Với y cố định  E  x, y     E  Nên   E y   y Y 0  x    1 x E     x x  E   y Ey y y    x  d      x, y  d        x  d   h  y  Ey E X E X đo không X âm Y (theo định lý 3.3) Suy   y  x , y d        E   E d    x , y d              d  E    E X Y Y YX  Chứng minh tương tự với hàm g  x  đẳng thức thứ hai Vậy a), c) cho hàm đặc trưng tập đo Do phải cho m hàm đơn giản f  x, y     i  Ei  x, y  tính chất tuyến tính hàm đo i 1 tích phân Với f  x, y   (hàm đo không âm) tồn dãy hàm đơn giản, khơng âm f n tăng đến f y Theo định lý hội tụ đơn điệu, dãy hàm g n    f n  x d , hn    f n  d  đo Y X không âm tăng đến g , h tương ứng Do g , h đo Ta có  X Y     f n  x, y  d         f n  x, y  d   d     f n  x, y  d  d  YX  X Y  Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu suy      f  x, y  d         f  x, y  d   d     f  x, y  d  d  X Y Y X X Y 56 Hơn nữa, f đo khơng âm khả tích X  Y thì, theo chứng minh trên, ta có  g  x  d    h  y  d   f  x, y  d       X nên g  x  , h  y  hữu hạn hầu X Y Y khắp nơi tương ứng X , Y Suy  f d ,  f x Y y d  hữu hạn hầu khắp nơi X Hay f x khả tích Y với hầu hết x  X , f y khả tích X với hầu hết y  Y Trường hợp tổng quát, f hàm đo X  Y cần viết f  f   f  áp dụng điều vừa chứng minh cho hàm đo f  , f  ta suy f thỏa mãn a), b), c) Ý nghĩa định lý Nó cho phép, điều kiện nêu, thay tích phân bội tích phân lặp thay đổi thứ tự lấy tích phân tích phân lặp Ta viết  f  x, y  d       f  x, y  d  d , X Y X Y     f x , y d  d   d  f x , y d  , f x , y d            d    d   f  x, y  d B  A B A A  B   A B Chú ý điều kiện định lý Fubini không thỏa mãn xảy trường hợp có tích phân lặp khơng có tích phân bội, có tích phân lặp chúng khơng Phản ví dụ 57 Với X  Y  0,1 ,  độ đo Lebesgue đoạn  0,1 ,  độ đo đếm Y tức với B  Y   B  số phần tử B B hữu hạn vô B vô hạn 1 Đặt f  x, y    0 Thì  x  y  x  y  f  x, y d  0.  X \  y 1.  y  ,  f  x, y  d  0. Y \  x  1.  x  X Y với tất x, y   0,1 Do  d  f  x, y  d      d   f  x, y  d Y X X Y Định lý Fubini không thỏa mãn độ đo    hữu hạn Định lý 3.5 Cho  X , M ,   ,  Y , N ,  không gian độ đo   hữu hạn đầy đủ Gọi  M  N  * bổ sung đầy đủ  M  N  * - đo M  N ứng với độ đo   , f hàm X  Y Khi tất kết luận định lý 3.4 có khác biệt f x khơng đo với x mà với hầu hết x , g  x  xác định hầu khắp nơi; tương tự với f y h  y  Chứng minh Ta sử dụng hai bổ đề sau Bổ đề Giả sử  X , M ,   không gian độ đo, M * bổ sung đầy đủ M f hàm M * - đo X Khi tồn hàm g M  đo đượctrên X cho f  g 58 Chứng minh Giả sử f hàm M * - đo khơng âm X Khi tồn dãy hàm M *   đơn giản không âm f n tăng đến f , f    f n1  f n  Do cấu trúc hàm đơn n 1  giản nên viết f  x    ci  Ei  x   x  X  với ci  0, Ei  M * Theo tính chất i 1 bổ sung đầy đủ tồn Ai , Bi  M cho Ai  Ei  Bi ,   Bi \ Ai    Đặt g  x    ci  Ai  x  x X  g hàm M  đo f  x   g  x  trừ i 1   i 1 i 1 x    Ei \ Ai     Bi \ Ai  mà   Bi \ Ai   nên f  g Với f hàm thực đo f   f   f     g   g    g Bổ đề Cho  X , M ,   ,  Y , N ,  không gian độ đo   hữu hạn đầy đủ.Cho f hàm  M  N  *  đo X  Y cho f  hầu khắp nơi Khi đó, với hầu hết x  X f  x, y   hầu hết y  Y , f x N  đo với hầu hết x  X Kết luận tương tự với f y Chứng minh Gọi P tập tất điểm  x, y  cho f  x, y   P   M  N  *    P   Do tồn Q  M  N cho P  Q    Q   Do định lý 3.3   Qx  d      Q     Qx   nên   Qx   hầu X khắp nơi Suy tồn A M cho   A     Qx   , x  AC 59 Gọi N tập tất x  X cho   Qx   N  A  đầy đủnên N  M N  Với x  N   Qx   Vì Px  Qx  độ đo đầy đủ nên Px  N   Px   Nếu y  Px f  x, y   Do với hầu hết x  X f x N  đo f  x, y   hầu hết y  Y Chứng minh định lý Giả sử f hàm  M  N  *  đo được, áp dụng bổ đề với   đại số M  N độ đo   tồn hàm g M  N  đo cho f  g hầu khắp nơi Do viết f  g  h với h  hầu khắp nơi Định lý 3.4 cho g Bổ đề cho thấy với hầu hết x  X ta có : h  x, y   hầu khắp Y hx N  đo Suy f x N  đo f x  g x hầu khắp nơi Y Kết luận tương tự với hầu hết y f y M  đo f y  g y hầu khắp nơi X Do tích phân khơng thay đổi bỏ tập có độ đo khơng nên tích phân lặp tích phân bội f giống với g Vì định lý chứng minh 3.3 Tích chập Tích hai hàm số khả tích thường khơng khả tích, với định lý Fubini ta chứng minh kết sau Định lý 3.6 60 Cho f , g hai hàm số khả tích Lebesgue  n Đặt   x, y   f  x  y  g  y  ,   x, y    n   n Khi : n a)  x khả tích với hầu hết x   tức n  f  x  y  g  y  dm  y    (1) n b) Đặt h  x    f  x  y  g  y  dm  y  (2) với x   n n h khả tích Lebesgue  n n  h dm n  n  n f dmn  g dmn (3) n Chứng minh Theo bổ đề tồn hai hàm đo Borel f , g cho f  f , g  g hầu khắp nơi Các tích phân (1) (2) không thay đổi ta thay f f , g g Do giả sử f , g hàm đo Borel Trước hết ta chứng minh   x, y  đo Borel Đặt  :  n   n   n ,  :  n   n   n cho   x, y   x  y,   x, y   y Thì f  x  y    f    x, y  g  y    g    x, y  Bởi  ,  đo Borel nên f   g   đo Borel Suy  đo khơng âm Ta có   x, y  dm n  x  dm n  y     n  n   n   g  y    f  x  y  dm n  x  dm n  y    f dm n  x   g dm n  y     n    n n n   n n  x , y dm x       dm  y  n  n     f  x  y  dm  x    n f dm n  x , y   n bất biến độ đo Lebesgue n n Do  khả tích theo định lý Fubini  x khả tích với hầu hết x  X 61 Mặt khác  n h dm n    n n  x , y dm y       dm  x   n   n          x, y  dm n  x   dm n  y    f dm n  g  y  dm n   n   n  n n Định nghĩa Hàm số h xác định định lý gọi tích chập hai hàm số f g , kí hiệu f * g Tích chập phép tính thứ ba khơng gian hàm số khả tích Lebesgue  n tạo cấu trúc đại số khơng gian Tích chập khơng có phần tử đơn vị, nghĩa khơng có hàm số khả tích   n cho f *  f Tuy nhiên tìm dạng xấp xỉ đơn vị thơng qua số định lý khơng nêu Tích chập mở rộng cho độ đo dương có nhiều ứng dụng khác 62 LỜI KẾT Trong khn khổ khóa luận, tơi nghiên cứu việc thiết lập độ đo khơng gian tích, dựa vào độ đo khơng gian thành phần Khố luận trình bày vấn đề như: tích   đại số, bước xây dựng độ đo tích, định nghĩa tính chất tổng quát, cuối cụ thể hóa qua việcmở cách xây dựng độ đo Lebesgue  n Một phương pháp khác để tạo lập độ đo sử dụng kiến thức độ đo định lý Caratheodory Phương pháp cho phép thực tương tự   n , nên tính chất chứng minh giống Thế độ đo tạo theo cách lại độc lập không cho thấy mối liên hệ chúng Việc xây dựng tích độ đo có phần dài phải áp dụng lý thuyết tích phân lại khắc phục nhược điểm Hơn nữa, qua độ đo tích tìm thấy mối liên hệ rõ ràng tích phân khơng gian tích tích phân khơng gian tạo thành qua kết quan trọng, định lý Fubini Định lý đưa công thức chuyển đổi qua lại tích phân bội tích phân lặp tương tự giải tích hàm nhiều biến Điều cho thấy tính chất tổng quát định lý Fubini Mặt khác, qua trình chuẩn bị chứng minh, có cách tương đương để định nghĩa độ đo tích thơng qua tích phân ngắn gọn Nếu xét thấy cần tích phân độ đo, lựa chọn phương pháp có nhiều điểm thuận tiện Phần cuối khóa luận có trình bày mộtứng dụng quan trọng định lý Fubini xây dựng tích chập, phép tính bảo tồn khả tích, khn khổ khố luận tốt nghiệp nên ởđâytôichỉ giới thiệu quachứ không sâu vào vấn đề Hướng phát triển đề tài xây dựng độ đo không gian vô hạn chiều   cách lấy tích đếm  với Tuy nhiên trình phức tạp Một công việc nghiên cứu tính chất ứng dụng tích chập 63 giải tích nói riêng Tốn học ngành khoa học khác, đặc biệt Vật lý, nói chung Tơi tiếp tục nghiên cứu vấn đề điều kiện cho phép 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2006), Độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh [2] Dương Minh Đức (2006), Lý thuyết độ đo tích phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Thị Phương Kiều (2010), Độ đo  n , Khóa luận tốt nghiệp Đại học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố HồChí Minh [4] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tơpơ đại cương – Độ đo Tích phân, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh Walter Rudin (1987), Real and Complex analysis, McGraw-Hill Book Co., Singapore ... độ đo  , f gọi đo với độ đo  A Trong trường hợp M họ tập đo theo nghĩa Lebesgue f gọi đo theo nghĩa Lebesgue, hay đo  L  Nếu M họ tập đo theo nghĩa Borel f gọi đo theo nghĩa Borel, hàm... 1.2 Độ đo tiền độ đo 1.3 Độ đo Lebesgue  12 1.4 Hàm đo tính chất 13 1.5 Tích phân hàm đo được, tích phân Lebesgue 16 CHƯƠNG II : TÍCH CÁC ĐỘ ĐO ... 1 2.4 Độ đo Lebesgue  n  n   Định nghĩa Với X i   , Mi  L i  m (độ đo Lebesgue) theo cách xây dựng ta có độ đo tích m   m , miền L   L Bổ sung đầy đủ độ đo tích gọi độ đo Lebesgue