Tích phân 2 lớp

Tích phân 2 lớp

Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tế§1. TÍCH PHÂN HAI LỚPBài tập 1.1. Tính các tích phân hai lớp sau:(a)10dx10(x +y )dy, (b)10dxxx2xy2dy, (c)20d ϕa0r2sin2ϕd r,Bài tập 1.2. Đưa tích phân hai lớpf (x,y )dxdy về tích phân lặp bằng hai cáchnếu miền  được giới hạn bởi các đường x = 1,y = x2,y = 2x.Bài tập 1.3. Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:(a)20dx2xxf (x,y )dy, (b)2−6dx2−xx24−1f (x,y )dy, (c)10dxx2x3f (x,y )dy,(d)1−1dx1−x2−1−x2f (x,y )dy, (e)21dx2x−x22−xf (x,y )dy.Bài tập 1.4. Tính các tích phân sau:(a)xy2dxd y , với miền  được giới hạn bởi parabole y2= 2px và đường thẳngx =p2,(p > 0).(b)dxdy2a−x,(a > 0), với miền  được giới hạn bởi cung ngắn nhất của đường trònvới tâm tại điểm (a,a) bán kính a (tiếp xúc với các trục toạ độ) và các trục toạ độ.(c)|xy|dxd y, với miền  là đường tròn bán kính a và tâm tại gốc toạ độ.Bài tập 1.5. Trong tích phân hai lớpf (x,y )dxdy hãy chuyển sang toạ độ cực r,ϕvà thiết lập các cận tích phân nếu(a)  là đường tròn x2+y2≤ a2,(a > 0),(b)  là đường tròn x2+y2≤ ax, (a > 0),(c)  là vành a2≤ x2+y2≤ b2,(d)  là tam giác 0≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1−x.Bài tập 1.6. Thay đổi thứ tự lấy tích phân:(a)π2−π2d ϕa cos ϕ0f (ϕ,r )d r, (b)π20d ϕasin2ϕ0f (ϕ,r )d r, (a > 0).1. TÍCH PHÂN HAI LỚP 1 Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tếBài tập 1.7. Tính tích phân hai lớp(x + y3)dxd y trong đó miền  là hình chữnhật giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 0, y = 2.Bài tập 1.8. Tính tích phân(2x − 3y )dxd y trong miền  được giới hạn bởi cácđường y = x2và y = 2−x2.Bài tập 1.9. Tính các tích phân sau:(a)x2a2+y2b2≤11−x2a2−y2b2dxd y, (b)|x|+|y |≤1(|x| +|y|)dxd y,(c)x4+y4≤1(x2+y2)dxd y, (d)0≤x≤π0≤y≤π|cos(x +y )|dxdy.§2. CHUỖI SỐBài tập 2.1. Tìm các chuỗian,bnthỏa mãn:a. Chuỗianhội tụ và chuỗibnphân kỳ sao cho an bn, n = 1,2, .b. Chuỗianhội tụ và chuỗibnphân kỳ sao cho |an| |bn|, n = 1,2, .Bài tập 2.2. Dùng định nghĩa chứng minh các chuỗi sau hội tụ:a. 1−12+14−18+··· +(−1)n−12n−1+···b.11·2+12·3+··· +1n · (n +1)+···,c.12+13+122+132+··· +12n+13n+···,d.12+322+··· +2n −12n+···Bài tập 2.3. Cho 2 chuỗi sốan,bn. Tích (theo Cauchy) hai chuỗi trên là chuỗicn, trong đó cnxác định theo công thức:cn=nk =0akbn−ka. Chứng minh (định lý Mertenxơ): nếu chuỗianhội tụ đến A vàbnhội tụ đếnB, đồng thời ít nhất một trong 2 chuỗi nói trên hội tụ tuyệt đối thì chuỗi tíchcnhội tụ đến A.B.b. Lấy ví dụ hai chuỗi hội tụ nhưng tích (theo Cauchy) của chúng là phân kỳ.2. CHUỖI SỐ 2 Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tếc. Lấy ví dụ hai chuỗi phân kỳ nhưng tích (theo Cauchy) của chúng là hội tụ tuyệtđối.Bài tập 2.4. Xét tính hội tụ của các chuỗi sau:a.∞n=1n.sin1nb.∞n=1nn+1/nn +1nnc.∞n=1sin2πn2+nd.∞n=12n − 12n + 1n+1Bài tập 2.5. Dùng nguyên lý hội tụ Cauchy xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:a.∞n=1cosxn2nb.∞n=11(3n −1).3nc.∞n=1sinnx −sin(n +1)xnd.∞n=11nBài tập 2.6. Dùng dấu hiệu so sánh xét sự hội tụ của các chuỗi dương:a.∞n=11n(n + 1)b.∞n=11n(n2+1)c.∞n=11(lnn )α(α > 0)Bài tập 2.7. Dùng các dấu hiệu Cauchy, D’alembert, Raabe xét sự hội tụ của các chuỗisố dương sau:a.∞n=1n2nb.∞n=1(n +1)2nn2.3nc.∞n=13 + (−1)n2n+1d.∞n=12n2+2n −15n2−2n +1ne.∞n=112n1 +1n + 1n2f.∞n=12n(2n + 1)5ng.∞n=1(n!)23(n+1)2h.∞n=11n!nenBài tập 2.8. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:a.∞n=11n.lnnb.∞n=1n + 2−n −2nαc.∞n=1e−3nd.∞n=1n2.e−3ne.∞n=1ea lnn +bc lnn +df.∞n=1n1n2+1−12. CHUỖI SỐ 3 Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tếBài tập 2.9. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:a.∞n=1(−1)n2n + 1003n2+nb.∞n=1(−1)nsin2nnc.∞n=1(−1)nn + (−1)nBài tập 2.10. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:a. 1 + 1− 1 + 1− 1 + .,b. 1 +13+15+17+ .,c.∞n=21ln(n!),d. 1 +25+352+453+ §3. CHUỖI HÀMBài tập 3.1. Xác định tập hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của các chuỗi hàm sau:a.∞n=1xn1 +x2nb.∞n=12nsinx3nc.∞n=1(−1)n+1e−n sinxd.∞n=12n +1(n +1)3x2ne.∞n=1n(x −2)nBài tập 3.2. Khảo sát sự hội tụ đều của các chuỗi hàm trên các tập tương ứng sau:a.∞n=1xnn2, −1  x  1; b.∞n=1cosnx3n, −∞  x  +∞Bài tập 3.3. Khảo sát sự hội tụ đều của các dãy hàm trên các tập tương ứng sau:a. fn(x) = nx +1n−x, x > 0;b. fn(x) = sinxn,−∞ < x < +∞.Bài tập 3.4. Cho ví dụ dãy các hàm gián đoạn khắp nơi hội tụ đều đến hàm liên tụckhắp nơi để minh họa cho nguyên lý tổng quát sau: sự hội tụ đều đảm bảo những tínhchất “tốt” và không bảo toàn những tính chất “xấu”.Bài tập 3.5. Cho các ví dụa. Dãy hàm liên tục hội tụ đến một hàm gián đoạn.b. Dãy hàm khả tích Rieman hội tụ đến một hàm không khả tích Riemanc. Dãy hàm mà giới hạn tích phân của nó không bằng tích phân của hàm giới hạn.3. CHUỖI HÀM 4 Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tếd. Dãy hàm mà giới hạn đạo hàm của nó không bằng đạo hàm của hàm giới hạn.Bài tập 3.6. Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau:a.∞n=12n−1xn−1(2n − 1)23n−1;b.∞n=1n!nn(x −2)n;c.∞n=12n.n!(2n)!x2n;d.∞n=12n−1x2n−1(4n −3)2Bài tập 3.7. Bằng cách đạo hàm hoặc tích phân từng số hạng tính tổng của các chuỗisau:a.∞n=1xnn;b.∞n=1(−1)n−1xnn;c.∞n=1(−1)n−1(2n −1)x2n−2;d.∞n=1n(n + 1)xn−1;e.∞n=1n.xn;f.∞n=1x4n−34n − 3;g.∞n=1(−1)n−1(2n −1)3n−1.Bài tập 3.8. Khai triển hàm số sau thành chuỗi luỹ thừa và tìm bán kính hội tụ củachuỗi đó:a. f (x) =x1−2x; b. f (x ) =x1 +2x −3x2.3. CHUỖI HÀM 5 . tụ:a. 1− 12+ 14−18+··· +(−1)n−12n−1+···b.11 2+ 12 3+··· +1n · (n +1)+···,c. 12+ 13+ 122 +1 32 +··· +12n+13n+···,d. 12+ 322 +··· +2n −12n+···Bài tập 2. 3. Cho 2 chuỗi. sau:a.∞n=1n2nb.∞n=1(n +1)2nn2.3nc.∞n=13 + (−1)n2n+1d.∞n=12n2+2n −15n2−2n +1ne.∞n=112n1 +1n + 1n2f.∞n=12n(2n + 1)5ng.∞n=1(n! )23 (n+1)2h.∞n=11n!nenBài