PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 2 LỚP

BÀI TÍCH PHÂN HAI LỚP I ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT   z z=f(x,y) Ta có tốn tính thể tích vật thể hình bên f(xi,yi) Chia D thành n mảnh rời có diện tích: ∆S1 , ∆S , , ∆S n y Trên mảnh thứ i lấy Mi(xi, yi) n Lập tổng I n = ∑ f ( xi , y i ).∆S i   i =1 x D BÀI TÍCH PHÂN HAI LỚP I ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT Định nghĩa Lập tổng n n i =1 i =1 I n = ∑ Vi = ∑ f ( xi , yi ).∆Si   z z=f(x,y) f(xi,yi) hi y ≈ f ( xi , yi )   x D BÀI TÍCH PHÂN HAI LỚP I ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT Định nghĩa Lập tổng n n i =1 i =1 I n = ∑ Vi = ∑ f ( xi , yi ).∆Si z z=f(x,y) f(xi,yi) Khi n→∞ cho d→0 n ∫∫ f ( x, y ) dS = lim ∑ f ( x , y ).∆S D d →0 i =1 i i i y Người ta chứng minh hàm số z=f(x, y) liên tục miền đóng bị chặn D khả tích   x D Nhận xét Tích phân hai lớp ta thường ký hiệu ∫∫ f ( x, y ) dxdy D Nếu f (x, y)=1 công thức ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ dxdy D D trở thành công thức tính diện tích miền D Ta mở rộng khái niệm tích phân hai lớp cho hàm f(x) có dấu kết tích phân khơng thiết mang giá trị khơng âm tốn thể tích ∫∫ f ( x, y ) dxdy D Tính chất tích phân hai lớp Tương tự tích phân xác định TC1 Nếu f khả tích D kf khả tích D TC2 Nếu f g khả tích D f + g khả tích D ∫∫ kf ( x, y ) dxdy = k ∫∫ f ( x, y ) dxdy , ∀k ∈ R ∫∫[ f ( x, y ) + g ( x, y ) ] dxdy = ∫∫ f ( x, y ) dxdy + ∫∫ g ( x, y ) dxdy D D D D D TC3 Nếu f g khả tích D f.g khả tích D ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x, y ) dxdy + ∫∫ f ( x, y ) dxdy D D1 D2 TC4 Nếu D chia thành hai miền rời D , D f khả tích D f khả tích D , D Khi 2 Tính chất tích phân hai lớp Tương tự tích phân xác định f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) , ∀( x, y ) ∈ D TC5 Nếu f g khả tích D ∫∫ f ( x, y ) dxdy ≤ ∫∫ g ( x, y ) dxdy D D TC6 Nếu f khả tích D |f| khả tích D ∫∫ f ( x, y ) dxdy ≤ ∫∫ f ( x, y ) dxdy D D TC7 Nếu hàm f liên tục miền đóng, bị chặn D có điểm (x , y ) cho o o ∫∫ f ( x, y ) dxdy = f ( x D , y ).S ( D ) II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN x Trong HTĐ Đề các, đưa tích phân lặp d  Miền D hình chữ nhật : y c D = (x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d  a b = [a,b]× [c,d] d b b d c a a c ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ ( ∫ ( f ( x, y)dx)dy = ∫ ( ∫ f ( x, y )dy)dx D Ví dụ : D = [0,1]×[1,2] tính : I= ∫∫ ( x D 2 + y )dxdy CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI Tính tích phân sau: a) ∫ ∫(cos x + sin y )dxdy D D hình vuông: b) ∫ ∫x ln y dxdy π ≤ x, ≤ π 0≤ y≤ D hình chữ nhật, [1,4]x[1,e] D  Mieàn D giới han : a ≤ x ≤ b, y1(x)≤ y≤ y2(x) D = [a,b]× [ y1(x), y2(x)] x b y2 ( x ) ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ ( ∫ D y2(x) ( f ( x, y ) dy )dx a y1 ( x ) a b y1(x)  Mieàn D giới han bởi: c ≤ y ≤ d, x1(y)≤ x≤ x2(y) D = [ x1(y), x2(y)] ×[c,d] d d x2 ( x ) ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ ( ∫ D c x1 ( x ) ( f ( x, y )dx)dy y c x1(y) x x2(y) Ví dụ ∫∫ ( x Tính tích phân ) + y dxdy y D 2 với D miền giới hạn đường y=x y =x Giải Ta nhận thấy miền D biểu diễn hình vẽ Ta có { y =x y=x D = ( x, y ) ∈ R : ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 2 y } O ta viết ∫ ∫( x D ) y y2 ( ) + y dxdy = ∫ ( ∫ x + y dx)dy = 33 140 - Khi miền D khơng có tính chất ta chia miền D thành miền nhỏ sử dụng công thức PHÉP ĐỔI TỌA ĐỘ TRỤ Khi z z M I= y ∫∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ , z ) rdrd ϕ dz vr ϕ z r x ϕ M’ Điều kiện giới hạn: 1.r ≥ ϕ ∈ [0, 2π] hay ϕ ∈ [- π, π] V’ Z V ϕ Chú ý : Dùng miền D có dạng tròn elip CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phânbội 3) Tính tích phân sau: ∫ ∫(x∫ a) V miền xác ñònh + y )dxdydz 2 x +y =2z, V z=2 Giải f, g f, g   x = r cos ϕ , ≤ r ≤   y = r sin ϕ , ≤ ϕ ≤ 2π  r z = z , ≤z≤2  CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaânbội 3) ∫∫∫ b) V 2 z x + y dxdydz V miền xác đònh bởi: 2 x + y = 2x, y ≥ 0, z = 0, z = a > z a  x = r cos ϕ , ≤ r ≤ cos ϕ  π   y = r sin ϕ , ≤ ϕ ≤  ,0 ≤ z ≤ a  z = z o x y PHÉP ĐỔI TỌA ĐỘ CẦU z M θ ρ y x  x = r sin θ cos ϕ , ≤ r < +∞   y = r sin θ sin ϕ , ≤ ϕ ≤ 2π  z = r cos θ ,0 ≤ θ ≤ π  ϕ Điều kiện giới hạn: ρ ≥ ϕ ∈ [0, 2π] hay ϕ ∈ [- π, π] θ ∈ [0, π] PHÉP ĐỔI TỌA ĐỘ CẦU z M θ ρ y x  x = r sin θ cos ϕ , ≤ r < +∞   y = r sin θ sin ϕ , ≤ ϕ ≤ 2π  z = r cos θ ,0 ≤ θ ≤ π  ϕ Khi ∫∫∫ vr ϕ z f (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ ) r sin θ drdϕ dθ Click to edit Master text styles z ϕ V’ Second level θ y Third level Fourth level x Fifth level Chú ý: Dùng miền giới hạn mặt cầu mặt nón mặt cầu ρ = x + y + z2 x + y = ρ sin θ CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phânbội 3) ∫∫∫ a) x dxdydz V miền xác đònh 2 x +y +z =R V z Giải y x ϕ ∈ [ 0, 2π ] , θ ∈ [ 0, π ] , r ∈ [ 0, R ] ϕ = 2π r=R θ =π I =∫ dϕ ∫ dr ∫ r sin θ cos ϕ ) r sin θ dθ ( ϕ =0 r =0 θ =0 CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI b) (tích phânbội 3) 2 ( x + y )dxdydz V miền xác đònh ∫V ∫ ∫  x2 + y2 + z2 =  2 x + y = z ,z > Giải ϕ ∈ [ 0, 2π ] r ∈ [ 0,1]  π , θ ∈  0,   4 CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI (KÉP) III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BƠI BA Thể tích V Khối lượng, vật thể V Tọa độ trọng tâm vật thể V CHƯƠNG : TÍCH PHÂN BỘI V= Thể tích V ∫∫∫ dxdydz v Tính thể tích phẳng giới hạn mặt : a) 2 z = x + y , z = 0, x = 0, b) 2 z=x +y , 2 x + y = x, z = 0, y = 0, x+y=4 2 x + y = 2x 2 2 c) x + y + z = 4, x + y = ( phần hình trụ ) CHƯƠNG : TÍCH PHÂN BỘI a) 4 44 X+y=4 θ ϕ z y x z ϕ y θ x ... tích phân hai lớp cho hàm f(x) có dấu kết tích phân không thiết mang giá trị không âm tốn thể tích ∫∫ f ( x, y ) dxdy D Tính chất tích phân hai lớp Tương tự tích phân xác định TC1 Nếu f khả tích. .. chia miền V điểm Mi  gọi tích phân bội ∑ CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN BỘI Kí hiệu : ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz V Tính chất : (Tương tự tích phân bội 2) II CÁC PHƯƠNG P PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN  Miền V = [x0,x1]×... π 2 a cos ϕ ∫π dϕ ∫ r − π 22 dr = π ∫π − ( 2a cos ϕ ) dϕ − y 8a ∫π (1 − sin ϕ ) d sin ϕ = =r  t3  t −   32a  = −  x O a 2a } CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI Tính tích phân sau: a) ∫∫ x + y 2Ddxdy 2