NGHIỆM của đa THỨC và PHƯƠNG PHÁP MÜLLER

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CHƯƠNG TRÌNH CHẤT LƯỢNG CAO VIỆT-PHÁP Mơn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP MÜLLER Lớp: VP2016/01 GVHD: Lê Thái Thanh Tp Hồ Chí Minh, ngày 05 tháng 04 năm 2018 CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHĨM Nguyễn Hữu Hồi Nam 1612119 Đinh Hữu Phúc 1652486 Võ Tân Phú 1612631 Nguyễn Ngọc Duy 1652103 Trần Hữu Anh Đồng 1652154 Các khái niệm định lý Phương pháp Hocner NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP MÜLLER Phương pháp Müller CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ   Xét đa thức bậc n có dạng:     hệ số đa thức, Nghiệm đa thức tất giá trị x thỏa mãn P(x)=0 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ   Ví dụ: lý Tìm1:tấtNếu nghiệm đa thức Định P(x) đacủa thức bậc n (với n 1) , với hệ số thực hay phức, phương trình P(x)=0 có nghiệm   Chúng ta dễ dàng thấy  Vì nghiệm phương trình nhân tử đa thức Chia P(x) cho ta được:     Để xác định nghiệm , giải phương trình bậc ta được:   Vậy P(x) phương trình bậc có nghiệm: CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ Qua ví dụ ta thấy phương trình bậc có nghiệm riêng biệt Từ ta có hệ quan trọng định lý với điều kiện luôn tồn tất trường hợp, nghiệm đa thức khơng phân biệt tính tốn nghiệm theo hệ số   Định lý 2: Nếu P(x) đa thức bậc với hệ số thực phức, tồn tập số ( phức) số nguyên cho thì:   Theo định lý 2, tập nghiệm đa thức nhất, nghiệm trùng cố bội , đa thức bậc n có xác n nghiệm CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ   Định lý 3: Giả sử P(x) Q(x) đa thức có bậc n.Nếu với kn, số riêng biệt với với i=1, 2, , k, P(x)=Q(x) với tất giá trị Kết hai đa thức có bậc nhỏ n giống PHƯƠNG PHÁP HORNER Ta sử dụng phương pháp Newton tính giá trị nghiệm gần đa thức cần phải đánh giá P(x) P’(x) giá trị xác định P(x) P’(x) hai đa thức, hiệu tính tốn u cầu bước thực phải liên tiếp Honer kết hợp kĩ thuật lại kết cần có n phép nhân n số dư để đánh giá bậc đa thức tùy ý tìm nghiệm đa thức PHƯƠNG PHÁP HORNER   Giả sử hàm f(x) có dạng :   Đặt , với k = n-1, n-2, …, 1,0   Suy b0 = P(x0) Hơn nữa, Suy P(x) = (x – x 0).Q(x) + b0 PHƯƠNG PHÁP HORNER   Ví dụ: Sử dụng phương pháp Horner để tính giá trị biểu thức P(x) = 2x 3x + 3x – x = -2 Ta lập bảng : x0 = -2 -4 -4 -3 -10 -7 -4 14 10 Vì P(x) = (x + 2)(2x3 4x2 + 5x 7) + 10 Suy   P(-2) = 10 PHƯƠNG PHÁP HORNER  Suy ra: Tương tự bước trên, ta tìm x3 = 1.73897 PHƯƠNG PHÁP MÜLLER Phương pháp dây cung dùng điểm p0 , p1 ban đầu ,sau xác định đường thẳng qua điểm (p0, f(p0)), (p1,f(p2)) ,giao với trục x để xác định “Điểm tương đương “ p2 , Phương pháp dùng điểm p0, p1, p2 xác định điểm p3, cách giao trục x với đường parabol qua điểm (p0, f (p0)), (p2,f(p2)), (p2,f(p2)) PHƯƠNG PHÁP MÜLLER P ( x ) = a ( x − p2 ) + b ( x − p ) + c Xét đa thức bậc qua điểm ( p0, f(p0)) , ( p1, f(p1)), ( p2, f(p2)) f ( p0 ) = a ( p0 − p2 ) + b( p0 − p2 ) + c f ( p1 ) = a ( p1 − p2 ) + b( p1 − p2 ) + c f ( p2 ) = a ×0 + b ×0 + c = c Suy f ( p0 ) − f ( p2 ) = a( p0 − p2 ) + b( p0 − p2 ) f ( p1 ) − f ( p2 ) = a ( p1 − p2 )2 + b( p1 − p2 ) PHƯƠNG PHÁP MÜLLER f ( p0 ) − f ( p2 ) = a( p0 − p2 ) + b ( p0 − p2 ) f ( p1 ) − f ( p2 ) = a( p1 − p2 ) + b ( p1 − p2 ) f ( p0 ) − f ( p2 ) f ( p1 ) − f ( p2 ) − = a( p0 − p1 ) ( p0 − p2 ) ( p1 − p2 ) a= ( p1 − p2 )[ f ( p0 ) − f ( p2 )] − ( p0 − p2 )[ f ( p1 ) − f ( p2 )] ( p0 − p2 )( p1 − p2 )( p0 − p1 ) f ( p0 ) − f ( p2 ) b= − a( p0 − p2 ) ( p0 − p2 ) PHƯƠNG PHÁP MÜLLER Vậy ( p0 − p2 ) [ f ( p1 ) − f ( p2 )] − ( p1 − p2 ) [ f ( p0 ) − f ( p2 )] b= ( p0 − p2 )( p1 − p2 )( p0 − p1 ) ( p1 − p2 )[ f ( p0 ) − f ( p2 )] − ( p0 − p2 )[ f ( p1 ) − f ( p2 )] a= ( p0 − p2 )( p1 − p2 )( p0 − p1 ) Để xác định p3, ta áp dụng phương trình P(x) =0 −b ± b − 4ac b − (b − 4ac ) −2c p3 − p2 = = = 2a 2a (−b ± b − 4ac ) b ± b − 4ac PHƯƠNG PHÁP MÜLLER p3 − p2 = −2c b ± b − 4ac Với công thức ta xác định giá trị p3 Trong phương pháp Muller dấu lấy theo dấu b p3 = p2 − 2c b + sgn(b) b − 4ac Ta thu đươc p3 Tương tự để thu p4, thay p0, p1, p2, p1, p2, p3 Phương pháp tiếp tục, thu kết đạt yêu cầu Với vòng lặp, phương pháp có đính tới ∆, ∆ < 0, ta có nghiệm phức PHƯƠNG PHÁP MÜLLER Để giải phường trình f(x) = với điểm cho trước p0, p1, p2 INPUT : p0 , p1 ,p2 OUTPUT : nghiệm p Bước : Đặt h1 = p1 − p0 h2 = p2 − p1 f ( p1 ) − f ( p0 ) δ1 = h1 f ( p2 ) − f ( p1 ) δ2 = h2 PHƯƠNG PHÁP MÜLLER Bước : Tìm a ,b ,c c = f ( p2 ) δ − δ1 a= h2 + h1 Bước : Tìm p3 p3 = p2 − 2c b b+( ) b − 4ac abs (b) b = δ + h2 a PHƯƠNG PHÁP MÜLLER VD :Tìm nghiệm phương trình f(x) = x -2x -5 f '(x) = x − x f '( x) = ⇔ x =0 x = 4/3 x + f’(x) - -5 f(x) -∞ +∞ 4/3 -∞ + +∞ -167/27 PHƯƠNG PHÁP MÜLLER Chọn p0 =1 , p1 =2, p2 =3, tính f( p0 )= -6 , f(p1 ) = -5, f(p2)=4 h1 = p1 − p0 = h2 = p2 − p1 = f ( p1 ) − f ( p0 ) −5 − (−6) δ1 = = =1 h1 f ( p2 ) − f ( p1 ) − (−5) δ2 = = =9 h2 Bước : Đặt Bước : Tìm p3 p3 = p2 − 2c b b+( ) b − 4ac abs (b) Bước : Tìm a ,b ,c δ − δ1 − a= = =4 h2 + h1 + b = δ + h2 a = + 1× = 13 c = f ( p2 ) = = 3− 2× 13 + 13 − × × = 2.655869 PHƯƠNG PHÁP MÜLLER Vậy nghiệm phương trình là: x ≈ 2.690647 PHƯƠNG PHÁP MÜLLER Chọn p0 =1 , p1 =0, p2 =-1, tính f( p0 )=-6, f(p1 ) =-5, f(p2)=-8 h1 = p1 − p0 = −1 h2 = p2 − p1 = −1 f ( p1 ) − f ( p0 ) −5 − (−6) δ1 = = = −1 h1 −1 f ( p2 ) − f ( p1 ) −8 − ( −5) δ2 = = =3 h2 −1 Bước : Đặt Bước : Tìm p3 p3 = p2 − 2c b b+( abs (b) Bước : Tìm a ,b ,c δ − δ1 − (−1) a= = = −2 h2 + h1 −1 − b = δ + h2 a = + (−1) × (−2) = c = f ( p2 ) = −8 × ( −8) 39 = −1 − =− + *i 4 + − × (−2) × (−8) ) b − 4ac p0=1; p1=0; p3=-1 pi f(pi) 0.2499999999+1.561249500*I -2.062499998-5.074060876*I -0.7557305521+1.394130319*I 1.719834196+3.893400099*I -0.3626007847+1.108706611*I -1.515012800+.6825317383*I -0.1684383843+1.274997274*I -0.988836297-1.105103943*I -0.3223749544+1.425456584*I 0.787625322-.613872624*I -0.4093327430+1.327656305*I 0.286208081+.500950734*I -0.3519282125+1.276170799*I -0.314607214+.192269606*I 10 -0.3163009245+1.313390996*I -0.144892059-.209687320*I 11 -0.3419729938+1.337587586*I 0.139911082-0.94182203e-1*I 12 -0.3574902977+1.320731902*I 0.58125983e-1+0.91165332e-1*I 13 -0.3466652063+1.310719735*I -0.59344041e-1+0.38279435e-1*I 14 -0.3400340941+1.317811897*I -0.25767417e-1-0.39036572e-1*I 15 -0.3447286150+1.322190801*I 0.25686411e-1-0.16871949e-1*I 16 -0.3475887661+1.319110583*I 0.10942942e-1+0.16826819e-1*I 17 -0.3455763697+1.317240176*I -0.11021313e-1+0.7182752e-2*I p0=1; p1=0; p3=-1 pi 18 PHƯƠNG -0.3443473707+1.318559866*I PHÁP MÜLLER f(pi) -0.4733870e-2-0.7232699e-2*I 19 -0.3452144150+1.319366984*I 0.4746734e-2-0.3103945e-2*I 20 -0.3457433921+1.318798252*I 0.2031653e-2+0.3112652e-2*I 21 -0.3453706338+1.318451487*I -0.2041054e-2+0.1332738e-2*I 22 -0.3451431162+1.318695970*I -0.874919e-3-0.1338851e-2*I 23 -0.3453035218+1.318845233*I 0.878241e-3-0.573822e-3*I 24 -0.3454014090+1.318740023*I 0.376228e-3+0.576009e-3*I 25 -0.3453324114+1.318675825*I -0.377786e-3+0.246773e-3*I 26 -0.3452903016+1.318721080*I -0.161886e-3-0.247792e-3*I 27 -0.3453199859+1.318748701*I 0.162530e-3-0.106179e-3*I 28 -0.3453381019+1.318729231*I 0.69636e-4+0.106602e-3*I 29 -0.3453253320+1.318717349*I -0.69919e-4+0.45675e-4*I 30 -0.3453175384+1.318725725*I -0.29959e-4-0.45861e-4*I 31 -0.3453230324+1.318730837*I 0.30084e-4-0.19650e-4*I 32 -0.3453263852+1.318727233*I 0.12887e-4+0.19732e-4*I Vậy nghiệm pt x ≈ −0.34532 + 1.3187 i THANK YOU!!! ... niệm định lý Phương pháp Hocner NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP MÜLLER Phương pháp Müller CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ   Xét đa thức bậc n có dạng:     hệ số đa thức, Nghiệm đa thức tất giá trị... NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ   Ví dụ: lý Tìm1:tấtNếu nghiệm đa thức Định P(x) đacủa thức bậc n (với n 1) , với hệ số thực hay phức, phương trình P(x)=0 có nghiệm   Chúng ta dễ dàng thấy  Vì nghiệm phương. .. trị Kết hai đa thức có bậc nhỏ n giống PHƯƠNG PHÁP HORNER Ta sử dụng phương pháp Newton tính giá trị nghiệm gần đa thức cần phải đánh giá P(x) P’(x) giá trị xác định P(x) P’(x) hai đa thức, hiệu