Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng

Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ THÀNH

PHÂN BỐ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

VÀ ỔN ĐỊNH CỦA ĐA THỨC KHOẢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS Tạ Duy Phượng

Hà Nội, 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của Phó giáo sư – Tiến sĩ Tạ Duy Phượng.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm

Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các thày cô

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc chương trình cao học

và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung cấp Kinh tế-Kĩ thuật

đa ngành Sóc Sơn đã giúp đỡ tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoànthành tốt khóa học cao học của mình

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các đồng nghiệp, gia đình, người thân,bạn bè, , đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoànthành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Tác giả

Ngô Thị Thành

1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Tôi cũng xin cam đoan rằng các kiến thức trình bày trong luận văn đãđược chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Tác giả

Ngô Thị Thành

2

Mục lục

Chương 1 Phân bố nghiệm của đa thức trên trường số phức 4

1.1 Tách các nghiệm của đa thức thực 4

1.2 Tách các nghiệm phức của đa thức phức 13

1.3 Phân bố nghiệm của đa thức và đạo hàm của nó 16

1.4 Đánh giá các chặn cho các nghiệm 25

1.5 Bài toán Routh-Hurwitz 36

Chương 2 ỔN ĐỊNH CỦA ĐA THỨC KHOẢNG 38 2.1 Đa thức khoảng 38

2.1.1 Tiêu chuẩn ổn định và đa thức Hurwitz 38

2.1.2 Đa thức khoảng 39

2.2 Định lí Kharitonov 39

2.3 Định lí Kharitonov cho đa thức hệ số phức 48

1

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết đa thức (với các hệ số thuộc trường số thực hoặc trường số phức)chứa đựng nhiều kiến thức toán học cơ bản và có nhiều ứng dụng trongcác vấn đề khác của toán học cũng như của thực tế

Một trong những câu hỏi có tính chất trọng tâm trong lí thuyết đa thức

là bài toán tìm nghiệm: tìm một, một số hay tất cả các nghiệm Bài toánnày cũng thường gặp trong thực tế và liên quan đến nhiều vấn đề khác,thí dụ, phương pháp số tìm một (hay tất cả) nghiệm (gần đúng) của đathức; tính ổn định của đa thức khoảng (interval polynomials), tiêu chuẩn

để một ma trận đối xứng là ma trận xác định dương Các bài toán này lại

là những bài toán cơ sở để nghiên cứu tính ổn định nghiệm, đánh giá bánkính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Nhiều định lí quantrọng về tồn tại và phân bố nghiệm của đa thức cũng đã được mở rộngcho đa thức ngẫu nhiên

Để giải quyết các bài toán trên, ta thường phải nghiên cứu bài toán tồn tại

và phân bố nghiệm (thực hoặc phức) của đa thức, nghĩa là tìm khoảng (cáckhoảng) hay miền (các miền) chứa nghiệm Từ bài toán tồn tại và phân

bố nghiệm, nhiều lí thuyết toán học mới đã ra đời (trường và tính đóngcủa trường, ổn định của đa thức khoảng, đa thức với hệ số ngẫu nhiên) vàđược áp dụng vào nhiều bài toán khác

Vì tầm quan trọng và tính mới mẻ của các kết quả, cho tới nay bài toánphân bố nghiệm của đa thức vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu và phát

1

Trong nhiều bài toán thực tế, các hệ số của đa thức thường chỉ được xácđịnh trong một khoảng nào đó Vì vậy nghiên cứu tập hợp các đa thứcvới các hệ số nằm trong một khoảng nào đó là bài toán thường gặp trong

lí thuyết phương trình vi phân, tối ưu Khởi đầu từ bài toán Kharitonov

1973 trong nghiên cứu phương trình đến nay lý thuyết về đa thức khoảng

đã được hình thành và có nhiều ứng dụng

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phân bố nghiệm của đa thức và ổnđịnh của đa thức khoảng nói riêng, lí thuyết và ứng dụng của đa thức nóichung, nhằm bổ sung và nâng cao kiến thức đã học trong chương trình đạihọc và cao học, đồng thời sử dụng các kiến thức về đa thức trong thực tiễngiảng dạy, tôi chọn đề tài Phân bố nghiệm của đa thức và ổn địnhcủa đa thức khoảng làm luận văn cao học của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày tổng quan các kết quả về phân bố nghiệm của đa thức và ổnđịnh của đa thức khoảng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phân bố nghiệm của đa thức và ổn địnhcủa đa thức khoảng trên trường số thực hoặc trường số phức

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phân bố nghiệm của đathức và đa thức khoảng, chủ yếu là một số chương trong bốn cuốn sách

[1], [2], [4] và [5].

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích hàm, giải tíchphức, giải tích số, hình học cổ điển và hình học giải tích để tiếp cận và giảiquyết vấn đề

Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là cácbài báo và các sách mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Đóng góp của luận văn

Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên

và học viên cao học về phân bố nghiệm của đa thức và đa thức khoảng

Bố cục luận văn gồm hai chương:

Chương 1 trình bày tổng quan về phân bố nghiệm của đa thức trên trườngphức, chủ yếu dựa vào Chương 1 (trang 1-46) của [4], Chương 1 và Chương

2 (trang 631-686) của [5] và Chương 3 (trang 173-298) của [2]

Chương 2 trình bày các định lí của Kharitonov về ổn định của đa thứckhoảng theo Chương 5 (trang 223-268) [1] và bài báo [3]

Chương 1 Phân bố nghiệm của đa thức trên

1.1 Tách các nghiệm của đa thức thực

Mục này trình bày ước lượng số nghiệm thực của một đa thức với các hệ

số thực Để thiết lập được các kết quả đó ta sử dụng số lần đổi dấu củadãy a0, a1, , an, trong đó a0an 6= 0 Số này được xác định như sau: mọi

số hạng bằng không của dãy được xét là bỏ qua, với những số hạng kháckhông còn lại, ta đếm số các cặp số hạng kề nhau có dấu khác nhau.Xét đa thức

Định lý 1.1.1 (Fourier-Budan) Cho N (x) là số lần đổi dấu của dãy

f (x), f0(x), , f(n)(x), trong đó f là đa thức bậc n Khi đó, số các nghiệmcủa f (tính cả bội) nằm giữa a và b, với f (a) 6= 0, f (b) 6= 0 và a < b, không

vượt quá N (a) − N (b) Hơn nữa, số các nghiệm đó hơn kém N (a) − N (b)theo một số chẵn nào đó.

Chứng minh Cho x là một điểm bất kì thuộc [a, b] Số N (x) chỉ thay đổinếu x qua một nghiệm nào đó của đa thức f(m) với m ≤ n

Trước tiên, xét trường hợp x qua một nghiệm x0 có bội r của đa thức

f (x) Trong một lân cận nào đó của x0, các đa thức f (x), f0(x), , f(r)(x),tương ứng được xấp xỉ bởi

(x − x0)rg(x0), (x − x0)r−1rg(x0), , r!g(x0)

Do đó, với x < x0, có r lần đổi dấu trong dãy này và với x > x0 không có

sự thay đổi dấu (giả sử là x đủ gần x0)

Bây giờ giả sử rằng x qua một nghiệm bội r của f(m)(x) và x0 khôngphải là nghiệm của f(m−1)(x) (Dĩ nhiên, x0 có thể là một nghiệm của f vàcũng có thể không phải là một nghiệm của f ) Ta phải chứng tỏ rằng, qua

x0 số lần đổi dấu của dãy f(m−1)(x), f(m)(x), , f(m+r)(x) thay đổi bằngmột số nguyên chẵn không âm Thật vậy, trong một lân cận của x0 có các

đa thức được xấp xỉ như

F (x0), (x − x0)rG(x0), (x − x0)r−1rG(x0), , r!G(x0) (1.1.2)Loại bỏ F (x0), ta thấy rằng hệ còn lại có đúng r lần đổi dấu với x < x0

và không đổi dấu với x > x0 Liên hệ với hai số hạng đầu, F (x0) và(x − x0)rG(x0), của dãy (1.1.2) ta thấy nếu r là chẵn, thì số lần đổi dấugiống như với x < x0 và x > x0 trong khi đó nếu r là lẻ thì số lần đổi dấuvới x < x0 là lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn với x > x0 (phụ thuộc vào F (x0) vàG(x0) có cùng dấu hoặc ngược lại) Do đó, với r chẵn, hiệu số lần đổi dấu

là bằng r và với r lẻ, hiệu của số lần đổi dấu là bằng r ± 1 Trong cả haitrường hợp hiệu này là chẵn và không âm

Hệ quả 1.1.1 (Quy tắc Descartes) Số nghiệm dương của đa thức f (x) =

a0xn+a1xn−1+· · ·+an không vượt quá số lần đổi dấu trong dãy a0, a1, , an.Chứng minh Vì f(r)(0) = r!an−r, nên N (0) trùng với số lần đổi dấu trongdãy các hệ số của f Cũng dễ dàng thấy rằng N (+∞) = 0

Quy tắc Descartes ta có thể sử dụng để ước lượng số các nghiệm giữa

α và β Thật vậy, đổi biến y = x − α

từ Định lí Fourier-Budan Người đầu tiên thiết lập các định lí loại này làNewton nhưng sau đó đã được chứng minh bởi Syvester vào năm 1871 Ởđây ta thay thế dãy f (x), f0(x), , f(n)(x) bằng dãy f (x), f1(x), , fn(x),trong đó

Ở đây sgn a là hàm dấu của a, tức là

Đặt N+(x) là số các cặp mà sgn fi(x) = sgn fi+1(x) và N−(x) là số các cặp

mà sgn fi(x) = −sgn fi+1(x)

Định lý 1.1.2 (Newton-Syvester) Cho f là một đa thức bậc n mà không

có nghiệm bội Khi đó số nghiệm của f giữa a và b, trong đó a < b và

f (a)f (b) 6= 0, không vượt quá N+(b) − N+(a) hoặc N−(a) − N−(b)

Ở đây N+ là số cặp mà sgn Fi(x) = sgn Fi+1(x) và N− là số cặp màsgn Fi(x) = −sgn Fi+1(x)

Chứng minh Trước tiên xét trường hợp khi f thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Không có hai đa thức liên tiếp fi có nghiệm chung;

2 Không có hai đa thức liên tiếp Fi có nghiệm chung;

3 Các nghiệm của fi và Fi là phân biệt từ a và b

Trong trường hợp này, từ (1.1.4) ta có fi và Fi không có nghiệm chung

Từ (1.1.3) và (1.1.4) suy ra

fiFi0 = (n − i − 1)(Fifi+1 + Fi+1fi) (1.1.6)Cho x biến thiên từ a tới b Các số N±(x) chỉ thay đổi nếu x qua mộtnghiệm của fi hoặc một nghiệm của Fi Ta có 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1 Qua một nghiệm x0 của f0 = f Nếu f0(x0) = 0, thì

F1(x0) = f12(x0) − f0(x0)f2(x0) = f12(x0) > 0

Do đó qua x0 không kéo theo sự thay đổi của dấu trong dãy F0(x) =

1, F1(x) Từ (1.1.5) suy ra sgn f0(x) = sgn f1(x) Do đó, nếu f1(x0) > 0,thì f0(x0 − ) < 0 và f0(x0 + ) > 0, trong khi đó nếu f1(x0) < 0, thì

f0(x0 − ) > 0 và f0(x0 + ) < 0 Trong cả hai trường hợp

f0(x0 − )f1(x0 − ) < 0 và f0(x0 + )f1(x0 + ) > 0

Vì vậy, qua x0 thì N+ tăng thêm 1 và N− giảm đi 1.

Trường hợp 2 Qua một nghiệm x0 của đa thức fi, trong đó i ≥ 1 Trongtrường hợp này sự thay đổi dấu của dãy fi−1, fi, fi+1 Có thể các biến đổicủa dấu của các đa thức được xét tại x = x0±  được hạn chế xét đến theocác mối liên hệ sau:

fi(x0+ ), fi+1(x0+ ) tương ứng được tính một lần vào N− và N+ Do đó,

N+ và N− không thay đổi

Trường hợp 3 Qua một nghiệm x0 của Fi Trong trường hợp này dấu củacác đa thức thỏa mãn mối liên hệ sau:

1) fi−1(x0)fi+1(x0) = fi2(x0) − Fi(x0) = fi2(x0) > 0;

2) sgn fi0 = sgn fi+1;

3) Công thức (1.1.4) kéo theo sgn Fi0 = sgn fi−1fi+1Fi+1

Ta chỉ ra được cả N+ và N− không thay đổi, hoặc N+ tăng thêm 2 đơn vịhoặc N− giảm đi 2 đơn vị

Định lí được chứng minh

Tiếp theo ta xét các đa thức f (x) và f1(x) = f0(x) Ta tìm ước chunglớn nhất của f và f1 nhờ thuật toán Euclide:

Định lý 1.1.3 (Sturm) Cho w(x) là số lần thay đổi của dấu trong dãy

f (x), f1(x), , fn(x)

Số các nghiệm của f (không tính bội) nằm giữa a và b, trong đó f (a) 6= 0,

f (b) 6= 0 và a < b, bằng w(a) − w(b)

Chứng minh Trước tiên, xét trường hợp khi các nghiệm của f là đơn (tức

là, đa thức f và f0 không có nghiệm chung) Trong trường hợp này fn làmột hằng số không âm

Trước tiên ta kiểm tra rằng khi qua một trong các nghiệm của các đathức f1, , fn−1 số lần đổi dấu không thay đổi Trong trường hợp này, các

đa thức kề bên không có nghiệm chung, tức là, nếu fr(α) = 0, thì

fr±1(α) 6= 0 Hơn nữa, đẳng thức

fr−1 = qr−1fr − fr+1suy ra

fr−1(α) = −fr+1(α)

Nhưng trong trường hợp này, số lần đổi dấu trong dãy

fr−1(α), , fr+1(α)

bằng 2 trong cả hai trường hợp  > 0 và  < 0.

Bây giờ, khi x thay đổi từ a tới b Nếu ta qua một nghiệm x0 của f, thìcác số f (x) và f0(x) có dấu khác nhau và sau đó có dấu cùng nhau Do đó,

số lần đổi dấu trong dãy Sturm giảm đi 1 Tất cả các đại lượng khác trongdãy Sturm Như đã được chỉ ra, được bảo toàn khi qua x0

Bây giờ xét trường hợp khi x0 là một nghiệm của f có bội m Trongtrường hợp này, f và f1 có một ước chung là (x − x0)m−1, và do đó các đathức đó chia hết cho (x − x0)m−1 Chia f, f1, , fr cho (x − x0)m−1, ta thuđược dãy Sturm ϕ, ϕ1, , ϕr với đa thức ϕ(x) = f (x)

(x − x0)m−1 Nghiệm

x0 là một nghiệm đơn của ϕ, và do đó qua x0 số lần đổi dấu theo dãy

ϕ, ϕ1, , ϕr giảm đi 1 Nhưng với x cố định dãy f, f1, , fr thu được từ

ϕ, ϕ1, , ϕr bằng cách nhân với một hằng số, và do đó số lần đổi dấutrong các dãy đó là trùng nhau

Ta thấy việc tìm dãy Sturm là rất tốn thời gian Đề xuất của Syvesterdưới đây là một phương pháp thuận tiện giúp ta tính số nghiệm thực của

đa thức Cho f là một đa thức thực bậc n với các nghiệm đơn là α1, , αn.Đặt sk = α1k+ · · · + αnk Theo định lí Viét để tính sk không nhất thiết phảibiết các nghiệm của đa thức vì sk là một hàm đối xứng, được biểu diễnqua các số hạng hệ số của đa thức

Định lý 1.1.4 (Syvester) a) Số các nghiệm thực của f bằng kí số ture) của dạng toàn phương với ma trận

b) Mọi nghiệm của f là dương nếu và chỉ nếu ma trận

Chứng minh (Hermite) Cho ρ là một tham số thực, xét dạng toàn phương

F (x1, , xn) = y

2 1

α1 + ρ + · · · +

yn2

αn+ ρ, (1.1.7)trong đó

yr = x1 + αrx2 + · · · + αn−1r xn (1.1.8)Các hệ số của đa thức F là các hàm đối xứng theo các nghiệm của f, từ

đó chúng là các số thực Nói riêng, điều này có nghĩa là F có thể được biểudiễn dưới dạng

h21 + · · · + h2p− h2p+1 − · · · − h2n,trong đó h1, , hn là các dạng tuyến tính theo x1, , xn với các hệ sốthực

Với nghiệm thực αr ta có số hạng tương ứng

αr + ρ +

ys2

αr + ρ.

Ta thấy rằng mọi nghiệm của f là thực và thỏa mãn bất đẳng thức

αr > −ρ nếu và chỉ nếu dạng toàn phương (1.1.7) xác định dương Cácphần tử của ma trận của dạng này là

aij = α

i+j−2 1

α1 + ρ + · · · +

αi+j−2n

αn+ ρ.Các phát biểu a) và b) nhận được bằng cách lấy tương ứng giới hạn khi

ρ → +∞ và lấy ρ = 0

Dạng toàn phương trong định lí Syvester có minh họa thú vị sau, minhhọa này cho phép chỉ ra một chứng minh khác của định lí Syvester Hơnnữa, nó còn chỉ ra định lí đúng cho cả những đa thức có nghiệm bội.Xét không gian tuyến tính V = R[x]/(f ) chứa các đa thức được lấymodun theo đa thức f Giả sử rằng f có hệ số đầu bằng 1 và bậc của

f bằng n Khi ấy các đa thức 1, x, , xn−1 tạo thành một cơ sở của V.Với mỗi a ∈ V, ta xây dựng ánh xạ tuyến tính V → V cho bởi công thức

v 7→ av Giả sử tr(a) là vết của ánh xạ này (các phần tử nằm trên đườngchéo của ma trận)

Xét dạng song tuyến tính đối xứng

ϕ(v, w) = tr(vw)

Ta có kết quả sau đây

b) Kí số của dạng song tuyến tính đối xứng ϕ bằng số nghiệm thực phânbiệt của đa thức f.

1.2 Tách các nghiệm phức của đa thức phức

Định lí Sturm cho phép xây dựng một thuật toán tạo ra tập hợp các đoạnthẳng chứa tất cả các nghiệm thực của một đa thức, hơn nữa, mỗi đoạnthẳng đó chứa chính xác một nghiệm Trong một loạt bài báo (1869 - 1878)Kronecker đã phát triển lí thuyết xây dựng tập hợp các đĩa, mỗi đĩa chứachính xác một nghiệm Chính xác hơn, Kronecker đã chỉ ra rằng số cácnghiệm phức bên trong một đĩa cho trước có thể tính được nhờ định líSturm

Cho z = x + iy, ta biểu diễn đa thức P (z) ở dạng P (z) = ϕ(x, y) +iψ(x, y) Ta sẽ giả sử rằng, P không có nghiệm bội, tức là nếu P (z) = 0,thì P0(z) 6= 0

Mỗi nghiệm của P tương ứng một điểm giao của các đường cong ϕ = 0

và ψ = 0 Do đó số các nghiệm của P nằm bên trong một đường congkhông tự cắt γ bằng số các điểm giao của các đường cong ϕ = 0 và ψ = 0nằm trong γ Số này có thể được tính như sau Quay quanh đường cong

γ theo hướng dương, tức là hướng ngược chiều kim đồng hồ, và với mỗiđiểm giao của đường cong γ với ϕ = 0 ta cho tương ứng số i = ±1 theoquy tắc sau: i = 1 nếu ta di chuyển từ miền ϕψ > 0 tới miền ϕψ < 0,

hoặc i = −1 nếu ngược lại, tức là, ta di chuyển từ miền ϕψ < 0 tới miền

ϕψ > 0

Trong trường hợp tổng quát, số các điểm giao của đường cong γ và

ϕ = 0 là chẵn (vì tại mỗi điểm giao hàm ϕ đổi dấu), và do đó P i = 2k,trong đó k là một số nguyên

Định lý 1.2.1 (Kronecker) a) Số k bằng với số các điểm giao của cácđường cong ϕ = 0 và ψ = 0 nằm bên trong đường cong đóng γ;

b) Nếu γ là một đường tròn với tâm và bán kính cho trước, thì với đathức P cho trước số k có thể tính được theo thuật toán

Chứng minh a) Hiển nhiên, dP (z) = (ϕx+ iψx)dx + (ψy− iϕy)idy Từ đó,

φx φy

ψx ψy

=

...

1.3 Phân bố nghiệm đa thức đạo hàm

Mục trình bày kết phân bố nghiệm đa thức v? ?nghiệm đa thức đạo hàm

Định lý 1.3.1 (Gauss-Lucas) Các nghiệm P0 thuộc bao lồi cácnghiệm đa. .. t2.Thế biểu thức vào ϕ(x, y) ta thu đa thức Φ(t) với hệ số thực.Các nghiệm thực đa thức tương ứng với điểm giao cácđường cong γ ϕ = Theo Định lí Sturm, với nghiệm, ta tìmmột đoạn thẳng chứa nghiệm. ..

Cho P (z) đa thức bậc n ≥ mà nghiệm nằm đĩa |z| < 1.Nếu z0 nghiệm P (z), đĩa |z − z0| ≤ chứa nhấtmột nghiệm P0(z)

Giả thiết chứng minh với đa thức có