Các bài toán thực tế (lí thuyết hệ thống, lí thuyết ổn định, lí thuyết điều khiển, lí thuyết thuật toán, . . . ) đòi hỏi nghiên cứu không chỉ một đa thức, mà phải nghiên cứu một tập hợp các đa thức với các hệ số nằm trong các khoảng (đa thức khoảng, interval polynomials). Xét một họ ℘ các đa thức
P(x) với các hệ số thực
P(x) =a0 + a1x+· · ·+anxn,
trong đó ai ∈ [ai, ai] với ai, ai = 0, . . . , n là các số thực cho trước.
Đặt a = (a0, a1,· · · , an) và đồng nhất đa thức P(x) với vectơ hệ số a
của nó. Ta đưa vào kí hiệu siêu chữ nhật (hyperectangle) hay hộp các hệ số
∆ := {a : a ∈ Rn+1, ai ≤ a ≤ai, i = 0,1,· · · , n}.
Giả sử rằng bậc của các đa thức là bất biến trong họ ℘ và ai ∈ [ai, ai].
Tập ℘ được gọi là đa thức khoảng. 2.2 Định lí Kharitonov
Định lí Kharitonov dưới đây cho một điều kiện cần và đủ rất đẹp và tinh tế cho tính ổn định Hurwithz của đa thức khoảng.
Định lý 2.2.1. (Định lí Kharitonov, [1, tr.224]) Mọi đa thức trong họ ℘
là Hurwitz khi và chỉ khi bốn đa thức cực trị sau đây (xem Hình 2.1) là Hurwitz: P1(x) = a0 +a1x+a2x2 + a3x3 +a4x4 +a5x5 +a6x6 +· · · ; P2(x) = a0 +a1x+a2x2 + a3x3 +a4x4 +a5x5 +a6x6 +· · · ; P3(x) = a0 +a1x+a2x2 + a3x3 +a4x4 +a5x5 +a6x6 +· · · ; (2.2.1) P4(x) = a0 +a1x+a2x2 + a3x3 +a4x4 +a5x5 +a6x6 +· · · ; Hình 2.1
Để chứng minh định lí này ta cần hai bổ đề sau Bổ đề 2.2.1. ([1, tr.225]) Kí hiệu
P1(s) =Pchẵn(s) +P1lẻ(s), P2(s) = Pchẵn(s) +P2lẻ(s),
là hai đa thức khoảng có cùng bậc với cùng phần chẵn Pchẵn(s) và hai phần lẻ P1lẻ(s) và P2lẻ(s) khác nhau và thỏa mãn
P1o(ω) ≤ P2o(ω), ω ∈ [0,∞]. (2.2.2) Khi đó
P(s) =Pchẵn(s) +Plẻ(s)
là ổn định với mỗi đa thức P(s) với phần lẻ Plẻ(s) thỏa mãn
P1o(ω) ≤Po(ω) ≤ P2o(ω), ω ∈ [0,∞]. (2.2.3) Chứng minh. Vì P1(s) và P2(s) là ổn định, P1o(ω) và P2o(ω), đều thỏa mãn tính chất đan dấu với Pe(ω). Đặc biệt, P1o(ω) và P2o(ω), không những cùng bậc mà còn có dấu của hệ số cao nhất của chúng là như nhau vì trong thực tế chúng có cùng dấu với hệ số cao nhất củaPe(ω).Do đó, ta dễ dàng thấy rằng Po(ω) không thỏa mãn (2.2.3) trừ khi nó có cùng bậc và cùng dấu với hệ số cao nhất của nó. Khi đó, điều kiện trong (2.2.3) các nghiệm của
Po(ω) đan dấu với các nghiệm Pe(ω). Do đó, theo định lí Hermite-Biehler đa thức
Pchẵn(s) +Plẻ(s)
là ổn định.
Ta minh họa Bổ đề 2.2.1 qua ví dụ dưới đây Ví dụ 2.2.1. ([1, tr.226]) Cho
P1(s) = s7 + 9s6 + 31s5 + 71s4 + 111s3 + 109s2 + 76s+ 12,
Khi đó
Pchẵn(s) = 9s6 + 71s4 + 109s2 + 12,
P1lẻ(s) =s7 + 31s5 + 111s3 + 76s,
P2lẻ(s) =s7 + 34s5 + 111s3 + 83s.
Hình 2.2 chỉ ra rằng Pe(ω) và hình lập phương là bị chặn bởi P1o(ω) và
P2o(ω) thỏa mãn tính chất đan dấu.
Vì vậy, ta kết luận rằng mỗi đa thức P(s) với phần lẻ Plẻ(s) thỏa mãn
P1o(ω) ≤ Po(ω) ≤ P2o(ω) ω ∈ [0,∞]
là ổn định. Chẳng hạn, ta kí hiệu đường kẻ chấm bên trong hình lập phương biểu diễn
Plẻ(s) = s7 + 32s5 + 111s3 + 79s.
Bổ đề 2.2.2. ([1, tr.226]) Cho
P1(s) = P1chẵn(s) +Plẻ(s)
P2(s) = P2chẵn(s) +Plẻ(s)
kí hiệu là hai đa thức ổn định có cùng bậc với cùng phần lẻ Plẻ(s) và phần chẵn P1chẵn(s) và P2chẵn(s) thỏa mãn
P1e(ω) ≤ P2e(ω), ω ∈ [0,∞]. (2.2.4) Khi đó,
P(s) =Pchẵn(s) +Plẻ(s)
là ổn định với mỗi đa thức P(s) với phần chẵn P chẵn(s) thỏa mãn
P1e(ω) ≤ Pe(ω) ≤P2e(ω), ω ∈ [0,∞]. (2.2.5) Ta quay lại chứng minh Định lí 2.2.1
Chứng minh. Các đa thức Kharitonov được lặp lại bên dưới đây, để thuận lợi với 4 cạnh của hộp ∆ :
K1(s) = x0 +x1s+y2s2 + y3s3 +x4s4 +x5s5 +y6s6 +· · · , K2(s) = x0 +y1s+y2s2 +x3s3 +x4s4 +y5s5 +y6s6 + · · · ,
K3(s) = y0 +x1s+x2s2 + y3s3 +y4s4 +x5s5 +x6s6 +· · · , (2.2.6)
Các đa thức đó được xây dựng từ hiệu của phần chẵn Kmaxchẵn(s) và Kminlẻ (s)
và hiệu của phần lẻ Kmaxlẻ (s) và Kminlẻ (s) được xác định dưới đây:
Kmaxchẵn(s) := y0 +x2s2 +y4s4 +x6s6 +y8s8 +· · · , Kminchẵn(s) := x0 +y2s2 +x4s4 +y6s6 +x8s8 + · · · ,
và
Kmaxlẻ (s) := y1s+ x3s3 +y5s5 +x7s7 +y9s9 +· · · , Kminlẻ (s) := x1s+y3s3 +x5s5 +y7s7 +x9s9 +· · · .
Các đa thức Kharitonov trong 2.2.1 hoặc 2.2.6 có thể được viết lại như sau:
K1(s) = Kminchẵn(s) +Kminlẻ (s)
K2(s) = Kminchẵn(s) +Kmaxlẻ (s)
K3(s) = Kmaxchẵn(s) +Kminlẻ (s) (2.2.7)
K4(s) = Kmaxchẵn(s) +Kmaxlẻ (s)
Các chỉ số dưới "max" và "min" được giải thích như sau. Cho δ(s) là một đa thức bất kì với các hệ số của nó nằm trong hộp ∆ và cho δ chẵn(s) là phần chẵn của nó. Khi đó Kmaxe (ω) = y0 −x2ω2 +y4ω4 −x6ω6 +y8ω8 +· · · , δe(ω) = δ0 −δ2ω2 +δ4ω4 −δ6ω6 +δ8ω8 + · · · , Kmine (ω) = x0 −y2ω2 +x4ω4 −y6ω6 +x8ω8 +· · · . Như vậy Kmaxe (ω)−δe(ω) = (y0−δ0) + (δ2−x2)ω2+ (y4−δ4)ω4+ (δ6−x6)ω6+· · · ,
và
δe(ω)−Kmine (ω) = (δ0−x0) + (y2−δ2)ω2+ (δ4−x4)ω4+ (y6−δ6)ω6+· · · .
Do đó,
Kmine (ω) ≤ δe(ω) ≤ Kmaxe (ω), ∀ω ∈ [0,∞]. (2.2.8) Tương tự, nếu δlẻ(s) kí hiệu là phần lẻ của δ(s), và δlẻ(jω) = jωδo(ω). Ta có thể kiểm tra được
Kmino (ω) ≤ δo(ω) ≤ Kmaxo (ω), ∀ω ∈ [0,∞]. (2.2.9) Vì vậy δ(jω) nằm trong một trục song song với hình chữ nhật I(jω) như
Hình 2.3
Trong quá trình chứng minh của Định lí Kharitonov ta chú ý rằng điều kiện cần là tầm thường vì nếu mọi đa thức với các hệ số nằm trong hộp ∆
là ổn định, thì hiển nhiên rằng các đa thức Kharitonov cũng phải ổn định vì các hệ số nằm trong ∆. Ngược lại, giả sử rằng các đa thức Kharitonov là ổn định và đặt
δ(s) =δchẵn(s) +δlẻ(s)
là một đa thức bất kì thuộc họ I(s), với phần chẵn δchẵn(s) và phần lẻ
δlẻ(s).
Ta kết luận, từ Bổ đề 2.2.1 được áp dụng vào các đa thức K3(s) và
K4(s) trong 2.2.7, nghĩa là
Kmaxchẵn(s) +δlẻ(s) là ổn định. (2.2.10) Tương tự, từ Bổ đề 2.2.1 được áp dụng vào các đa thức ổn định K1(s) và
K2(s) trong 2.2.7 ta kết luận rằng
Kminchẵn(s) +δlẻ(s) là ổn định. (2.2.11) Bây giờ, vì (2.2.8) đúng, nên ta có thể áp dụng Bổ đề 2.2.2 hai đa thức ổn định
Kmaxchẵn(s) +δlẻ(s) và Kminchẵn(s) + δlẻ(s)
để đi đến kết luận rằng
δchẵn(s) +δlẻ(s) = δ(s) là ổn định.
Vì δ(s) là một đa thức bất kì của I(s) ta kết luận rằng họ phần tử của các đa thức I(s) là ổn định và điều này hoàn thành chứng minh của định lí.
Ví dụ 2.2.2. ([1, tr.230]) Xét bài toán kiểm tra tính ổn định vững của với liên hệ ngược được chỉ ra trong hình 2.4.
Hình 2.4 Hàm truyền có dạng G(s) = δ1s+δ0 s2(δ4s2 + δ3s3 +δ2) với các hệ số là bị chặn bởi: δ4 ∈ [x4, y4], δ3 ∈ [x3, y3], δ2 ∈ [x2, y2], δ1 ∈ [x1, y1], δ0 ∈ [x0, y0].
Đa thức đặc trưng của họ này được viết như sau
δ(s) =δ4s4 +δ3s3 + δ2s2 +δ1s+ δ0.
Các đa thức chẵn, lẻ liên kết với đa thức kiểm tra Kharitonov như sau:
Kminchẵn = x0 +y2s2 + x4s4, Kmaxchẵn = y0 + x2s2 +y4s4,
Kminlẻ = x1 +y3s3, Kmaxlẻ = y1s+x3s3.
Các đa thức Kharitonov là:
K1 = x0 +x1s+y2s2 + y3s3 +x4s4, K2 = x0 +y1s+ y2s2 +x3s3 +x4s4,
Bài toán kiểm tra tính ổn định Hurwitz của họ trên vì vậy được suy từ việc kiểm tra tính ổn định Hurwitz của bốn đa thức trên. Điều này dẫn tới việc kiểm tra các hệ số có cùng dấu (dương, nếu trái lại, nhân δ(s) với
−1) và các bất đẳng thức dưới đây được thỏa mãn:
K1(s) Hurwitz : y2y3 > x1x4, x1y2y3 > x21x4 +y32x0, K2(s) Hurwitz : y2x3 > y1x4, y1y2x3 > y12x4 +x23x0, K3(s) Hurwitz : x2y3 > x1y4, x1x2y3 > x21y4 +y32y0, K4(s) Hurwitz : x2x3 > y1y4, y1x2x3 > y12y4 +x23y0.
Đối với đa thức khoảng với các hệ số phức ta cũng có định lí tương tự.
2.3 Định lí Kharitonov cho đa thức hệ số phứcXét họ I∗(s) các đa thức hệ số phức có dạng Xét họ I∗(s) các đa thức hệ số phức có dạng δ(s) = (α0 +jβ0) + (α1 +jβ1)s+· · ·+ (αn+ jβn)sn (2.3.1) với α0 ∈ [x0, y0], α1 ∈ [x1, y1], . . . , αn ∈ [xn, yn], (2.3.2) và β0 ∈ [u0, v0], β1 ∈ [u1, v1], . . . , βn ∈ [un, vn]. (2.3.3) Đây là một họ đa thức khoảng phức có bậcn (bao hàm họ đa thức khoảng thực đã nghiên cứu ở trên) như một trường hợp đặc biệt. Một cách tự nhiên, ta xét Định lí Kharitonov suy rộng từ đa thức thực sang họ đa thức phức.
Ta giả thiết như trường hợp đa thức thực rằng bậc của đa thức là bất biến. Xét hai tập đa thức phức:
K1+(s) := (x0 +ju0) + (x1 +jv1)s+ (y2 +jv2)s2 + (y3 +ju3)s3 + (x4 +ju4)s4 + (x5 +jv5)s5 + · · · , K2+(s) := (x0 +jv0) + (y1 +jv1)s+ (y2 + ju2)s2 + (x3 +ju3)s3 + (x4 +jv4)s4 + (y5 +jv5)s5 +· · · , (2.3.4) K3+(s) := (y0 + ju0) + (x1 +ju1)s+ (x2 +jv2)s2 + (y3 +jv3)s3 + (y4 +ju4)s4 + (x5 +ju5)s5 + · · · , K4+(s) := (y0 + jv0) + (y1 +ju1)s+ (x2 +ju2)s2 + (x3 +jv3)s3 + (y4 +jv4)s4 + (y5 +ju5)s5 +· · · , và K1−(s) := (x0 + ju0) + (y1 +ju1)s+ (y2 +jv2)s2 + (x3 +jv3)s3 + (x4 +ju4)s4 + (y5 +ju5)s5 +· · · , K2−(s) := (x0 + jv0) + (x1 +ju1)s+ (y2 +ju2)s2 + (y3 +jv3)s3 + (x4 +jv4)s4 + (x5 +ju5)s5 + · · · , K3−(s) := (y0 +ju0) + (y1 +jv1)s+ (x2 +jv2)s2 + (x3 +ju3)s3 (2.3.5) + (y4 + ju4)s4 + (y5 + jv5)s5 +· · · , K4−(s) := (y0 +jv0) + (x1 + jv1)s+ (x2 +ju2)s2 + (y3 +ju3)s3 + (y4 + jv4)s4 + (x5 + jv5)s5 +· · · .
Định lý 2.3.1. ([1, tr.233]) Họ các đa thức I∗ là Hurwitz nếu và chỉ nếu 8 đa thức KharitonovK1+(s), K2+(s)K3+(s), K4+(s), K1−(s), K2−(s), K3−(s), K4−(s)
là Hurwitz.
Chứng minh. Điều kiện cần là rõ ràng vì 8 đa thức Kharitonov là thuộc
I∗. Chứng minh điều kiện đủ như sau: rõ ràng là, các đa thức Kharitonov trong (2.3.4) và (2.3.5) bao gồm các đa thức cực trị sau: Với các đa thức
Kharitonov dương xác định bởi: Rmax+ (s) := y0 +ju1s+x2s2 +jv3s3 +y4s4 +· · · , Rmin+ (s) := x0 + jv1s+y2s2 +ju3s3 +x4s4 +· · · , Imax+ (s) := jv0 +y1s+ju2s2 +x3s3 +jv4s4 +· · · , Imin+ (s) := ju0 + x1s+ jv2s2 +y3s3 +ju4s4 +· · · . Do đó K1+(s) = R+min(s) +Imin+ (s) K2+(s) = R+min(s) +Imax+ (s) K3+(s) = R+max(s) +Imin+ (s) K4+(s) = R+max(s) +Imax+ (s).
Với các đa thức Kharitonov âm ta có
Rmax− (s) := y0 +jv1s+x2s2 +ju3s3 +y4s4 +· · · , Rmin− (s) := x0 + ju1s+ y2s2 +jv3s3 +x4s4 +· · · , Imax− (s) := jv0 +x1s+ju2s2 +y3s3 +jv4s4 +· · · , Imin− (s) := ju0 + y1s+jv2s2 +x3s3 +ju4s4 +· · · , và K1−(s) = R−min(s) +Imin− (s) K2−(s) = R−min(s) +Imax− (s) K3−(s) = R−max(s) +Imin− (s) K4−(s) = R−max(s) +Imax− (s).
với Rmax± (jω) và R±min(jω) là phần thực và Imax± (jω) và Imin± (jω) là phần ảo. Đặt Re[δ(jω)] := δr(ω) và Im [δ(jω)] := δi(ω) kí hiệu là phần thực và
phần ảo của δ(s) được tính tại s = jω. Khi đó ta có:
δr(ω) = α0 −β1ω−α2ω2 +β3ω3 +· · · , δi(ω) = β0 −α1ω−β2ω2 −α3ω3 +· · · .
Dễ dàng kiểm tra được rằng
R+min(jω) ≤δr(ω) ≤Rmax+ (jω), ∀ω ∈ [0,∞] Imin+ (jω) j ≤δi(ω) ≤ I + max(jω) j , ∀ω ∈ [0,∞] (2.3.6) R−min(jω) ≤ δr(ω) ≤ R−max(jω), ∀ω ∈ [0,−∞] Imin− (jω) j ≤ δi(ω) ≤ I − max(jω) j , ∀ω ∈ [0,−∞]. (2.3.7)
Chứng minh của định lí được hoàn thành như sau. Sự ổn định của 4 đa thức dương Kharitonov đảm bảo sự đan nhau của "ống thực" (bị chặn bởi
R+max(jω) và R+min(jω)) với "ống ảnh" (bị chặn bởi Imax+ (jω)và Imin+ (jω)) với
ω > 0. Mối quan hệ trong (2.3.6) sau đó đảm bảo rằng phần thực và phần ảo của một đa thức bất kì trong I∗ buộc sự đan dấu với ω ≥ 0. Lí luận tương tự, sử dụng tính bị chặn trong (2.3.7) và các đa thức Kharitonov âm buộc sự đan dấu với ω ≤0. Vì vậy theo Định lí Hermite-Biehler với các đa thức phức δ(s) là Hurwitz. Vì δ(s) là bất kì, chứng tỏ rằng mọi đa thức trong I∗(s) là Hurwitz.
Kết luận
Chủ yếu dựa trên một số chương trong bốn cuốn sách [1], [2], [4] và [5], Luận văn trình bày tổng quan các kết quả về phân bố nghiệm của đa thức và các định lí của Kharitonov về đa thức khoảng.
Vì năng lực và điều kiện nghiên cứu của bản thân còn hạn chế Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự quan tâm đóng góp của thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn nữa.
Tài liệu tham khảo
[1] S. P. Bhattacharyya, H. Chapellat, L. H. Keel, Robust Control, The Parametric Approach, Prentice Hall, 1995.
[2] G. V. Milovanovi´c, Dragoslav S. Mitrinovi´c, Themistocles M. Rassias, Topics in Polynomials: Extremal Problems, Inequalities, Zeros, World Scientific Publishing, 1994.
[3] Kharitonov V. L.,Asymptotic Stability of an Equilibrium Position of a Family of Systems of Linear Differential Equations, Differential Urav- nenie, Vol. 14 (1978), pp. 2086-2088. Traslation in Differential Equa- tions, Vol. 14, pp. 1483-1485, 1979.
[4] Victor V. Prasolov, Polynomials, in Algorithms and Computation in Mathematics, Volume 11, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004. [5] Bl. Sendov, A. Andreev and N. Kjurkchiev, Numerical Solution of
Polynomial Equations (in Handbook of Numerical Analysis, Vol. III, 1994, P. G. Ciarlet and J. L. Lions Eds., Elsevier Science, 1994).