Bài toán xét tính ổn định ta của các nghiệm của một đa thức cho trước là tìm điều kiện để tất cả các nghiệm nằm trong nửa mặt phẳng trái (tức là,
phần thực của các nghiệm là âm). Các đa thức với tính chất này được gọi là ổn định. Bài toán Routh-Hurwitz là: Có thể khẳng định đa thức là ổn định theo các hệ số của nó hay không?
Ta chỉ cần xét trường hợp các đa thức với hệ số thực. Vì với p(z) = P
n
anzn là một đa thức với hệ số phức, ta xét đa thức
p∗(z) = p(z)p(z) = (Xanzn)(Xanzn).
Hiển nhiên, phần thực của các nghiệm của p(z) cũng giống như phần thực của nghiệm của p(z). Hơn nữa, các hệ số của p∗(z) là đối xứng theo an và
an. Điều này nghĩa là các hệ số của p∗ là bất biến qua phép lấy liên hợp, tức là các hệ số của p các số thực. Ta có kết quả sau đây.
Định lý 1.5.1. Giả sử p(z) =zn+a1zn−1+· · ·+an là một đa thức với hệ số thực và q(z) = zm + b1zm−1 +· · ·+ bm, trong đó m = 1
2n(n−1), là đa thức mà các nghiệm của nó là tổng của các cặp nghiệm của p. Khi ấy đa thức p là ổn định khi và chỉ khi mọi hệ số của các đa thức p và q là dương. Chứng minh. Giả sử rằng plà ổn định. Một nghiệm âm α củapsẽ có tương ứng một thừa số z−α với các hệ số dương. Với cặp nghiệm là liên hợp với phần thực âm ta có một tương ứng thừa số
(z−α−iβ)(z −α +iβ) = z2 −2αz +α2 +β2
với các hệ số dương. Do đó mọi hệ số của p là dương.
Các nghiệm phức của q trở thành các cặp nghiệm liên hợp bởi vì các hệ số của q là thực. Hơn nữa, các phần thực của mọi nghiệm của q là âm. Lí luận tương tự như đối với p ta có các hệ số của q là dương.
Tiếp theo, cho tất cả các hệ số của p và q là dương. Trong trường hợp này, tất cả các nghiệm của p và q là âm. Do đó, nếu α là một nghiệm của
p, thì α < 0 và nếu α ± iβ là một cặp nghiệm phức liên hợp của p, thì
Chương 2
ỔN ĐỊNH CỦA ĐA THỨC KHOẢNG
Chương 2 trình bày các định lí của Kharitonov về ổn định của đa thức khoảng theo Chương 5 (trang 223-268) [1] và bài báo [3].
2.1 Đa thức khoảng