Quan hệ giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thức đạo hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CAO DUY HÙNG QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC ĐẠO HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CAO DUY HÙNG QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC ĐẠO HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 0102 Giáo viên hướng dẫn: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN, 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình. Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! i Mục lục Mở đầu 1 1 Giới thiệu giả thuyết Sendov 3 1.1 Phát biểu giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định lý Gaus-Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Tổng quan về giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Lịch sử giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Các giả thuyết liên quan đến giả thuyết Sendov . . . 15 2 Một số giả thuyết trong hình học đa thức liên quan đến giả thuyết Sendov 17 2.1 Các khái niệm cơ bản và các giả thuyết liên quan đến giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Các giả thuyết mở rộng hoặc liên quan đến giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Các kết quả của giả thuyết Sendov trong hình học đa thức . 24 2.2.1 Độ lệch giữa các tập hợp khi biết một nghiệm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Đánh giá độ lệch của A (P ) với A  P (s)  . . . . . . . 28 2.3 Một số trường hợp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Chứng minh giả thuyết Sendov cho các đa thức có bậc 3 và 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 Chứng minh giả thuyết Sendov cho tất cả các đa thức với số nghiệm không lớn hơn 4 . . . . . . . . . 39 2.3.3 Chứng minh giả thuyết Sendov cho đa thức bậc n ≤ 5 41 Kết luận 43 ii Tài liệu tham khảo 45 iii MỞ ĐẦU Ta đã biết Định lí Gauss-Lucas về quan hệ giữa nghiệm của đa thức và đa thức đạo hàm sau đây. Định lí Gauss-Lucas: Giả sử P (z) là một đa thức với các hệ số phức. Khi ấy mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P  (z) đều nằm trong bao lồi của tập các điểm nghiệm của đa thức. Không hạn chế tổng quát, có thể coi tất cả các nghiệm của đa thức P (z) nằm trong hình tròn đơn vị đóng D (0, 1). Khi ấy theo Định lí Gauss-Lucas, mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P  (z) cũng nằm trong hình tròn đóng D (0, 1). Do vậy, khoảng cách lớn nhất giữa một điểm nghiệm của đa thức và một điểm nghiệm của đa thức đạo hàm không vượt quá 2. Năm 1958, nhà toán học Bugaria Blagovest Sendov đã phát biểu giả thuyết sau. Giả thuyết Sendov: Giả sử tất cả các nghiệm z i , i = 1, , n của đa thức P (z) nằm bên trong hình tròn đơn vị đóng D (0, 1) trong mặt phẳng phức. Khi ấy mỗi hình tròn đóng có bán kính bằng 1, tâm tại điểm nghiệm z i đều chứa một điểm nghiệm của đa thức đạo hàm. Giả thuyết Sendov được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới. Sau 50 năm, đã có hơn 100 bài báo viết về giả thuyết này xem [2]. Năm 1999, giả thuyết Sendov đã được J. E. Brown và học trò của Ông, G. Xiang chứng minh cho các đa thức bậc không vượt quá 8. Cho đến nay, kỉ lục này vẫn được giữ. Nhằm chứng minh giả thuyết Sendov, nhiều nhà toán học đã sử dụng nhiều công cụ và kĩ thuật chứng minh khác nhau. Nhiều giả thuyết mới liên quan đến giả thuyết Sendov được phát biểu. Hình học của đa thức tỏ ra khá hữu hiệu trong cố gắng chứng minh 1 giả thuyết Sendov. Thực chất của giả thuyết Sendov là đánh giá khoảng cách Hausdorff giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thức đạo hàm. Nói cách khác, giả thuyết Sendov được chứng minh nếu khoảng cách Hausdorff giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thức đạo hàm không vượt quá 1. Ngoài ra, nhờ sử dụng khoảng cách Hausdorff giữa các tập hợp, ta có thể mở rộng giả thuyết Sendov khi xét khoảng cách Hausdorff giữa các tập khác nhau, thí dụ, khoảng cách Hausdorff giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thức đạo hàm bậc k, hoặc khoảng cách giữa bao lồi của tập nghiệm đa thức và bao lồi của tập nghiệm đa thức đạo hàm. Theo chúng tôi, đây là một giả thuyết thú vị, có quan hệ mật thiết giữa toán sơ cấp và toán cao cấp. Vì vậy tôi chọn đề tài này làm đề tài luận văn cao học. Luận văn gồm hai Chương. Chương 1 giới thiệu tổng quan về lịch sử Giả thuyết Sendov và các kết quả đạt được trong nghiên cứu giả thuyết này. Chương 2 trình bày cách tiếp cận hình học của đa thức trong nghiên cứu giả thuyết Sendov, chủ yếu dựa theo tài liệu [27] và [22]. Nhiều giả thuyết mới cũng được trình bày. Luận văn cũng trình bày các chứng minh giả thuyết Sendov cho các đa thức bậc thấp (bậc không vượt quá 5). Mặc dù còn sơ lược và chưa đầy đủ, chúng tôi hy vọng luận văn trình bày được những nội dung cơ bản của giả thuyết Sendov và thu hút sự quan tâm đến giả thuyết này. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2013 Người thực hiện Cao Duy Hùng 2 Chương 1 Giới thiệu giả thuyết Sendov 1.1 Phát biểu giả thuyết Sendov 1.1.1 Định lý Gaus-Lucas Ta đã biết Định lý Rolle quen thuộc và quan trọng sau đây Định lý 1.1. (Rolle, 1691) Giả sử f : R → R là hàm số khả vi trên đoạn [a; b] ⊂ R và f (a) = f (b). Khi ấy tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f  (c) = 0. Từ định lý Rolle ta có hệ quả sau. Hệ quả 1.1. Cho đa thức P (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + + a n−1 x + a n có tất cả m nghiệm thực x 1 < x 2 < < x m . Khi ấy đa thức đạo hàm P  (x) = na n x n−1 + (n − 1) a n−1 x n−2 + + 2a 2 x + a 1 có không ít hơn m −1 nghiệm thực, trong đó u 1 < u 2 < < u m−1 sao cho x 1 < u 1 < x 2 < u 2 < x 3 < u 3 < < x m−1 < u m−1 < x m . Chú ý 1.1. Trong số các nghiệm thực x i có thể có các nghiệm bội tức là đồ thị hàm số y = P (x) cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành tại một số điểm x j , j ∈ {1, , m} Hình 1.1. Minh họa cho Hệ quả 1.1 3 Hình 1.1: Ta thấy rằng, khoảng cách nhỏ nhất từ nghiệm u i , i = 1, , m −1 của đa thức đạo hàm P  (x) để hai nghiệm gần nó nhất của đa thức P (x) bao giờ cũng nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa hai nghiệm ấy, tức là min {u i − x i ; x i+1 − u i } ≤ x i+1 − x i 2 , i = 1, m − 1. Coi khoảng cách lớn nhất giữa hai nghiệm liên tiếp của đa thức không vượt quá 2, thì giữa hai nghiệm liên tiếp luôn tồn tại ít nhất một nghiệm của đạo hàm có khoảng cách tới ít nhất một nghiệm của đa thức không vượt quá 1. Nhận xét 1.1. Điều kiện số nghiệm m ≥ 2 của đa thức P (x) là quan trọng. Ví dụ, đa thức P (x) = (x + 2)  x 2 + 1  = x 3 + 2x 2 + x + 2 có duy nhất một nghiệm thức x = −2 nhưng đa thức đạo hàm P  (x) = 3x 2 + 4x + 1 = (x + 1) (3x + 1) có hai nghiệm x 1 = −1 và x 2 = − 1 3 không trùng với (không nằm trong khoảng) x = −2. Hình 1.2. Minh họa cho Nhận xét 1.1 4 Hình 1.2: Nhận xét 1.2. Đạo hàm P  (x) có thể có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng hai nghiệm của P (x). Ví dụ, đa thức P (x) =  x 2 − 9  x 2 + 1  = x 4 − 8x 2 − 9 có hai nghiệm x 1,2 = ±3 , nhưng đa thức đạo hàm P  (x) = 4x 3 − 16x = 4x  x 2 − 4  có ba nghiệm x 1 = 0 và x 2 = −2 và x 3 = 2 trong khoảng (−3; 3) Hình 1.3. Minh họa cho Nhận xét 1.2 Hình 1.3: 5 [...]... thì giữa hai nghiệm liên 10 tiếp của đa thức luôn tồn tại một nghiệm của đa thức đạo hàm có khoảng cách tới một nghiệm của đa thức không vượt quá 1 Xuất hiện bài toán tương tự: Đánh giá khoảng cách giữa nghiệm (phức) của đa thức và nghiệm (phức) của đa thức đạo hàm Từ hệ quả 1.3 của Định lý Gauss-Lucas ta có một hệ quả đơn giản sau Hệ quả 1.5 Nếu tất cả các nghiệm của đa thức P (z) nằm trong hình tròn... hình tròn đóng D (0, r) = {z ∈ C : |z| ≤ r} và z1 là một nghiệm của P (z), thì hình tròn tâm z1 bán kính 2r chứa tất cả các nghiệm của P (z) Hệ quả này là hiển nhiên, vì mọi nghiệm của đa thức và mọi nghiệm của đa thức đạo hàm đều nằm trong đĩa bán kính r Do đó khoảng cách giữa một nghiệm của đa thức tới tất cả các nghiệm của đạo hàm không vượt quá đường kính của đường tròn, tức là không vượt quá 2r 1.1.2... là đa thức Ví dụ, hàm số f (z) = ze 2 z chỉ có nghiệm duy nhất z = 0, tức là tất cả các nghiệm của f (z) = ze 2 nằm trong |z| ≤ 1 Tuy nhiên, đạo hàm của nó z 1 z f (z) = e 2 + ze 2 = 2 z 1 z + 1 e2 2 có nghiệm z = −2 và nghiệm này nằm ngoài đường tròn đơn vị |z| ≤ 1 Ở trên ta đã lưu ý: Coi khoảng cách lớn nhất giữa hai nghiệm thực liên tiếp của đa thức với hệ số thực không vượt quá 2, thì giữa hai nghiệm. .. trong nửa mặt phẳng phức đóng chứa tất cả các nghiệm của đa thức P (z) Định lý được chứng minh Hệ quả 1.2 Đa giác lồi trong mặt phẳng phức chứa tất cả các nghiệm của đa thức P (z) cũng chứa tất cả các nghiệm của P (z) Thí dụ, nếu đa thức P (z) có 8 nghiệm z1 , , z8 được phân bố như Hình 1.5 thì đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các nghiệm của nó (bao lồi của các nghiệm) là ngũ giác lồi có các đỉnh là z1... các nghiệm của đa thức đạo hàm phải nằm trong nửa mặt phẳng chứa ngũ giác lồi z1 z2 z3 z4 z5 Lần lượt áp dụng Định lý Gaus-Lucas cho các cạnh tiếp theo, ta đi đến kết luận: Tất cả các nghiệm ε1 , ε2 , ε3 , ε4 , ε5 , ε6 của đa thức đạo hàm nằm trong đa giác lồi z1 z2 z3 z4 z5 chứa tất cả các nghiệm của đa thức Hình 1.5 Minh họa cho Hệ quả 1.2 9 Hình 1.5: Hệ quả 1.3 Một hình tròn chứa tất cả các nghiệm. .. định trên tập số thực, nhận giá trị thực và không còn đúng trong trường số phức Ví dụ, hàm số f (z) = eiπz − 1 = (cosπz + isinπz) − 1 có hai nghiệm z = 0 và z = 2, nhưng đạo hàm của nó f (z) = iπeiπz không có nghiệm, do đó cũng không có nghiệm trong khoảng (0; 2) Tuy nhiên, ta vẫn có thể đặt câu hỏi sau đây Từ Hệ quả 1.1 ta đã thấy: Giữa hai nghiệm thực phân biệt của đa thức với hệ số thực của biến... 1.4 (Gacs, [14]) Giả sử mọi nghiệm z1 , , zn của đa thức P (z) = (z − z1 ) (z − zn ) với 2 ≤ n ≤ 5 nằm trong đĩa đơn vị đóng 15 ¯ D (0, 1) = {z: |z| ≤ 1} Khi ấy với mỗi k, k = 1, 2, , n, đĩa mở D z2k , 1 − z2k đều chứa một nghiệm của đa thức đạo hàm, ngoại trừ trường hợp tất cả các nghiệm của đa thức đạo hàm nằm trên miền biên của chúng Năm 1969, G Goodman, Q I Rahman và J Ratti [12], độc lập với... n nghiệm phức nằm trên đường tròn đơn vị đóng D (0, 1), và đa thức P (z) = nz n−1 có duy nhất một nghiệm z = 0 bội n − 1, tức là khoảng cách từ một điểm nghiệm bất kỳ của đa thức đến một nghiệm bất kỳ của đa thức đạo hàm đều bằng 1 Vì vậy không thể thay bán kính r = 1 bởi số bé hơn Giả thuyết Sendov cũng có thể phát biểu dưới dạng sau Giả thuyết 1.2 (Giả thuyết Sendov) Giả sử mọi nghiệm z1 , , zn của. .. số thực bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm của đạo hàm Câu hỏi đặt ra là: Nếu ta xét tất cả các nghiệm phức thì kết quả trên được mở rộng như thế nào? Năm 1836, Gauss đã nhận xét rằng, mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P (x) có thể được coi như là điểm cân bằng của một trường lực được tạo ra bởi các hạt đồng chất đặt tại mỗi điểm nghiệm zi của đa thức (k hạt nếu zi là nghiệm bội k ), nếu mỗi hạt sinh ra... cả các nghiệm của P (z)) 5) Pn là tập tất cả các đa thức dạng P (z) = (z − z1 ) (z − z2 ) (z − zn ), n ≥ 2 và đĩa nhỏ nhất chứa tất cả các nghiệm z1 , z2 , , zn của P (z) là đĩa đơn vị đóng D (0, 1) = {z : |z| ≤ 1} Dưới đây chúng ta liệt kê một số kết quả cơ bản trong hình học đa thức, cần thiết như sau Định lý 2.1 Cho z1 và z2 là hai nghiệm khác nhau của đa thức P (z) và l là đường trung trực của đoạn . Hausdorff giữa các tập khác nhau, thí dụ, khoảng cách Hausdorff giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thức đạo hàm bậc k, hoặc khoảng cách giữa bao lồi của tập nghiệm đa thức và bao lồi của. Gauss-Lucas về quan hệ giữa nghiệm của đa thức và đa thức đạo hàm sau đây. Định lí Gauss-Lucas: Giả sử P (z) là một đa thức với các hệ số phức. Khi ấy mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P  (z) đều. HÙNG QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC ĐẠO HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CAO DUY HÙNG QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM CỦA