Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình toán 8

1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy tốn nói riêng trường trung học sở tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Qua thời gian giảng dạy mơn Tốn 8, tơi nhận thấy việc biến đổi đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng Nó sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng tập khác như: giải phương trình, bất phương trình, quy đồng mẫu phân thức, rút gọn phân thức Nếu nắm vững thành thạo kỹ học sinh có khả giải nhiều vấn đề chương trình đại số lớp Chúng ta thấy đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, áp dụng phương pháp học sách giáo khoa việc phân tích thành nhân tử khó khăn thầy trò Chính giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi lớp tơi tìm kiếm, nghiên cứu nguồn tài đưa phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho dễ hiểu, dễ nhớ có hệ thống Vẫn biết, thị trường có nhiều sách viết chun đề phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều giáo viên đúc rút kinh nghiệm việc phân tích đa thức thành nhân tử Song, mạnh dạn giới thiệu với thầy cô học sinh kinh nghiệm “Phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử thơng qua đặt ẩn phụ chương trình Toán 8” Đề tài phần chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, việc phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử có vai trò định giải phương trình ẩn, bất phương trình ẩn bậc cao, cực trị đại số… Về nội dung đề tài, sau giới thiệu kiến thức làm sở, giới thiệu tiếp số dạng đa thức bậc bốn phân tích thành nhân tử có kèm theo cách giải ví dụ minh họa, đồng thời đưa tập tương tự Hy vọng đề tài trở thành tài liệu tham khảo bổ ích cho thầy em học sinh việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trường trung học sơ 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh lớp phân tích thành thạo đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử - Phát huy khả suy luận, phán đốn tính linh hoạt học sinh - Thấy vai trò việc phân tích đa thức thành nhân tử việc giải dạng toán khác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chỉ phương pháp dạy loại “Phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử thơng qua đặt ẩn phụ chương trình Toán 8” Đổi phương pháp nâng cao chất lượng dạy học, cụ thể chất lượng mũi nhọn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: nghiên cứu thực trạng việc học sinh phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử Từ giúp người nghiên cứu thu thập thơng tin, làm nảy sinh ý tưởng nghiên cứu đề xuất sáng tạo - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: thu thập thông tin thông qua đọc tài liệu nhằm mục đích tìm chọn kiến thức mới, dựa vào đặc trưng đa thức bậc bốn ẩn, phân loại đưa cách phân tích thành nhân tử cho loại, nhằm xây dựng mơ hình lý thuyết hay thực nghiệm ban đầu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Để phân tích đa thức thành nhân tử, cách thơng thường khéo léo phân tích đa thức thành hạng tử có nhân tử chung Với cách làm khó khăn thách thức cho em phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử Trong việc phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử sau phần cho việc thực số dạng tốn giải phương trình bậc bốn, giải bất đẳng thức, Do đó, giáo viên cần giúp em học sinh khá, giỏi phân tích số dạng đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử nhanh nhất, để từ em có đủ thời gian hồn thành nội dung tốn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017, giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Khi dạy dạng toán biến đổi đồng biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ, giải phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình,…Thơng thường toán hay xuất phần phân tích đa thức thành nhân tử, khâu then chốt để thực toán Tuy nhiên, thầy trò biết tách ghép, thêm bớt hạng tử cho xuất nhân tử chung, đa thức bậc thấp đơn giản, bắt gặp đa thức bậc bốn ẩn hiệu khơng cao, nhiều thời gian Thực tế kiểm tra học sinh khả phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử, với ba sau: x4 - 13x2 +36 (x2 + 8x +12)(x2 + 12x + 32) +16 x4 + x3 - 4x2 + x + Kết Số học sinh Điểm Điểm từ đến Điểm từ 6,5 đến Điểm từ trở 6,5 lên tham gia kiểm tra SL % SL % SL % SL % 11 45,5 36,4 18,1 0 Rõ ràng với kết thấp, chưa đạt yêu cầu Từ đó, thấy cần phải nghiên cứu nguồn tài liệu, tìm phương pháp giải tốn phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử nhanh hiệu 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Giải pháp Sử dụng việc đặt ẩn phụ lần nhiều lần áp dụng đẳng thức(*) sau: Xét đa thức Q(y) = ay2 + by + c Nếu có số m, n cho: m.n = a.c m + n = b ay + by + c = ay + ( m + n ) y + = (ay + my) + (ny + mn a mn n ) = y (ay + m) + (ay + m) a a n n (ay + m) = (ay + m)( y + ) a a m n = a ( y + )( y + ) a a = y (ay + m) +  Hay ay + by + c = a y +  m  n  y +  a  a (*) Khi a = y + by + c = ( y + m )( y + n ) Trong trường hợp a, b, c nguyên trước hết phân tích số nguyên a.c thành tích hai số nguyên m.n cho m < b, n < b sau chọn m, n thỏa mãn m + n = b Chú ý phương pháp áp dụng cho lớp lớp em chưa biết cách giải phương trình bậc hai Chính ta cần phải biết đẳng thức sở (*) 2.3.2 Tổ chức thực a Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx2 + c Cách giải Đặt biến phụ y = x2 áp dụng đẳng thức (*) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = 6x4 + 19x2 +15 Lời giải Đặt y = x2 ta có Q(y) = 6y2 + 19y +15 Hệ số a = 6, b = 19, c = 15 Tìm m, n cho m.n = a.c = 90 m + n = b = 19 với m < 19, n < 19 Do ta chọn m = 9, n = 10 Từ 6y2 + 19y +15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y + 3) = (2y + 3)(3y + 5) Từ suy ra: P(x) = 6x4 + 19x2 +15 = (2x2 + 3)(3x2 + 5) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x2 +3x)2 + x2 + 21x +10 Lời giải Biến đổi P(x) = (x2 +3x)2 + 7(x2 + 3x) +10 Đặt y = x2 +3x, ta có Q(y) = y2 +7 y + 10 Hệ số a = 1, b = 7, c = 10 Tìm m, n cho m.n = a.c = 10 m + n = b =7 Do ta chọn m = 2, n = Suy Q(y) = y2 + y + 10 = y2 + 2y +5y + 10 = y(y + 2) + 5(y + 2) = (y + 2)(y + 5) Từ suy ra: P(x) = (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x+5) = (x + 1)(x + 2)(x2 + 3x+5) b Đa thức dạng P(x) = a(a1x2 + b1x +c1)2 +bx(a1x2 + b1x +c1) + cx2 Cách giải Đặt biến phụ y = a1x2 + b1x +c1 áp dụng đẳng thức (*) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = 4(x2 + x +1)2 +5x(x2 + x +1) + x2 Lời giải Đặt y = x2 + x +1 Khi P(x) trở thành Q(y) = 4y2 + 5xy + x2 Hệ số a = 4, b = 5x, c = x2 Tìm m, n cho m.n = a.c = 4x2 m + n = b = 5x Do ta chọn m = 4x, n = x Từ Q(y) = 4y2 + (4x + x)y + x2 = (4y2 + 4xy ) + (xy + x2) = 4y(y + x) + x( y + x) = (x + y)(4y + x) Vậy P(x) = (x + x2 + x +1)(4x2 + 4x +4 + x) = (x2 + 2x +1)(4x2 + 5x + 4) = (x + 1)2(4x2 + 5x + 4) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x2 -1)2 - x(x2 -1) - 2x2 Lời giải Đặt y = x2 -1 Khi P(x) trở thành Q(y) = y2 - xy - 2x2 Hệ số a = 1, b = -x, c = -2x2 Tìm m, n cho m.n = a.c = - 2x2 m + n = b = - x Do ta chọn m = -2x, n = x Từ Q(y) = y2 - (-2x + x)y - 2x2 = (y2 - xy ) + (2xy - 2x2) = y(y - x) + 2x( y - x) = (y -x)( y + 2x) Vậy P(x) = (x2 - 1- x)( x2 - 1+ 2x) = (x2 - x -1)(x2 + 2x -1) Trường hợp đa thức có bậc P(x) = a(a1x2 + b1x +c1)4 +bx2(a1x2 + b1x +c1)2 + cx4 Ta xử lý tương tự bậc Cách giải Đặt y = (a1x2 + b1x +c1)2 áp dụng đẳng thức(*) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = 10(x2 - 2x +3)4 - 9x2(x2 - 2x +3)2 - x4 Lời giải Đặt y = (x2 - 2x +3)2 Khi P(x) trở thành Q(y) = 10y2 - 9x2y – x4 Hệ số a = 10, b = - 9x2, c = -x4 Tìm m, n cho m.n = a.c = - 10x4 m + n = b = - 9x2 Do ta chọn m = - 10x2, n = x2 Từ Q(y) = 10y2 + (-10x2 + x2)y – x4 = (10y2 - 10x2y ) + (x2y - x4) = 10y(y – x2) + x2( y – x2) = (y – x2) (10y + x2) Vậy P(x) = [(x - 2x + 3) - x ][ 10(x - 2x + 3) + x ] = (x2 - 2x + – x)( x2 - 2x + +x) [10( x + x + − x − 12 x + x ) + x ] = ( x2 - 3x + 3)( x2 - x + 3)(10x4- 80x3 + 101x2 – 120 x + 90) c Đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Cách giải Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) áp dụng đẳng thức (*) Có thể đặt y = (x + c)(x + d) y = x2 + (a+b)x Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 15 Lời giải Với a = 1, b = 2, c = 3, d = a + d = = b + c Biến đổi P(x) = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + P(x) trở thành Q(y) = y(y +2) – 15 = y2 + 2y -15 Hệ số a = 1, b = 2, c = -15 Tìm m, n cho m.n = a.c = - 15 m + n = b = Do ta chọn m = 5, n = -3 Từ Q(y) = (y2 + 5y) - (3y +15) =y (y+ 5) - 3(y +5) = (y+ 5)(y - 3) Suy P(x) = (x2 + 5x + 9)( x2 + 5x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x -1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) - 20 Lời giải Với a = -1, b = -3, c = -5, d = -7 a + d = -8 = b + c Biến đổi P(x) = (x - 1)(x - 7)(x - 3)(x - 5) – 20 = (x2 - 8x + 7)( x2 - 8x + 15) – 20 Đặt y = (x - 1)(x - 7) = x2 - 8x + P(x) trở thành Q(y) = y(y +8) – 20 = y2 + 8y - 20 Hệ số a = 1, b = 8, c = -20 Tìm m, n cho m.n = a.c = - 20 m + n = b = Do ta chọn m = 10, n = -2 Từ Q(y) = y2 + 8y – 20 = (y2 + 10y) - (2y + 20) = (y+ 10)(y - 2) Suy P(x) = (x2 - 8x +7+ 10)( x2 - 8x + - 2)= (x2 - 8x +17)( x2 - 8x +5) d Đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) + ex2 với a1b1 = c1d1 a2b2 = c2d2 Cách giải Đặt biến phụ y = (a1x + a2)(b1x + b2) áp dụng đẳng thức (*) Có thể đặt y = (c1x + c2)(d1x + d2) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (3x + 2)(3x - 5)(x – 1)(9x + 10) + 24x2 Lời giải Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 1.9 = c1d1 a2b2 = 2.(-5) = (-1).10 = c2d2 P(x) = (9x2 - 9x - 10)(9x2 + x - 10) +24x2 Đặt y = (3x + 2)(3x - 5) = (9x2 - 9x - 10), P(x) trở thành Q(y) = y(y + 10x) + 24x2 = y2 + 10xy + 24x2 Hệ số a = 1, b = 10x, c = 24x2 Tìm m, n cho m.n = a.c = 24x2 m + n = b = 10x Do ta chọn m = 6x, n = 4x Áp dụng đẳng thức (*) ta được: Q(y) = (y + 6x)(y + 4x) Vậy, suy P(x) = (9x2 - 3x - 10)(9x2 - 5x - 10) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x - 3)(x - 10)(x - 5)(x - 6) - 24x2 Lời giải Dễ thấy a1b1 = 1.1 = 1.1 = c1d1 a2b2 = (-3).(-10) = (-5).(-6) = c2d2 P(x) = (x2 - 13x + 30)(x2 -11x + 30) - 24x2 Đặt y = (x - 3)(x - 10) = (x2 - 13x + 30), P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2x) - 24x2 = y2 + 2xy - 24x2 Hệ số a = 1, b = 2x, c = - 24x2 Tìm m, n cho m.n = a.c = - 24x2 m+ n = b = 2x Do ta chọn m = 6x, n = - 4x Áp dụng đẳng thức (*) ta được: Q(y) = (y + 6x)(y - 4x) Vậy, suy P(x) = (x2 - 13x + 30 + 6x)( x2 - 13x + 30 - 4x) = (x2 - 7x + 30)( x2 - 17x + 30) e Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = -1 Cách giải Đặt biến phụ y = x2 + k biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử ay2 + bxy sử dụng đẳng thức (*) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + Lời giải Đặt y = x2 + => y2 = x4 + 2x2 + Biến đổi P(x) = (x4 + 2x2 + 1) + 6x3 +5x2 +6x = (x2 + 1)2 + 6x(x2 + 1) + 5x2 Từ Q(y) = y2 + 6xy + 5x2 Hệ số a = 1, b = 6x, c = 5x2 Tìm m, n cho m.n = a.c = 5x2 m + n = b = 6x Do ta chọn m = 5x, n = x ta có Q(y) = y2 + (5x + x)y + 5x2 = y2 + 5xy + xy + 5x2 = y(y + 5x) + x(y + 5x) = (y +x)(y + 5x) Từ suy P(x) = (x2 + 1+ x)(x2 +1 + 5x) =(x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = 2x4 + 3x3 - 9x2 - 3x + Lời giải Đặt y = x2 - => y2 = x4 - 2x2 + Biến đổi P(x) = 2(x4 - 2x2 + 1) + 3x3 - 5x2 - 3x = 2(x2 - 1)2 + 3x(x2 - 1) - 5x2 Từ Q(y) = 2y2 + 3xy - 5x2 Hệ số a = 2, b = 3x, c = -5x2 Tìm m, n cho m.n = a.c = -10x2 m + n = b = 3x Do ta chọn m = 5x, n = -2x ta có Q(y) = 2y2 + (5x - 2x)y - 5x2 = 2y2 - 2xy + 5xy - 5x2 = 2y(y - x) + 5x(y - x) = (y - x)(2y + 5x) Từ suy P(x) = (x2 - 1- x)(2x2 - + 5x) = (x2 - x- 1)(2x2 + 5x - 2) f Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + ak2, với k ≠ ± Cách giải Đặt biến phụ y = x2 + k biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử ay2 + bxy sử dụng đẳng thức (*) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + Lời giải Ta nhận thấy k = 2, nên ta đặt y = x2 + => y2 = x4 + 4x2 + Biến đổi P(x) = (x4 + 4x2 + 4) + 7x3 + 10x2 + 14x = (x2 + 2)2 + 7x(x2 + 2) + 10x2 Từ Q(y) = y2 + 7xy + 10x2 Hệ số a = 1, b = 7x, c = 10x2 Tìm m, n cho m.n = a.c = 10x2 m + n = b = 7x Do ta chọn m = 5x n = 2x ta có Q(y) = y2 + (5x + 2x)y + 10x2 = y2 + 5xy + 2xy + 10x2 = y(y + 5x) + 2x(y + 5x) = (y + 2x)(y + 5x) Từ suy P(x) = (x2 + + 2x)(x2 + + 3x) = (x2 + 2x + 2)(x2 + 3x + 3) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = 2x4 - 5x3 - 27x2 + 25x + 50 Lời giải Ta nhận thấy k = - 5, nên ta đặt y = x2 - => y2 = x4 - 10x2 + 25 Biến đổi P(x) = 2(x4 - 10x2 + 25) - 5x3 - 7x2 + 25x = 2(x2 - 5)2 - 5x(x2 - 5) - 7x2 Từ Q(y) = 2y2 - 5xy - 7x2 Hệ số a = 2, b = -5x, c = -7x2 Tìm m, n cho m.n = a.c = -14x2 m + n = b = - 5x Do ta chọn m = -7x n = 2x ta có Q(y) = 2y2 + (-7x + 2x)y - 7x2 = 2y2 - 7xy + 2xy - 7x2 = y(2y - 7x) + x(2y - 7x) = (2y - 7x)(y +x) Từ suy P(x) = [ 2(x2 - 5) -7x) ] (x2 - + x) = (2x2 - 7x - 10)(x2 + x - 5) g Đa thức dạng P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = Cách giải Đặt biến phụ y = x + d2 b2 d biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử y2 + b bxy sử dụng đẳng thức(*) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + Lời giải Dễ thấy b = -1, d = 2, e = Đặt y = x2 - => y2 = x4 - 4x2 + Biến đổi P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + = (x4 - 4x2 + 4) - x(x2 - 2) - 6x2 = (x2 -2)2 - x(x2 - 2) - 6x2 Từ Q(y) = y2 - xy - 6x2 Hệ số a = 1, b = -x, c = -6x2 Tìm m, n cho m.n = a.c = 1.(-6x2) m + n = b = -x Do ta chọn m = 2x n = - 3x, ta có Q(y) = y2 + (2x - 3x)y - 6x2 = y2 + 2xy - 3xy - 6x2 = y(y + 2x) - 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y - 3x) Vậy P(x) = (x2 - + 2x)( x2 - - 3x) = (x2 + 2x -2)( x2 - 3x - 2) Chú ý: Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 ta xét đa thức Q( x) = P ( x) thực a theo cách 10 h Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + (x + b)4 + c Cách giải Đặt biến phụ y = x + a+b biến đổi P(x) dạng mx4 + nx2 + p Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x +2)4 + (x+8)4 – 272 Lời giải Đặt y = x + Lúc P(x) trở thành Q(y) = (y - 3)4 + (y +3)4 – 272 = 2y4 + 108y2 + 110 = 2(y4 + 54y2 +55) = 2( y4 + 55y2 - y2 - 55) ( áp dụng đẳng thức(*)) = 2(y2 + 55)(y2 - 1) = 2(y2 + 55)(y - 1)(y+1) Vậy P(x) = 2(x2 + 10x + 25 +7)(x + – 1)(x + +1) = 2(x2 + 10x + 32)(x + 4)(x + 6) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x -3)4 + (x-1)4 – 16 Lời giải Đặt y = x – Lúc P(x) trở thành Q(y) = (y - 1)4 + (y +1)4 – 16 = 2y4 + 12y2 - 14 = 2(y4 + 6y2 - 7) = 2( y4 + 7y2 - y2 - 7) ( áp dụng đẳng thức(*)) = 2(y2 +7)(y2 - 1) = 2(y2 +7)(y - 1)(y+1) Vậy P(x) = 2(x2 – 4x + +7)(x – – 1)(x - +1) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x - 1) • Nhận xét: Ta thấy việc phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử sở cho việc thực tốn như: giải phương trình bậc bốn ẩn trở lên, toán rút gọn,… Đối với phương trình bậc bốn ẩn trở lên ta phân tích đa thức vế trái phương trình thành nhân tử để đưa phương trình tích đa thức bậc để tìm nghiệm 11 Ví dụ giải phương trình: a) (x2 +3x)2 + x2 + 21x +10 = (Dạng a) b) (x -1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) - 297 = (Dạng c) c) x5 + 7x4 + 14x3 + 14x2 + 4x = (Dạng f) d) (x +2)4 + (x+8)4 = 272 (Dạng h) Lời giải a) (x2 +3x)2 + x2 + 21x +10 =  (x2 +3x)2 + 7(x2 + 3x) +10 = Đặt y = x2 +3x, ta có: y2 + y + 10 =  y2 + 2y +5y + 10 =  y(y + 2) + 5(y + 2) =  (y + 2)(y + 5) =  (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x+5) =  (x2 + 3x + 2) = (vì x2 + 3x+5 > 0)  (x + 1)(x + 2) = Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = -2 b) (x -1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) - 297 = (x2 + 4x - 5)( x2 + 4x - 21) - 297 = Đặt ẩn phụ: y = x2 + 4x – 5, ta có t (t - 16) - 297 =  t2 - 16t - 297 =  (t - 27)(t + 11) = (Áp dụng đẳng thức (*))  (x2 + 4x - - 27)(x2 + 4x - +11) =  (x2 + 4x - 32)(x2 + 4x + 6) =  (x2 + 4x - 32) = (do x2 + 4x + >0)  (x - 4)(x + 8) = Vậy phương trình có nghiệm x = x = -8 c) x5 + 7x4 + 14x3 + 14x2 + 4x =  x(x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + 4) =  x= x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + = (1) Ta đặt y = x2 + => y2 = x4 + 4x2 + (1) (x4 + 4x2 + 4) + 7x3 + 10x2 + 14x = 12 (x2 + 2)2 + 7x(x2 + 2) + 10x2 =  y2 + 7xy + 10x2 =  y2 + (5x + 2x)y + 10x2 =  y2 + 5xy + 2xy + 10x2 =  y(y + 5x) + 2x(y + 5x) =  (y + 2x)(y + 5x) =  (x2 + + 2x)(x2 + + 3x) = ( y = x2 + 2)  (x2 + 2x + 2)(x2 + 3x + 3) = (phương trình tích vơ nghiệm vế trái dương) Vậy phương trình có nghiệm x = d) (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Đặt ẩn phụ: y = x + 5, ta có: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272  (y - 3)4 + (y + 3)4 = 272  2y4 + 108y2 + 110 =  2(y4 + 54y2 +55) =  2( y4 + 55y2 - y2 - 55) = ( áp dụng đẳng thức(*))  2(y2 + 55)(y2 - 1) =  2(y2 + 55)(y - 1)(y+1) =  2(x2 + 10x + 25 +7)(x + – 1)(x + +1) =0  (x + 4)(x + 6) = ( x2 + 10x + 32 >0 ) Vậy phương trình có nghiệm x = - x = - Đối với toán rút gọn biểu mà mẫu đa thức bậc bốn ẩn ta thấy vấn đề mấu chốt phân tích mẫu thành nhân tử, từ tìm mẫu chung quy đồng, Ví dụ thực phép tính (rút gọn) sau: A= 4x − − x + x + x + 5x + x + x + x + x + Lời giải (Đa thức x4 + 6x3 +7x2 + 6x + phân tích thành nhân tử ví dụ dạng e) A= 4x − − x + x + x + 5x + x + x + x + x + 13 4x − − x + x + x + 5x + x + x + x + 5x + = ( 2( x + x + 1) − ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1)( x + x + 1) 2 )( ) 2 x + 5x + x + x + x + 5x + 1 = x + x +1 = ( )( ) Ví dụ biểu thức A trên, ta lại yêu cầu, tìm giá trị lớn nhất biểu thức A, việc rút gọn A= 4x − − x + x + x + 5x + x + x + x + x + Lời giải Sau rút gọn ta có: A= x + x +1 Để A có giá trị lớn x2 + x + có giá trị nhỏ Ta có: 1 3  x + x + =  x +  + ≥ , Dấu “=” xảy x = − 2 4  Vậy giá trị lớn A = x = − • Bài tập vận dụng Phân tích đa thức sau thành nhân tử A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2+ 5x + 2) – B(x) = (12x – 1) (6x – 1) (4x – 1) (3x – 1) – 330 C(x) = 4(x2 + 11x + 30)(x2 + 22x + 120) – 3x2 D(x) = (7 – x)4 + (5 – x)4 – E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16 F(x) = x4 – 3x3 - 6x2 + 3x + G(x) = 3x4 + 6x3- 33x2 - 24x + 48 H(x) = (x2 + 4x +8)2 + 3x(x2 + 4x +8) + 2x2 K(x) = -6(-x2 - x + 1)4 + x2(-x2 - x +1)2 + 5x4 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong năm học 2017 - 2018 đưa đề tài vào áp dụng, với đối tượng học sinh em nơi công tác, số lượng học sinh nhau, mức độ đề 14 giống Tuy nhiên kết thu khả quan, em biết cách phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử thục Không thế, em biết vận dụng để thực cho toán biến đổi đồng nhất, giải phương trình bậc bốn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…, kiểm tra với nội dung đề sau: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) (x2 +x)2 + 9x2 + 9x + 14 2) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 3) (x + 2)(x + 3)(x – 7)(x - 8) -144 Kết Số học sinh tham gia kiểm tra Điểm Điểm từ đến 6,5 Điểm từ 6,5 đến Điểm từ trở lên SL % SL % SL % SL % 11 0 20 60 20 Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Sau thời gian tìm tòi, nghiên cứu tài liệu, kết hợp với kinh nghiệm trình giảng dạy giúp đỡ đồng nghiệp, tơi hồn thành đề tài “Phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử thơng qua đặt ẩn phụ chương trình Tốn 8” Những vấn đề trình bày đề tài chọn lọc qua số tài liệu kinh nghiệm rút trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Các tập mang tính điển hình để làm mẫu khối lượng lớn tập mà sưu tầm được, chắn chúng khơng hồn hảo định hoàn toàn dựa nhận định chủ quan thân tôi, chưa phải hệ thống tập vận dụng đầy đủ Tài liệu với mong muốn giúp em nắm phương pháp phân tích đa thức bậc bốn ẩn, từ lấy làm sở cho việc giải tập dạng khác Khi đề tài áp trường nơi cơng tác cho em có học lực từ trung bình trở lên Qua nhiều lần kiểm tra đánh giá, nhận thấy, nắm bắt phương pháp phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử, tảng, vấn đề có tính then chốt để giải tập Kết thu tích cực, số học sinh biết phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử tăng lên, ngồi em biết phân tích nhanh nắm phương pháp, khơng phải lần 15 mò tách ghép tìm nhân tử chung trước kia, hiệu tăng lên rõ rệt; đồng thời em biết giải tập dạng khác có sử dụng tới việc phải phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử Đây tín hiệu tích cực để đề tài tiếp tục nghiên cứu, hoàn thiện nhân rộng áp dụng 3.2 Kiến nghị Mặc dù nỗ lực trình nghiên cứu, song lực thân hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp để tơi hoàn thiện đề tài tốt Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thọ Xuân, ngày 15 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Đỗ Viết Quế Lê Văn Thắng 16 MỤC LỤC Mở đầu………………………………………………………………… …… 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm…………………………………………… 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm………………………………… 2.1 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………… 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện…………………………………………… 2.3.1 Giải pháp………………………………………………………………… 2.3.2 Tổ chức thực hiện………………………………………………………… a Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx2 + c…………………………………………… b Đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d c Đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d d Đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) + ex2 e Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = -1 f Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2.a với k ≠ ± g Đa thức dạng P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2 …………………… b2 h Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + (x + b)4 + c……………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………………………… Kết luận kiến nghị………………………………………………………… 1 2 3 4 4 10 11 14 15 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán tập (Nhà xuất giáo dục) Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ (Nhà xuất giáo dục 2006) Bi dng lực tự học Toán (Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh) Nguồn internet 18 ... việc phân tích đa thức thành nhân tử việc giải dạng toán khác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chỉ phương pháp dạy loại Phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ chương trình Tốn 8 ... Để phân tích đa thức thành nhân tử, cách thơng thường khéo léo phân tích đa thức thành hạng tử có nhân tử chung Với cách làm khó khăn thách thức cho em phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử. .. thấy việc phân tích đa thức bậc bốn ẩn thành nhân tử sở cho việc thực toán như: giải phương trình bậc bốn ẩn trở lên, tốn rút gọn,… Đối với phương trình bậc bốn ẩn trở lên ta phân tích đa thức vế