Đang tải... (xem toàn văn)
Một phương pháp giải toán hình học không gian hiệu quả sẽ giúp học sinh hứng thú hơn trong việc học. Dưới đây là toàn tập các bí quyết giải toán hình học không gian giúp bạn không những thấy hứng thú hơn với môn toán hình đầy trừu tượng này mà còn giải các bài toán nhanh chóng và đạt điểm cao.
CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHƯƠNG 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHỦ ĐỀ 1: THỂ TÍCH A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tính thể tích khối đa diện Khối đa diện Công thức NGUYỄN THỊ LANH Hình minh họa CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN V = S.h Khối chóp Khối lăng trụ Hình hộp chữ nhật Hình lập phương Với S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp V = S.h Với S diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ V = a.b.c Với a, b, c ba kích thước hình hộp V = a3 Với a độ dài cạnh hình lập phương NGUYỄN THỊ LANH CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Khối chóp cụt ( ) h S + S'+ SS' Với S, S’ diện tích hai đáy, h chiều cao khối chóp cụt V= Chú ý Hình chóp Là hình chóp có đáy đa giác cạnh bên nhau, hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy trùng với tâm đ ường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Hình lăng trụ Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác đều, cạnh bên vng góc với mặt đáy Hình chóp tam giác Là hình chóp có đáy tam giác đều, mặt bên tam giác cân đỉnh, hình chiếu vng góc đỉnh trùng với tâm đ ường tròn ngoại tiếp tam giác đáy (cũng trọng tâm, trực tâm) Tứ diện Là hình chóp có tất mặt tam giác đều, hình chiếu vng góc đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy (cũng trọng tâm, trực tâm) Tỉ số thể tích NGUYỄN THỊ LANH CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Cho hình chóp S.ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S Khi đó: VSA'B'C' SA' SB' SC' = VSABC SA SB SC Một số lưu ý xác định đường cao khối chóp Khối chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy cạnh đường cao Khối chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy đường cao hình chóp đường thẳng thuộc mặt bên, vng góc với giao tuyến mặt bên mặt đáy Khối chóp có hai mặt vng góc với đáy giao tuyến hai mặt đường cao khối chóp Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy Một số lưu ý tính diện tích đa giác đáy Hệ thức lượng tam giác vuông 2 +) AB + AC = BC (Định lí Pitago) +) AH.BC = AB.AC 2 +) AB = BH.BC; AC = CH.BC +) AH = BH.CH 1 = + 2 AB AC +) AH Hệ thức lượng tam giác thường 2 +) a = b + c − 2bc.cos A (Định lí cơsin) a b c = = = 2R +) sin A sin B sinC (Định lí sin) (R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam ∆ABC) Cơng thức tính diện tích tam giác 1 abc S = a.ha = ab.sin A = = p.r = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 2 4R NGUYỄN THỊ LANH CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN a + b+ c với nửa chu vi tam giác; R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác p= Chú ý: Diện tích tam giác cạnh a là: S= a a2 h= , với đường cao B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thể tích khối chóp V = S ×h, Với S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp BÀI TẬP MẪU Cơ Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân t ại B, BA = BC = a c ạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC V= a3 B V= a3 C V= a3 D V= 2a3 A Hướng dẫn giải ABC ) Em có: SA ⊥ ( , suy SA đường cao hình chóp SA = 2a ; 1 a2 S∆ABC = BA ×BC = a ×a = 2 Diện tích đáy : Vậy thể tích khối chóp 1 a a3 VS.ABC = SA ×S ∆ABC = 2a × = 3 → Đáp án A Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD A V= a3 NGUYỄN THỊ LANH B V= a3 V= C Hướng dẫn giải 2a3 D V= a3 CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ABCD ) ⊥( Theo giả thiết, em có SA ⇒ SA đường cao hình chóp Từ hình vẽ: ∆SAB vng A, SB = a 3, AB = a SA = SB2 − AB2 = 3a − a = 2a = a S = a ×a = a2 Diện tích đáy là: ΔABC Vậy thể tích khối chóp là: 1 a3 VS.ABCD = SA ×S ABCD = ×a ×a = 3 → Đáp án A · Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, AB = a, BAC = 60 cạnh bên SA vng góc với đáy, SA = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC A V= 4a3 a3 B V= V= C Hướng dẫn giải 2a3 D V= 2a3 ABC ) Em có: SA ⊥ ( ⇒ SA đường cao hình chóp Xét ∆ ABC vuông B nên · tan BAC = BC ⇒ BC = tan600.AB = 3.a = a AB 1 a2 S ∆ABC = AB ×BC = a ×a = 2 1 a2 a3 VS.ABC = SA ×S∆ABC = a × = 3 2 → Đáp án B Câu 4: Hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân t ại B, BA = a C ạnh bên SA vng góc với đáy, góc tạo cạnh bên SC với mặt phẳng đáy ( khối chóp S.ABC A V = a 6 B V= a3 ABC ) V= C Hướng dẫn giải o 45 Tính theo a thể tích a3 NGUYỄN THỊ LANH D V = a CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Em có: SA ⊥ ( ABC ) ( ) ( ) · ABC = SC;AC · ⇒ SC; = SCA = 45O ( ) · Theo giả thiết ∆ABC vuông cân B, BA = BC = a 2 ⇒ AC = BA + BC = a SA · tanSCA = ⇒ SA = tan 450 AC = a 2; AC Em thấy 1 a2 SΔABC = BA ×BC = a ×a = 2 Diện tích ∆ABC 1 a a3 VS.ABC = SA ×S ∆ABC = a × = 3 → Đáp án B ♥ Vận dụng Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SD = 3a , hình chiếu vng góc S mặt phẳng khối chóp S.ABCD A V= 2a3 B V= ( ABCD ) a3 trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích V= C Hướng dẫn giải a2 D V= 8a3 Gọi H trung điểm AB; ABCD ) Em có: SH ⊥ ( ⇒ SH đường cao hình chóp Do SH ⊥ HD ( ) SH = SD2 - DH2 = SD2 - AD2 + AH2 = 2a Diện tích đáy là: S ABCD = 2a ×2a = 4a Thể tích khối chóp 1 8a3 VS.ABCD = SH ×S ABCD = 2a ×4a = 3 → Đáp án D Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên cạnh a vuông với mặt đáy NGUYỄN THỊ LANH ( SBC ) tam ( ABC ) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A V= a2 a3 B V = 24 V= a3 24 C Hướng dẫn giải D V= a3 1 AH = BC = a 2 Gọi H trung điểm BC, ∆ABC vuông cân A nên SH ⊥ BC ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC Áp dụng vào em có: ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ∆SBC nên SH = a2 a S ∆ABC = BC ×AH = Thể tích khối chóp là: 1 a a2 a3 VS.ABC = SH ×S∆ABC = × = 3 24 → Đáp án B Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc v ới m ặt SBC ) ABC ) phẳng đáy, mặt phẳng ( tạo với mặt phẳng đáy ( góc 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC V= a3 B V= 2a3 C V= a3 D V= a3 A Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm BC, AI = a a2 ,S ∆ABC = BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ SI; BC ⊥ SA BC ⊥ AI, ta có ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC SI ⊂ ( SBC ) ,SI ⊥ BC AI ⊂ ( ABC ) , AI ⊥ AC Áp dụng vào em có: · ¶ = 600 ⇒ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = (·SI, AI ) = SIA ¶ = SA ⇒ SA = tan600.AI = 3a tanSIA AI Xét∆SAI vuông A, 1 3a a a3 VS.ABC = SA.S ∆ABC = = 3 Thể tích khối chóp là: NGUYỄN THỊ LANH → Đáp án A CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB = a, BC = 2a Hai SAB ) SAD ) ABCD ) SA = a 11 mặt bên ( ( vng góc với mặt phẳng đáy ( , Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD A V= 2a3 11 B V= 2a3 11 V= C Hướng dẫn giải a3 11 D V = 2a 11 ( SAB ) , ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA S ABCD = AB ×BC = a ×2a = 2a ; Thể tích khối chóp là: 1 2a3 11 VS.ABCD = SA ×SABCD = a 11 ×2a = 3 Đáp án A → Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, AB = a , SA = SB = SC ABC ) Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC V = a3 B V= a3 C V= a3 D V= a3 A Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm BC ⇒ HA = HB = HC Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Mặt khác: SA = SB = SC nên SH trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ( ) · ABC = SAH SA, ( ) · = 600 ⇒ SH ⊥ ( ABC ) , ∆ABC vuông cân A: AC = AB = a ⇒ BC = 2a, AH = a ∆SHA vuông H: SH = AH ×tan60 = a 1 S∆ABC = AB ×AC = a ×a = a2 2 VS.ABC 1 a3 = SH ×S ∆ABC = a ×a = 3 * Nâng cao NGUYỄN THỊ LANH → Đáp án B CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng t ại A D; AB = AD = 2a, CD = a, góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) 60 Gọi I trung điểm cạnh SBI) SCI ) ABCD ) AD Biết hai mặt phẳng ( ( vng góc với mặt phẳng ( Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD A V= 3a3 15 B V= a3 15 V= C Hướng dẫn giải a3 15 D V= 2a3 15 ( SBI ) ⊥ ( ABCD ) ( SCI ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) ( SBI ) ∩ ( SCI ) = SI 2a + a S ABCD = ×2a = 3a ; Em có: Kẻ IK ⊥ BC, BC ⊥ SI ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ BC ⊥ SK · ¶ = 60 ) = SKI ( (·SBC) , ( ABCD) ) = ( SK,IK 1 S∆ABI = AB ×IA = 2a ×a = a 2 a2 3a2 S∆CDI = CD.ID = ;S ∆ICB = S ABCD − S ∆ABI − S ∆CDI = ; 2 Mặt khác em tính được: BC = ( AB − CD) 2S ∆ICB 3a 15a SI = IK ×tan600 = + AD2 = a ⇒ IK = BC = 5 ; 15a3 VS.ABCD = SI ×S ABCD = → Đáp án A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc v ới mặt phẳng đáy, SA = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC V = 2a 3 B V= 2a3 C V= a3 D V= a3 A Câu 12: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi m ột vng góc v ới nhau; AB = 6a, AC = 7a, AD = 4a Gọi M,N,P tương ứng trung ểm c ạnh BC, CD, DB Tính th ể tích V tứ diện AMNP V = a3 A 10 B V= 2a3 3 C V = 7a NGUYỄN THỊ LANH D V= 28a3 CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2a 19 a 19 A Trong ( SHC ) , kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) B 2a C 19 Hướng dẫn giải a D 19 ( 1) · · ∆ADM = ∆DCN ( c.g.c ) ⇒ ADM = DCN Em có · · · · ⇒ DCH + CDH = ADM + CDM = 90° ⇒ DM ⊥ CN Mà DM ⊥ SH ⇒ DM ⊥ ( SHC ) ⇒ DM ⊥ HK Từ ( ) , ( 2) SC ( 2) ⇒ HK đoạn vng góc chung DM ⇒ HK = d ( DM;SC ) Áp dụng hệ thức lượng ∆CDN vuông D, đường cao DH, em có: CD2 = CN.HC ⇒ HC = CD2 2a = CN Áp dụng hệ thức lượng ∆ SHC vng H, đường cao HK, em có: 1 1 19 = 2+ 2= 2+ 2= HK SH HC 3a 4a 12a2 ⇒ d ( DM;HC ) = 2a 19 → Đáp án C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 8: Cho hình lập phương ACBD.A’B’C’D’ cạnh a Tính khoảng cách gi ữa hai đ ường thẳng AD CC’ a a a A a B C D Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M trung ểm c BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BB’ ? a A a B a a C D Câu 10: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = BC = a, AA' = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BD’ ? NGUYỄN THỊ LANH 83 CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A a a B a C a B a C a D SA ⊥ ( ABCD ) Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, Gọi M, N trung điểm AB CD, H hình chiếu A SD Tính kho ảng cách gi ữa hai đường thẳng MN AH ? a A a D ⊥ ABCD ) Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ( , SB hợp với đáy góc 45° Khoảng cách hai đường thẳng AD SC a a a 2 A a B C D Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Khoảng cách gi ữa hai đ ường thẳng BC’ CD’ a a a a A B C D Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh G ọi M, N l ần l ượt trung điểm BC CD, SA SB A B ⊥ ( ABCD) , SA = Khoảng cách gi ữa hai đ ường thẳng MN C D Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng có AB = BC = a, c ạnh bên AA’ = a , M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B’C a a a a A B C D Câu 16: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác đ ều c ạnh a Hình chi ếu vng góc A’ lên mặt phẳng thẳng BB’ A’H A a ( ABC ) trùng với trung điểm H BC Khoảng cách gi ữa hai đ ường a B a C a D CA = a,SA ⊥ ( ABC ) , SA = h Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân t ại C, Gọi D trung điểm AB Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SD ? ah a h h 2 2 2 2 a + 4h a + h h + 4a a + h A B C D 84 NGUYỄN THỊ LANH CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CA = a,SA ⊥ ( ABC ) , SA = h Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân C, Gọi D trung điểm AB khoảng cách gi ữa hai đ ường th ẳng BC SD x, kho ảng x cách hai đường thẳng AC SD y Tính tỉ số y ? a2 a 2 A B h C h + a D Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh a Trên cạnh AB CD lấy điểm M, N cho BM = CN = x Tìm x cho khoảng cách hai a đường thẳng A’C MN ? a a a A B C D Câu 20: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có ABCD hình vng, kho ảng cách gi ữa hai x= a P đường thẳng BD’ AA’ Cắt hình lập phương mặt phẳng ( ) qua đường chéo BD’, cho thiết diện thu có diện tích nhỏ Tính diện tích thi ết di ện ? 6 A B C D Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc v ới m ặt a phẳng đáy, khoảng cách hai đường thẳng SC BD Tính SA ? a a a A B C D a Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân t ại C, G tr ọng tâm ∆ABC, SG ⊥ ( ABC ) , VS.ABC = 10 A 10 , SG = AB Khoảng cách hai đường thẳng SC AB 10 B 20 C D Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD nửa l ục giác đều, SA vng góc với mặt phẳng đáy, AD đáy lớn, AD = 2a, BC ̸ ̸ AD Gọi M trung điểm của AD Biết kho ảng a cách hai đường thẳng MB SD Tính SA ? a a a A B C NGUYỄN THỊ LANH D a 85 CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân t ại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng ( SAC ) ( SAB) vng góc với đáy ( ABC ) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc tạo b ởi ( SBC ) ( ABC ) 60° Khoảng cách hai đường thẳng AB SN ? a 39 a 39 a 13 2a 39 A 13 B 39 C 13 D 13 Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chi ếu c S lên m ặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc AB cho HA=2HB Góc gi ữa đ ường th ẳng SC ( ABC ) 60° Khoảng cách hai đường thẳng SA BC a 42 a 42 a a 10 A B 12 C D Câu 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng c ạnh a G ọi E ểm đ ối xứng D qua trung điểm SA, M trung ểm c AE, N trung ểm c BC Tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ? a a a a A B C D Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, m ặt SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD) Khoảng cách từ trung a điểm I AB đến mặt phẳng Gọi F trung điểm cạnh AD Khoảng cách hai đường thẳng CF SB ( SCD) a A 12 a B A D A A C A 1 B D a C ĐÁP ÁN 1 B C 2 B D a D C D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 8: 86 NGUYỄN THỊ LANH C A C A A C CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN AD ⊥ CD Vì ABCD hình vng nên Tương tự em có Từ ( CC’ ) , ( 2) ⇒ ( 1) ( 2) CC' ⊥ CD CD đoạn vng góc chung AD ⇒ d ( AD;CC') = CD = a → Đáp án A Câu 9: Trong ( ABCD) , kẻ BH ⊥ AM ( H ∈ AM ) ( 1) Em có BB' ⊥ ( ABCD) ⇒ BB' ⊥ BH ( 2) , Từ ( ) ( ) ⇒ BH đoạn vng góc chung AM; BB’ Trong tam giác ABM vuông B, đường cao BH, em 1 1 = + = 2+ = 2 2 BH AB BM a a a a ⇒ BH = 2÷ có: → Đáp án A Câu 10: AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ ( BDD'B') ⇒ AC ⊥ BD' AC ⊥ BB' Có Gọi O tâm hình vng ABCD Trong ( Vì Từ BDD'B') , kẻ OK ⊥ BD' ( K ∈ BD') ( ) AC ⊥ ( BDD'B') ⇒ AC ⊥ OK ( ) , ( 2) ⇒ BD’ Trong DH ( 2) OK đoạn vuông góc chung AC ⇒ OK = d ( AC;BD') ( BDD'B') , kẻ DH ⊥ BD' ( H ∈ BD') ⇒ OK ̸ ̸ OK BO = = Theo định lý Ta-lét em có: DH BD Tam giác BDD’ vuông D, đường cao DH nên 1 1 = + = + 2= 2⇒ 2 2 3a a DH BD DD' 4a 4a DH = ⇒ OK = a 3 → Đáp án C ( NGUYỄN THỊ LANH ) 87 CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 11: Em có AH ⊂ ( SAD) ,MN SAD) ̸ ̸ AD nên MN ̸ ̸ ( ⇒ d ( MN;AH ) = d ( MN; ( SAD ) ) = d ( M; ( SAD ) ) MA ⊥ SA a ⇒ MA ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( M; ( SAD ) ) = Mà MA ⊥ AD a ⇒ d ( MN;AH ) = → Đáp án B Câu 12 : ABCD ) Em có AB hình chiếu SB ( · ⇒ ( SB; ( ABCD) ) = ( SB;AB ) = SBA = 45° ⇒ SA = AB = a ̸ ̸ BC nên AD ̸ ̸ Vì AD ( SBC ) ⇒ d ( AD;SC ) = d ( AD; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) Trong ( SAB) , kẻ AH ⊥ SB ( H ∈SB ) Em chứng minh AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = d ( A; ( SBC ) ) Trong tam giác vuông AHB, ⇒ d ( AD;SC ) = AH = AH = AB.sin 45° = a 2 a → Đáp án B Câu 13: Gọi O tâm hình vng A’B’C’D’ Trong ( BB'O ) , kẻ B'H ⊥ BO ( H ∈ BO ) ( 1) BA'C' ) Vì CD' ̸ ̸ BA' ⇒ CD' ̸ ̸ ( Em lại có BC' ⊂ ( BA'C') ,CD' ̸ ̸ ⇒ d ( CD';BC') = d ( CD'; ( BA 'C') ) ( BA'C') = d ( D'; ( BA 'C' ) ) = d ( B'; ( BA'C' ) ) A'C' ⊥ BB' ⇒ A'C' ⊥ ( BB'O ) ⇒ A'C' ⊥ B'H ( 2) Mà A'C' ⊥ B'O Từ 88 ( ) , ( 2) ⇒ B'H ⊥ ( BA'C') ⇒ B'H = d ( B'; ( BA'C') ) NGUYỄN THỊ LANH CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Áp dụng hệ thức lượng ∆BB'O vng B’, đường cao B’H em có : 1 1 a = + = + = ⇒ B'H = 2 B'H BB' B'O a a a → Đáp án C Câu 14: Gọi E giao điểm MN AC, O tâm hình vng ABCD Vì SB ⊂ ( SBD ) , MN ̸ ̸ ( SBD) OE ⇒ d ( MN;SB ) = d ( MN; ( SBD ) ) = d ( E; ( SBD ) ) = OA d ( A; ( SBD ) ) = d ( A; ( SBD ) ) Trong ( SAC ) , kẻ AK ⊥ SO ( K ∈SO ) ( 1) BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ AK Vì BD ⊥ SA Từ ( 2) ( 1) , ( 2) ⇒ AK ⊥ ( SBD) ⇒ AK = d ( A; ( SBD) ) Áp dụng hệ thức lượng ∆SAO vuông A, 1 1 = + = +2= đường cao AK, em có: AK SA AO ⇒ AK = ⇒ d ( MN;SB) = 3 → Đáp án C Câu 15: Gọi N trung điểm BB’ Vì AM ⊂ ( AMN ) ,B'C ̸ ̸ ( AMN ) ⇒ d ( AM;B'C ) = d ( B'C; ( AMN ) ) = d ( C; ( AMN ) ) = d ( B; ( AMN ) ) Trong ( M trung điểm BC ) ( ABC ) , kẻ BH ⊥ AM, ( BNH ) , kẻ BK ⊥ HN AM ⊥ BH ⇒ AM ⊥ ( BHN ) ⇒ AM ⊥ BK AM ⊥ BN Em thấy BK ⊥ HN ⇒ BK ⊥ ( AMN ) ⇒ BK = d ( B; ( AMN ) ) Mà Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông BHN tam giác vng ABM, em có : 1 1 1 a = + = + 2+ = ⇒ BK = 2 2 BK BN BH BN BA BM a → Đáp án C Câu 16: NGUYỄN THỊ LANH 89 CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Vì A'H ⊂ ( AA'H ) ,BB' ̸ ̸ ( AA 'H ) ⇒ d ( BB';A'H ) = d ( BB'; ( AA'H ) ) = d ( B; ( AA'H ) ) Em thấy BH ⊥ A 'H,BH ⊥ AH ( ∆ABC có H trung điểm ) ⇒ BH ⊥ ( AA 'H ) ⇒ BH = d ( B; ( AA 'H ) ) a a BH = BC = ⇒ d ( BB';A'H ) = 2 Mà → Đáp án C Câu 17: Gọi I trung điểm AC DI đường trung bình tam giác ACB ⇒ BC ̸ ̸ DI ⇒ BC ̸ ̸ ( SDI ) ⇒ d ( BC;SD) = d ( BC; ( SDI ) ) = d ( C; ( SDI ) ) Vì DI ̸ ̸ BC ⇒ DI ⊥ AC Mà DI ⊥ SA ⇒ DI ⊥ ( SAC ) ⇒ DI ⊥ SI ( SDI ) ∩ ( SAC ) = SI ⇒ ( SDI ) ⊥ ( SAC ) DI ⊥ SI Mặt khác Trong ( SAC ) , kẻ CK ⊥ SI ⇒ CK ⊥ ( SDI ) ⇒ CK = d ( C; ( SDI ) ) ah a2 SSIC = SA.IC = ; SI = h2 + = a + 4h2 4 Em có ah 2SSIC ah ⇒ CK = = = SI a + 4h2 a + 4h2 → Đáp án A Câu 18: Tương tự em tính x = d ( BC;SD ) = ah a2 + 4h2 ABC ) , Trong ( dựng điểm E cho AIDE hình chữ nhật ⇒ AI ̸ ̸ DE ⇒ AC ̸ ̸ ( SDE ) ⇒ d ( AC;SD ) = d ( AC; ( SDE ) ) = d ( A; ( SDE ) ) 90 NGUYỄN THỊ LANH CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN DE ⊥ SA ⇒ DE ⊥ ( SAE ) ⇒ ( SDE ) ⊥ ( SAE ) Em có DE ⊥ AE Trong ( SAE) , kẻ AH ⊥ SE ( H ∈ SE) ⇒ AH ⊥ ( SDE ) ⇒ AH = d ( A; ( SDE ) ) Em có AH.SE = AS.AE ( = 2SSAE ) ah ⇒y= a + 4h 2 =x⇒ a h AS.AE ah ⇒ AH = = = 2 SE 2 a + 4h a + 4h x = y → Đáp án D Câu 19: A'BC ) Em có MN ̸ ̸ BC ⇒ MN ̸ ̸ ( ⇒ d ( MN;A'C ) = d ( MN; ( A'BC ) ) = d ( M; ( A'BC ) ) x HA ( K ∈ A'B) ⇒ MK = H = A'B ∩ AB', MK Gọi ̸ ̸ Vì MK ⊥ A'B A'B ⊥ AB' ⇒ CB ⊥ ( ABB'A') CB ⊥ MK ⇒ MK ⊥ ( A'BC ) ⇒ MK = d ( M; ( A'BC ) ) MK = a x a a ⇒ = ⇒x= 3 Mà → Đáp án A Câu 20: NGUYỄN THỊ LANH 91 CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Đặt AB = x ( x > ) DD'B'B ) ,BD' ⊂ ( DD'B'B ) Có AA' ̸ ̸ ( ⇒ d ( AA';BD') = d ( AA'; ( DD'B'B ) ) = d ( A'; ( DD'B'B ) ) A'H ⊥ B'D' ( H ∈ B'D' ) kẻ A'H ⊥ B'D' ⇒ A'H ⊥ ( DD'B'B ) Em thấy A'H ⊥ BB' Trong ( A'B'C'D') , ⇒ d ( A'; ( DD'B'B ) ) = A 'H = Giả sử x 2 = ⇒ x = 2 ( P) ∩ AA' = { M} , ( P ) ∩ CC' = { N} Khi thiết diện hình lập phương cắt Trong ( P) ( MBND') , kẻ MK ⊥ BD' ( K ∈ BD') hình bình hành BMD’N Em có SBMD'N = 2.SBMD' = BD'.MK = 3.MK S Vậy BMD'N nhỏ MK nhỏ hay MK đường vng góc chung AA’ BD’ ⇒ MK = A 'H = S BMD'N = = Khi 2 → Đáp án A Câu 21: Kẻ OH ⊥ SC ( H ∈ SC ) Em có Từ ( 1) BD ⊥ AC,BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ OH ( 2) ( 1) , ( 2) ⇒ OH đoạn vng góc chung hai đường thẳng BD SC Đặt ⇒ OH = d ( BD;SC ) SA = x ( x > ) SA a x a · OH = OC.sinOCH = OC = = SC x2 + 2a ⇒ x2 + 2a2 = 3x ⇒ x = a ⇒ SA = a → Đáp án D Câu 22: 92 NGUYỄN THỊ LANH CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Gọi M trung điểm AB Đặt BC = x ( x > ) ⇒ S ABC = x2 SG = AB = x 1 x2 VS.ABC = SG.SABC = x = 3 Mà Giải phương trình em Kẻ MH ⊥ SC ( H ∈SC ) x= ( 1) AB ⊥ SG ⇒ AB ⊥ ( SCM ) ⇒ AB ⊥ MH AB ⊥ CM Vì Từ ( 2) ( 1) , ( 2) ⇒ MH đoạn vuông góc chung AB SC ⇒ MH = d ( AB;SC ) MC = x = 2 , SC = + = 10 SG.MC 10 ⇒ MH = = = SC 20 10 MH.SC = SG.MC ( = 2.SSMC ) Có → Đáp án B Câu 23: ( SAC ) , kẻ AH ⊥ SC ( H ∈ SC ) SCD) ,SD ⊂ ( SCD ) Em có MB ̸ ̸ ( Trong ( 1) ⇒ d ( MB;SD) = d ( MB; ( SCD ) ) = d ( M; ( SCD ) ) = MD a d ( A; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) = AD a Em có CD ⊥ AC, CD ⊥ SA ⇒ d ( A; ( SCD) ) = ⇒ CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ AH Từ ( 2) ( 1) , ( 2) ⇒ AH ⊥ ( SCD) ⇒ AH = d ( A; ( SCD ) ) a Áp dụng hệ thức lượng ∆SAC vuông A, đường cao AH, em có: ⇒ AH = 1 1 = = + = + ⇒ SA = a 2 3a AH SA AC SA 3a → Đáp án D NGUYỄN THỊ LANH 93 CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu 24: ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ( SAC ) ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA Vì SMN ) , ( SMN ) ∩ ( ABC ) = MN ⇒ MN BC Có BC ̸ ̸ ( ̸ ̸ AB ⊥ BC SB ⊥ BC ( BC ⊥ SA,BC ⊥ AB ) Em có · ⇒ ( ( SBC ) ; ( ABC ) ) = SBA = 60° Trong ∆SAB vng, em có SA = AB.tan60° = 2a Lấy I cho AMNI hình vng ( AM = MN = a ) ⇒ AB ̸ ̸ NI ⇒ AB ̸ ̸ ( SNI ) ⇒ d ( AB;SN ) = d ( AB; ( SNI ) ) = d ( A; ( SNI ) ) ( SAI ) , kẻ AH ⊥ SI ( H ∈SI ) ( 1) NI ⊥ SA ⇒ NI ⊥ ( SAI ) ⇒ NI ⊥ AH Em có NI ⊥ AI ( 2) Trong Từ ( ) , ( 2) ⇒ AH ⊥ ( SNI ) ⇒ AH = d ( A; ( SNI ) ) Áp dụng hệ thức lượng ∆SAI vuông A, đường cao AH, em có: 1 1 13 2a 39 = 2+ 2= 2+ = ⇒ AH = 2 AH SA AI a 12a 12a 13 → Đáp án D Câu 25: Gọi M trung điểm AB a ⇒ MH = BM − BH = CH = CM2 + MH2 = 3a2 a a + = 36 ABC ) Em có HC hình chiếu SC lên ( · ⇒ ( SC; ( ABC ) ) = ( SC;HC ) = SCH = 60° a a 21 3= 3 Dựng D cho ABCD hình thoi ⇒ SH = CH.tan60° = ⇒ BC ̸ ̸ AD ⇒ BC ̸ ̸ ( SAD ) 94 NGUYỄN THỊ LANH CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ⇒ d ( BC;SA ) = d ( BC; ( SAD ) ) = d ( B; ( SAD ) ) Mà d ( B; ( SAD ) ) = Trong ( ABCD) , BA d ( H; ( SAD ) ) = d ( H; ( SAD) ) HA SHK ) , HI ⊥ SK ( I ∈ SK ) kẻ HK ⊥ AD, ( kẻ AD ⊥ SH ⇒ AD ⊥ ( SHK ) ⇒ AD ⊥ HI AD ⊥ HK Vì HI ⊥ SK ⇒ HI ⊥ ( SAD) ⇒ HI = d ( H; ( SAD ) ) Em lại có HI ⊥ AD a · HK = HA.sinHAK = AB.sin60° = 3 Trong tam giác vuông AKH, Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHK vng H, đ ường cao HI, em có 1 24 a 42 a 42 a 42 = 2+ = + = ⇒ HI = ⇒ d ( SA;BC ) = = 2 HI HS HK 21a a 7a 12 12 → Đáp án A Câu 26: Gọi P trung điểm SA ⇒ PD = PE,PE ⊥ SA Thấy MP đường trung bình tam a AD,MP = AD = 2 giác EAD nên MP ̸ ̸ N trung điểm BC nên NC ̸ ̸ a AD,NC = BC = 2 a NC, MP = NC = ⇒ MPCN Em có MP ̸ ̸ hình bình hành ⇒ MN ̸ ̸ CP ⇒ MN ̸ ̸ ( SAC ) ⇒ d ( MN;AC ) = d ( MN; ( SAC ) ) = d ( N; ( SAC ) ) NGUYỄN THỊ LANH 95 CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BO ⊥ SO a ⇒ ⇒ BO ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( B; ( SAC ) ) = BO = BO ⊥ AC Do hình chóp S.ABCD Vì NB ∩ ( SAC ) = { C} d ( N; ( SAC ) ) nên d ( B; ( SAC ) ) = NC = BC a ⇒ d ( N; ( SAC ) ) = d ( B; ( SAC ) ) = → Đáp án A Câu 27: ( SAB) ⊥ ( ABCD ) ( SAB) ∩ ( ABCD) = AB ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) SI ⊥ AB Có Gọi J trung điểm CD, kẻ IE ⊥ SJ ( 1) Em có CD ⊥ IJ ⇒ CD ⊥ ( SIJ ) ⇒ CD ⊥ IE CD ⊥ SI Từ ( 2) ( 1) , ( 2) ⇒ IE ⊥ ( SCD) ⇒ IE = d ( I; ( SCD ) ) = a Áp dụng hệ thức lượng ∆SIJ vuông I, đường cao IE em có: 1 1 a = + ⇔ = + ⇒ SI = 2 IE SI IJ a SI a Qua B dựng đường thẳng song song với CF, cắt DA kéo dài K SBK ) ⇒ d ( CF;SB ) = d ( CF; ( SKB ) ) = d ( F; ( SKB ) ) Khi CF ̸ ̸ ( Kẻ IH ⊥ BK ( H ∈ BK ) ,IL ⊥ SH ( L ∈ SH ) BK ⊥ SI ⇒ BK ⊥ ( SIH ) ⇒ BK ⊥ IL BK ⊥ IH Có IL ⊥ SH ⇒ IL ⊥ ( SBK ) ⇒ IL = d ( I; ( SBK ) ) IL ⊥ BK Từ Vì BCFK hình bình hành nên FK = BC = a 96 NGUYỄN THỊ LANH CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN a a FA = ⇒ AK = 2 Mà a a AK.IB a ⇒ HI = = 2 = BK 10 a2 HI IB a + ∆BAK ⇒ = AK BK ∆BHI đồng dạng với 1 a = + ⇒ IL = 12 Trong tam giác vuông SIH, đường cao IL, em có IL SI IH AI ∩ ( SBK ) = { B} ⇒ Em thấy d ( A; ( SBK ) ) d ( I; ( SBK ) ) ⇒ d ( A; ( SBK ) ) = 2.d ( I; ( SBK ) ) = d ( F; ( SBK ) ) Tương tự có → Đáp án C d ( A; ( SBK ) ) NGUYỄN THỊ LANH = = AB =2 IB a a = 12 FK = ⇒ d F; SBK = 2.d A; SBK = a = a ( ( )) ( ( )) AK 97 ... 41: a a a3 × = 4 Dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Từ ta có Coi ( ABB'A') NGUYỄN THỊ LANH ( CDD'C') VABC.A'B'C' = VABCD.A'B'C'D' đáy hình hộp chiều cao hình hộp là: 29 CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. .. LANH D V= 28a3 CHUN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a th ể tích a Chiều cao h hình chóp cho h= a h= a h= a B C D h = 3a A Câu14: Hình chóp tam giác S.ABC... B V= a3 V= C Hướng dẫn giải 2a3 D V= a3 CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ABCD ) ⊥( Theo giả thiết, em có SA ⇒ SA đường cao hình chóp Từ hình vẽ: ∆SAB vng A, SB = a 3, AB = a SA = SB2 − AB2