GT2 k59 XD

Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K59 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu  3 x +y   với (x, y) = (0, 0) + y2 x Câu (1,5đ) Cho hàm hai biến f (x, y) =  0 với (x, y) = (0, 0) ∂f ∂f (0, 0); (0, 0) Chứng minh hàm số không khả vi điểm (0, 0) Tính ∂x ∂y Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = 3y + x2 y + x2 + 2xy + 2x Bộ mơn Tốn Câu (2,0đ) Cho D miền hình tròn giới hạn x2 + y = Tính tích phân x2 √ − y + y − x2 dxdy D Câu (2,0đ) Cho L đường cong giao mặt trụ x2 + y = với mặt phẳng x + y − z = có (z − x)dx + (y − z)dy + (x + y)dz hướng ngược chiều kim đồng hồ Hãy tính L Câu (2,5đ) a) Giải phương trình vi phân ydx + (xy + x)dy = nxn b) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n n=0 (n + 1)2 ∞ Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH Đề số K59 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu  x − y3   với (x, y) = (0, 0) 2 Câu (1,5đ) Cho hàm hai biến (x, y) = x + y  0 với (x, y) = (0, 0) ∂f ∂f Tính (0, 0); (0, 0) Chứng minh hàm số không khả vi điểm (0, 0) ∂x ∂y Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = 3x3 + xy − y + 2xy − 2y Bộ môn Tốn Câu (2,0đ) Cho D miền hình tròn giới hạn x2 + y = Tính tích phân √ y − x2 + x2 − y dxdy D Câu (2,0đ) Cho L đường cong giao mặt trụ x2 + y = với mặt phẳng x − y + z = có (x + z)dx + (z − y)dy + (y − x)dz hướng ngược chiều kim đồng hồ Hãy tính L Câu (2,5đ) a) Giải phương trình vi phân (xy + y)dx + xdy = nxn n n=0 (n + 1)3 ∞ b) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa ĐÁP ÁN ĐỀ ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 0,5đ ∂x ∂y |xy + x2 y| |f (x, y) − f (0, 0) − (1 1)(x y)T | Xét L = = 0,5đ x2 + y (x2 + y ) x2 + y Ta có lim L khơng tồn kết luận hàm số không khả vi (0, 0) 0,5đ (x,y)→(0,0)   fx = 2xy + 2x + 2y + = 2(x + 1)(y + 1) = Câu 2(2,0 đ) Giải hệ  f = 9y + x2 + 2x = y Câu (1,5đ) Các đạo hàm riêng cấp ta điểm dừng M1 (−1, 1/3), M2 (−1, −1/3) 0,5 đ Tính vi phân cấp hai: A = fxx = 2y + 2, B = fxy = 2x + 2, C = fyy = 18y 0,5đ Tại M1 , A = 8/3, B = 0, C = 6, AC − B = 16 > nên M1 điểm cực tiểu, 0,5đ Tại M2 , A = 4/3, B = 0, C = −6AC − B = −8 < nên M2 cực trị 0,5 đ √ x2 − y dxdy + Câu (2,0đ) Tách làm tích phân I = y − x2 dxdy Do tính D D chất đối xứng, suy tích 0,5đ √ √ Chiếu miền D xuống trục Ox, ta D : −1 ≤ x ≤ 1, − − x2 ≤ y ≤ − x2 0,5đ √ Lại tính đối xứng hàm lấy tích phân chẵn nên I = y − x2 dxdy = √ √ D 1−x2 64 1,0đ 45 0 Câu (2,0đ) Tham số hóa x = cos t, y = sin t, z = cos t + sin t, ≤ t ≤ 2π 1,0đ y dy = − x2 dx 2π sin td cos t − cos td sin t = −2π 1,0đ ydx − xdy + zdz = Tính I = L Câu (2,5đ) a) (1,0 đ) Thấy x ≡ y ≡ nghiệm 0,5đ y+1 Nghiệm lại phải thỏa mãn dx + dy = Tích phân vế xy = C.e−y , C = Do x y vậy, nghiệm tổng quát phương trình cho xy = C.e−y , với C tùy ý 0,5đ b) (1,5 đ) Miền hội tụ X = (−2, 2) 0,5đ x Tính tổng: Đặt t = , ta có ∞ Tổng n=0 tn+1 = n+1 ∞ ∞ n=0 ntn = n+1 t ∞ t tn dt = n=0  ln 2−x   − x S(x) = − x  0 ∞ ∞ n t − n=0 n=0 ∞ tn tn = − 0,5đ n+1 − t n=0 n + tn dt = − ln |1 − t| Từ suy n=0 với x ∈ X, x = 0,5đ với x = ĐÁP ÁN ĐỀ ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = −1 0,5đ ∂x ∂y |xy − x2 y| |f (x, y) − f (0, 0) − (1 − 1)(x y)T | Xét L = = 0,5đ x2 + y (x2 + y ) x2 + y Ta có lim L khơng tồn kết luận hàm số không khả vi (0, 0) 0,5đ (x,y)→(0,0)   fx = 9x2 + y + 2y = Câu 2(2,0 đ) Giải hệ  f = 2xy − 2y + 2x − = 2(x − 1)(y + 1) = y Câu (1,5đ) Các đạo hàm riêng cấp ta điểm dừng M1 (1/3, −1), M2 (−1/3, −1) 0,5 đ Tính vi phân cấp hai: A = fxx = 18x, B = fxy = 2y + 2, C = fyy = 2x − 0,5đ Tại M1 , A = 6, B = 0, C = −4/3, AC − B = −8 < nên M1 cực trị, 0,5đ Tại M2 , A = −6, B = 0, C = −8/3, AC − B = 16 > nên M2 điểm cực đại 0,5 đ √ Câu (2,0đ) Tách làm tích phân I = y − x2 dxdy + x2 − y dxdy Do tính chất D D đối xứng, suy tích 0,5đ √ √ Chiếu miền D xuống trục Ox, ta D : −2 ≤ x ≤ 2, − − x2 ≤ y ≤ − x2 0,5đ √ Lại tính đối xứng hàm lấy tích phân chẵn nên I = y − x2 dxdy = √ √ D 4−x2 2048 1,0đ 45 0 Câu (2,0đ) Tham số hóa x = cos t, y = sin t, z = cos t + sin t, ≤ t ≤ 2π 1,0đ y dy = − x2 dx 2π sin td2 cos t − cos td2 sin t = −8π 1,0đ ydx − xdy + zdz = Tính I = L Câu (2,5đ) a) (1,0 đ) Thấy x ≡ y ≡ nghiệm 0,5đ x+1 Nghiệm lại phải thỏa mãn dx + dy = Tích phân vế xy = C.e−x , C = Do x y vậy, nghiệm tổng quát phương trình cho xy = C.e−x , với C tùy ý 0,5đ b) (1,5 đ) Miền hội tụ X = (−3, 3) 0,5đ x Tính tổng: Đặt t = , ta có ∞ Tổng n=0 tn+1 = n+1 ∞ ∞ n=0 ntn = n+1 t ∞ t tn dt = n=0  ln 3−x   − x S(x) = − x  0 ∞ ∞ n t − n=0 n=0 ∞ tn tn = − 0,5đ n+1 − t n=0 n + tn dt = − ln |1 − t| Từ suy n=0 với x ∈ X, x = 0,5đ với x = Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH Đề số K59 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu 1(2,5đ) x2 + y Hỏi f (x, y) có khả vi (0, 0) khơng? Vì sao? ∞ 2n + (−1)n b) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa xn n n=1 x3 Câu (2,0đ) Tìm cực trị tự hàm số u(x, y) = − xy − x2 + 2xy − y + 2y Câu (1,5đ) Tính tích phân bội I = x2 dxdydz, V phần hình nón eliptic giới hạn a) Cho hàm số f (x, y) = V y2 z2 + = x2 , ≤ x ≤ Câu (1,5đ) Cho L đường giao mặt phẳng x + y + z = với mặt phẳng tọa độ x = 0; y = 0; z = có hướng ngược chiều kim đồng hồ Hãy tính (2y +z)dx+(2z +x)dy +(2x+y)dz L Câu (2,5đ) Giải phương trình vi phân sau: a) (y + 1)dx = (y + 1)x2 dy b) y − 5y + 6y = e−x Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K59 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,5đ) x4 + y Hỏi f (x, y) có khả vi (0, 0) khơng? Vì sao? ∞ 3n + (−2)n b) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa xn n n=1 x3 Câu (2,0đ) Tìm cực trị tự hàm số u(x, y) = − xy − 2x2 − 4xy + y + 4y Câu (1,5đ) Tính tích phân bội I = y dxdydz, V phần hình nón eliptic giới hạn a) Cho hàm số f (x, y) = V x2 z + = y , ≤ y ≤ Câu (1,5đ) Cho L đường giao mặt phẳng x + y + z = với mặt phẳng tọa độ (y −z)dx+(z −x)dy +(x−y)dz x = 0; y = 0; z = có hướng ngược chiều kim đồng hồ Hãy tính L Câu (2,5đ) Giải phương trình vi phân sau: a) (x − 1)y dx = (x2 + 1)dy b) y + 5y + 6y = ex ĐÁP ÁN ĐỀ |x| ∂f (0, 0) = lim 0,5đ x→0 x ∂x Chứng minh không tồn giới hạn Từ suy hàm khơng tồn đạo hàm riêng Câu 1a) (1,0đ) Các đạo hàm riêng cấp (0, 0) nên hàm không khả vi (0, 0) 0,5đ −1 , 1,0đ b) (1,5đ) Miền hội tụ X = 2 ∞ ∞ ∞ (2x)2 + (−x)n (2x)n (−x)n Tổng S(x) = = − = − ln(1 − 2x) − ln(1 + x) 0,5đ n n n n=1 n=1 n=1    ux = x2 − y − 2x + 2y = (x − y)(x + y − 2) = Câu (2,0đ) Tìm điểm dừng   u = −2xy + 2x − 2y + = −2(x + 1)(y − 1) = y Suy điểm dừng M1 (1, 1), M2 (−1, −1), M3 (−1, 3) 0,5đ Tìm vi phân cấp 2: A = fxx = 2x − 2, B = fxy = −2y + 2,C = fyy = −2x − 0,5đ Tại M2 (−1, −1), M3 (−1, 3) ta có AC − B < nên hàm không đạt cực trị điểm 0,5đ x3 − x2 + x + = (x − 1)3 + Do hàm (x − 1)3 Tại M1 (1, 1) ta có AC − B = ta cóf (x, 1) = 3 khơng đạt cực trị x = Do hàm không đạt cực trị M1 (1, 1) 0,5đ Câu (1,5đ) Đổi biến theo tọa độ trụ y = 2r sin ϕ, z = 3r cos ϕ, x = x V ←→ V = {0 ≤ ϕ ≤ 2π, ≤ r ≤ x, ≤ x ≤ 1}, 0,5đ detJ = 6r, viết I = Tính I = = 2π 2π dϕ dx x x2 6rdr, 0,5đ 3x4 dx = 6π/5 0,5đ −dydz − dzdx − dxdy S mặt phẳng Câu (1,5đ) Áp dụng công thức Stoke I = S x + y + z = giới hạn góc 1/8 thứ 0,5đ Tham số mặt phẳng: x = u, y = v, z = − u − v đó: ≤ u ≤ 1, ≤ v ≤ − u 0,5đ 1−v −3 Tính véc tơ pháp n = (1, 1, 1) Suy ra: I = du −3dv = = 0,5đ 0 Câu 5(2,5 đ)a)(1,0đ) x = nghiệm phương trình dx (y + 1)dy Xét x = 0, đưa phương trình dạng = 0,5 đ x y2 + 1 Tìm nghiệm + ln(1 + y )/2 + arctan y = c 0,5 đ x b) (1,5đ) Phương trình đặc trưng k − 5k + = Tìm nghiệm y = c1 e2x + c2 e3x 0,5 đ Nghiệm riêng có dạng yr = a.e−x Thay vào tìm 12a = 1, suy yr = e−x /12 0,5 đ Nghiệm phương trình ytq = c1 e2x + c2 e3x + e−x /12 0,5 đ ĐÁP ÁN ĐỀ |x| ∂f (0, 0) = lim 0,5đ x→0 x ∂x Chứng minh không tồn giới hạn Từ suy hàm khơng tồn đạo hàm riêng Câu 1a)(1,0đ) Các đạo hàm riêng cấp (0, 0) nên hàm không khả vi (0, 0) 0,5đ −1 , 1,0đ b) (1,5đ) Miền hội tụ X = 3 ∞ ∞ ∞ (3x)2 + (−2x)n (3x)n (−2x)n Tổng S(x) = = − = − ln(1 − 3x) − ln(1 + 2x) 0,5đ n n n n=1 n=1 n=1    ux = x2 − y − 4x − 4y = (x + y)(x − y − 4) = Suy Câu (2,0đ) Tìm điểm dừng   u = −2xy − 4x + 2y + = −2(x − 1)(y + 2) = y điểm dừng M1 (1, −1), M2 (2, −2), M3 (1, −3) 0,5đ Tìm vi phân cấp 2: A = fxx = 2x − 4, B = fxy = −2y − 4,C = fyy = −2x + 0,5đ Tại điểm M1 , M3 ta có AC − B < nên hàm khơng đạt cực trị điểm 0,5đ −4 x3 − 2x2 + 12x − = (x − 2)3 + Do hàm Tại M2 (2, −2) ta có AC − B = ta cóf (x, −2) = 3 (x − 2)3 không đạt cực trị x = Do hàm khơng đạt cực trị M2 (2, −2) 0,5đ Câu (1,5đ) Đổi biến theo tọa độ trụ x = 3r sin ϕ, z = 2r cos ϕ, y = y V ←→ V = {0 ≤ ϕ ≤ 2π, ≤ r ≤ y, ≤ y ≤ 2}, 0,5đ detJ = 6r, viết I = Tính I = = 2π 2π dϕ dx y y 6rdr, 0,5đ 3y dx = 192π/5 0,5đ −2dydz − 2dzdx − 2dxdy S mặt cầu Câu 4(1,5đ) Áp dụng công thức Stoke I = S x + y + z = giới hạn góc 1/8 thứ 0,5đ Tham số mặt phẳng: x = u, y = v, z = − u − v đó: ≤ u ≤ 2, ≤ v ≤ − u 0,5đ Tính véc tơ pháp n = (1, 1, 1) Suy ra: I = 2−v −6dv = = −12 0,5đ du 0 Câu 5(2,5 đ)(1,0đ) y = nghiệm phương trình dy (x − 1)dx Xét y = 0, đưa phương trình dạng = 0,5 đ y x2 + 1 Tìm nghiệm + ln(1 + x2 )/2 − arctan x = c 0,5 đ y b) (1,5đ) Phương trình đặc trưng k + 5k + = Tìm nghiệm y = c1 e−2x + c2 e−3x 0,5 đ Nghiệm riêng có dạng yr = a.ex Thay vào tìm 12a = 1, suy yr = ex /12 0,5 đ Nghiệm phương trình ytq = c1 e−2x + c2 e−3x + ex /12 0,5 đ Trường Đại Học Xây Dựng Bộ mơn Tốn Câu (2,0đ) ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K59 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu +∞ (−1)n−1 x2n a) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm n(n + 2) n=1   xy + y   (x, y) = (0, 0) 2 b) Cho hàm số f (x, y) = ln(1 + x + y )   0 (x, y) = (0, 0) Câu 2(2,0đ) Cho (E): Tính fx (0, 0), fy (0, 0) x2 y + = A(1, 0) Tìm M (E) cho khoảng cách M A lớn yex dxdy với D miền hình tam giác có đỉnh: O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Câu (2,0đ) Tính I = D (x4 − 2xy )dx − (3x2 y + y )dy A(0, 0), B(1, 1) Chứng minh tích phân Câu (1,5đ) Cho I = L khơng phụ thuộc đường nối Từ tính I L đường cong trơn nối từ A đến B Câu (2,5đ) Giải phương trình vi phân sau: a) (xy + y)dx − xdy = b) y − 4y + 4y = 16e−2x Trường Đại Học Xây Dựng Bộ môn Tốn Câu (2,0đ) ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K59 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu +∞ (−1)n+1 x3n a) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm n(n + 3) n=1   −x + xy   (x, y) = (0, 0) 2 b) Cho hàm số f (x, y) = ln(1 + x + y )   0 (x, y) = (0, 0) Tính fx (0, 0), fy (0, 0) x2 y + = N (0, −1).Tìm M (E) cho độ dài M N lớn Câu (2,0đ) Tính I = dxdy, D = {(x, y)|x ≥ 1, y ≥ 1, x + y ≤ 3} D (x + y + 1) Câu 2(2,0đ) Cho (E): (x4 + 3x2 y )dx + (2x3 y + y )dy A(−1, 1), B(0, 0) Chứng minh tích Câu (1,5đ) Cho I = L phân không phụ thuộc đường nối Từ tính I L đường cong trơn nối từ A đến B Câu (2,5đ) Giải phương trình vi phân sau: a) (x + y )dx − 2xydy = b) y + 2y + y = 16e3x ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2,0đ) a) (1,0 đ) Đặt X = x2 Khoảng hội tụ (−1, 1) 0,5đ Miền hội tụ [−1, 1] 0,5 đ f (∆x, 0) − f (0, 0) = 0, 0,5 đ b) (1,0 đ) Tính fx (0, 0) = lim ∆x→0 ∆x f (0, ∆y) − f (0, 0) ∆y Tính fy (0, 0) = lim = lim = 0,5 đ ∆y→0 ∆y→0 ln(1 + ∆y ) ∆y x2 y 2 2 + = 0,5đ Câu (2,0đ) Ta có M A = f (x, y) = (x − 1) + y với (x, y) thỏa mãn     Φx = 2x − + 18λx =    0,5đ Xét Φ(x, y) = (x − 1)2 + y + λ(9x2 + 4y − 36) Suy Φy = 2y + 8λy =       9x2 + 4y − 36 = √ −1 −4 21 −1 ; M2 (−2, 0) với λ = M3 ( , ), Suy điểm dừng M1 (2, 0) với λ = 18 5 √ −4 −3 21 −1 M4 ( , ) với λ = 0,5đ 5 So sánh√ giá trị điểm dừng này, ta suy điểm M3 M4 thỏa mãn giá trị lớn 30 MA = 0,5đ Câu 3(2,0 đ) Xác định miền D = {0 ≤ x ≤ y, ≤ y ≤ 1} 1,0 đ Viết I = Tính I = 1 dy y yex dx = y(ey − 1)dy, 0,5 đ y(ey − 1)dy = = 1/2 0,5 đ Câu 4(1,5 đ) Ta có Py = Qx = −6xy nên tích phân không phụ thuộc đường nối 0,5 đ Chọn đường nối đường thẳng y = x, ≤ x ≤ 0,5 đ Ta có I = (x − 2x4 − 4x4 )dx = −5x4 dx = −x5 |10 = −1 0,5 đ Sinh viên tìm hàm u(x, y) mà du = P dx + Qdy tích phân u|B A Câu (2,5đ) a)(1,0đ) Chuyển phương trình Becnuli y − x1 y = y 0,5đ 1 Áp dụng cách giải, ta nghiệm = (−x2 /2 + C) 0,5đ y x 2x b) (1,5đ) Nghiệm y = C1 e + C2 xe2x 0,5đ Tìm nghiệm riêng theo dạng: y∗ = A.e−2x tìm A = 0,5đ Nghiệm tổng quát là: y = C1 e2x + C2 xe2x + e−2x 0,5đ ĐÁP ÁN ĐỀ Câu 1(2,0đ) a) (1,0 đ) Đặt X = x3 Khoảng hội tụ (−1, 1) 0,5 đ Miền hội tụ [−1, 1] 0,5 đ −∆x2 f (∆x, 0) − f (0, 0) = lim = −1, 0,5 đ b) (1,0 đ) Tính fx (0, 0) = lim ∆x→0 ln(1 + ∆x2 ) ∆x→0 ∆x f (0, ∆y) − f (0, 0) Tính fy (0, 0) = lim = 0,5 đ ∆y→0 ∆y x2 y Câu (2,0đ) Ta có M N = f (x, y) = x2 + (y + 1)2 với (x, y) thỏa mãn + = 0,5đ     Φx = 2x + 8λx =    Xét Φ(x, y) = x2 + (y + 1)2 + λ(4x2 + 9y − 36) Suy Φy = 2y + + 18λy = 0,5đ       4x2 + 9y − 36 = √ √ −1 −1 21 −3 21 Suy điểm dừng M1 (0, 2) với λ = ; M2 (0, −2) với λ = M3 ( , ), M3 ( , ) 18 5 5 −1 0,5đ với λ = So sánh √ giá trị điểm dừng này, ta suy điểm M3 M4 thỏa mãn giá trị lớn 30 MN = 0,5đ Câu 3(2,0 đ) Xác định miền D = {1 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ − x} 1,0 đ 1 3−x Từ I = dx dy = − |3−x dx 0,5 đ (x + y + 1) x+y+1 1 1 2 |3−x − )dx = ln(4/3) − 1/4 0,5 đ Tính I = − dx = ( x+y+1 x+2 Câu 4(1,5 đ) Ta có Py = Qx = 6x2 y nên tích phân khơng phụ thuộc đường nối 0,5 đ Chọn đường nối đường thẳng y = −x, −1 ≤ x ≤ 0,5 đ I= [(x4 −1 + 3x4 ) − (−2x4 + x4 )]dx = −1 5x4 dx = x5 |0−1 = 0,5 đ Sinh viên tìm hàm u(x, y) mà du = P dx + Qdy tích phân u|B A Câu (2,5đ) a)(1,0đ) Chuyển phương trình Becnuli y − y 2x = 2y 0,5đ Áp dụng cách giải, ta nghiệm y = x (ln |x| + C) 0,5đ b) (1,5đ) Nghiệm y = C1 e−x + C2 xe−x 0,5đ Tìm nghiệm riêng theo dạng: y∗ = Ae3x tìm A = 0,5đ Nghiệm tổng quát : y = C1 e−x + C2 xe−x + e3x 0,5đ Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K59 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Khơng sử dụng tài liệu Câu (2,5đ) n (−1)n−1 n x+ n n=1 (x, y) → (x2 − y , xy ) Chứng tỏ f khả vi điểm M (1, 2) ∞ a) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa b) Cho hàm véctơ f : R2 −→ R2 , tính f (M ) Câu (2,0đ) Tìm cực trị có điều kiện hàm số u(x, y) = − 5x − 4y với điều kiện x2 − y = (x + y)dxdy, D = {(x, y) | ≤ x2 + y ≤ 2x} Câu (2,0đ) Tính tích phân D y dx+xdy theo hướng dương dọc theo cạnh hình Câu (2,0đ) Tính tích phân đường L vng nối đỉnh A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0, −1) Câu (1,5đ) Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân x2 y − 2xy + 2y = x3 ln x biết phương trình tương ứng có nghiệm y1 (x) = x2 Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K59 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,5đ) (−1)n−1 n a) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa (x − 1)n n n=1 b) Cho hàm véctơ f : R2 −→ R2 , (x, y) → (y − x2 , yx2 ) Chứng tỏ f khả vi điểm M (2, 1) ∞ tính f (M ) Câu (2,0đ) Tìm cực trị có điều kiện hàm số u(x, y) = 8−5x−3y với điều kiện x2 −y = 16 (x + y)dxdy, D = {(x, y) | ≤ x2 + y ≤ 2y} Câu (2,0đ) Tính tích phân D −ydx + x2 dy theo hướng dương dọc theo cạnh Câu (2,0đ) Tính tích phân đường L hình vuông nối đỉnh A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0, −1) Câu (1,5đ) Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân x2 y − 2xy + 2y = x2 ln x biết phương trình tương ứng có nghiệm y1 (x) = x2 ĐÁP ÁN ĐỀ −6 Câu (2,5đ) a) (1,5 đ) Miền hội tụ X = ( , ] 1,0đ 5 5x + ) 0,5đ Tổng S(x) = ln(   −4  0,5đ b) (1,0 đ) Ma trận đạo hàm riêng f M A =  4 = | f (x, y) − f (M ) − A(x − y − 2)T (x − 1)2 + (y − 2)2 [(x − 1)2 − (y − 2)2 ]2 + (y − 2)2 (xy + 2x − 4)2 =  = Vậy hàm khả vi tai M f (M ) =  lim (x,y)→(1,2) 2 (x −  1) + (y − 2) Suy −4  0,5đ 4 Câu L(x, y) = − 5x − 4y + λ(x2 − y − 9)   (2,0đ) Hàm Lagrange       −5 + 2λx = Lx =       ⇔ −4 − 2λy = Các điểm dừng M1 (5, −4) ứng với λ = 1/2, M2 (−5, 4) Ly =           x2 − y − = x − y − = ứng với λ = −1/2 1,0đ d2 L = 2λ(dx2 − dy ) ta có xdx − ydy = Tại M1 , d2 L = − dx2 suy hàm đạt cực đại M1 , u(M1 ) = −3 0,5đ 16 2 Tại M2 , d L = dx suy hàm đạt cực tiểu M2 , u(M2 ) = 15 0,5đ 16 Câu (2,0đ) I = xdxdy + ydxdy Do tính đối xứng suy ydxdy = 1,0đ D D D π Đổi biến sang tọa độ cực: I = − π3 D I= π cos4 ϕdϕ − − π3 √ 3 = π − π3 [ 32 + cos 2ϕ + Câu (2,0đ) Áp dụng định lí Green I = Ta có I = M (1 − 2y)dxdy = SM − M r cos ϕdr = dϕ xdxdy = cos 4ϕ ]dϕ M √ − 3 = 2π 3 cos ϕ[8 cos3 ϕ − 1]dϕ 0,5đ − π3 √ + 0,5đ (1 − 2y)dxdy, với M hình vng 1,0đ ydxdy = − Do M đối xứng y hàm lẻ nên tích phân Chú ý: Sinh viên làm trực tiếp: I = π cos ϕ M M ydxdy 0,5đ ydxdy = Vậy I = 0,5đ + BC + CD + DA = I1 + I2 + I3 + I4 2 Câu (1,5đ) Phương trình tương đương y − y + y = x ln(1 + 2x) Nghiệm y2 (x) = u(x).x2 , x x − p(x)dx −1 độc lập với y1 Ta có u(x) = e dx = =⇒ y2 (x) = x 0,5đ y12 x Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 x + C2 x2 0,5đ     C x + C x = C1 = −x ln x Biến thiên số, ta có ⇔   C + 2xC = x ln x C = ln x 2 Giải C1 = −1 ln xdx2 = −x2 ln x + x2 AB + B1 C2 = x ln x − ln x + B2 0,5đ ĐÁP ÁN ĐỀ −3 13 Câu (2,5đ) a) (1,5 đ) Miền hội tụ X = ( , ] 1,0đ 5 5x + ) 0,5đ Tổng S(x) = ln(   −4  0,5đ b) (1,0 đ) Ma trận đạo hàm riêng f M A =  4 = | f (x, y) − f (M ) − A(x − y − 1)T (x − 2)2 + (y − 1)2 [(x − 1)2 − (y − 2)2 ]2 + (x − 2)2 (xy + 2y − 4)2 =  = Vậy hàm khả vi tai M f (M ) =  lim (x,y)→(1,2) (x  − 1)2 + (y − 2)2 −4 4 Suy  0,5đ Câu L(x, y) = − 5x − 3y + λ(x2 − y − 16) Tìm điểm dừng:   (2,0đ) Hàm Lagrange       −5 + 2λx = Lx =       ⇔ −3 − 2λy = Các điểm dừng M1 (5, −3) ứng với λ = 1/2, M2 (−5, 3) Ly =           x2 − y − 16 = x2 − y − 16 = ứng với λ = −1/2 0,5đ d2 L = 2λ(dx2 − dy ) ta có xdx − ydy = 16 Tại M1 , d2 L = − dx2 suy hàm đạt cực đại M1 , u(M1 ) = −8 16 2 Tại M2 , d L = dx suy hàm đạt cực tiểu M2 , u(M2 ) = 24 Câu (2,0đ) I = xdxdy + ydxdy D 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ D xdxdy = 0,5đ Do tính đối xứng suy D 5π Đổi biến tọa độ cực: I = ydxdy = Suy I = π sin4 ϕdϕ − √ 3 = 5π π M r sin ϕdr = [ 32 − cos 2ϕ + Câu (2,0đ) Áp dụng định lí Green I = Ta có I = dϕ π D 5π (2x + 1)dxdy = SM + 5π sin ϕ M M cos 4ϕ ]dϕ sin ϕ[8 sin3 ϕ − 1]dϕ 0,5đ π √ − 3 = 2π √ + 0,5đ (2x + 1)dxdy, với M hình vng 1,0đ xdxdy = + Do M đối xứng x hàm lẻ nên tích phân Chú ý: Sinh viên làm trực tiếp: I = M M xdxdy 0,5đ xdxdy = Vậy I = 0,5đ + CD + DA = I1 + I2 + I3 + I4 2 Câu (1,5đ) Phương trình tương đương y − y + y = ln x Nghiệm y2 (x) = u(x).x2 , độc lập x x − p(x)dx −1 e dx = =⇒ y2 (x) = x 0,5đ với y1 Ta có u(x) = y12 x Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 x + C2 x2 0,5đ     C x + C x = C1 = − ln x Biến thiên số, ta có ⇔ 0,5đ   C + 2xC = ln x C = ln x 2 x AB + BC Giải C1 = −x ln x + ln x + B1 C2 = ln x + B2 0,5đ ... 0,5đ (2x + 1)dxdy, với M hình vuông 1,0đ xdxdy = + Do M đối xứng x hàm lẻ nên tích phân Chú ý: Sinh viên làm trực tiếp: I = M M xdxdy 0,5đ xdxdy = Vậy I = ... u(M2 ) = 24 Câu (2,0đ) I = xdxdy + ydxdy D 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ D xdxdy = ... = M (1 − 2y)dxdy = SM − M r cos ϕdr = dϕ xdxdy = cos 4ϕ ]dϕ M √ − 3 = 2π 3 cos ϕ[8 cos3 ϕ − 1]dϕ 0,5đ − π3 √ + 0,5đ (1 − 2y)dxdy, với M hình vng 1,0đ ydxdy = − Do M