GT2 k60 XD

Trường Đại Học Xây Dựng Bộ mơn Tốn ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0điểm) Cho hàm số f (x, y) = −x3 + y Tính đạo hàm riêng cấp (nếu có) hàm f (x, y) M (0, 0) Hàm số f (x, y) có khả vi điểm M (0, 0) hay khơng? Tại sao? y2 + z = y dx + (2xy + 3x + y ey )dy, biết L nửa đường tròn Câu (2,0điểm) Tìm cực trị hàm f (x, y, z) = x − y + z với điều kiện x2 + Câu (1,5điểm) Tính tích phân đường L x2 + y = 9, y ≥ theo hướng nối từ điểm A(3, 0) đến B(−3, 0) xy dydz + xz dxdz + 3z dxdy, với S mặt Câu (1,5điểm) Tính tích phân mặt S elipxơit x2 y z + + = 25 Câu (3,0điểm) 1 11 Giải phương trình vi phân y − y = x5 thỏa mãn y(1) = y (1) = x 35 +∞ n+1 x Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa 2n n! n=1 Trường Đại Học Xây Dựng Bộ mơn Tốn ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0điểm) Cho hàm số f (x, y) = x3 − y Tính đạo hàm riêng cấp (nếu có) hàm f (x, y) M (0, 0) Hàm số f (x, y) có khả vi điểm M (0, 0) hay khơng? Tại sao? x2 Câu (2,0điểm) Tìm cực trị hàm f (x, y, z) = −x + y + z với điều kiện + y + z = Câu (1,5điểm) Tính tích phân đường (2xy + y + x2 ex )dx + x2 dy, biết L nửa đường tròn L x2 + y = 9, x ≥ theo hướng nối từ điểm A(0, −3) đến B(0, 3) x2 dydz + x2 z dxdz − 2z dxdy, với S mặt Câu (1,5điểm) Tính tích phân mặt S elipxơit x2 y z + + = 16 25 Câu (3,0điểm) 1 Giải phương trình vi phân y + y = x5 thỏa mãn y(1) = y (1) = x 49 +∞ n n+1 Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa x n! n=1 Trường Đại Học Xây Dựng Bộ mơn Tốn ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu x3 y3 Câu (2,0điểm) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = − x − x y + 2xy − 2 Câu (2,0điểm) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt z = 6x + 3y z = − 2x2 − 5y (x + y − 1)dydz + (2x − z)dzdx + z dxdy Câu (2,0điểm) Tính tích phân mặt loại hai S S mặt ngồi cầu x2 + y + z = Câu (2,5điểm) Giải phương trình vi phân sau: a (x3 + y)dx − xdy = b y − 2y + 2y = cos x ∞ Câu (1,5điểm) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa : n=0 Trường Đại Học Xây Dựng Bộ môn Tốn (n + 1)xn 2n ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu y3 x3 − y − xy + 2xy − 2 Câu (2,0điểm) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt z = 3x + 4y z = 10 − 7x2 − 6y Câu (2,0điểm) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = (y + z − 4)dydz + (3x − y)dzdx + z dxdy Câu (2,0điểm) Tính tích phân mặt loại hai S S mặt ngồi cầu x2 + y + z = Câu (2,5điểm) Giải phương trình vi phân sau: a (x2 − y)dx − xdy = b y + 4y + 5y = sin x ∞ Câu (1,5điểm) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa : n=0 nxn 3n Trường Đại Học Xây Dựng Bộ môn Tốn ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,5điểm) +∞ 2n+1 Chứng minh chuỗi số hội tụ tính tổng chuỗi số n! n=0 −−→ b Tìm đạo hàm hàm u = điểm M (1, 1, 1) theo hướng M N , với N (3, 3, 2) x2 + y − z a Cho chuỗi số Câu (2,0điểm) Tìm cực trị hàm f (x, y) = − 6x + 12y với điều kiện (x − 1)2 + y = z(x2 + y )dxdydz, V miền hữu hạn Câu (2,0điểm) Tính tích phân bội ba V giới hạn mặt z = x2 + y2 z = Câu (1,5điểm) Cho L nửa đường x2 + 3y = nằm phía trục Ox, có hướng ngược (3x2 sin y + yx2 )dx + (x3 cos y − 3xy )dy chiều kim đồng hồ Hãy tính I = L Câu (2,0điểm) Giải phương trình vi phân a (4x − 3y)dx − (3x + 2y)dy = b y” − y = e−x Trường Đại Học Xây Dựng Bộ mơn Tốn ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,5điểm) +∞ 3n+1 Chứng minh chuỗi số hội tụ tính tổng chuỗi số n! n=0 −−→ b Tìm đạo hàm hàm u = điểm M (1, 1, 1) theo hướng N M , với N (0, −1, −1) y + z − x2 a Cho chuỗi số Câu (2,0điểm) Tìm cực trị hàm f (x, y) = + 12x − 6y với điều kiện x2 + (y − 1)2 = √ z(x + y )dxdydz, V miền hữu hạn Câu (2,0điểm) Tính tích phân bội ba V giới hạn mặt z = x2 + y z = Câu (1,5điểm) Cho L nửa đường 3x2 + y = nằm phía trục Ox, có hướng ngược (3x2 sin y + 3yx2 )dx + (x3 cos y − xy )dy chiều kim đồng hồ Hãy tính I = L Câu (2,0điểm) Giải phương trình vi phân a (x − 2y)dx − (2x − 2y)dy = b y” − y = ex Trường Đại Học Xây Dựng Bộ mơn Tốn ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu x2 Câu (1,5điểm) Cho mặt cong S có phương trình − + y + z = Giả sử có hàm ẩn z = z(x, y) Tính đạo hàm hàm ẩn zx , zy , zxx M (2, 1, 1) Câu (2,0điểm) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = (x2 + xy + y )ex+y Câu (2,0điểm) Tính tích phân bội I = − 4x2 − y D x2 Câu (2,0điểm) Tính tích phân mặt I = dxdy với D = {(x, y) : 4x2 + y ≤ 1} y + z dydz, với S mặt kín giới hạn vật S thể: y + z ≤ x ≤ 1, hướng ngồi Câu (2,5điểm) a Giải phương trình vi phân y + 4y = cos x +∞ cosn x b Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi sau n=1 Trường Đại Học Xây Dựng Bộ mơn Tốn ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu y2 Câu (1,5điểm) Cho mặt cong S có phương trình x − +z = Giả sử có hàm ẩn z = z(x, y) Tính đạo hàm hàm ẩn zx , zy , zyy M (1, 2, 1) Câu (2,0điểm) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = (x2 − xy + y )ex+y dxdy với D = {(x, y) : x2 + 4y ≤ 1} + 4y + x D √ Câu (2,0điểm) Tính tích phân mặt I = y x2 + z dzdx, với S mặt kín giới hạn vật S √ thể: x2 + z ≤ y ≤ 1, hướng ngồi Câu (2,0điểm) Tính tích phân I = Câu (2,5điểm) a Giải phương trình vi phân y + 9y = sin x +∞ sinn x b Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi sau n=1 ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2,0đ) 1) ∂f ∂f (0, 0) = −1, (0, 0) = 1,0đ ∂x ∂y 2) • Xét giới hạn lim x→0 y→0 −x3 + y − (−x + y) x2 + y 0,5đ • Chứng minh khơng tồn giới hạn lim −x3 + y − (−x + y) 0,5đ x→0 y→0 x2 + y y2 + z2 − giải hệ phương trình Câu (2,0đ) • Lập hàm Φ(x, y, z) = x − y + z + λ x2 + 1 M1 = ( , −1, ); λ2 = 1, M2 = (− 12 , 1, − 21 ) 0,5đ 2 • Vi phân cấp hai hàm d2 Φ(x, y, z) = 2λ dx2 + λ dy + 2λ dz 0,5đ • Tại điểm M1 , ứng λ1 = −1, vi phân cấp hai Φ xác định âm, hàm f (x, y, z) = x − y + z đạt cực đại có điều kiện M1 = ( 21 , −1, 21 ), f (M1 ) = 0,5đ • Tại điểm M2 , ứng λ2 = 1, vi phân cấp hai Φ xác định dương, hàm f (x, y, z) = x + y + z đạt cực tiểu có điều kiện M2 = (− 12 , 1, − 12 ), f (M2 ) = −2 0,5đ Câu (1,5đ) • Bổ sung đoạn thẳng nối A B ta đường cong kín Γ có hướng dương D nửa hình y dx + (2xy + 3x + y ey )dy = tròn Sử dụng định lí Green ta có, J = Γ dxdy 0,5đ D 27π • J = S(D) = 0,5đ 27π 0,5đ • y dx + (2xy + 3x + y ey )dy = ⇒ I = BA Câu (1,5đ) • Áp dụng định lí Gauss-Ostrogradski I = (y + 3)dxdydz 0,5đ V • I = λ(V ) = π = 120π 1,0đ Câu (3,0đ) 1) • Đặt y = z(x) Phương trình cho trở thành z − z = x5 0,5đ x C x2 x7 • Nghiệm tổng quát phương trình cho y = + + C2 0,5đ 35 x7 • Tìm C1 = 2, C2 = −1 Vậy y = x2 + − 0,5đ 35 x Miền hội tụ chuỗi cho (−∞; +∞) 0,5đ +∞ tn • Ta có, S(t) = 2t = 2t(et − 1) 0,5đ n! n=1 x • Vậy S(x) = x(e − 1) 0,5đ 2) • Đặt t = ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2,0đ) 1) • ∂f ∂f (0, 0) = 1; (0, 0) = −1 1,0đ ∂x ∂y 2) • Xét giới hạn lim x→0 y→0 x3 − y − (x − y) x2 + y 0,5đ • Chứng minh không tồn giới hạn lim x→0 y→0 x3 + y − (x − y) x2 + y 0,5đ Câu (2,0đ) x2 • Lập hàm Φ(x, y, z) = −x + y + z + λ( + y + z − 1) giải hệ phương trình λ1 = −1, M1 = (−1, 12 , 21 ); λ2 = 1, M2 = (1, − 12 , − 12 ) 1,0đ • Vi phân cấp hai hàm d2 Φ(x, y, z) = λ dx2 + 2λ dy + 2λ dz 0,5đ • Tại điểm M1 , ứng λ1 = −1, vi phân cấp hai Φ xác định âm, hàm f (x, y, z) = −x + y + z đạt cực đại có điều kiện M1 = (−1, 21 , 12 ), f (M1 ) = 0,5đ • Tại điểm M2 , ứng λ2 = 1, vi phân cấp hai Φ xác định dương, hàm f (x, y, z) = −x + y + z đạt cực tiểu có điều kiện M2 = (1, − 12 , − 12 ), f (M2 ) = −2 0,5đ Câu (1,5đ) • Bổ sung đoạn thẳng nối A B ta đường cong kín Γ có hướng dương D nửa hình (2xy + y + x2 ex )dx + x2 dy = − tròn Sử dụng định lí Green ta có, J = Γ dxdy 0,5đ D 9π 0,5đ • J = − S(D) = − 9π • (2xy + y + x2 ex )dx + x2 dy = ⇒ I = − 0,5đ BA Câu (1,5đ) • Áp dụng định lí Gauss-Ostrogradski I = (2x − 2)dxdydz 0,5đ V • I = −2 λ(V ) = −2 π = −160π 1,0đ Câu (3,0đ) 1) • Đặt y = z(x) Phương trình cho trở thành z + z = x5 0,5đ x x7 • Nghiệm tổng qt phương trình cho y = C1 ln |x| + + C2 0,5đ 49 x • Tìm C1 = 1, C2 = Vậy y = ln |x| + 0,5đ 49 2) • Đặt t = 3x Miền hội tụ chuỗi cho (−∞; +∞) 0,5đ t +∞ tn t • Ta có, S(t) = = (et − 1) 0,5đ n=1 n! 3x • Vậy S(x) = x(e − 1) 0,5đ ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2,0đ)  x2 − 2x − xy + 2y = Tìm điểm dừng: 0,25đ − x2 + 2x − y = 2 Có điểm dừng M1 (0, 0); M2 (2, −2), M3 (2, 2) 0,5đ Vi phân cấp 2: A = 2x − − y, B = −x + 2, C = −y 0,5đ Tại điểm M1 (0, 0) có AC − B = −4 < Hàm không đạt cực trị M1 0,25đ Tại điểm M2 (2, −2) có A = > 0, AC − B = > Hàm đạt cực tiểu M2 0,25đ Tại điểm M3 (2, 2) có AC − B = 0, f (x, 2) = (x − 2)3 + , hàm không đạt cực trị M3 0,25đ 3 Câu (2,0đ) Giao mặt đường x2 + y = D = {(x, y) x2 + y ≤ 1} 0,5đ (8 − 2x2 − 5y − 6x2 − 3y )dxdy = Ta có V = D (1 − x2 − y )dxdy 0,5đ D 2π Đổi biến sang tọa độ cực, V = (1 − r2 )rdr = 4π 1,0đ dϕ 0 Câu (2,0đ) Sử dụng cơng thức Gauss-ơtrơgradsky đưa tích phân I = (2z + 1)dxdydz 0,5đ V zdxdydz = 0,5đ Tính V Tính dxdydz = 4π 0,5đ V 4π 0,5đ I= *Chú ý: Nếu sinh viên làm theo tham số hóa kết cho điểm tối đa Câu (2,5đ)a y = nghiệm phương trình 0,25đ Đưa phương trình dạng y − x1 y = x2 phương trình tuyến tính 0,25đ Giải nghiệm: y = x(x3 /3 + c) 0,5đ b Tìm nghiệm nhất: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) Tìm nghiệm riêng: y ∗ = cos x − sin x 5 ∗ x Nghiệm tổng quát: y = y + y = e (C1 cos x + C2 sin x) + cos x − sin x 5 Câu (1,5đ) Tính bán kính hội tụ R = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Tìm miền hội tụ X = (−2, 2) 0,5đ Tính tổng S(x) = (2−x)2 0,5đ ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2,0đ)  − y + 2y − x2 = 2 Tìm điểm dừng: y − 2y − xy + 2x = 0,25đ Có điểm dừng M1 (0, 0); M2 (−2, 2), M3 (2, 2) 0,5đ Vi phân cấp 2: A = −x, B = −y + 2, C = 2y − − x 0,5đ Tại điểm M1 (0, 0) có AC − B = −4 < Hàm khơng đạt cực trị M1 0,25đ Tại điểm M2 (−2, 2) có A = > 0, AC − B = > Hàm đạt cực tiểu M2 0,25đ Tại điểm M3 (2, 2) có AC − B = 0, f (2, y) = (y − 2)3 + , hàm không đạt cực trị M3 0,25đ 3 Câu (2,0đ) Giao mặt đường tròn x2 + y = 1, D = {(x, y) x2 + y ≤ 1} 0,5đ (10 − 7x2 − 6y − 3x2 − 4y )dxdy = 10 Ta có V = D (1 − x2 − y )dxdy 0,5đ D 2π Đổi biến sang tọa độ cực, V = 10 (1 − r2 )rdr = 5π 1,0đ dϕ 0 Câu (2,0đ) Sử dụng cơng thức Gauss-ơtrơgradsky đưa tích phân I = (2z − 1)dxdydz 0,5đ V zdxdydz = 0,5đ Tính V Tính dxdydz = −32π 0,5đ V −32π 0,5đ I= *Chú ý: Nếu sinh viên làm theo tham số hóa kết cho điểm tối đa Câu (2,5đ) a y = nghiệm phương trình 0,25đ Đưa phương trình dạng y + x1 y = x phương trình tuyến tính cấp 0,25đ Giải nghiệm: y = x1 (x3 /3 + c) 0,5đ b Tìm nghiệm nhất: y = e−2x (C1 cos x + C2 sin x) −3 Tìm nghiệm riêng: y ∗ = cos x + sin x 8 3 ∗ −2x Nghiệm tổng quát: y = y + y = e (C1 cos x + C2 sin x) − cos x + sin x 8 Câu (1,5đ) Tính bán kính hội tụ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Tìm miền hội tụ X = (−3, 3) 0,5đ Tính tổng S(x) = 3x (3−x)2 0,5đ ĐÁP ÁN ĐỀ Câu a) (1,0đ) lim +∞ un+1 = ⇒ chuỗi hội tụ 0,5đ un 2.2n = 2e2 0,5đ n! n=0 −x −y z b) (1,5đ) ux = , uy = , uz = 0,5đ (x2 + y − z )3 (x2 + y − z )3 (x2 + y − z )3 Ta Ma trận đạo hàm riêng u M (1, 1, 1) A = −1 −1 Véctơ đơn vị phương 2 M N v = ( , , ) 0,5đ 3 ∂u ⇒ (M ) = −1 0,5đ ∂v Câu (2,0đ) Lập hàm Lagrange F = 9−6x+12y +λ((x−1)2 +y −5) Các điểm dừng M1 (2, −2) ứng với λ = 3; M2 (−2, 2) ứng với λ = −3 1,0đ Tại M1 , d2 F = 6dx2 + 6dy , xác định dương, hàm đạt cực tiểu có điều kiện , f (M1 ) = −27 0,5đ Tương tự, M2 , hàm đạt cực đại có điều kiện f (M2 ) = 45 0,5đ       x = r cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π Câu (2,0đ)Đổi biến trụ 2π I= dϕ z=z 0,5đ r≤z≤2 zr2 rdz 0,5đ r 2 I = 2π    dr 0≤r≤2 y = r sin ϕ    dr z r (4r3 − r5 )dr 0,5đ =π r 0 I = π r4 − r6 2 16 = π 0,5đ Câu (1,5đ)A(−1, 0), B(1, 0) Thêm AB (3x2 sin y + yx2 )dx + (x3 cos y − 3xy )dy = 0, để thu tích phân đường lấy theo đường cong kín giới hạn miền D = {(x, y) | x2 + 3y ≤ 1, y ≥ 0} 0,5đ (−x2 − 3y )dxdy 0,5đ Áp dụng định lý Green, I = D π Đổi biến sang tọa độ cực ta I = − √ π r3 dr = − √ 0,5đ dϕ 0 Câu (2,0đ) Giải phương trình vi phân a (1,0đ) Đây phương trình tồn phần, chọn x0 = y0 = 0, nghiệm 4x2 − 3xy − 2y = c 1,0đ Chú ý: dùng phương trình đẳng cấp giải b.(1,0đ) Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 ex + C2 e−x 0,5đ Nghiệm riêng Y = Cxe−x Lấy đạo hàm cấp thay vào thu C = Nghiệm tổng quát −x x −x pt y = C1 e + C2 e + xe , 0,5đ ĐÁP ÁN ĐỀ Câu a) (1,5đ) lim +∞ un+1 = ⇒ chuỗi hội tụ 0,5đ un 3.3n = 3e3 0,5đ n! n=0 x −y −z b) (1đ) uz = , uy = , ux = 0,5đ (y + z − x2 )3 (z + y − x2 )3 (z + y − x2 )3 ta có Ma trận đạo hàm riêng u M (1, 1, 1) A = −1 −1 Véctơ đơn vị phương 2 ∂u N M v = ( , , ) ⇒ (M ) = −1 0,5đ 3 ∂v Câu (2,0đ) Lập hàm Lagrange F = 7+12x−6y +λ(x2 +(y −1)2 −5) Các điểm dừng M1 (2, −2) ứng với λ = −3; M2 (−2, 2) ứng với λ = −3 1,0đ Tại M1 , d2 F = −6dx2 − 6dy =, xác định âm, hàm đạt cực đại có điều kiện , f (M1 ) = 43 0,5đ Tương tự, M2 , hàm đạt cực tiểu có điều kiện f (M2 ) = −29 0,5đ     x = r cos ϕ    0 ≤ ϕ ≤ 2π 0,5đ Câu (2,0đ)Đổi biến trụ y = r sin ϕ 0≤r≤2       z=z r ≤z≤4 2π I= dϕ dr √ zr2 rdz 0,5đ r2 2 I = 2π dr 3 z2r r2 = π 0 I = π 2r4 − r7 (8r3 − r6 )dr 0,5đ 128 = π 0,5đ 1 Câu (1,5đ)A(− √ , 0), B( √ , 0) Thêm AB (3x2 sin y + 3yx2 )dx + (x3 cos y − xy )dy = 0, để thu 3 tích phân đường cong kín giới hạn miền D = {(x, y) | 3x2 + y ≤ 1, y ≥ 0} 0,5đ (−3x2 − y )dxdy 0,5đ Áp dụng định lý Green, I = D π Đổi biến sang tọa độ cực ta I = − √ π r3 dr = − √ 0,5đ dϕ 0 Câu (2,0đ) Giải phương trình vi phân a (1,0đ) Đây phương trình tồn phần, chọn x0 = y0 = 0, nghiệm x2 − 4xy + 2y = c 1,0đ Chú ý: dùng phương trình đẳng cấp giải b (1,0đ)Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 ex + C2 e−x 0,5đ Nghiệm riêng Y = Cxex Lấy đạo hàm cấp thay vào thu C = Nghiệm tổng quát x x −x pt y = C1 e + C2 e + xe 0,5đ ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (1,5đ) a zx (M ) = − Fx x = , 0,5đ = Fz 4z Fy y = − = −1 0,5đ Fz z 4z − x2 zxx = =⇒ zxx (M ) = 0,5đ 16z  u = (x2 + xy + y + 2x + y)ex+y = x Câu (2,0đ) Giải hệ u = (x2 + xy + y + x + 2y)ex+y = zy (M ) = − y điểm dừng M1 (0, 0), M2 (−1, −1) 0,5đ A = uxx = (x2 + xy + y + 4x + 2y + 2)ex+y B = uxy = (x2 + xy + y + 3x + 3y + 1)ex+y C = uyy = (x2 + xy + y + 2x + 4y + 2)ex+y 0,5đ Tại M1 , A = 2, B = 1, C = suy M1 cực tiểu 0,5đ Tại M2 ,A = −e−2 , B = −2e−2 , C = −e−2 , AC − B < 0, M2 ko cực trị 0,5đ Câu (2,0đ) Đổi biến x = 2π r cos ϕ, y = r sin ϕ ≤ r ≤ 1, ≤ ϕ ≤ 2π 0,5đ r/2dr √ dϕ 0,5đ − r 0 √ = = π(2 − 3) 1,0đ viết I = Câu (2,0đ) Áp dụng công thức G-O: I = V 2x y + z dxdydz 0,5đ Đổi biến y = r cos ϕ, z = r sin ϕ, x = x với ≤ r ≤ 1, ≤ ϕ ≤ 2π, r ≤ x ≤ 0,5đ Viết I = 2π dϕ dr r 2xr2 dx 0,5đ = = 4π/15 0,5đ Câu (2,5đ) a Ngiệm phương trình ytn = c1 cos 2x + c2 sin 2x 0,5đ Nghiệm riêng có dạng yr = a cos x + b sin x 0,5đ Tính đc yr = 1/3 cos x, suy nghiệm tổng quát y = c1 cos 2x + c2 sin 2x + 1/3 cos x 0,5đ b Đặt t = cos x, miền hội tụ cos x = ±1 ⇔ x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z} 0,5đ cos x Tổng chuỗi 0,5đ − cos x ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (1,5đ) a zx (M ) = − Fx x = − = −1, 0,5đ Fz z Fy y = 0,5đ = Fz 4z 4z − y zyy = =⇒ zyy (M ) = 0,5đ 16z  u = (x2 − xy + y + 2x − y)ex+y = x Câu (2,0đ) Giải hệ u = (x2 − xy + y − x + 2y)ex+y = zy (M ) = − y điểm dừng M1 (0, 0), M2 (−1, −1) 0,5đ A = uxx = (x2 − xy + y + 4x − 2y + 2)ex+y B = uxy = (x2 − xy + y + x + y − 1)ex+y C = uyy = (x2 − xy + y − 2x + 4y + 2)ex+y 0,5đ Tại M1 , A = 2, B = −1, C = suy M1 cực tiểu 0,5đ Tại M2 ,A = e−2 , B = −2e−2 , C = e−2 , AC − B < 0, M2 ko cực trị 0,5đ Câu (2,0đ) Đổi biến x = r cos ϕ, y = 2π r sin ϕ ≤ r ≤ 1, ≤ ϕ ≤ 2π 0,5đ r/2dr √ 0,5đ + r 0 √ = = π( − 2) 1,0đ viết I = dϕ Câu (2,0đ) Áp dụng công thức G-O: I = V √ 2y x2 + z dxdydz 0,5đ Đổi biến x = r cos ϕ, z = r sin ϕ, y = y với ≤ r ≤ 1, ≤ ϕ ≤ 2π, r ≤ y ≤ 0,5đ Viết I = 2π dϕ dr r 2yr2 dy 0,5đ = = 4π/15 0,5đ Câu (2,5đ) a Ngiệm phương trình ytn = c1 cos 3x + c2 sin 3x 0,5đ Nghiệm riêng có dạng yr = a cos x + b sin x 0,5đ Tính đc yr = 1/8 sin x, suy nghiệm tổng quát y = c1 cos 3x + c2 sin 3x + 1/8 sin x 0,5đ π b Đặt t = sin x, miền hội tụ sin x = ±1 ⇔ x ∈ R \ { + kπ, k ∈ Z} 0,5đ sin x Tổng chuỗi 0,5đ − sin x ... Gauss-ơtrơgradsky đưa tích phân I = (2z + 1)dxdydz 0,5đ V zdxdydz = 0,5đ Tính V Tính dxdydz = 4π ... Gauss-ơtrơgradsky đưa tích phân I = (2z − 1)dxdydz 0,5đ V zdxdydz = 0,5đ Tính V Tính dxdydz = −32π ... đường x2 + y = D = {(x, y) x2 + y ≤ 1} 0,5đ (8 − 2x2 − 5y − 6x2 − 3y )dxdy = Ta có V = D (1 − x2 − y )dxdy 0,5đ D 2π Đổi biến sang tọa độ cực, V = (1 − r2 )rdr = 4π