Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích K57 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x2 y − y3 + 2x víi ®iỊu kiƯn 3x − y = Chøng minh r»ng hàm f (x, y) không đạt cực trị miền D = {(x, y) : 3x − y < 0} Câu (2đ) Tính diện tích phần mặt cong z = xy − y n»m mỈt trơ x2 + y = 2x x2 y xdy − ydx , víi L lµ cung elip + = nèi từ điểm 9x2 + 4y Câu (1,5đ) Tính tích phân đ-ờng loại hai L A(2, 0) đến điểm B(0, 3) theo h-ớng d-ơng Câu (1,5đ) Cho y = y(x) hàm xác định ph-ơng trình ẩn ln(1 + x2 + y4! ) = y Tính đạo hàm dy d2 y (0) dx dx2 Câu (3đ) a Giải ph-ơng trình y − 4y + 4y = xe2x ∞ b T×m miỊn hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n=0 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD xn+1 3n (n + 1) Đề thi môn Giải tích K57 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = xy x3 + 2y víi ®iỊu kiƯn 3y − x = Chứng minh hàm f (x, y) không đạt cực trị miền D = {(x, y) : 3y x < 0} Câu (2đ) Tính diện tích phần mặt cong z = xy x nằm mỈt trơ x2 + y = 2y x2 y xdy − ydx + = nèi tõ ®iĨm , víi L lµ cung elip 4x2 + 9y Câu (1,5 đ) Tính tích phân ®-êng lo¹i hai L A(3, 0) ®Õn ®iĨm B(0, 2) theo h-ớng d-ơng Câu (1,5đ) Cho y = y(x) hàm xác định ph-ơng trình ẩn ln(1 + x2 + y2! ) = y Tính đạo hàm dy d2 y (0) dx dx2 Câu (3 đ) a Giải ph-ơng trình y + 4y + 4y = xe−2x ∞ b T×m miỊn héi tơ tính tổng chuỗi lũy thừa n=0 xn+1 2n (n + 1) Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích K57 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (3đ) a Tìm cực trị cđa hµm sè f (x, y) = x4 + 2y − (x + y)2 xy , nÕu (x, y) = (0, 0) b XÐt tÝnh kh¶ vi cđa hµm sè f (x, y) = x2 + y 0, (x, y) = (0, 0) Câu (3,5đ) a Cho C elip có ph-ơng trình x2 + 4y = 1, h-íng cđa C ng-ỵc víi chiỊu kim đồng hồ y x Tính tích phân đ-ờng loại hai dx + + x dy 2 + x2 + y C 1+x +y b Cho S mặt cầu có ph-ơng trình x2 + y + z = 4, h-íng ngoµi TÝnh tÝch phân mặt loại y z x hai dydz + dzdx + dxdy 2 2 5+z +x + x2 + y S 5+y +z Câu (1,5đ) Tính thể tích miền không gian bị chặn hai mặt cong có ph-ơng trình lần l-ợt z = 16 − (x − 2)2 − y , z = 4x + Câu (2đ) a Giải ph-ơng trình vi phân (y y 2) dx + (x + y) dy = ∞ b T×m miỊn hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n=0 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD x2n+1 4n (2n + 1) Đề thi môn Giải tích K57 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (3đ) a Tìm cực trị hàm số f (x, y) = 2x2 + y − (x + y)2 x + y , nÕu (x, y) = (0, 0) b Xét tính khả vi hàm số f (x, y) = x2 + y 0, nÕu (x, y) = (0, 0) Câu (3,5đ) a Cho C elip có ph-ơng trình x2 + 4y = 1, h-ớng C ng-ợc với chiều kim đồng hồ y x Tính tích phân đ-ờng loại hai y dx + dy 2 1+x +y + x2 + y C b Cho S mặt cầu có ph-ơng tr×nh x2 + y + z = 9, h-ớng Tính tích phân mặt loại y z x hai dydz + dzdx + dxdy 2 + z + x2 + x2 + y S 7+y +z Câu (1,5đ) Tính thể tích miền không gian bị chặn hai mặt có ph-ơng trình lần l-ợt z = 36 (x − 3)2 − y , z = 6x + 18 Câu (2đ) a Giải ph-ơng trình vi phân (y + y 2) dx + (x − y) dy = b Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n=0 x2n+1 9n (2n + 1) Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Đề số K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (1đ) Phát biểu định lí Stokes Tính véc tơ rot áp dụng định lí Stokes cho hàm véc tơ (P, Q, R) = (y, z, y) nửa mặt cầu x2 + y + z = 1, z Câu (2đ) Tìm cực trị hàm f (x, y) = 2x3 4y − 6xy − 21y + 9x2 − 18xy 24y Câu (4đ) Kí hiệu V miền không gian hữu hạn giới hạn mặt phẳng x + y + z = mặt parabôlôit z = x2 + y 2, kÝ hiƯu L lµ giao mặt a) Tính thể tích miền V b) Tính tích phân đ-ờng loại hai I = dx − x dy + dz trªn L, h-íng L đ-ợc xác định nh- sau: L đứng dọc theo trơc cao Oz nh×n xng L, h-íng cđa L ng-ợc với chiều quay kim đồng hồ Câu (1,5đ) Giải ph-ơng trình vi phân y 3y + 2y = e2x(2 − x) x3 ∞ C©u (1,5đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n=1 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút (1 + 2n )xn n2n §Ị sè K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (1đ) Phát biểu định lí Stokes Tính véc tơ rot áp dụng định lí Stokes cho hàm véc tơ (P, Q, R) = (z, x, x) nửa mặt cÇu x2 + y + z = 4, z Câu (2đ) Tìm cực trị hàm f (x, y) = 8x3 − 2y − 2xy − 7y + 12x2 − 12xy − 16y Câu (4đ) Kí hiệu V miền không gian hữu hạn giới hạn mặt phẳng 2x + 2y + z = mặt parabôlôit z = x2 + y 2, kÝ hiƯu L lµ giao cđa mặt a) Tính thể tích miền V b) Tính tích phân đ-ờng loại hai I = dx − x dy + dz trªn L, h-íng cđa L đ-ợc xác định nh- sau: L đứng dọc theo trục cao Oz nhìn xuống L, h-ớng L ng-ợc với chiều quay kim đồng hồ Câu (1,5đ) Giải ph-ơng trình vi phân y 4y = e2x(2 4x) x3 Câu (1,5đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi n=0 xn + (2)n xn n!2n+1 Đề thi môn Giải tích K57 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2.0đ) a Chuỗi số n + 2n hội tụ hay phân kì? Vì sao? n2 n=1 b Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa + 3n n x n! n=1 Câu (3.0đ) a Cho hàm số f (x, y) = |x| + |y| kh«ng H·y chøng minh? x2 + y TÝnh fx (0; 0), fy (0; 0) Hàm f (x, y) có khả vi (0; 0) b Tìm cực trị hàm số u(x, y) = (x − 1)3 + 3(x − 1)y − 12y 15x Câu (3.0đ) x2 y dxdy, víi D lµ miỊn x2 + y ≤ 1, y ≥ + x2 + y a TÝnh tÝch ph©n kÐp D b TÝnh tích phân mặt (x2 + y )dxdy + y 2xdydz + xzdzdx, với S bề mặt h×nh nãn S y = x2 + z , y = vµ C cã h-íng ngoµi Câu (2.0đ) Tìm nghiệm y = y(x) ph-ơng tr×nh y + 4y = 2(x2 + 3) tháa m·n ®iỊu kiƯn ban ®Çu y(0) = 2, y (0) = Đề thi môn Giải tích K57 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2.0đ) a Chuỗi số n(3n + n=1 hội tụ hay phân kì? Vì sao? n2 b Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thõa 2n − n x n! n=1 ∞ Câu (3.0đ) a Cho hàm số f (x, y) = x + y kh«ng H·y chøng minh? x3 + y TÝnh fx (0; 0), fy (0; 0) Hàm f (x, y) có khả vi (0; 0) b Tìm cực trị hàm số u(x, y) = (x + 1)3 + 3(x + 1)y − 15x 12y Câu (3.0đ) a Tính tích phân kép D − x2 − y dxdy, víi D lµ miỊn x2 + y ≤ 1, x ≤ 2 1+x +y x2zdxdy + (y + z)dydz + x2z dzdx, với S bề mặt hình b Tính tích phân kép mặt S nãn x2 = y + z 2, x = C có h-ớng Câu (2.0đ) Tìm nghiệm ph-ơng trình y y 2y = 3ex thỏa mãn điều kiện ban đầu y(0) = 1, y (0) = Đề thi môn Giải tích K57 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (3.0đ) x2 yxy x2 +y a Chøng minh hµm sè f (x, y) = vi t¹i (0; 0) víi (x; y) = (0; 0) liên tục (0; 0) nh-ng không khả với (x; y) = (0; 0) b Tìm cực trị hàm số u (x, y) = 13 x3 + xy − 12 x2 y − 12 x2 14 y Câu (2.0đ) Tìm thể tích vật thể đ-ợc giới hạn mặt cong (x2 + z )2 + y = vµ mặt phẳng y = Câu (1.5đ) Tính tích phần đ-ờng (2x + y ) dx + (x yey ) dy, với C đoạn thẳng nối điểm C O(0; 0), A(1; 0) B(0; 1) theo h-ớng ng-ợc chiều kim đồng hồ Câu (2.0đ) Giải ph-ơng trình vi phân a ydx + (y − x) dy = b y − 2y + y = x (3ex + 1) Câu (1.5đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa ∞ (n + 1) 2n xn n=0 §Ị thi môn Giải tích K57 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Thời gian làm 90 phút Đề số 10 Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (3.0đ) a Chøng minh hµm sè f (x, y) = √x y−xy (x2 +y )3 víi (x; y) = (0; 0) víi (x; y) = (0; 0) liên tục (0; 0) nh-ng không khả vi (0; 0) b Tìm cực trị hàm số u (x, y) = 14 x4 + 12 x2 y − x2y + 12 y − 13 y Câu (2.0đ) Tìm thể tích vật thể đ-ợc giới hạn mặt cong (y + z 2)2 + x = mặt phẳng x = Câu (1.5đ) Tính tích phần đ-ờng (xex y) dx + (x2 2y) dy, với C đoạn thẳng nối điểm C O(0; 0), A(1; 0) B(1; 1) theo h-ớng ng-ợc chiều kim đồng hồ Câu (2.0 đ) Giải ph-ơng trình vi phân a ydx + (2y + x) dy = b y + 2y + y = x (2e−x − 3) Câu (1.5đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa (n + 1) 3n xn n=0 Đề thi môn Giải tích K57 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Thời gian làm 90 phút Câu (2.0đ) Tìm cực trị hàm số z = x + y víi ®iỊu kiƯn x2 + y2 Đề số 11 Không sử dụng tài liệu phòng thi = Câu (2.0đ) Tính thể tích phần khèi cÇu (x − 1)2 + y + z ≤ n»m mỈt trơ x2 − 2x + y = Câu (2.0đ) Tính tích ph©n (2x − y) dx + (2y − z) dy + dz, elip C giao mặt trụ C x2 + y = mặt ph¼ng x + y + z = 1, C cã h-ớng ng-ợc chiều kim đồng hồ nhìn từ xuống Câu (2.5đ) Giải ph-ơng trình vi phân a (2x − xy + 2) dx + (1 − x) dy = b y − 4y + 5y = 5x + Câu (1.5đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi xn+2 n=0 (n + 2) n! Đề thi môn Giải tích K57 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Thời gian làm 90 phút Câu (3.0đ) Tìm cực trị hàm số f (x; y) = x − y víi ®iỊu kiƯn x2 Đề số 12 Không sử dụng tài liệu phòng thi + y = Câu (2.0đ) Tính thể tích phần khối cầu x2 + (y + 1)2 + z ≤ n»m mỈt trơ x2 + y + 2y = C©u (1.5đ) Tính tích phân (x + 2y) dx + (y + 2z) dy + dz, ®ã elip C giao mặt C nón 4x2 + y = z mặt phẳng z = 1, C có h-ớng ng-ợc chiều kim đồng hồ nhìn từ xuống Câu (2.5 đ) Giải ph-ơng trình vi ph©n a (2 − y) dx + (x − xy + y + 1) dy = b y − 2y + 5y = 5x + Câu (1.5đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi x2n1 n=1 (n 1)! Đề thi môn Giải tích K57 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Thời gian làm 90 phút Đề số 13 Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2.0đ) a Xét hội tụ, phân kì chuỗi số + sin π n2 + n=1 b T×m miỊn hội tụ chuỗi hàm + n=1 2n+1 3n x 3n Câu (1.5đ) Tìm cực trị hàm sè u(x, y, z) = x3 − 3x2 + y + 2z + xy − 2xz + 3x + 2y + 2z Câu (2.0đ) Tính tích ph©n I = 2(x2 + y 2) D C©u (2.0đ) Tính tích phân mặt I = dxdy với D lµ miỊn x2 + y ≤ 2x, y ≤ −x xdydz + ydxdz − 2(x2 + y + 2)dxdy với S phần mặt S paraboloid z = x2 y , nằm hai mặt phẳng z = 0; z = −4 vµ S cã vecto pháp tuyến h-ớng xuống d-ới Câu (2.5đ) Giải ph-ơng trình vi phân sau: a 2xy xex y dx + xdy = b y + 3y 4y = (18x + 21)e2x Đề thi môn Giải tích K57 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Thời gian làm 90 phút Đề số 14 Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2.0đ) a Xét hội tụ, phân kì chuỗi số + √ sin π n2 − n=2 b T×m miền hội tụ chuỗi hàm + 3n 2n x 2n n=1 Câu (1.5đ) Tìm cực trị hàm số u(x, y, z) = y + x2 − 3y + 2z + xy − 2yz + 2x + 3y + 2z C©u (2.0đ) Tính tích phân I = D dxdy 3(x2 +y ) Câu (2.0đ) Tính tích phân mặt I = với D miền x2 + y ≤ 2x, y ≥ x xdydz + ydxdz + 2(x2 + y + 1)dxdy với S phần mỈt S paraboloid z = x2 + y 2, n»m hai mặt phẳng z = 0; z = S có vecto pháp tuyến h-ớng xuống d-ới Câu (2.5đ) Giải ph-ơng trình vi phân sau: a 2xy + xe3x y dx − xdy = b y − 3y − 4y = (−18x + 3)e2x Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (2đ) -Xét đ-ờng thẳng {3x y = 0} Cực đại c( 13 ; 1), cực tiểu c( 13 ; 1) (Giải pp Lagrange đ-a toán tìm cực trị tự cho hàm biến) (1đ) fx = 2xy + = ⇒ a(1, −1), b(−1, 1) Ta thÊy a -XÐt miền {3x y < 0} Tìm điểm dừng fy = x2 − y = kh«ng thuéc miền {3x y < 0} Đạo hàm riêng cấp 2: fxx = 2y, fxy = 2x, fyy = −2y Suy b điểm cực trị (1đ) Câu (2đ) Diện tích mặt cong S = D + (x − 1)2 + y 2dxdy, víi D : (x − 1)2 + y 1(1®).Chun √ 2π 1√ sang tọa độ cực, ta đ-ợc S = d + r2 rdr = 23 (2 − 1) (1đ) Câu (1.5đ) Tham số hóa cung elip x = cos t, y = sin t, I = 12 Câu (1.5đ) Dễ thấy y Nên thay x = ta đ-ợc ph-ơng trình ey = + y4! có nghiệm 2x 2x d2 y dy = = (1đ)và (0) = (0.5®) y = VËy 3 dx dx2 + x2 + y4! − y3! ey y3! Câu (2đ) a Nghiệm y = C1 e2x + C2 xe2x (0.5đ) Tìm nghiệm riêng y = e2xx3 Nghiệm tổng quát y = y + y(0.5đ) t t tn+1 n x = y dy = y n dy VËy b MiỊn héi tơ [−3, 3) (0.5®) §Ỉt t = , ta cã n + 0 n=0 n=0 n=0 ∞ n=0 xn+1 = ln(1 3x) (0.5đ) 3n (n + 1) Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (2đ) -Xét đ-ờng thẳng {3y x = 0} Cực đại c(1; 13 ), cực tiểu d(1; 13 ) (Giải pp Lagrange đ-a toán tìm cực trị tự cho hàm biÕn) (1®) fx = y − x2 = ⇒ a(1, −1), b(−1, 1) Ta thÊy a -XÐt trªn miền {3y x < 0} Tìm điểm dừng fy = 2xy + = kh«ng thc miỊn {3x y < 0} Đạo hàm riêng cấp 2: fxx = 2y, fxy = 2x, fyy = −2y Suy b điểm cực trị(1đ) Câu (2đ) Diện tÝch mỈt cong S = D + x2 + (y − 1)2 dxdy, víi D : x2 + (y − 1)2 (1®) √ 2π 1√ 2 Chun sang tọa độ cực, ta đ-ợc S = d + r rdr = (2 − 1) (1đ) Câu (1.5đ) Tham số hóa cung elip x = cos t, y = sin t, I = 122 Nªn thay x = ta đ-ợc ey = + y2! có nghiệm y = Vậy Câu (1.5đ) Dễ thÊy y dy 2x 2x d2 y = y = (1đ) (0) = (0.5đ) dx e y dx2 + x2 + y2! − y C©u (2đ) a Nghiệm y = C1e2x + C2 xe2x (0.5đ) Tìm nghiệm riêng y = e−2x x3 NghiƯm tỉng qu¸t y = y ∗ + y¯ (0.5®) ∞ ∞ ∞ t t tn+1 b Miền hội tụ [2, 2) (0.5đ) Đặt t = x2 , ta cã = y n dy = y n dy VËy n + n=0 n=0 n=0 ∞ n=0 xn+1 = −2 ln(1 − 2x) (0.5đ) 2n (n + 1) Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (3đ) a Tìm điểm dừng fx = 4x3 2(x + y) = fy = 4y − 2(x + y) = a(0, 0), b(1, 1), c(1, 1) (1đ) Đạo hàm riêng cấp 2: fxx = 12x2 2, fxy = 2, fyy = Suy a điểm cực trị b, c cực tiểu (1đ) b Hàm khả vi R2 trừ điểm gốc (1đ) Câu (3.5đ) a Sử dụng định lý Green, suy tÝch ph©n b»ng diƯn tÝch elip VËy I = /2 (1.5đ) b Sử dụng công thức Gauss-Oxtrogratxki đ-a tíchphân ba lớp miền hình cầu Sau √ dxdydz 2r − r = 6π dr (1đ) Đổi biến t = r2 , I = ®ỉi sang täa ®é trơ I = M + x2 + y + r2 2 2t 6π dt = 6π(3 ln 4) (1đ) t2 Câu (1.5đ) Ph-ơng trình hình chiếu giao hai mặt x2 + y = VËy V = (4 − y − y 2)dxdy = x2 +y 2π (4 dϕ − r )rdr = 8π x+y y dx + dy = TÝch 1−y (1 y)2 x x y x+y phân tổng quát 0dx + + ln |y − 1| + − x = C (1®) dy = C Hay (1 − y) 1−y 1−y dx −1 SV cã thĨ ®-a vỊ PTTT: + x= dy y − y 1−y ∞ ∞ x x t2n+1 = = b MiỊn héi tơ (−2, 2) (0.5®) Ta ®Ỉt t = , Tỉng b»ng ( )2n+1 2 2n + 2n + n=0 n=0 Câu (2đ) a Thừa số tích phân 1/(1 y)2, đ-a PTVP toàn phần t t 2n y dy = n=0 t ∞ ( 2+x 1+t = ln , −2 < x < (0.5®) dy = ln 1−y 1−t 2−x 2n y )dy = n=0 Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (3đ) a Tìm điểm dừng fx = 4x 2(x + y) = fy = 4y − 2(x + y) = ⇒ a(0, 0), b(1, 1), c(−1, 1) (1đ) Đạo hàm riêng cấp 2: fxx = 2, fxy = −2, fyy = 12y − Suy a điểm cực trị b, c cực tiểu (1đ) b Hàm khả vi R2 trừ điểm gốc (1đ) Câu (3.5đ) a Sử dụng định lý Green, suy tích phân diện tích elip Vậy I = /2 (1.5đ) b Sử dụng công thức Gauss-Oxtrogratxki đ-a tích phân ba lớp miền hình cầu I = dxdydz (1đ) Đổi sang tọa ®é trô I = 12π(2 ln − 3) (1®) M + x2 + y (9 − y y 2)dxdy = Câu (1.5đ) Ph-ơng trình hình chiếu giao hai mặt x2 + y = VËy V = x2 +y 2π dϕ (9 − r )rdr = 27π x + ln |y + 1| + − x = C (1®) 1+y 1+y ∞ 3+x x2n+1 = ln (0.5®) b MiỊn héi tơ (−3, 3) (0.5®) Tỉng n (2n + 1) x n=0 Câu (2đ) a Nghiệm tổng quát Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (1,0 đ) Hàm véc tơ (P, Q, R) = (y, z, y) cã vÐc t¬ rot = (0, 0, −1) fx = 6x2 − 6y + 18x − 18y = fy = −12y − 12xy − 42y − 18x − 24 = C©u (2,0 đ) Điểm dừng hàm số a1(2, 2), a2 (− 12 , − 52 ), a3(− 12 , 12 ) (1đ) Đạo hàm riêng cấp 2: fxx = 12x + 18, fxy = −12y − 18, fyy = −24y − 12x − 42y DƠ dµng chøng minh hàm đạt cực tiểu a2( 12 , 52 ) không đạt cực trị điểm lại (1đ) Câu (4,0 đ) a) (2,0 đ) L giao mặt phẳng x+y +z = mặt parabôlôit z = x2 +y Hình chiếu L lên mặt phẳng xOy đ-ờng tròn (x+ 12 )2 +(y+ 12 )2 = 32 (1®) ThĨ tÝch miền V tích phân miền hình tròn (miỊn D): V = (1−x−y −x2 −y 2) dxdy Chun sang täa ®é cùc: x = − 12 +r cos ϕ, y = − 12 +r sin ϕ D √3 2π Khi ®ã V = (1 − x − y − x2 − y 2) dxdy = dϕ 32 − r2 r dr = 9π (1®) D b) (2,0 ®) BiĨu diƠn tham sè cđa L : x = − 12 + cos ϕ, y = − 12 + 32 sin ϕ, z = − 32 (cos ϕ + sin ϕ) √ 2π 3π cos2 ϕ cos ϕ + )dϕ = − (1®) ( víi ϕ ∈ [0, 2π] (1®) TÝch phân đ-ờng I = Câu (1,5 đ) Nghiệm ph-ơng trình t-ơng ứng y = C1ex + C2 e2x (0.5đ) Tìm nghiệm C1ex + C2 e2x = 2x C1 ex + C2e2x = e (2x) x3 riêng việc giải hệ ph-ơng trình Lagrange ex (x2)dx x3 C2(x) = x1 , C1 (x) x2 = = xe (1®) 2x Vậy nghiệm riêng ph-ơng trình không y ∗ = C1 (x)ex + C2(x)e2x = ex NghiÖm tổng 2x quát ph-ơng trình cho y = y + y ∗ = C1 ex + C2 e2x + ex (1®) ∞ ∞ ( x2 )n (1 + 2n )xn + = Câu (1,5 đ) Miền hội tụ x < (0.5đ) tổng chuỗi lũy thừa n2n n n=1 n=1 n=1 x x xn = − ln(1 − ) − ln(1 − x) = ln − ln(2 + x2 − 3x) (1đ) n Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (1,0 đ) Hàm véc t¬ (P, Q, R) = (y, z, y) cã vÐc tơ rot = (0, 0, 1) Câu (2,0 đ) fx = 8x2 − 2y + 14x − 12y = fy = −2y − 4xy − 14y 12x 16 = Điểm dừng hàm sè M1 (− 12 , −5), M2 (−2, −4), M3 ( 12 , 1) (1đ) Đạo hàm riêng cấp 2: fxx = 16x + 24, fxy = −4y − 12, fyy = −4y − 4x − 14 DƠ dµng chøng minh hàm đạt cực tiểu a2( 12 , 52 ) không đạt cực trị điểm lại Dễ dàng chứng minh hàm đạt cực tiểu M1 ( 12 , 5) không đạt cực trị điểm lại Giá trị cực tiểu u(M1 ) = 14 (1đ) Câu (4,0 đ) a) (2,0 đ) L giao mặt phẳng 2x+2y+z = mặt parabôlôit z = x2 +y Hình chiếu L lên mặt phẳng xOy đ-ờng tròn (x+1)2 +(y+1)2 = (1đ) Thể tích miền V tích phân miền hình tròn (miền D): V = (1−2x−2y−x2−y 2) dxdy Chun sang täa ®é cùc: x = −1+r cos ϕ, y = −1+r sin ϕ D Khi ®ã V = (1 − 2x − 2y − x2 − y 2) dxdy = D √ 2π dϕ (3 − r2 ) r dr = 9π (1®) b) (2,0 ®) BiĨu diƠn tham sè cđa L : x = −1 + √ víi [0, 2] (1đ) Tích phân đ-ờng I = √ √ √ cos ϕ, y = −1 + sin ϕ, z = − 3(cos ϕ + sin ϕ) 2π 2π (3 sin ϕ − cos ϕ)dt − 0 sin2 ϕ dϕ = (1đ) Câu (1,5 đ) Nghiệm ph-ơng trình t-ơng ứng y = C1 e2x + C2 e2x (0.5đ) Tìm 2x nghiệm riêng ph-ơng phap Lagrange y = ex Nghiệm tổng quát ph-ơng trình cho 2x y = y + y = C1e2x + C2e−2x + ex (1®) ∞ x xn + (2)n xn Câu (1,5 đ) Miền hội tụ x R (0.5đ) = e + ex (1đ) n+1 n!2 2 n=0 Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (2.0đ) n + 2n = n2 n=1 chuỗi cho phân kì a (1.0đ) Chuỗi số b (1.0đ) Miền hội tụ X = R Câu (3.0đ) 2n + Chuỗi thứ phân kì, chuỗi thứ hội tụ Vậy n=1 n n=1 n ∞ ∞ xn ∞ (3x)n + 3n n x = + = ex + e3x − n! n! n! n=1 n=1 n=1 a (1.0đ) Dùng định nghÜa fx (0; 0) = fy (0; 0) = Ta cã |f (x, y)| = |x| + |y| Hµm khả vi (0; 0) x2 + y b (2.0đ) Điểm dừng M1 (2; 2); M2 (0; 2); M3 (3; 1); M4 (1; 1) Hàm không đạt cực trị M1 (2; 2); M2 (0; 2) Hàm đạt cực tiểu M3 (3; 1); M4 (1; 1) Câu (3.0®) π 1 − r2 1−t 1−t dt §Ỉt u = , suy rdr = π a (1.5đ) Đ-a tọa độ cực ta đ-ợc I = dϕ 1+r 1+t 1+t 0 π u2 I = 4π = 4π − 2 (1 + u ) y 2dxdydz, víi h×nh nãn V = {(y, D(y)), ≤ y b (1.5đ) Dùng định lý Gauss-Oxtrogratxki I = V 32π y 2SD(y) dy = y 2πy 2dy = 0 D(y) √ Chó ý: ChiÕu V xuống Oxz, ta đ-ợc V = {((x, y), z) : (x, y) ∈ D; x2 + z ≤ y ≤ 2} víi D : x2 + z ≤ √ 32π y3 2 Suy I = |√x2 +z2 dxdz = dxdz y dy = (8 − ( x2 + z )3)dxdz = √ 3D D D x2 +z2 C©u (2.0đ) Nghiệm y = cos 2x + sin x + x2 + 2, D(y) : x2 + z ≤ y } Suy I = 2 y 2dy dxdz = Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (2.0đ) a (1.0đ) Chuỗi số cho phân kì n(3n + n=1 n 1 Chuỗi thứ hội, chuỗi thứ phân kì Vậy chuỗi = + n2 n=1 3n n=1 n b (1.0®) MiỊn hội tụ X = R Câu (3.0đ) (2x)n ∞ xn 2n − n x = − = e2x − ex n! n=1 n=1 n! n=1 n! |f (x, y)| a (1.0đ) Dùng định nghĩa fx (0; 0) = fy (0; 0) = Ta cã x2 + y ≤| x x3 + y x2 + y |+| y x3 + y 3 x2 + y |≤ 2| x3 + y 3| Hàm khả vi (0; 0) b (2.0đ) Điểm dừng M1 (0; 2); M2 (2; 2); M3 (1; 1); M4 (3; 1) Hàm không đạt cực trị M1 (2; 2); M2 (0; 2) Hàm đạt cực tiểu M3 (3; 1); M4 (1; 1) Câu (3.0đ) a (1.5đ) Nh- đề trên, đ-a tọa độ cực ta đ-ợc I = dϕ π b (1.5®) Nh- ®Ị ë trên, dùng định lý Gauss-Oxtrogratxki I = V r2 π rdr = 4π − 1+r 32π x2dxdydz = C©u (2.0đ) Nghiệm tổng quát y = e (x + ) + C1 e−x + C2e2x Suy nghiƯm lµ y = xex + e2x x Đáp án thang điểm đề số Giải tích 2 Câu (3.0đ) a (1.5đ) | xxyxy +y | thÊy fx (0; 0) = fy (0; 0) = 0, 2 | x2x+yy + x2xy+y2 | |x + y| Từ suy hàm liên tục (0; 0) Đễ 2 lim x yxy không tồn giới hạn Hàm không khả vi (0; 0) 2 (x;y)→(0;0) (x +y ) ux = (x − y ) (x − 1) = Từ suy hàm số có điểm dõng M1 (0, 0) ; M2 (1, 0) ; uy = y (2x − x2 − y 2) = *Tại M2 (1, 0) hàm số đạt cực tiểu fCT = − 16 *T¹i M3 (1, 1) ; M4 (1, −1) cã AC − B = cách xét u(x, 1), u(x, 1) từ suy hàm số không đạt cực trị *Tại M1 (0, 0) cã AC − B = chØ u n1 , ≤ vµ u n1 , 1n từ suy hàm không đạt cùc trÞ − x2 + z dxdz ®ã D = {x2 + z 1} b»ng cách đổi biến tọa độ cực Câu (2.0đ) V = b (1.5đ) Tìm điểm dừng D x = r cos Qua tính đ-ợc V = z = r sin Câu (1.5đ) Dùng định lý Green I = D (1 2y)dxdy = , D tam giác ABC : {0 x 1, y − x} Câu (2.0đ) a (1.0đ) * y mét nghiƯm * y ≡ chun vỊ pt tuyÕn tÝnh bËc nhÊt x − x = −1 NghiÖm tổng quát là: x = y( ln |y| + C) y Chú ý: Có thể xem ph-ơng trình đẳng cấp bậc b (1.0đ) Nghiệm ph-ơng trình vi phân cấp y = C1ex + C2 xex + 12 x3ex + x + C©u (1.5®) MiỊn héi tơ X = − 12 ; 12 Tæng S (x) = (1−x)2 = ∞ ∞ (n + 1) 2n xn = n=0 xn+1 = n=0 1x = (12x)2 Đáp án thang điểm đề số 10 Giải tích Câu (3.0đ) a (1.5đ) Nh- đề ux = x (x2 + y − 2y) = tõ ®ã suy hàm số có điểm dừng M1 (0, 0) ; M2 (0, 1) ; M uy = (y − 1) (x2 − y) = *T¹i M2 (0, 1) hàm số đạt cực đại fCD = 16 *T¹i M3 (1, 1) ; M4 (−1, 1) cã AC − B = b»ng c¸ch xÐt u(1, y), u(1, y) từ suy hàm số không đạt cực trị *Tại M1 (0, 0) có AC B = cách chọn dãy suy hàm không đạt cực trị y + z dydz ®ã D = {y + z 1} cách đổi biến tọa độ cực Câu (2.0đ) V = b (1.5đ) Tìm điểm dừng D y = r cos ϕ Qua ®ã tÝnh ®-ỵc V = z = r sin ϕ 3π Câu (1.5đ) Dùng định lý Green I = D (2x + 1)dxdy = , ®ã D tam giác ABC : {0 x 1, y x} Câu (2.0đ) a (1.0đ) * y lµ mét nghiƯm 1 * y ≡ chun vỊ pt tun tÝnh bËc nhÊt x + x = Nghiệm tổng quát là: x = (y + C) y y −x −x −x b (1.0đ) Nghiệm ph-ơng trình vi phân cấp y = C1e + C2xe + x e − 3x + Câu (1.5đ) Miền hội tụ X = − 13 ; 13 Tæng S (x) = (1−x)2 = (1−3x)2 ∞ ∞ (n + 1) 3n xn = n=0 xn+1 n=0 = 1−x = Đáp án thang điểm đề số 11 Giải tích Câu (2.0đ) Hàm f đạt cực đại M1 (1; 4) với = Câu (2.0đ) V = 2 , đạt cực tiểu t¹i M2 (−1; −4) vãi λ = 12 2 − (x − 1) − y 2dxdy ®ã D = (x; y) /(x − 1) + y ≤ §ỉi biÕn D √ √ x − = r cos ϕ , D = {0 ≤ r ≤ 1; ≤ ϕ ≤ 2π} VËy V = − r2 rdrdϕ = 4π − 3 y = r sin D Câu (2.0đ) Sử dụng công thức Stokes ta cã I = dydz + dxdy, ®ã S mặt x + y + z = S x = u 2 giíi h¹n bëi x + y ≤ Tham sè mỈt y = v 2dudv = 2SD = 8π , ta cã I = D z = − u − v x = cos t Chó ý: Cã thÓ tÝnh trùc tiÕp b»ng tham sè y = sin t , ≤ t ≤ 2π z = − cos t − sin t Câu (2.0đ) = nên ta chọn (x) = ex Ph-ơng trình Q a (1.0đ) (2x xy + 2) dx + (1 − x) dy = Vì Q1 P y x t-ơng đ-ơng ex (2x − xy + 2)dx + ex (1 − x)dy = ⇔ d(ex (2x − xy + y)) = ⇔ ex (2x − xy + y) = C b (1.0®) y − 4y + 5y = 5x + ⇔ y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) + x + Câu (1.5đ) Miền hội tơ R , tỉng ∞ n=0 xn+2 (n+2).n! = xex ex + Đáp án thang điểm đề số 12 Giải tích Câu (2.0đ) Hàm số f (x; y) đạt cực đại M1 (4; 1) với = = 12 Câu (2.0đ) V = , đạt cực tiểu M2 (−4; 1) víi − x2 − (y + 1)2 dxdy ®ã D = (x; y) /x2 + (y + 1)2 ≤ §ỉi biÕn D √ √ x = r cos ϕ , D = {0 ≤ r ≤ 1, ≤ ϕ ≤ 2π} VËy V = − r2 rdrdϕ = 4π 8−3 y + = r sin D 2dydz 2dxdy, S mặt z = giới Câu (2.0đ) Sử dụng công thức Stokes ta đ-ợc I = S x = u 2 −2dudv = −2SD = −π h¹n bëi 4x + y ≤ B»ng c¸ch tham sè mặt y = v , ta đ-ợc I = D z = cos t x = Chó ý: Cã thĨ tÝnh trùc tiÕp b»ng tham sè y = sin t , ≤ t ≤ z = Câu (2.0đ) = nên ta chọn (x) = ey Ph-ơng ∂P a (1.0®) (2 − y) dx + (x − xy + y + 1) dy = V× P1 Q x y trình t-ơng đ-ơng (2 y)dx + (x − xy + y + 1)dy = ⇔ ey (2 − y)dx + ey (x − xy + y + 1)dy = ⇔ d(ey (2x − xy + y)) = ⇔ ey (2x − xy + y) = C b (1.0®) y − 2y + 5y = 5x + ⇔ y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x) + x + C©u (1.5®) MiỊn héi tơ R , tỉng ∞ n=1 x2n1 (n1)! = x.ex Đáp án thang điểm đề số 13 Giải tích Câu (2.0®) a (1.0®) Ta cã un = (−1) sin √n2 +1+n nên chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz √ √ 3n 2n+1 → √ nªn R = 3 Tại x = 3 chuỗi phân kì Vậy miền hội b (1.0đ) Ta có 3n |a3n | = √ 3 3 √ √ tơ lµ (− 3; 3) , −1 Câu (1.5đ) Có điểm dừng M 2; −2; 12 vµ N 12 ; −5 4 *Tại M ta có ma trận đạo hàm riêng cấp A = ⇒ A1 = 6, A2 = 11, A3 = 36 Vậy hàm số đạt cực tiĨu t¹i M −3 −2 *T¹i N ta có ma trận đạo hàm riêng cấp A = Suy hµm số không đạt cực trị N −π/4 cos ϕ √ √ dϕ rdr = Câu (2.0đ) Đổi biến tọa ®é cùc ®-ỵc: I = r n −π/2 Câu (2.0đ) Mặt S có ph-ơng trình z = −x − y víi (x, y) ∈ D : x2 + y ≤ Ta cã F.n = −4dxdy = 16π (x, y, −2x2 − 2y − 4)(2x, 2y, 1) = −4, suy I = − D Câu (2.5đ) a (1.0đ) Đ-a ph-ơng trình Béc-nu-li: x 0, y 0, y = ex b (1.5đ) Nghiệm tổng quát là: y = 3xe2x + C1ex + C2e−4x 2x e +C Đáp án thang điểm đề số 14 Giải tích Câu (2.0đ) nên chuỗi hội tơ theo dÊu hiƯu Leibnitz a (1.0®)Ta cã un = (−1)n+1 sin √n2 −1+n √ √ √ 2n √1 nªn R = Tại x = chuỗi phân kì Vậy miền hội tụ b (1.0đ)Ta có 2n |a2n | = √3n−1 → 2 √ √ lµ (− 2; 2) ; ; −1 Hµm sè đạt cực Câu (1.5đ) Đổi vai trò x y Có điểm dừng M 2; 2; 12 N 4 tiểu M, không đạt cực trị N Câu (2.0đ) Đổi biến tọa độ cực đ-ợc: I = /2 cos ϕ √ dϕ π/4 r rdr = Câu (2.0đ) Mặt S có ph-ơng trình z = x2 + y víi (x, y) ∈ D : x2 + y ≤ Ta cã F.n = 2dxdy = −10π (x, y, 2x2 + 2y + 2)(−2x, −2y, 1) = suy I = − D √ C©u (2.0đ) a (1.0đ) Đ-a ph-ơng trình Béc-nu-li: x 0, y ≡ 0, y = ex 14 e2x + C b (1.5đ) Nghiệm tổng quát là: y = 3xe2x + C1e−x + C2 e4x ... tích phân I = 2(x2 + y 2) D Câu (2.0đ) Tính tích phân mặt I = dxdy với D miền x2 + y ≤ 2x, y ≤ −x xdydz + ydxdz − 2(x2 + y + 2)dxdy víi S lµ phần mặt S paraboloid z = x2 y , nằm hai mặt phẳng... + 2z Câu (2.0đ) Tính tích phân I = √ D dxdy 3(x2 +y ) Câu (2.0đ) Tính tích phân mặt I = với D lµ miỊn x2 + y ≤ 2x, y ≥ x xdydz + ydxdz + 2(x2 + y + 1)dxdy với S phần mặt S paraboloid z = x2 +... 32π y3 2 Suy I = |√x2 +z2 dxdz = dxdz y dy = (8 − ( x2 + z )3)dxdz = √ 3D D D x2 +z2 Câu (2.0đ) Nghiệm y = cos 2x + sin x + x2 + 2, D(y) : x2 + z ≤ y } Suy I = 2 y 2dy dxdz = Đáp án thang điểm