GT2 k58 XD

Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x2 + y − 2x − 2y + với điều kiện x2 + y = Câu (2,0đ) Tính thể tích phần khơng gian hữu hạn giới hạn mặt 4x2 + 4y + z = 4x2 + 4y + (z − 2)2 = x2 dydz + y dxdz − z dxdy với S mặt ngồi Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai S tứ diện xác định mặt phẳng tọa độ mặt phẳng x + y + z = a, a > Câu (2,0đ) Giải phương trình vi phân x2 y − 3xy + 4y = x2 cách đặt x = et Câu (2,5đ) ∞ a) Xét hội tụ phân kỳ chuỗi số n=2 √ (−1)n n + (−1)n (−1)n x2n+1 2n+1 (2n + 1)! n=0 ∞ b) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Khơng sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x2 + y − 2x − 2y + với điều kiện x2 + y = Câu (2,0đ) Tính thể tích phần khơng gian hữu hạn giới hạn mặt 9x2 + 9y + z = 9x2 + 9y + (z − 3)2 = x2 dydz − y dxdz + z dxdy với S mặt Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai S tứ diện xác định mặt phẳng tọa độ mặt phẳng x + y + z = a, a > Câu (2,0đ) Giải phương trình vi phân x2 y + 5xy + 4y = cách đặt x = et x2 Câu (2,5đ) ∞ a) Xét hội tụ phân kỳ chuỗi số n=2 √ (−1)n n + (−1)n (−1)n x2n+1 2n+1 (2n + 1)! n=0 ∞ b) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH Đề số K58 Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu   (x2 + y ) sin2 2 (x, y) = (0, 0) x +y Câu (1,5đ) Cho hàm số f (x, y) =  0 (x, y) = (0, 0) Bộ mơn Tốn a) Chứng minh hàm số khả vi (0, 0) b) Hỏi hàm fx (x, y) có liên tục (0, 0) khơng? Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số u(x, y) = 3x4 − 6x2 y − 4x3 + 12xy − 3y (x + yz)dydz + (2y + x2 + z )dzdx + dxdy với S Câu (2,0đ) Tính tích phân mặt loại hai mặt mặt cầu x2 + y + z = S Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau: a) (y − xy )dx + xdy = b) y + 4y + 3y = 2ex ∞ Câu (1,5đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n=1 Trường Đại Học Xây Dựng x2n n.3n ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K58 Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu   (x2 + y ) cos2 2 (x, y) = (0, 0) x +y Câu (1,5đ) Cho hàm số f (x, y) =  0 (x, y) = (0, 0) Bộ mơn Tốn a) Chứng minh hàm số khả vi (0, 0) b) Hỏi hàm fx (x, y) có liên tục (0, 0) khơng? Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số u(x, y) = 3x4 − 6x2 y − 8x3 + 24xy − 3y (3x + y − 2z)dydz + dzdx + 3zdxdy với S mặt Câu (2,0đ) Tính tích phân mặt loại hai mặt cầu x2 + y + z = S Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau: a) (y − xy )dx + xdy = b) y − 3y + 2y = 2e−x ∞ Câu (1,5đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n=1 x3n n.4n Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (1,5đ) Cho A(2, B(0, 2) đường tròn C : x2 + y = Tìm C điểm M cho M A + M B đạt giá trị nhỏ Câu (2,0đ) Tìm thể tích vật thể giới hạn mặt paraboloid z = − 9x2 − 4y mặt phẳng tọa độ z = x y + dx + dy với L cung +y x + y2 L đường tròn (x − 1)2 + (y − 1)2 = nằm phía đường thẳng x + y = nối A(1, 0) với Câu (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai x2 B(0, 1) Câu (2,5đ) Giải phương trình vi phân sau: a) ydx + 2(x + y + 1)dy = b) y − 4y = x2 ∞ Câu (2,0đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n=1 n(x − 1)n 3n Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (1,5đ) Cho A(−2, B(0, −2) đường tròn C : x2 + y = Tìm C điểm M cho M A + M B đạt giá trị nhỏ Câu (2,0đ) Tìm thể tích vật thể giới hạn mặt paraboloid z = − 4x2 − 9y mặt phẳng tọa độ z = x y dx + + dy với L cung +y x + y2 L đường tròn (x + 1)2 + (y − 1)2 = nằm phía đường thẳng y − x = nối A(0, 1) với điểm Câu (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai x2 B(−1, 0) Câu (2,5đ) Giải phương trình vi phân sau: a) 2(x + y + 1)dx + xdy = b) y − y = 2x2 ∞ Câu (2,0đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n=1 n(x + 1)n 2n Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (3,0đ)  x + y3   a) Cho hàm số f (x, y) = 2x + y   2x + y = Chứng minh hàm số f (x, y) tồn 2x + y = đạo hàm riêng cấp (0; 0) không liên tục b) Tìm cực trị hàm số u = 4x3 − 12x2 y − 36xy + 81y y x x arctan dx + y.arccot dy với L đường gấp y x Câu (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai L khúc ABC lấy theo chiều từ đỉnh A(−1, 1), B(−2, 1), C(−2, 2) (x + z) dydz + yz (x + z) dxdz + x2 z dxdy, với S mặt ngồi Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt S y2 z2 elipxôit x2 + + = Câu (2,0đ) Giải phương trình vi phân y − 5y + 6y = 2ex +∞ n! Câu (2,0đ) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa (x − 2)n n n n n=1 Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (3,0đ)  x + y3   a) Cho hàm số f (x, y) = x + 2y   x + 2y = Chứng minh hàm số f (x, y) tồn x + 2y = đạo hàm riêng cấp (0; 0) khơng liên tục b) Tìm cực trị hàm số u = 81x4 − 36x2 y − 12xy + 4y x y x.arccot dx + y arctan dy với L đường gấp y x Câu (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai L khúc ABC lấy theo chiều từ đỉnh A(1, 1), B(2, 1), C(2, 2) x4 ydydz + (yz + 2yz)dxdz + (xy − z) dxdy, với S mặt Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt S y2 z2 ngồi elipxơit x2 + + = Câu (2,0đ) Giải phương trình vi phân y − 4y + 3y = −e2x +∞ n n! Câu (2,0đ) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa (x + 1)n n n n=1 ĐÁP ÁN ĐỀ     Φx = 2x − + 2λx =    Câu (2,0đ) Xét Φ(x, y) = x2 +y −2x−2y +1+λ(x2 +y −4) Suy Φy = 2y − + 2λy =       x2 + y − = √ √ √ √ √ √ Suy M ( 2, 2) với λ = 1−2 N (− 2, − 2) với λ = −1−2 √ √ √ • d2 Φ(M ) = (3 − 2)(dx2 + dy ) xác định dương Suy M ( 2, 2) điểm cực tiểu, fCT = √ − √ √ √ √ • d2 Φ(N ) = (1− 2)(dx2 +dy ) xác định âm Suy N (− 2, − 2) điểm cực đại, fCĐ = 5+4 Câu (2,0đ) Thể tích V = 2 − x2 − y dxdy, với D : x2 + y ≤ Chuyển sang tọa độ D √ cực: V = 2π dϕ √ − r2 rdr = √ √ 8( 8−1)π Câu (2,0đ) Sử dụng định lý Gauss-Oxtrogradsky, ta thu I = 2 a dx a−y dy a−x−y (x + y − z)dz = V (x + y − z)dxdydz = a3 12 Câu (2,0đ) Sử dụng phép đổi biến x = et đưa phương trình cho dạng y − 4y + 4y = e2t Nghiệm tổng quát phương trình ban đầu y(x) = 21 x2 ln2 x + x2 (C1 + C2 ln x) ∞ (−1)n √ n=2 n+(−1)n Câu (2,0đ) a) Ta có hội tụ tiêu chuẩn Leibnitz Chuỗi √ ∞ (−1)n n−1 √ n=2 n −1 = ∞ n=2 √ n2 − chuỗi đan dấu phân kỳ Do đó, chuỗi ban đầu phân kỳ ∞ (−1)n x2n+1 n=0 22n+1 (2n+1)! b) Miền hội tụ chuỗi R √ ∞ (−1)n n √ n=2 n2 −1 Chuỗi = sin x2 ĐÁP ÁN ĐỀ     Φx = 2x − + 2λx =    Câu 1(2,0đ) Xét Φ(x, y) = x2 +y −2x−2y +1+λ(x2 +y −9) Suy Φy = 2y − + 2λy =       x2 + y − = Suy M ( √32 , √32 ) với λ = • d2 Φ(M ) = • d2 Φ(N ) = √ − N (− √32 , − √32 ) với λ = √ − − √ 2 (dx2 + dy ) xác định dương Suy M ( √32 , √32 )) điểm cực tiểu, √ −2 (dx2 + dy ) xác định âm Suy N (− √32 , − √32 )) điểm cực đại, √ fCT = 10 − fCĐ = 10 + √ Câu (2,0đ) Thể tích V = D − x2 − y dxdy, với D : x2 + y ≤ Chuyển sang tọa độ √ √ √ √ 2π 2 cực: V = dϕ − r rdr = π 2( − 1) Câu 3(2,0đ) Sử dụng định lý Gauss-Oxtrogradsky, ta thu I = 2 a dx a−y dy a−x−y (x − y + z)dz = a3 12 V (x − y + z)dxdydz = Câu 4(2,0đ) Sử dụng phép đổi biến x = et đưa phương trình cho dạng y + 4y + 4y = e−2t Nghiệm tổng quát phương trình ban đầu y(x) = 1 x2 ln2 x + √ ∞ (−1)n n−1 (−1)n √ √ Chuỗi Câu 5(2,0đ) a) Ta có ∞ = 4 n n=2 n=2 n+(−1) n2 −1 √ hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Chuỗi ∞ n=2 n2 −1 phân kỳ Do (−1)n x2n+1 x b) Miền hội tụ chuỗi R ∞ n=0 32n+1 (2n+1)! = sin (C1 x2 + C2 ln x) √ ∞ (−1)n n √ n=2 n2 −1 chuỗi đan dấu đó, chuỗi ban đầu phân kỳ ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2,0đ) a) fx (0, 0) = fy (0, 0) = Từ chứng minh f khả vi (0, 0)   2x sin 2 − 22x cos 2 (x, y) = x +y x +y x +y b) f x (x, y) = Từ chứng minh fx khơng  0 (x, y) = liên tục (0, 0)   ux = 12(x − 1)(x2 − y) = , suy M1 (0, 0), M2 (1, 1) Câu (2,0đ) a) Tìm điểm đừng:  u = −6x2 + 12x − 6y = y   12  không xác định dấu Suy M1 (0, 0) khơng cực trị • Tại M1 (0, 0), A =  12 −6   0  có det A = Ta có f (x) = u(x, 1) = 3x4 − 4x3 − 6x2 + 12x − • Tại M2 (1, 1), A =  −6 3; f (x) = 12(x − 1) (x + 1) Suy f (x) không đạt cực trị x = Vậy hàm u(x, y) không đạt cực trị M2 (1, 1) Câu (2,0đ) Sử dụng cơng thức Gauss – Ơtrơgradsky từ suy I = 3V = 32π Câu (3,0đ) a) Đưa phương trình Becnuli y + x1 y = y Nghiệm tổng quát y = x(C−ln |x|) b) Nghiệm tổng quát y = C1 e−x + C2 e−3x + 41 ex √ √ Câu (2,0đ) Đặt t = x3 Suy miền hội tụ − 3, Tổng chuỗi S(x) = ln − x2 ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2,0đ) a) fx (0, 0) = fy (0, 0) = Từ chứng minh f khả vi (0, 0)   2y.cos 2 + 22y sin 2 (x, y) = x +y x +y x +y b) f x (x, y) = Từ chứng minh fx không  0 (x, y) = liên tục (0, 0)   ux = 12(x − 2)(x2 − y) = Câu (2,0đ) a) Tìm điểm đừng: , suy M1 (0, 0), M2 (2, 4)  u = −6x2 + 24x − 6y = y   24  không xác định dấu Suy M1 (0, 0) không cực trị • Tại M1 (0, 0), A =  24 −6   0  có det A = Ta có f (x) = u(x, 4) = 3x4 − 8x3 − 24x2 + 96x − • Tại M2 (2, 4), A =  −6 48; f (x) = 12(x − 2)2 (x + 2) Suy f (x) không đạt cực trị x = Vậy hàm u(x, y) không đạt cực trị M2 (2, 4) Câu (2,0đ) Sử dụng công thức Gauss – Ơtrơgradsky từ suy I = 6V = 216π Câu (3,0đ) a) Đưa phương trình Becnuli y + x1 y = y Nghiệm tổng quát y2 = x2 x +C b) Nghiệm tổng quát y = C1 ex + C2 e3x + 13 ex Câu (2,0đ) Đặt t = x3 √ √ Suy miền hội tụ − 4, Tổng chuỗi S(x) = ln − x3 ĐÁP ÁN ĐỀ √ √ 2 Câu (2,0đ) Gọi M (x, y) ∈ C, ta cóf (x, y) = M A+M B = − 4x+ − 4y, với x, y : x +y =  −2   Φx = √5−4x + 2λx =    √ √ √ √ 2 Φ(x, y) = − 4x+ − 4y +λ(x2 +y −1) Suy √ −2 + 2λy = Suy M ( , ) Φ = x 5−4y       x2 + y − = √ √ với λ = √ −2 √ M ( −2 , −2 ) với λ = √ √ 10− 10− √ √ √ √ √ √ √ √ 2 − − Ta có f ( , ) = − 2 f ( , ) = + 2 Vậy M ( 22 , 22 ) M A + M B (1 − 9x2 − 4y )dxdy, với D : 9x2 + 4y ≤ Tọa độ cực mở rộng Câu (2,0đ) Thể tích V = D x = 31 rcosϕ, y = 12 rsinϕ, J = 6r , ≤ r ≤ 1, ≤ ϕ ≤ 2π Suy V = Câu (2,0đ) Vì Qx = −2xy x2 +y π 12 = Py nên tích phân khơng phụ thuộc đường Chọn cung đường tròn x2 + y = 1, nối A, B Chọn tham số hóa x = cos t, y = sin t, ≤ t ≤ π , ta I = −1 Câu (3,0đ) a) Nhân hai vế phương trình với thừa số tích phân µ = y, ta phương trình vi phân tồn phần Nghiệm tổng quát phương trình cho (x + 1)y + y3 = C b) Nghiệm tổng quát y = C1 e2x + C2 e−2x + Câu (2,0đ) Đặt t = x−1 −x2 − 18 Suy miền hội tụ (−2, 4) Tổng chuỗi S(x) = 3(x−1) (x−4)2 ĐÁP ÁN ĐỀ √ √ Câu (2,0đ) Gọi M (x, y) ∈ C, ta cóf (x, y) = M A+M B = + 4x+ + 4y, với x, y : x2 +y =     Φx = √5+4x + 2λx =    √ √ √ √ 2 Φ(x, y) = + 4x+ + 4y +λ(x2 +y −1) Suy Suy M ( , 22 ) √ Φx = 5+4y + 2λy =       x2 + y − = với λ = √ Ta có √ 10− √ √ f ( 22 , 22 ) √ √ M ( −2 , −2 ) với λ = √ −2 √ 10− √ √ √ √ √ √ − − = + 2 f ( , ) = − 2 Vậy N ( −2 , −2 ) M A+M B (1 − 4x2 − 9y )dxdy, với D : 4x2 + 9y ≤ Tọa độ cực mở rộng Câu (2,0đ) Thể tích V = D x = 21 rcosϕ, y = 13 rsinϕ, J = 6r , ≤ r ≤ 1, ≤ ϕ ≤ 2π Suy V = Câu (2,0đ) Vì Qx = −2xy x2 +y π 12 = Py nên tích phân khơng phụ thuộc đường Chọn cung đường tròn x2 + y = 1, nối A, B Chọn tham số hóa x = cos t, y = sin t, π2 ≤ t ≤ π, ta I = −1 Câu (3,0đ) a) Nhân hai vế phương trình với thừa số tích phân µ = x, ta phương trình vi phân tồn phần Nghiệm tổng quát phương trình cho (y + 1)x2 + x3 = C b) Nghiệm tổng quát y = C1 ex + C2 e−x − 2x2 − Câu (2,0đ) Đặt t = x+1 Suy miền hội tụ (−3, 1) Tổng chuỗi S(x) = 2(x+1) (x−1)2 ĐÁP ÁN ĐỀ ∂f ∂f n→+∞ (0, 0) = 0; (0, 0) = Xét dãy điểm (xn ; yn ) = ( − ; ) −−−−→ (0; 0) Ta ∂x ∂y n n n có, lim f (xn , yn ) = = = f (0, 0) Suy f (x, y) gián đoạn (0; 0) n→+∞ 2   (x + y)(x − 3y) = 5 Suy M1 (0, 0), M2 (3, 1), M3 ( 27 b) Điểm dừng: , − 27 )  x2 + 6xy − 27y = Câu (2,0đ) a) • Hàm số khơng đạt cực trị M1 • Hàm số đạt cực tiểu M2 , M3 Câu (2,0đ) Ta có, ∂Q (x, y) ∂x − ∂P (x, y) ∂y = Đặt L = L ∪ CA Áp dụng Định lý Green, x arctan xy dx+y arccot xy dy = −S∆ABC = − 12 Suy ra, I = − 12 − CA x arctan xy dx+y arccot xy dy = + 3π − Câu (2,0đ) Áp dụng định lí Gauss-Ơxtrơgradxki tính chất đối xứng, ta có I = (1 + V dxdydz + x2 dxdydz = π.2.3.1 + (1 + x2 )dxdydz = z (x + z) + x2 )dxdydz = V V V 1 48π 2 x dx S(x) dydz = 8π + −1 x · 6π(1 − x ) dx = (S(x) thiết diện ⊥ với Ox có diện −1 L tích 6π(1 − x2 )) Câu (3,0đ) y = ex + C1 e2x + C2 e3x Câu (2,0đ) Đặt t = x−2 Miền hội tụ chuỗi cho (−3e + 2; 3e + 2) ĐÁP ÁN ĐỀ ∂f ∂f 1 n→+∞ (0, 0) = 0; (0, 0) = Xét dãy điểm (xn ; yn ) = ( ; − ) −−−−→ (0; 0) Ta ∂x ∂y n n n có, lim f (xn , yn ) = − = f (0, 0) = Suy f (x, y) gián đoạn (0; 0) n→+∞    27x3 − 6xy + y = 5 b) Điểm dừng: Suy M1 (0, 0), M2 (1, 3), M3 ( 27 , − 27 )  (x + y)(y − 3x) = Câu (2,0đ) a) • Hàm số khơng đạt cực trị M1 đạt cực tiểu M2 , M3 • Hàm số khơng đạt cực trị M1 đạt cực tiểu M2 , M3 Câu (2,0đ) Ta có, L ∂Q (x, y) ∂x − ∂P (x, y) ∂y = −1 Đặt L = L ∪ CA Áp dụng Định lý Green, x arccot xy dx + y arctan xy dy = S∆ABC = 12 Suy ra, L x arccot xy dx + y arctan xy dy = − CA x arccot xy dx + y arctan xy dy = 2+3π Câu (2,0đ) Áp dụng định lí Gauss-Ơxtrơgradxki tính chất đối xứng, ta có I = z + 2z − 1) dxdydz = −1 V (z − 1) dxdydz = − V dxdydz + −1 z dz S(z) e e Câu (3,0đ) Đặt t = 2(x + 1) Miền hội tụ chuỗi: (− − 1; − − 1) 2 (4x3 y+ dxdy = − 43 π.3.2.1 + z · 6π(1 − z ) dz = − 32π (S(z) thiết diện ⊥ với Oz có diện tích 6π(1 − z )) Câu (3,0đ) y = e2x + C1 ex + C2 e3x V ... định lí Gauss-Ơxtrơgradxki tính chất đối xứng, ta có I = (1 + V dxdydz + x2 dxdydz = π.2.3.1 + (1 + x2 )dxdydz = z (x + z) + x2 )dxdydz = V V V 1 48π 2 x dx S(x) dydz = 8π + −1 x · 6π(1 − x ) dx... xứng, ta có I = z + 2z − 1) dxdydz = −1 V (z − 1) dxdydz = − V dxdydz + −1 z dz S(z) e e Câu (3,0đ) Đặt t = 2(x + 1) Miền hội tụ chuỗi: (− − 1; − − 1) 2 (4x3 y+ dxdy = − 43 π.3.2.1 + z · 6π(1... sau: a) 2(x + y + 1)dx + xdy = b) y − y = 2x2 ∞ Câu (2,0đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n=1 n(x + 1)n 2n Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian