Gồm Đề, đáp án HSG chi tiết lớp 8 môn Toán thi ở thời điểm chương trình giữa tháng 4. Rất phù hợp cho các nhà trường, thầy cô, các em học sinh thi thử cho các đội tuyển, qua đó nắm bắt chất lượng. Cảm ơn mọi người đã quan tâm. đt 0962 78 26 26.
PHỊNG GD&ĐT THIỆU HĨA TRƯỜNG THCS THIỆU VẬN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I: (4,0 điểm) Cho biểu thức A = 4xy y − x2 : + 2 ÷ y + xy + x y −x 1) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định 2) Rút gọn A 3) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x + y2 +2x –2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Câu II: (4,0 điểm) Tìm số dư phép chia biểu thức ( x − ) ( x − ) ( x − ) ( x − ) + 2019 cho đa thức x − 10 x + 21 Giải phương trình sau: (2 x + x − 2019) + 4( x − x − 2018) = 4(2 x + x − 2019)( x − x − 2018) Câu III: (4,0 điểm) Tìm cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn: x − x + x3 + x = y 2 Cho số nguyên dương x, y thỏa mãn: x + y = z Chứng minh rằng: x3 y − xy chia hết cho 84 Câu IV: (6,0 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a Chứng minh rằng 1 + = AB CD MN b Biết SAOB= 20182 (đơn vị diện tích); SCOD= 20192 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Cho tam giác ABC vuông A Xác định điểm M tam giác cho tổng bình phương khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác đạt giá trị nhỏ Câu V: (2,0 điểm) Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2019 + x 2019 + y 2019 + z + + 1+ y2 1+ z2 + x2 HẾT Họ tên thí sinh: ……………………………………… Số báo danh:………… PHỊNG GD&ĐT THIỆU HÓA TRƯỜNG THCS THIỆU VẬN Câu I.1 I.2 I.3 ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn thi: Tốn Nội dung Điểm Tìm đkxđ A Điều kiện: x ≠ ± y; y ≠ 1,25 Rút gọn biểu thức A: 2,0 A = 2x (x+y) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị nguyên dương A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = ⇒ 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1 ⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = ⇒ A + (x – y + 1)2 = ⇒ A = – (x – y + 1)2 ≤ (do (x – y + 1) ≥ (với x ; y) ⇒ A ≤ 0,25 x − y + 1= x = + A = 2x( x + y) = ⇔ y = x ≠ ± y;y ≠ 2 (x − y + 1) = + A = 2x( x + y) = Từ đó, cần cặp giá trị x ≠ ± y;y ≠ 2−1 x = x y, chẳng hạn: y = + II.1 + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Tìm số dư phép chia biểu ( x − ) ( x − ) ( x − ) ( x − ) + 2019 cho đa thức x − 10 x + 21 0,25 0,25 thức P ( x ) = ( x − ) ( x − ) ( x − ) ( x − ) + 2019 = ( x − 10 x + 16 ) ( x − 10 x + 24 ) + 2019 Đặt t = x − 10 x + 21 (t ≠ −3; t ≠ −7) , biểu thức P(x) viết lại: 2,0 0,5 P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) + 2019 = t − 2t + 2004 Do chia t − 2t + 2004 cho t ta có số dư 2004 Vậy dư cần tìm 2004 II.2 Giải phương trình sau: (2 x + x − 2019) + 4( x − x − 2018) = 4(2 x + x − 2019)( x − x − 2018) 1,0 0,5 2,0 a = x + x − 2019 b = x − x − 2018 0.25 Đặt: Phương trình cho trở thành: a + 4b = 4ab ⇔ ( a − 2b) = ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b Khi đó, ta có: x + x − 2019 = 2( x − x − 2018) ⇔ x + x − 2019 = x − 10 x − 4036 −2017 ⇔ 11x = −2017 ⇔ x = 11 −2017 Vậy phương trình có nghiệm x = 11 III.1 Tìm cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn: x − x + x3 + x = y ( Đặt M = x − x + x + x = x x − x + x + ( ( ) ( ) 0.5 0.5 0.25 2,0 ) 2 = x x − x + + x + x + 2 2 2 2 = x x − + ( x + 1) = x ( x − 1) ( x + 1) + ( x + 1) ) 2 = x ( x + 1) ( x − 1) + 1 - Với x = M = ⇒ y = - Với x = M = ⇒ y = 2 - Với x ≥ lập luận ( x − 1) + khơng phương Vậy có cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn (0; 0) (1; 2) III.2 0.5 Cho số nguyên dương x, y thỏa mãn : x + y = z Chứng minh rằng: x y − xy chia hết cho 84 - Nhận xét : 1) Số phương chia cho chia cho dư 2) Số phương chia cho dư 0, 1, 2, - Ta chứng minh x y − xy = xy ( x − y ) chia hết cho 3, 4, - Giả sử xy không chia hết cho x, y khơng chia hết cho 3, x2 y2 chia cho dư 1, x + y = z chia cho dư 2, vơ lí Nên xy chia hết cho (1) - Giả sử xy khơng chia hết cho x, y không chia hết cho 4; x y đồng thời khơng chia hết cho Có hai trường hợp xảy : - Nếu x, y lẻ x2 y2 chia cho dư 1, x + y = z chia cho dư 2, vơ lí - Nếu x, y có số chẵn, số lẻ z số lẻ Giả sử : x = 2a; y = 2b + 1; z = 2c + ⇔ x + y = 4a + (2b + 1) = z = (2c + 1) ⇔ a = c(c + 1) − b(b + 1)M2 ⇔ aM2 0,5 0,25 0,25 0,75 0,25 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ xM4 ( vơ lí) Suy xy chia hết cho 3 (2) - Giả sử x y − xy = xy ( x − y ) không chia hết cho Khi x2 y2 khơng chia hết cho khơng có cùng số dư chia cho - Nếu x2 chia cho dư còn y chia cho dư ngược lại z chia cho dư 3, vơ lí - Nếu x2 chia cho dư còn y chia cho dư ngược lại z chia cho dư 5, vơ lí - Nếu x2 chia cho dư còn y chia cho dư ngược lại z chia cho dư 6, vơ lí Nên x y − xy = xy ( x − y ) chia hết cho (3) 0,25 0,25 0,25 Từ (1) (2) (3) suy x y − xy chia hết cho 84 IV 6đ A IV.1 B N M O D C OM DM OM AM = = (1), xét ∆ADC có (2) AB AD DC AD 1 AM + DM AD + = =1 Từ (1) (2) ⇒ OM.( )= AB CD AD AD 1 ) =1 Chứng minh tương tự ON ( + AB CD 1 1 )=2 ⇒ + = Từ có (OM + ON) ( + AB CD AB CD MN S AOB OB S BOC OB S S = = ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB S DOC = S BOC S AOD b) S , OD S DOC OD S AOD S DOC AOD a) Xét ∆ABD có Dễ có SABD = SABC có chung cạnh đáy AB chiều cao tương ứng Chứng minh S AOD = S BOC ⇒ S AOB S DOC = ( S AOD ) Thay số ta có: 20182.20192 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2018.2019 Do SABCD = SAOB + S AOD + S BOC +SCOD = 20182 + 2018.2019 +2018.2019 + 20192 = 20182 + 2.2018.2019 + 20192 = (2018 + 2019)2 = 40372 (đơn vị diện tích) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 A F E M I B IV.2 H C G Kẻ đường cao AH, giả sử tìm vị trí điểm M hình vẽ Từ M hạ ME, MF, MG, MI vuông góc với AB, AC, BC, AH Ta có: ME2 + MF2 + MG2 = AM2 + MG2 = AI2 + IM2 + MG2 ≥ AI2 + IH2 Dấu “=” xảy M thuộc AH (1) Lại AI2 + IH2 = (AH-IH)2 + IH2 = AH2 – 2HA.IH + 2IH2 = AH2 - (2HA.IH - 2IH2 ) = AH2 - 2IH.(HA - IH ) = AH2 – 2AI IH Do AH không đổi nên ME2 + MF2 + MG2 nhỏ AI IH lớn Mà AI + IH = AH không đổi nên AI.IH lớn AI = IH = V AH (2) Từ (1) (2) suy M trung điểm AH Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2019 + x 2019 + y 2019 + z P= + + 1+ y2 1+ z2 + x2 Ta có: 2019 + x (2019 + x) y = 2019 + x − + y2 + y2 Suy 0.5 0.5 0.5 2,0 Theo bất đẳng thức Cơ si + y ≥ y 0.5 0,25 (do y > 0) 2019 + x (2019 + x) y 2019 y xy ≥ 2019 + x − = 2019 + x − − 1+ y 2 0,25 2019 + y 2019 z yz ≥ 2019 + y − − Tương tự, ta có: 1+ z 2 2019 + z 2019 x zx ≥ 2019 + z − − 1+ x 2 0,5 Cộng vế ba bất đẳng thức ta có 2019 P ≥ 3.2019 + ( x + y + z ) − ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) 2 0,5 Mặt khác theo bất đẳng thức Cô si, ta có: ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z ) Vì x + y + z = ⇒ xy + yz + zx ≤ 0,25 Khi đó: P ≥ 3.2019 + − 2019 ×3 − ×3 = 3030 2 Vậy P = 3030 ⇔ x = y = z = 0,25 Chú ý: - Các cách làm khác cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia sở tham khảo điểm thành phần đáp án - Đối với câu (Hình học): + Khơng vẽ hình, vẽ hình sai khơng chấm ...PHỊNG GD&ĐT THI U HĨA TRƯỜNG THCS THI U VẬN Câu I.1 I.2 I.3 ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 20 18 - 2019 Mơn thi: Tốn Nội dung Điểm Tìm đkxđ A Điều kiện:... số ta có: 20 182 .20192 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 20 18. 2019 Do SABCD = SAOB + S AOD + S BOC +SCOD = 20 182 + 20 18. 2019 +20 18. 2019 + 20192 = 20 182 + 2.20 18. 2019 + 20192 = (20 18 + 2019)2 = 40 372 (đơn vị... 20 04 Vậy dư cần tìm 20 04 II.2 Giải phương trình sau: (2 x + x − 2019) + 4( x − x − 20 18) = 4( 2 x + x − 2019)( x − x − 20 18) 1,0 0,5 2,0 a = x + x − 2019 b = x − x − 20 18 0.25 Đặt: Phương