CHUYÊN đề học SINH GIỎI TOÁN 8

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP CHUYÊN ĐỀ - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP CHUYÊN ĐỀ - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHUN ĐỀ - CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CHUYÊN ĐỀ – CHỮ SỐ TẬN CÙNG CHUYÊN ĐỀ – ĐỒNG DƯ CHUYÊN ĐỀ 10 – TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ BIỂU THỨC HỮU TỈ CHUYÊN ĐỀ 12 – CÁC BÀI TOÁN VỀ BIỂU THỨC (TIẾP) CHUYÊN ĐỀ 13 – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG CHUYÊN ĐỀ 14 – PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO CHUYÊN ĐỀ – SỬ DỤNG CƠNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP QUAN HỆ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG CHUYÊN ĐỀ 16 – BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN ĐỀ 17 – VẼ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐỂ TẠO THÀNH CÁC CẶP ĐOẠN THẲNG TỶ LỆ CHUYÊN ĐỀ 18 – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY CHUYÊN ĐỀ 19 – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC CHUYÊN ĐỀ 20 – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN CÁC BÀI TẬP HAY VÀ KHÓ CHUYÊN ĐỀ - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Các phương pháp a Phương pháp - Tìm nhân tử chung đơn,đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng ) b Ví dụ: 15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a - b2 ) 2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) xm + + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1) 2.Phương pháp dùng đẳng thức a Phương pháp: - Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b Ví dụ: 9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) -27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4) 25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2 3.Phương pháp nhóm nhiều hạng tử a Phương pháp - Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm - áp dụng tiếp tục phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức b Ví dụ: 2x3 - 3x2 + 2x - = (2x3 + 2x) - (3x2 + 3) = 2x(x2 +1) - 3(x2 +1) = (x2 +1) (2x - 3) x2 - 2xy + y2 - 16 = (x -y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4) Phối hợp nhiều phương pháp a Phương pháp: - Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử b Ví dụ: 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) =3x (y -2 )2 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy =3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) =3xy =3xy =3xy =3xy( x-1 - y - a)(x - + y +a ) Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a Phương pháp: Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng Phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung b Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử * Cách 1: x2- 6x + = x2 - 2x - 4x + = x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4) * Cách 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + - = ( x - 3)2 - =( x -3 - 1)( x- + 1) = (x - 4)(x -2) * Cách 3: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12 =(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2) * Cách 4: x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + ) - (x - 4) =(x - 4)(x + - 6) = (x - 4)(x -2) * Cách 5: x2 - 6x + = x2 - 4x + -2x + = (x - 2)2 - (x - 2) =( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2) Tuy có nhiều cách tách thơng dụng hai cách sau: *Cách 1: Tách hạng bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung áp dụng phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm sau: - Tìm tích ac - Phân tích tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số có tổng b Khi hạng tử bx tách thành hai hạng tử bậc Ví dụ: 4x2 - 4x - - Tích ac 4.(- 3) = - 12 - Phân tích -12 = -1 12 = 1.(-12) =-2 = -3 =3 (-4) - Chọn thừa số có tổng : - (- 6) 4x2 - 4x - = 4x2 + 2x - 6x - = 2x( 2x+ 1) - (2x + 1) =(2x + 1)(2x - 3) * Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương Ví dụ: 4x2 - 4x - = 4x2 - 4x +1 - = ( 2x - 1)2 - 22 = (2x - - 2)(2x - +2) = (2x + 1)(2x-3) 3x2 - 8x + = 4x2- 8x + - x2 = (2x - )2 - x2 = ( 2x - - x)(2x -2 + x ) = (x - )(3x -2) Phương pháp thêm bớt hạng tử a Phương pháp : Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thường hay đưa dạng a2- b2 sau thêm bớt b Ví dụ: 4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 =( 2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x) x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) = x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1) II Các phương pháp khác: Phương pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ ) a Phương pháp: Đặt ẩn phụ đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp b Ví dụ: * Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử đặt x2 = y ta 6y2 - 11y + = ( 3y + 1)(2y + 3) Vậy: 6x4 - 11x2 + = ( 3x2 - )(2x2 - 3) * Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử đặt x2 + x = y ta y2 + 4y + = (y +1)(y+2) Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2) Phương pháp hệ số bất định a Phương pháp: Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2 + dx +m) biến đổi cho đồng hệ số đa thức với hệ số đa thức b.Ví dụ: Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử Nếu đa thức phân tích thành nhân tử tích phải có dạng x(x2 + bx + c) = x + (a+b)x2 + (ab + c)x +ac Vì đa thức đồng nên: a+ b = ab + c = -19 ac =-30 Chọn a = 2, c = -15 Khi b = -2 thoả mãn điều kiện Vậy : x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15) Phương pháp xét giá trị riêng a Phương pháp: Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số lại b.Ví dụ P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x y thấy P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = P chứa thừa số (x -y) Vậy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( đa thức P hốn vị vòng quanh) Do P chứa thừa số (x - y) chứa thừa số (y - z), (z - x ) Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải số P có bậc ba tập hợp biến x, y, z tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc ba tập hợp biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) k =-1 Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) c)Ngồi ta có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong a,b,c có vai trò biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = a=b F(a,b,c) chứa nhân tử a-b,b-c,c-a Nếu F(a,b,c) biểu thức đối xứng a,b,c F(a,b,c) ≠ a = b ta thử xem a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu khơng,nếu thoả mãn F(a,b,c) chứa nhân tử a+b từ chứa nhân tử b+c, c+a c1)Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử F(a,b,c) = a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) - Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2(a-c)+a2(c-a) = 0,do F(a,b,c) có chứa nhân tử (ab) Tương tự F(a,b,c) chứa nhân tử (b-c) (c-a) Vì F(a,b,c) biểu thức bậc ba F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có 1+1 = k.1.1.(-2) Þ k = -1 Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a) c2)Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz - Khi x = -y F(x,y,z)= -y2z + y2z = nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y Lập luận tương tự ví dụ 1,ta có F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x) Phương pháp tìm nghiệm đa thức: a Phương pháp: Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự Ví dụ: x3 + 3x - Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) nhân tử lại có dạng (x2 + bx + c) -ac = - a ước - Vậy đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi Ước (- ) (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức đa thức chứa nhân tử ( x - 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x - 1) *Cách 1: x3 + 3x - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2 *Cách 2: x3 + 3x - =x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1) = ( x - 1)(x + 2)2 Chú ý: - Nếu đa thức có tổng hệ số khơng đa thức chứa nhân tử (x-1) -Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức có chứa nhân tử ( x + 1) Ví dụ: * Đa thức: x2 - 5x + 8x - có - + - = Đa thức có nghiệm hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) *Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + có -5 + =1 + Đa thức có nghiệm (-1) đa thức chứa thừa số ( x + 1) + Nếu đa thức khơng có nghiệm nguyên đa thức có nghiệm hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p ước hạng tử không đổi, q ước dương hạng tử cao 2x3 - 5x2 + 8x - Ví dụ: Nghiệm hữu tỷ có đa thức là: (-1), 1, (), , (),() (- 3), Sau kiểm tra ta thấy x= a nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung ( 2x - 1) 2x3 - 5x2 + 8x - = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - = x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1) = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Phương pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a.Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c Nếu b2 - 4ac bình phương số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số phương pháp biết Nếu b2 - 4ac khơng bình phương số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp b Ví dụ: 2x2 - 7x + a =2, b = -7, c = xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 52 phân tích thành nhân tử : 2x2 - 7x + = (x - 3)(2x -1) phân tích cách để bình phương đủ 2x2 - 7x + = 2(x2- x +) = (x2 - 2.x + ) = = = 2(x-3)(x-) Chú ý: P(x) = x2 + bx = c có hai nghiệm x1, x2 thì: P(x) = a(x - x1)(x - x2) Phần 2: Giải tốn phân tích đa thức Bài tốn rút gọn biểu thức a Ví dụ: Cho A=2−xx+3−3−xx+2+2−xx2+5x+6A=2−xx+3−3−xx+2+2−xx2+5x+6 a1) Rút gọn A a2) Tính giá trị A với x = 998 a3).Tìm giá trị x để A > b Đường lối giải: Dựa sở tính chất phân thức đại số, phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung rút gọn, đồng thời tìm tập xác định biểu thức thông qua nhân tử nằm mẫu Với học sinh: Rèn luyện kỹ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức phát triển trí thơng minh b Ví dụ 2: (Các toán tương tự )Rút gọn biểu thức : A=x4+x3+x+1x4−x3+2x2−x+1B=a2(b−c)+b2(c−a) +c2(a−b)ab2−ac2−b3+bc2C=x3+y3+z3−3xyz(x−y)2+(y−z)2+ (z−x)2A=x4+x3+x+1x4−x3+2x2−x+1B=a2(b−c)+b2(c−a) +c2(a−b)ab2−ac2−b3+bc2C=x3+y3+z3−3xyz(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2 Đường lối giải :Để rút gọn phân thức trên: - Bước 1: ta phải phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử - Bước 2: chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung 2.Bài tốn giải phương trình: a.Đường lối giải: Với phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích A.B = A = B = b Ví dụ: Giải phương trình (4x + 3)2 - 25 = Giải: áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng 8(2x - 1)(x +2) = x = x = -2 Bài tốn giải bất phương trình a Đường lối giải: Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phương trình thành đa thức, tử mẫu thành nhân tử đóng vai trò quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích (A.B < A.B > ) hay bất phương trình thường b Ví dụ: Giải bất phương trình b1) xx−2−2x−3>1⇔−2(x−2)(x−3)>0xx−2−2x−3>1⇔−2(x−2)(x−3)>0 Nhận xét: (- 2) < => (x- 2)(x - 3) < => < x< b2) 3x2 - 10x - > => (3x+ 2)( x- 4) > Ta lập bảng xét dấu tích Kết x < x > Bài toán chứng minh chia hết a Đường lối giải: Biến đổi đa thức cho thành tích xuất thừa số có dạng chia hết b Ví dụ: b1) Chứng minh ∀x∈Z∀x∈Z ta có biểu thức P = (4x+3)2 - 25 chia hết cho Phân tích : P = 8(2x-1)(x+1) chia hết cho b2) Chứng minh biểu thức : n3+n22+n36n3+n22+n36 số nguyên ∀n∈Z∀n∈Z Biến đổi biểu thức dạng 2n+3n2+n362n+3n2+n36 chứng minh (2n+3n2+n3) chia hết cho Ta có 2n+3n2+n3 = n(n+1)(n+2) tích ba số nguyên liên tiếp,vì có thừa số chia hết cho 2,một thừa số chia hết cho mà (2;3)=1 nên tích chia hết cho 6.Vậy ∀n∈Z∀n∈Z n3+n22+n36n3+n22+n36 số ngun Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ a) Đường lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức dạng đẳng thức A2 + m , A2 - m ,A2+B2 (m số) nhận xét để đến kết cuối b Ví dụ :Chứng tỏ x2+x+1 > x Ta viết : x2+x+1 = x2+2.x+ = (x+)2 + ≥ >0 x Ví dụ : Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) đa thức A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y (Tương tự :B = x2+y2+xy - x- y ) Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y = (x2+y2+16+xy+8x+4y) + (y2- 3y) + 2005 -16 =(x+y+4)2+( y2 - 2.y+)+1989- d) 3663 - M36 - = 35 M7 3663 - = (3663 + 1) - chi cho 37 dư - e) 4n - = (24) n - M24 - = 15 Bài 2: chứng minh a) n5 - n chia hết cho 30 với n  N ; b) n4 -10n2 + chia hết cho 384 với n lẻ n Z c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; Giải: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho (n - 1).n.(n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (*) Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - + 5) = n(n2 - 1).(n2 - ) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5n(n2 - 1) chia hết cho Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho (**) Từ (*) (**) suy đpcm b) Đặt A = n4 -10n2 + = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1) (n + 3) Vì n lẻ nên đặt n = 2k + (k ∈ Z) A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) ⇒ A chia hết cho 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) tích số ngun liên tiếp nên A có chứa bội 2, 3, nên A bội 24 hay A chia hết cho 24 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 16 24 = 384 c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 M27 (1) n + 10 - 9n - = [( M9 1 { n 9 { n + 1) - 9n - 1] = - n M3 1 { n 9 { n - 9n = 9( 1 { n - n) M27 (2) - n số có tổng chữ số chia hết cho Từ (1) (2) suy đpcm Bài 3: Chứng minh với số nguyên a a) a3 - a chia hết cho b) a7 - a chia hết cho Giải a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên tồn số bội nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) Nếu a = 7k (k ∈ Z) a chia hết cho Nếu a = 7k + (k ∈ Z) a2 - = 49k2 + 14k chia hết cho Nếu a = 7k + (k ∈ Z) a2 + a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Nếu a = 7k + (k ∈ Z) a2 - a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Trong trường hợp củng có thừa số chia hết cho Vậy: a7 - a chia hết cho Bài 4: Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = + + + + 100 Giải Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) Mỗi số hạng ngoặc chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chi hết cho B Bài tập nhà Chứng minh rằng: a) a5 – a chia hết cho b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với n chẵn c) Cho a l số nguyên tố lớn Cmr a2 – chia hết cho 24 d) Nếu a + b + c chia hết cho a3 + b3 + c3 chia hết cho e) 20092010 không chia hết cho 2010 f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho Dạng 2: Tìm số dư phép chia Bài 1: Tìm số dư chia 2100 a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125 Giải a) Luỹ thừa sát với bội 23 = = - Ta có : 2100 = (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - = B(9) + Vậy: 2100 chia cho dư b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + Vậy: 2100 chia chop 25 dư c)Sử dụng công thức Niutơn: 2100 = (5 - 1)50 = (550 50.49 - 549 + … + 52 - 50 ) + Không kể phần hệ số khai triển Niutơn 48 số hạng đầu chứa thừa số với số mũ lớn nên chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp 50.49 theo: 52 - 50.5 chia hết cho 125 , số hạng cuối Vậy: 2100 = B(125) + nên chia cho 125 dư Bài 2: Viết số 19951995 thành tổng số tự nhiên Tổng lập phương chia cho dư bao nhiêu? Giải Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an 3 3 3 3 Gọi S = a1 + a + a + + a n = a1 + a + a + + a n + a - a = (a1 - a1) + (a2 - a2) + …+ (an - an) + a Mỗi dấu ngoặc chia hết cho dấu ngoặc tích ba số tự nhiên liên tiếp Chỉ cần tìm số dư chia a cho 1995 số lẻ chia hết cho 3, nên a củng số lẻ chia hết cho 3, chia cho dư Bài 3: Tìm ba chữ số tận 2100 viết hệ thập phân giải Tìm chữ số tận tìm số dư phép chia 2100 cho 1000 Trước hết ta tìm số dư phép chia 2100 cho 125 Vận dụng ta có 2100 = B(125) + mà 2100 số chẵn nên chữ số tận 126, 376, 626 876 Hiển nhiên 2100 chia hết cho 2100 = 1625 chi hết ba chữ số tận chia hết cho số 126, 376, 626 876 có 376 chia hết cho Vậy: 2100 viết hệ thập phân có ba chữ số tận 376 Tổng quát: Nếu n số chẵn khơng chia hết cho chữ số tận 376 Bài 4: Tìm số dư phép chia số sau cho a) 2222 + 5555 b)31993 c) 19921993 + 19941995 d) Giải 21930 a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS +1)22 + (BS – 1)55 = BS + + BS - = BS nên 2222 + 5555 chia dư b) Luỹ thừa sát với bội 33 = BS – Ta thấy 1993 = BS + = 6k + 1, đó: 31993 = 6k + = 3.(33)2k = 3(BS – 1)2k = 3(BS + 1) = BS + c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, đó: 19921993 + 19941995 = (BS – 3)1993 + (BS – 1)1995 = BS – 31993 + BS – Theo câu b ta có 31993 = BS + nên 19921993 + 19941995 = BS – (BS + 3) – = BS – nên chia cho dư 1930 d) = 32860 = 33k + = 3.33k = 3(BS – 1) = BS – nên chia cho dư Bài tập nhà Tìm số d khi: a) 21994 cho b) 31998 + 51998 cho 13 c) A = 13 + 23 + 33 + + 993 chia cho B = + + + + 99 Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy quan hệ chia hết Bài 1: Tìm n ∈ Z để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + chia hết cho giá trị biểu thức B = n2 - n Giải Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + = (n + 3)(n2 - n) + Để A chia hết cho B phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) chia hết cho n, ta có: n n-1 n(n - 1) 0 loại -1 -2 2 -2 -3 loại Vậy: Để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + chia hết cho giá trị biểu thức ∈ −1; 2} B = n2 - n n { Bài 2: a) Tìm n ∈ N để n5 + chia hết cho n3 + b) Giải toán n ∈ Z Giải Ta có: n5 + Mn3 + ⇔ n2(n3 + 1) - (n2 - 1) Mn3 + ⇔ (n + 1)(n - 1) Mn3 + ⇔ (n + 1)(n - 1) M(n + 1)(n2 - n + 1) ⇔ n - Mn2 - n + (Vì n + ≠ 0) a) Nếu n = M Nếu n > n - < n(n - 1) + < n2 - n + nên xẩy n - Mn2 - n + Vậy giá trụ n tìm n = b) n - Mn2 - n + ⇒ n(n - 1) Mn2 - n + ⇔ (n2 - n + ) - Mn2 - n + ⇒ Mn2 - n + Có hai trường hợp xẩy ra: n =  + n2 - n + = ⇔ n(n - 1) = ⇔  n = (Tm đề bài) + n2 - n + = -1 ⇔ n2 - n + = (Vơ nghiệm) Bài 3: Tìm số nguyên n cho: a) n2 + 2n - M11 b) 2n3 + n2 + 7n + M2n - c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + Mn4 - d) n3 - n2 + 2n + Mn2 + Giải a) Tách n2 + 2n - thành tổng hai hạng tử có hạng tử B(11) n2 + 2n - M11 ⇔ (n2 - 2n - 15) + 11 M11 ⇔ (n - 3)(n + 5) + 11 M11 1 1  n = B(11) +  n − 3M ⇔   n + M 1 1  n = B(11) - ⇔ (n - 3)(n + 5) M11 ⇔  b) 2n3 + n2 + 7n + = (n2 + n + 4) (2n - 1) + Để 2n3 + n2 + 7n + M2n - M2n - hay 2n - Ư(5) ⇔  2n  2n   2n   2n − 1=-5 n = - n = − = -1 ⇔ n = − 1=1  − 1=5 n = Vậy: n ∈ { − 2; 0; 1; } 2n3 + n2 + 7n + M2n - c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + Mn4 - Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1) = n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) B = n4 - = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1) A chia hết cho b nên n ≠ ± ⇒ A chia hết cho B ⇔ n - Mn + ⇔ (n + 1) - M n+1 n n  n  ⇔ Mn + ⇔  n + = - 2   n = -3  + = - 1   n = - ⇔ n = + = 1   $ Tm) + = 2   n = (khong − 3; − 2; } Vậy: n ∈ { n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + Mn4 - d) Chia n3 - n2 + 2n + cho n2 + thương n - 1, dư n + Để n3 - n2 + 2n + Mn2 + n + Mn2 + ⇒ (n + 8)(n - 8) Mn2 + ⇔ 65 Mn2 + Lần lượt cho n2 + 1; 5; 13; 65 ta n 0; ± 2; ± Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = (T/m) Vậy: n3 - n2 + 2n + Mn2 + n = 0, n = Bài tập nhà: Tìm số nguyên n để: a) n3 – chia hết cho n – b) n3 – 3n2 – 3n – chia hết cho n2 + n + c)5n – 2n chia hết cho 63 Dạng 4: Tồn hay khơng tồn chia hết Bài 1: Tìm n ∈ N cho 2n – chia hết cho Giải Nếu n = 3k ( k ∈ N) 2n – = 23k – = 8k - chia hết cho Nếu n = 3k + ( k ∈ N) 2n – = 23k + – = 2(23k – 1) + = BS + Nếu n = 3k + ( k ∈ N) 2n – = 23k + – = 4(23k – 1) + = BS + V ậy: 2n – chia hết cho n = BS Bài 2: Tìm n ∈ N để: a) 3n – chia hết cho b) A = 32n + + 24n + chia hết cho 25 c) 5n – 2n chia hết cho Giải a) Khi n = 2k (k ∈ N) 3n – = 32k – = 9k – chia hết cho – = Khi n = 2k + (k ∈ N) 3n – = 32k + – = (9k – ) + = BS + Vậy : 3n – chia hết cho n = 2k (k ∈ N) b) A = 32n + + 24n + = 27 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n = 25 32n + 2.32n + 2.24n Thày cô liên hệ 0989.832560 ( có zalo ) để có trọn Trung tâm GD Sao Khuê nhận cung cấp giáo án, soạn powerpoit, viết SKKN, chuyên đề, tham luận, thi e-Learing cấp… ...CHUYÊN ĐỀ 18 – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY CHUYÊN ĐỀ 19 – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC CHUYÊN ĐỀ 20 – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN... ta có: (4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4x 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 86 4x2 - 432x + 81 Tổng hệ số: 256 - 7 68 + 86 4 - 432 + 81 = b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x... 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thêm, bớt số hạng