chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán tính diện tích hình

Chuyên đề BD.HSG Hình học Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ : DIỆN TÍCH Hình học A/ PHẦN I Kiến thức : 1) Tiên đề diện tích : Mỗi đa giác có diện tích xác định Diện tích đa giác số dương 2) Diện tích đa giác có tính chất sau : +Hai tam giác có diện tích +Nếu đa giác chia thành đa giác nhỏ khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác +Hình vng cạnh có độ dài diện tích - Hình vng gọi hình vng đơn vị I DIỆN TÍCH TỨ GIÁC : 1) Cho tứ giác ABCD Gọi AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , AC = d1 , BD = d2 , R bán kính đường trịn ngoại tiếp, r bán kính đường trịn nội tiếp p = (a + b + c + d) Ta có : B b C a I m d1 α d2 c A d D a) SABCD = SABC + SADC = SABD + SCBD +Tổng góc tứ giác A + B + C + D = 3600 = 2π HH / Chuyên đề BD.HSG Hình học +Tổng bình phương cạnh : a2 + b2 + c2 + d2 = d12 + d 22 = 4m (m độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đường chéo) b) SABCD = d1d2sinα (α góc tạo hai đường chéo d1, d2 ) *Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O: R) B a b d2 A d1 O C d c D c) SABCD = +Tổng hai góc đối diện A + C = B + D = 1800 = π +Tích đườngchéo : d1d2 = ac + bd p = (a + b + c + d) * Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; r) B b C O a c r A d M D d) SABCD = p.r +Tổng hai cạnh đối diện : a + c = b + d HH / Chuyên đề BD.HSG Hình học 2)Diện tích tứ giác đặc biệt : a)Diện tích hình chữ nhật : A a b B d SABCD = a.b d= D C b)Diện tích hình vng A a a B SABCD = a2 d=a SABCD = d2 d D C *Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn c)Diện tích hình thang : A a B h SABCD = (a + b).h M m N SABCD = m.h D H b d)Diện tích hình bình hành : A C B SABCD = a.h h d1 d2 d12 + d22 = 2(a2 + b2) D H a C e)Diện tích hình thoi : A h D HH / d2 B SABCD = d1d2 = a.h d12 +d22 = a2 Chuyên đề BD.HSG Hình học d1 a H C II.DIỆN TÍCH TAM GIÁC Cho tam giác ABC có BC = a , AC = b , AB = c, đường cao thuộc cạnh BC AH = , r bán kính đường trịn nội tiếp , R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC p = Ta có công thức sau : 1) SABC = a.h A b c B h H a C Chứng minh : Kẻ đường cao AH, ta có : ∆ABH vng H nên SABH = AH.BH (1) SACH = AH.CH (2) Cộng (1) (2) vế theo vế ta : SABH + SACH = AH.BH + AH.CH SABC = AH.(BH + CH) = AH.BC Hay SABC = a.h Tương tự ta có : SABC = b.k = SABC = c.l (k chiều cao ứng với cạnh AC, l chiều cao ứng với cạnh AB) 2)Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; r) SABC = p.r HH / Chuyên đề BD.HSG Hình học A c E F b r r O r B C a D Chứng minh : SABC = SAOB + SBOC + SCOA Mà : SAOB = r.c r.a = r.b SBOC = SCOA Cộng vế theo vế, ta : SAOB + SBOC + SCOA = r.c + SABC = r.(c + a + b) = r = p.r ( p = : nửa chu vi ) 3)Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) SABC = A b c O h C B H a D HH / 1 r.a + r.b 2 Chuyên đề BD.HSG Hình học Chứng minh : Kẻ đường cao AH đường kính AD SABC = a.h Xét ∆ABH vuông H ∆ADC vuông C có : ABH = ADC (góc nội tiếp chắn cung AC) => ∆ABH ~ ∆ADC => = => AH = = Vậy SABC = a.h = a = 4) SABC = (Công thức Hêrông) Chứng minh : A b c h B b' c' H a C Giả sử B C nhọn Kẻ đường cao AH (AH ⊥ BC) - đặt AH = h BC = BH + CH hay a = b’ + c’ (1) Để khơng tính tổng qt ta giả sử b > c => b’ > c’ ∆ABH vuông H : AH2 = AB2 - BH2 hay h2 = c2 - c’2 ∆ACH vuông H : AH2 = AC2 - CH2 hay h2 = b2 - b’2 => c2 - c’2 = b2 - b’2 b2 - c2 = b’2 - c’2 b2 - c2 = (b’ + c’).(b’ - c’) b2 - c2 = a.(b’ - c’) => b’ - c’ = (2) b'+c ' = a  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :  b2 − c2 b'−c ' =  a  b'+c' = a b'+c' = a   2 Giải hệ phương trình :  b − c  a2 + b2 − c2 b'−c ' = 2b' =   a a   HH / Chuyên đề BD.HSG Hình học  a2 + b2 − c2 b' =   2a  2 c ' = a − b + c  2a   a2 + b2 − c2 Do h = b - b’ = b -   2a  2 2 ( ) (  a2 + b2 − c2  = b2 −  4a  ( ) ) 4a b − a + b − c ( 2ab ) − a + b − c = 4a 4a 2ab + a + b − c 2ab − a − b + c = 4a a + 2ab + b − c c − a − 2ab + b ( a + b) − c c − ( a − b) = = 4a 4a ( a + b + c )( a + b − c )( c + a − b )( c − a + b ) = 4a ( a + b + c )( a + b + c − 2c )( a + b + c − 2b )( a + b + c − 2a ) = 4a = ( [( 2 )( ) ][ ) ( )] [ ][ ] (Đặt a + b + c = 2p) p( p − 2c )( p − 2b )( p − 2a ) 16 p ( p − a )( p − b )( p − c ) = 4a 4a p( p − a )( p − b )( p − c ) = a2 p ( p − a )( p − b )( p − c ) = p ( p − a )( p − b )( p − c ) => h = a a2 1 p ( p − a )( p − b )( p − c ) = p ( p − a )( p − b )( p − c ) Vậy SABC = a.h = a 2 a = NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TỐN : Ta biết, biết độ dài số yếu tố hình ta tính diện tích hình cơng thức mà ta biết Ngược lại cơng thức tính diện tích cho ta quan hệ độ dài đoạn thẳng Sử dụng cơng thức tính diện tích hình giúp ta so sánh độ dài đoạn thẳng Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng phương pháp diện tích, ta ý điểm sau : 1)Xác định quan hệ diện tích hình 2)Sử dụng cơng thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đẳng thức có chứa độ dài HH / Chuyên đề BD.HSG Hình học 3)Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh Khi giải tốn phương pháp diện tích ta cần nắm vững : +Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích hình +Sử dụng tính chất : -Nếu hai tam giác có chiều cao tỉ số hai đáy tương ứng tỉ số hai diện tích Ngược lại, hai tam giác có đáy tỉ số hai chiều cao tương ứng tỉ số hai diện tích -Nếu hai tam giác có chung đáy có diện tích đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song song với đáy -Đường trung bình tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích tỉ lệ với : -Đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích -Ba tam giác có chung đỉnh trọng tâm tam giác cịn đáy ba cạnh có diện tích -Nếu tam giác hình bình hành có đáy chiều cao diện tích tam giác nửa diện tích hình bình hành B/.PHẦN II I.CÁC BÀI TỐN MẪU : Bài : Cho tam giác ABC Từ điểm O tam giác, ta kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ AC, OI ⊥ BC Chứng minh O di động tam giác tổng OH + OK + OI không đổi Giải HH / Chuyên đề BD.HSG Hình học A H K O B I C Gọi cạnh tam giác ABC a chiều cao h, SABC = a.h AB = BC = CA = a Ta có SABC = SAOB + SBOC + SCOA SAOB = AB.OH SBOC = BC.OI SCOA = BC.OI Cộng vế theo vế ta : a.h = AB.OH + BC.OI + BC.OI a.h = a.OH + a.OK + a.OI a.h = a(OH + OK + OI) h = OH + OK + OI Mà h : không đổi => OH + OK + OI không đổi +Nếu O thuộc cạnh tam giác tốn +Nếu thay tam giác đa giác tổng khoảng cách từ điểm O nằm đa giác đến cạnh đa giác không đổi Bài : Chứng minh định lý Py-ta-go : Trong tam giác vng bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng Ta biết chứng minh định lý cách sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông Ta sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh định lý : Chứng minh HH / Chuyên đề BD.HSG Hình học N G M A F H C B E K D Lấy cạnh tam giác ABC có  = 900 làm cạnh dựng tam giác hình vng BCDE, ABFG , ACMN có diện tích : SBCDE =BC2 = a2 , SABFG = AB2 = c2 , SACMN = AC2 = b2 Ta phải chứng minh SBCDE = SABFG + SACMN hay a2 = b2 + c2 Kẻ đường cao AH ∆ABC kéo dài cắt DE K + Ta chứng minh SABFG = SBHKE Nối AE CF : ∆ABE = ∆CBF (c-g-c) => SABE = SCBF (1) ∆FBC hình vng ABFG có chung cạnh đáy FB, đường cao ứng với đáy AB => SCBF = SABFG (2) ∆ABE hình vng BHKE có chung cạnh đáy BE, đường cao ứng với cạnh đáy BH => SABE = SBHKE (3) Từ (1), (2) (3) => SABFG = SBHKE (*) +Ta chứng minh SACMN = SCDKH Nối BM AD ∆BCM = ∆DCA (c-g-c) => SBCM = SDCA (4) ∆BCM hình vng ACMN có chung cạnh đáy CM có đường cao AC => SBCM = SACMN (5) ∆ACD hình vng CDKH có chung cạnh đáy CD có đường cao KD => SACD = SCDKH (6) Từ (4), (5) (6) => SACMN = SCDKH (**) Cộng (*) (**) vế theo vế, ta : SBHKE = SABFG HH / 10 Chuyên đề BD.HSG Hình học C' B A => SABC = AB.h SABC’ = AB.h’, h ≤ h’ => SABC ≤ SABC’ Mà SABC’ < (vì cạnh AB tam giác ABC’ nhỏ 1) Vậy SABC < Bài : Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao tương ứng AH, BI CK Chứng minh SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC *Phương pháp : Từ hệ thức toán cần chứng minh ta có : = - cos2A - cos2B - cos2C SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI => Ta phải chứng minh : = cos2A, = cos2B, = cos2C Chứng minh : Cách 1: A M I K C B H Ta có : SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI Chia hai vế cho SABC, ta : = - - = 1- - *Từ K kẻ KM ⊥ AC => KM // BI (vì vng góc với AC) Tam giác ABI có KM //BI => = (1) HH / 16 Chuyên đề BD.HSG Hình học AI KM = = = BI AC (2) = = = Tam giác ABI vng I (vì BI⊥ AC) => = cosA Tam giác AKC vng K (vì CK ⊥ AB) => = cosA Nên = cos2A , = cos2A Tương tự ta chứng minh : = cos2B, = cos2C Vậy = - - - = - cos2A - cos2B - cos2C Nên : SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC Cách : *Xét ∆ABI vuông I ∆ACK vng K có góc  chung (hoặc ABI = ACK - phụ với góc  hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) => ∆ABI ~ ∆ACK => = => = + ∆AIK ∆ABC có : =  góc chung => ∆AIK ~ ∆ABC => = ()2 = cos2A (1) *Xét ∆ABH vuông H ∆CBK vng K có góc B chung (hoặc BAH = BCK - phụ với góc B hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) ∆ABH ~ ∆CBK => = => = + ∆BHK ∆BAC có : = góc B chung => ∆BHK ~ ∆BAC => = ()2 = cos2B (2) *Xét ∆ACH vng H ∆BCI vng I có góc C chung (hoặc CAH = CBI - phụ với góc C hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) ∆ACH ~ ∆BCI => = => = +∆CHI ∆CAB có = góc C chung => ∆CHI ~ ∆CAB => = ()2 = cos2C (3) Và ta có : SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI Hay = - - = - - - (4) Từ (1), (2),(3) (4) => = - cos2A - cos2B - cos2C Hay SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC Bài : Chứng minh định lý : HH / 17 Chuyên đề BD.HSG Hình học “Trong tam giác chân đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.” Giải : Cách : Vận dụng định lý Talét GT ∆ABC có AD phân giác góc  (D ∈ BC) KL = A C B D E Từ đỉnh B kẻ BE // AC cắt tia AD E Ta có BAD = CAD (gt) BEA = CAD ( so le - BE // AC) => BAD = BEA => ∆ABE cân B => AB = BE ∆ADC có BE // AC (Áp dụng hệ định lý Ta-lét ) => = Mà BE = AB , = Vậy = Cách : Giải phương pháp diện tích : HH / 18 Chuyên đề BD.HSG Hình học A F E B H C D Kẻ đường cao AH ( AH ⊥ BC) từ D kẻ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC Theo tính chất tia phân giác góc ta có DE = DF (DE DF khoảng cách từ điểm D tia phân giác AD góc A đến hai cạnh AB AC ) Ta có SABD = AH.BD = AB.DE SADC = AH.DC = AC.DF 1 AH BD AB.DE 2 = => = = = AH CD AC.DF 2 (vì DE = DF) Vậy = Bài : Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh AB lấy điểm N cho AM = CN Chứng minh đỉnh D hình bình hành cách hai đường thẳng AM CN *Phương pháp : Vận dụng diện tích để chứng minh D C M K H A Chứng minh : HH / 19 N B Chuyên đề BD.HSG Hình học Từ D kẻ DH ⊥ AM DK ⊥ CN +Xét ∆ACD ∆AMD hai tam giác có chung cạnh đáy AD hai đỉnh C M cung năm đường thẳng BC song song với AD (Tính chất cạnh đối HBH/ABCD) => SACD = SAMD (1) +Xét ∆ACD ∆NCD có cạnh đáy CD chung hai đỉnh A N nằm đường thẳng AB // CD (Tính chất cạnh đối HBH/ABCD) => SACD = SNCD (2) Từ (1) (2) => SNCD = SAMD (3) SAMD = DH.AM SNCD = DK.CN (4) Từ (3) (4) => DH.AM = DK.CN mà AM = CN (gt) => DH = DK Vậy đỉnh D HBH/ABCD cách hai đường thẳng AM CN Bài 10 : Cho ∆ABC có AC = b , AB = c, phân giác AD góc A phân giác BE góc B cắt I Gọi G trọng tâm ∆ABC Chứng minh : Nếu BC trung bình cộng AB AC IG // BC Giải : Cách : Sử dụng tính chất tia phân giác tam giác tính chất trọng tâm tam giác A E c b I B G KD M a +AD đường phân giác ∆ABC (đặt BC = a) : = = => = => = => BD = +BI đường phân giác ∆ABD = = c: = Vì a = => = (b + c) : = (1) HH / 20 C Chuyên đề BD.HSG Hình học +Ta có G trọng tâm ∆ABC => = (2) Từ (1) (2) => = => IG // DM hay IG // BC Cách : Sử dụng diện tích tam giác : +Kẻ IK ⊥ BC Vì a = => 2a = b + c Và I giao điểm hai đường phân giác ∆ABC, nên I tâm đường đường tròn nội tiếp ∆ABC => IK bán kính đường tròn nội tiếp => SABC = IK = IK (1) Ta có SIBC = a.IK (2) Từ (1) (2) => SIBC = SABC(3) G trọng tâm ∆ABC => = +Kẻ AH ⊥ BC GP ⊥ BC => AH // GP ∆AGH có GP // AH => = = => GP = AH Ta lại có SABC = BC.AH mà SGBC = BC.GP = BC.AH = (BC.AH) => SGBC = SABC (4) Từ (3) (4) => SIBC = SGBC (Hai tam giác có diện tích mà có chung cạnh đáy nên hai đường cao nhau, I G nằm đường thẳng song song với BC hay IG // BC Bài 11 : Cho ∆ABC có AB = 14cm, AC = 35cm, đường phân giác AD = 12cm Tính diện tích ∆ABC ? Cách giải : Vẽ DE // AB tính diện tích tam giác ADE A E F B C D Giải : Từ D kẻ DE // AB => = (1) Mà = = (vì AD phân giác góc A ∆ABC) (2) Từ (1) (2) => = => = => = HH / 21 Chuyên đề BD.HSG Hình học => AE = 10 (cm) Ta có BAD = CAD (gt) BAD = ADE (SLT - DE // AB) => CAD = ADE => ∆ADE cân E Kẻ EF ⊥ AD => AF = FD = AD => AF = ∆AEF vuông F => EF = => SADE = AD.EF = 48 cm2 Từ D kẻ DK ⊥ AC => DK vừa đường cao ∆ADE vừa đường cao ∆ADC Mà SADE = AE DK 48 = 10 DK => DK = 9,6 (cm) => SADC = AC DK = 35.9,6 = 168 cm2 Kẻ AH⊥ BC => AH đường cao ∆ABC đường cao ∆ADC Nên SADC = CD.AH 7.SADC = 7CD.AH 1176 = 7CD.AH (3) Từ = => = 5BC = 7CD (4) Từ (3) (4) => 1176 = 5BC.AH = BC.AH = SABC Vậy SABC = 235,2 cm2 II.CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài : Cho tam giác ABC có diện tích s, đường trung tuyến AD, BE CF Gọi s’ diện tích tam giác có độ dài cạnh AD, BE CF Chứng minh s’ = s Bài : Hình thang ABCD có đáy AB = b, CD = a (a > b) Đoạn thẳng MN song song với hai đáy, hai đầu đoạn thẳng thuộc hai cạnh bên chia hình thang thành hai phần có diện tích Chứng minh MN2 = Bài : Cho tam giác ABC vuông cân A, đường cao AH đường phân giác BE Đường vng góc với BE E cắt cạnh BC G, cắt tia đối tia AB D Kẻ EF vng góc với BC Tính diện tích tam giác ABC, biết AD = 15 cm, HF = 20 cm Bài : Cho tam giác có độ dài cạnh BC = a, AC = b, AB = c a - b = b - c G giao điểm đường trung tuyến I giao điểm đường phân giác tam giác cho Chứng minh GI // AC Bài : Cho tam giác ABC vuông A, đường phân ghiác AD Vẽ DH vng góc với AB Đặt DH = d, AB = c, AC = b Chứng minh = + Bài : Cho tam giác ABC điểm M cạnh tam giác, cho SMBC = SMAB + SMAC Chứng minh M di động đoạn thẳng cố định HH / 22 Chuyên đề BD.HSG Hình học Bài : Cho góc xOy, tia Ot nằm góc Lấy điểm A cố định tia Ox, điểm B cố định tia Oy điểm C di động tia Ot Tia Ot cắt AB M Chứng minh SAOC = SBOC M trung điểm AB Bài : Cho tam giác ABC, góc B C có tỉ lệ : 1; phân giác góc  chia diện tích tam giác theo tỉ lệ : Tính góc tam giác Hướng dẫn giải Bài : A E F G H B D C Gợi ý cách giải Gọi G trọng tâm ∆ABC, H trung điểm GC Chọn SGDH làm trung gian Tính S’ = 9SGDH S = 12SGDH Giải Cách +Vì G trọng tâm tam giác ABC nên : AG = 2GD, BG = 2GE, CG = 2GF Gọi H trung điểm GC => GH = GF ∆BGC có HD đường trung bình => HD // BG HD = BG => HD = EG => HEGD hình bình hành => SGDH = SEGH = SEGF (*) Ta có SGDH = SGDC (tính chất đường trung tuyến tam giác) HH / 23 Chuyên đề BD.HSG Hình học Mà SGDC = SADC(vì hai ∆ADC ∆GDC có chiều cao, cạnh đáy AD ∆ADC gấp lần cạnh đáy GD ∆GDC) => SGDH = SADC = SADC Ta lại có SADC = S (tính chất đường trung tuyến tam giác) => SGDH = S => S = 12SGDH +Ta có S’ = SCDF + SADE + SBEF SCDF = 3SGDH (Hai tam giác có chiều cao cạnh đáy ∆CDF gấp lần cạnh đáy ∆GDH) (1) Ta có ∆GDH ∆EGD có cạnh đáy GD hai đỉnh đối diện hai cạnh nằm đường thẳng song song với GD => SGDH = SEGD Mà SADE = 3SEGD => SADE = 3SGDH (2) Ta có ∆EFG ∆EGH có cạnh đáy (vì GC) đường cao => SEFG = SEGH = SGDH (theo * ) Mà SBEF = 3SEFG => SBEF = 3SGDH (3) Cộng (1), (2) (3) ta : S’ = 9SGDH Vậy = = => S’ = S Cách : Kéo dài AD đoan DH, cho GD = GH => GH = AG Theo tính chất đường trung tuyến tam giác ta có AG = AD, GH = AD, CG = CF ∆BGD = ∆CHD (cgc) => BG = CH = BE A E F G B C D H HH / 24 Chuyên đề BD.HSG Hình học Vậy = = = Nên ∆CGH đồng dạng với tam giác có độ dài ba đường 3 trung tuyến AD, BE, CF ∆ABC (ccc) có diện tích S’ => =   = 2 => S’ = SCGH (1) Ba đường trung tuyến tam giác chia tam giác đồnh phần có diện tích SABC, nghĩa SDCG = SABC => SCGH = SABC (2) Từ (1) (2) => S’ = SCGH = SABC = S (vì SABC = S) Bài 2: Gợi ý : Gọi O giao điểm AD BC Đặt S = SABNM = SMNCD MN = x Vận dụng đồng dạng cặp tam giác ∆OAB ∆OMN, ∆ODC ∆OMN O A M D b B x N a Giải : Gọi O giao điểm AD BC Đặt S = SABNM = SMNCD MN = x Xét ∆OAB ∆OMN có : AB//MN => ∆OAB ~ ∆OMN b => =   = (1)  x Xét ∆ODC ∆OMN có MN //CD => ∆ODC ~ ∆OMN HH / 25 C Chuyên đề BD.HSG Hình học a => =   = (2)  x Từ (1) (2) cộng vế theo vế ta : + = + = Mà : SOAB = SOMN - SABNM = SOMN - S SODC = SOMN + SMNCD = SOMN + S ( S OMN − s ) + ( S OMN + S ) => = = =2 S OMN => x2 = Vậy MN2 = Bài : Gợi ý cách giải : Kẻ EN // BC, cắt AH M, cắt AB N ∆ABC ~ ∆ANE +Tính diện tích ∆ANE +Tính tỉ số đồng dạng hai tam giác ∆ABC ∆ANE Từ suy điều cần tìm D 15 A N B M H E 20 F C G Giải :  AN  Từ E kẻ NE // BC (N ∈ AB) => ∆ANE ~ ∆ABC => =   = ∆BDG cân  AB  B có đường phân giác BE đường cao (BE ⊥ GD) HH / 26 Chuyên đề BD.HSG Hình học Do NE // BC nên => ∆DNE cân N Tứ giác MEFH hình chữ nhật có ba góc vng => ME = HF = 20 (cm) ∆ANE vng cân A có AM ⊥ NE (do AH ⊥ BC mà NE //BC ) => AM trung tuyến => 2ME = NE => NE = 2.20 = 40 (cm) Mà NE = AN => AN = NE : = 20 (cm) => SANE = NA2 = (20 )2 = 400(cm2) ∆DBG cân B có BE phân giác nên trung tuyến => EG = ED mà EN // BG => BN = ND (có ND = AN + AD = 20 + 15) => AB = 2BN - AD = (20 + 15).2 - 15 = 40 + 15 Vậy SABC = AB2 = (40 + 15)2 = (3425 + 1200 ) ≈ 2561 (cm2) Bài 4: Xem cách giả tập (Phần giải mẫu) B F J G I C A H E K M Giải : Kẻ BH GK vng góc với AC Ta có : a - b = b - c => a + c = 2b I giao điểm ba đường phân giác trong, nên I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC => IE = IF = IJ (IE, IF IJ khoảng cách từ tâm I đến cạnh tam giác hay IE = IF = IJ bán kính) Ta có BH // GK (vì vng góc với AC) => = = (1) SABC = BH.AC = BH.b (2) SABC = IE(AB + BC + CA) = (a + b + c).IE = 3b.IE (vì a + c = 2b) (3) Từ (2) (3) => BH.b = 3b.IE BH = 3IE = (4) Từ (1) (4) => GK = IE Tứ giác GKEI có GK = IE GK // IE (vì vng góc với AC) nên HH / 27 Chuyên đề BD.HSG Hình học hình bình hành có GK ⊥ EK nên hình chữ nhật => IG // EK hay IG // AC Bài : Gợi ý : + Sử dụng tính chất diện tích : Nếu đa giác chia thành đa giác nhỏ khơng có điểm chung trong, diện tích đa giác chia tổng diện tích đa giác chia + Cơng thức tính diện tích tam giác A K H B C D Giải : Kẻ DK ⊥ AC, ta có DK = DH = d AD phân giác góc BAC Ta có : SABC = SABD + SACD SABC = bc SACD = dc SACD = db => bc = dc + db bc = dc + db Chia hai vế cho bcd ta : = + Bài : Gợi ý : Sử dụng tính chất diện tích tính chất hai tam giác có cạnh đáy, tỉ số hai diện tích băng tỉ số hai chiều cao tương ứng HH / 28 Chuyên đề BD.HSG Hình học Giải: A M E B F C H Vẽ AH ⊥ BC , MK ⊥ BC SABC = AH.BC , SMBC = MK.BC SABC = SAMB + SAMC + SMBC, mà SMBC = SAMB + SAMC , Do SABC = 2SMBC Hay AH = 2MK , mà AH không đổi => MK khơng đổi Do M ln ln cách BC khoảng không đổi AH Mà M không nằm tam giác ABC, Nên M nằm đoạn thẳng EF // BC cách BC khoảng AH Bài : Gợi ý : + Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác để chứng minh phân thuận “Nếu M trung điểm AB SAOM = SBOM.” + Sử dụng tính chất diện tích để chứng minh phần đảo lại : “Nếu SAOM = SBOM MA = MB.” Giải : y B C M O A x a)Thuận : Nếu AM = MB => SAOC = SBOC Xét ∆AOB có MA = MB => OM trung tuyến => SBOM = SAOM (1) HH / 29 Chuyên đề BD.HSG Hình học ∆ABC có CM trung tuyến => SBCM = SACM (2) Cộng (1) (2) Vế theo vế ta : SBOM + SBCM = SAOM + SACM Hay : SBOC = SAOC b) Đảo lại : Nếu SAOC = SBOC => AM = MB K h(1) O y B M C h(2) A L x Giải : Gọi h(1) khoảng cách từ O đến AB , h(2) khoảng cách từ C đến AB Ta có : SAOC = SAOM + SACM SBOC = SBOM + SBMC Mà SAOC = SBOC SAOM + SACM = SBOM + SBMC (1) SAOM = MA.h(1) SACM = MA.h(2) => SAOM + SACM = MA(h(1) + h(2)) (2) SBOM = MB.h(1) SBMC = MB.h(1) => SBOM + SBMC = MB(h(1) + h(2)) (3) Từ (1) , (2) (3) =>MB(h(1) + h(2)) = MB(h(1) + h(2)) => MA = MB Bài : Gợi ý : +Sử dụng cơng thức : Diện tích tam giác phần hai tích hai cạnh sin góc tạo hai cạnh HH / 30 ... + d HH / Chuyên đề BD.HSG Hình học 2 )Diện tích tứ giác đặc biệt : a )Diện tích hình chữ nhật : A a b B d SABCD = a.b d= D C b )Diện tích hình vng A... tính diện tích hình giúp ta so sánh độ dài đoạn thẳng Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng phương pháp diện tích, ta ý điểm sau : 1)Xác định quan hệ diện tích hình 2)Sử dụng cơng thức tính diện tích. .. CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN : Ta biết, biết độ dài số yếu tố hình ta tính diện tích hình cơng thức mà ta biết Ngược lại công thức tính diện tích cho ta quan hệ độ dài đoạn