Thông tin tài liệu
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
i.C¸c bµi to¸n t×m tËp hîp ®iÓm
Bµi 1: Cho ®êng trßn (O; R) vµ tam gi¸c c©n ABC cã AB = AC néi tiÕp
®êng trßn (O; R) KÎ ®êng kÝnh AI. Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn cung nhá
AC. Mx lµ tia ®èi cña tia MC. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm D sao cho
MD = MC.
a) Chøng minh r»ng MA lµ tia ph©n gi¸c cña cña gãc BMx.
b) Gäi K lµ giao thø hai cña ®êng th¼ng DC víi ®êng trßn (O). Tø gi¸c
MIKD lµ h×nh g×? v× sao?
c) Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c MDK. Chøng minh r»ng khi M di
®éng trªn cung nhá AC th× G lu«n n»m trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh.
d) Gäi N lµ giao ®iÓm thø hai cña ®êng th¼ng AD víi ®êng trßn (O). P lµ
giao ®iÓm thø hai cña ph©n gi¸c gãc IBM víi ®êng trßn. Chøng minh r»ng,
®êng th¼ng DP lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn cung nhá
AC.
Híng dÉn:
a)
Gãc
AMB
=
(1/2)s®AB (gãc
néi tiÕp (O)
ch¾n AB )
Gãc AMx =
180®é - Gãc
AMC = 180®é
-
D
x
A
G
M
N
O
K
B
C
I
(1/2)s®cungABC = (1/2)s®cungAC =(1/2)s®cungAB
vËy: Gãc AMB = Gãc AMx hay MA lµ tia ph©n gi¸c cña Gãc BMx
b) +Tam gi¸c MCD c©n => Gãc MCD = Gãc MDC = (1/2)Gãc BMC
( gãc ngoµi cña tam gi¸c)
l¹i cã Tam gi¸c ABC c©n => I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung BC => Gãc
IMC = Gãc IMB = (1/2)Gãc BMC
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
1
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
vËy Gãc MCD = Gãc IMC => IM song song víi CD
+ Gãc MCD = Gãc MDC = Gãc BMI => BI = MK =>Gãc MIK = Gãc
IMB => IK song song víi MD
VËy MIKD lµ h×nh b×nh hµnh.
c) D thuéc ®êng trßn (A; AC)
Gäi N lµ ®iÓm trªn AI sao cho NA = (1/3)AI.=> NG = (2/3)AD =
(2/3)AC = hs
=> G thuéc ®êng trßn (N; (2/3)AC)
---------------------------Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC ngo¹i tiÕp ®êng trßn (O; R). Gäi D lµ ®iÓm
chÝnh gi÷a cña cung BC kh«ng chøa A. VÏ ®êng trßn qua D vµ tiÕp xóc víi
AB t¹i B. VÏ ®êng trßn qua D vµ tiÕp xóc víi AC t¹i C. Gäi E lµ giao ®iÓm
thø hai cña hai ®êng trßn nµy.
a) Chøng minh 3 ®iÓm B, C, E th¼ng hµng.
b) Mét ®êng trßn t©m K di ®éng lu«n ®i qua A vµ D, c¾t AB, AC theo thø
tù t¹i M vµ N. Chøng minh r»ng BM = CN.
c) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN.
A
M
K
I
E
B
Híng dÉn:
a) + gãc BED =
gãc DBx = gãc
ACB
2
C
D
N
y
x
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
+ gãc CED = gãc DCy = gãc ABD
=> gãc BEC = gãcABD + gãcACD = 180 ®é.
=> B, E, C th¼ng hµng.
b) cung BD = cung DC => gãc BAD = gãc CAD => cung DN = cung
DM
=> DM = DN
cung BD = cung DC => DB = DC
gãc DCN = gãc DBM
=> Tam gi¸c BMD = tam gi¸c CND => BM = CN.
c) TÝnh ®îc DI = 2KD sin2 (A/2) =>(DI/DK) =2 sin2(A/2) =hs
K thuéc trung trùc cña AD => I thuéc ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AD c¾t
AD t¹i P sao cho (DP/DA )=sin2(A/2)
----------------------------------Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. C¸c ®iÓm M, N theo thø tù chuyÓn
®éng trªn c¸c c¹nh AB, AC sao cho AM = CN.
a) Chøng minh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN lu«n ®i qua mét ®iÓm
cè ®Þnh kh¸c A.
b) T×m quü tÝch t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN.
A
Híng dÉn:
a) §êng cao AH c¾t ®êng trßn ngo¹i
tiÕp tam gi¸c AMN t¹i P
=> tam gi¸c AMP = tam gi¸c CNP =>
PA = PC
=> P lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam
gi¸c ABC => P cè ®Þnh.
b) T©m I cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam
B
gi¸c AMN n»m trªn ®êng trung trùc cña
AP.
------------------------------
M
I
P
N
C
H
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
3
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
Bµi 4. T×m quü tÝch ®Ønh C c¸c tam gi¸c ABC cã AB cè ®Þnh, ®êng cao
BH b»ng c¹nh AC.
E
C
Híng dÉn:
KÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i A,
trªn ®ã lÊy E sao cho AE = AB
=> tam gi¸c ACE = tam gi¸c BHA
=> gãc ACE = 90 ®é => C thuéc cung
chøa gãc 90 ®é dùng trªn AE.
H
B
A
Bµi 5: Tø gi¸c låi ABCD cã AC cè ®Þnh, gãc A =45 0, gãc B = gãc C =
900.
a) Chøng minh r»ng BD cè ®é dµi kh«ng ®æi.
b) Gäi E lµ giao cña BC vµ AD, F lµ giao cña DC vµ AB. Chøng minh EF
cã ®é dµi kh«ng ®æi.
c) T×m quü tÝch t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF.
F
B
H
C
Híng dÉn:
a) gãc B = gãc D = 90
®é => B, D thuéc ®êng
trßn ®êng kÝnh AC
O
J
A
D
I
4
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
E
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
gãc A = 45 ®é => BD = R 2 = hs.
b) Tam gi¸c CDE vu«ng c©n => CD = ED
tam gi¸c ADF vu«ng c©n => DA = DF
=>Tam gi¸c ACD = tam gi¸c FED
=> EF = AC = hs
c) Trung trùc cña AF c¾t trung trùc cña AE t¹i J, c¾t (O) t¹i H vµ I
=> H, I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña hai cung AC => H, I cè ®Þnh.
gãc HJI = gãc BCD = 135 ®é
=> J thuéc cung chøa gãc 135 ®é dùng trªn HI.
---------------------------------Bµi 6: Cho ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. Mét ®iÓm M di ®éng trªn ®o¹n AB.
Dùng vÒ cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®êng th¼ng AB c¸c h×nh vu«ng
AMDE, MBGH. Gäi O, O' t¬ng øng lµ t©m c¸c h×nh vu«ng trªn.
a) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n OO'.
b) Chøng minh r»ng AH vµ EG ®i qua giao ®iÓm N kh¸c M cña c¸c ®êng
trßn ngo¹i tiÕp c¸c h×nh vu«ng AMDE vµ MBGH.
c) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 7: Cho hai ®êng trßn (O; R) vµ (O'; R') c¾t nhau t¹i A vµ D cã c¸c ®êng kÝnh AOB vµ AO'C vu«ng gãc víi nhau t¹i A. Mét ®êng th¼ng d ®i qua
A vµ c¾t c¸c nöa ®êng trßn kh«ng chøa ®iÓm D cña (O), (O') t¬ng øng t¹i c¸c
®iÓm M, N kh¸c A.
a) Chøng minh tam gi¸c ABM vµ tam gi¸c CAN ®ång d¹ng.
b) T×m quü tÝch giao ®iÓm P cña OM vµ O'N khi d di ®éng.
c) TiÕp tuyÕn M cña (O) c¾t AD t¹i I. Chøng minh r»ng: IM2 = IA. ID.
d) T×m vÞ trÝ cña c¸t tuyÕn d ®Ó cho tiÕp tuyÕn t¹i M cña (O) vµ tiÕp tuyÕn
t¹i N cña (O') c¾t nhau t¹i mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng AD.
d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d sao cho tø gi¸c MNCB cã diÖn tÝch lín nhÊt. T×m
gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã theo R vµ R'.
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
5
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
I
Híng dÉn
M
a) Tam gi¸c AMB
A
vµ tam gi¸c CAN ®ång
d¹ng
N
b) gãc PMA + gãc
O'
PNA = gãc OAM +
O
gãc O'AN = 90 ®é
=> gãc OPO' =90
®é => P thuéc ®êng
P
trßn ®êng kÝnh OO'
B
C
D
c) Tam gi¸c IMA
vµ tam gi¸c IDM ®ång
d¹ng
=> IM2 = IA.ID
d) t¬ng tù c©u c gi¶ sö tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O') c¾t AD t¹i I' => I'M 2 =
I'A.I'D . VËy I trïng I' IM = I'N I thuéc trung trùc cña NM
VËy khi I lµ giao cña AD vµ trung trùc cña MN th× tiÕp tuyÕn t¹i M cña
(O) vµ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O') c¾t nhau t¹i mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng AD.
e) diÖn tÝch Tø gi¸c BMNC lín nhÊt (S BMA +SANC)min (SBMA)min
2
(BM.AM)min l¹i cã: BM2 + AM2 = R2 vËy: BM.AM ≤ R dÊu b»ng khi
2
BM = AM d t¹o víi AB mét gãc 45 ®é
Khi ®ã diÖn tÝch tø gi¸c BMNC lµ:
(
)
1
R.R' + R 2 + R' 2 .
2
Bµi 8: Mét ®iÓm A ®i ®éng trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BC cè ®Þnh. §êng th¼ng qua C song song víi BA c¾t ®êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc BAC
cña tam gi¸c ABC t¹i D. T×m quü tÝch D.
6
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
D
j
E
A
B
O
C
Híng dÉn
AD c¾t (O) t¹i E => E cè ®Þnh
l¹i cã gãc CDE = 45 ®é
VËy D thuéc cung chøa gãc 45 ®é dùng trªn CE.
Bµi 9: Cho ®êng trßn (O; R) cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng d c¾t (O; R) t¹i hai
®iÓm A, B cè ®Þnh. Mét ®iÓm M di ®éng trªn d vµ ë bªn ngoµi ®o¹n AB. VÏ
c¸c tiÕp tuyÕn MP vµ MN víi (O; R). Gäi N, P lµ hai tiÕp ®iÓm.
a) Chøng minh r»ng khi M di ®éng, ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP
lu«n ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh.
b) T×m quü tÝch t©m I cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP.
c) Tr×nh bµy c¸ch dùng ®iÓm M sao cho tam gi¸c MNP lµ tam gi¸c ®Òu.
Híng dÉn:
a) Gi¶ sö (I) c¾t AB t¹i H kh¸c M => gãc OHM = 90 ®é => HA = HB hay
H cè ®Þnh. VËy (I) ®i qua O vµ H cè ®Þnh.
b) IO = IH => I thuéc trung trùc cña OH.
c) Tam gi¸c MNP ®Òu gãc OMN = 30 ®é OM = 2ON = 2R
VËy M thuéc (O; 2R)
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
7
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
P
O
I
A
d
B
H
M
N
Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh. Mét ®iÓm I di ®éng trªn c¹nh
AB (I kh¸c A vµ B). Tia DI c¾t tia CB t¹i E. §êng th¼ng CI c¾t ®êng th¼ng
AE t¹i M. §êng th¼ng BM c¾t ®êng th¼ng DE t¹i F. T×m quü tÝch ®iÓm F.
E
Híng dÉn:
Trªn BC lÊy G sao cho AI = BG => AI
v«ng gãc víi ED
¸p dông ®Þnh lÝ Meleneut trong tam
gi¸c AEB víi 3 ®iÓm th¼ng hµng C, I, M
CB IA ME
cã
= 1 (1)
CE IB MA
l¹i cã
M
F
B
A
I
CB CD IB
thay vµo (1) =>
=
=
CE CE BE
ME BE BE
=> MB song song víi AG
=
=
MA IA BG
hay gãc DFB vu«ng
VËy F thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh BD
( cung nhá AB ).
8
G
D
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
C
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
Bµi 11: Cho ®êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh trªn ®êng trßn.
§iÓm M lu ®éng trªn tiÕp tuyÕn xy t¹i A cña (O; R). Qua M vÏ tiÕp tuyÕn thø
hai víi (O; R). Gäi tiÕp ®iÓm lµ B.
a) T×m quü tÝch t©m c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMB.
b) T×m quü tÝch trùc t©m H cña tam gi¸c AMB.
B
O
Híng dÉn:
H
E
a) §êng trßn ngo¹i
tiÕp tam gi¸c AMB lµ ®êng trßn ®êng kÝnh OM
A
M
=> E thuéc trung
trùc cña OA
b) Tø gi¸c AOBH lµ
h×nh thoi => AH = R. VËy H thuéc ®êng trßn (A; R) ( thuéc nöa mÆt ph¼ng
bê xy chøa B)
Bµi 12: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O. §êng ph©n gi¸c cña
gãc A c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm D. Mét ®êng trßn (L) thay ®æi nhng lu«n ®i qua
hai ®iÓm A vµ D. (L) c¾t hai ®êng th¼ng AB, AC ë giao ®iÓm thø hai lµ M, N
(cã thÓ trïng víi A).
a) Chøng minh r»ng: BM = CN.
b) T×m quü tÝch trung ®iÓm K
A
cña MN.
Híng dÉn:
a) gãc BAD = gãc DAN => DB
= DC; DM = DN
L
M
K
C
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng
Ninh
B
D
N
9
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
l¹i cã gãc MBD = gãc NCD; gãc BMD = gãc NCD => gãc BDM = gãc
CDN
vËy tam gi¸c BDM = tam gi¸c CDN => BM = CN.
b) T¬ng tù c©u c bµi 2
Bµi 13: Cho gãc vu«ng xOy. Mét chiÕc ªke ABC trît trong mÆt ph¼ng
cña gãc xOy sao cho ®Ønh B di chuyÓn trªn c¹nh Ox, ®Ønh C di chuyÓn trªn
c¹nh Oy vµ ®Ønh gãc vu«ng A di chuyÓn trong gãc xOy. T×m quü tÝch ®iÓm
A.
x
Híng dÉn:
Tø gi¸c OBAC néi tiÕp => gãc
yOA = gãc CBA = α
VËy A thuéc tia t¹o víi tia Oy
mét gãc α ( phÇn n»m trong gãc
xOy )
B
A
O
C
y
Bµi 14: Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R vµ mét ®iÓm P cè ®Þnh ë ngoµi
®êng trßn. VÏ tiÕp tuyÕn PA vµ c¸t tuyÕn PBC bÊt k× (A, B, C trªn (O; R)).
Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. Khi c¸t tuyÕn PBC quay quanh P.
a) T×m quü tÝch ®iÓm ®èi xøng cña O qua BC.
b) T×m quü tÝch ®iÓm H.
10
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
A
K
H
O
C
B
P
O'
Híng dÉn:
a) ta cã PO' = PO = hs; P cè ®Þnh => O' thuéc ®êng trßn ( P; PO)
b) Tø gi¸c OO'HA lµ h×nh b×nh hµnh vÏ h×nh b×nh hµnh AOPK => K cè
®Þnh. => HO'PK còng lµ h×nh b×nh hµnh => HK = O'P = OP = hs. VËy H
thuéc ®êng trßn (K; OP).
Bµi 15: Cho h×nh vu«ng ABCD cã t©m O. VÏ ®êng th¼ng d quay quanh
O c¾t hai c¹nh AD vµ BC lÇn lît t¹i E vµ F ( E vµ F kh«ng trïng víi c¸c ®Ønh
cña h×nh vu«ng). Tõ E, F lÇn lît vÏ c¸c ®êng th¼ng song song víi DB, AC
chóng c¾t nhau t¹i I.
a) T×m quü tÝch I.
b) Tõ I vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi EF t¹i H. Chøng tá H thuéc mét ®êng cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng IH ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 16: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Mét ®iÓm P di ®éng trªn c¹nh BC.
VÏ PQ song song víi AC ( Q thuéc AB), vÏ PR song song víi AB ( R thuéc
AC). T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D ®èi xøng víi P qua QR.
Bµi 17: Cho gãc vu«ng xOy. C¸c ®iÓm A vµ B t¬ng øng thuéc tia Ox, Oy
sao cho OA = OB. Mét ®êng th¼ng d ®i qua A vµ c¾t OB t¹i M n»m gi÷a O
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
11
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
vµ B. Tõ B h¹ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AM c¾t AM t¹i H vµ c¾t ®êng th¼ng
OA t¹i I.
a) Chøng minh r»ng OI = OM vµ tø gi¸c OMHI néi tiÕp.
b) Gäi K lµ h×nh chiÕu cña O lªn BI. Chøng minh r»ng OK = HK.
c) T×m quü tÝch ®iÓm K khi M di ®éng trªn ®o¹n OB.
Bµi 18: Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ M di ®éng trªn
cung BC.
a) Trªn tia ®èi cña tia CM, lÊy ®o¹n CE = MB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm E
khi M di ®éng.
b) Trªn tia ®èi cña tia MC, lÊy ®o¹n MF = MB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm F
khi M di ®éng.
Bµi 19: Cho hai ®êng trßn b»ng nhau (O) vµ (O') c¾t nhau t¹i A vµ B.
Mét c¸t tuyÕn (d) bÊt k× qua B c¾t (O0 t¹i C vµ (O') t¹i C'. T×m tËp hîp trung
®iÓm I cña ®o¹n CC' khi d quay quanh B.
Bµi 20: Cho hai ®êng th¼ng xx' vµ yy' vu«ng gãc víi nhau t¹i O vµ mét
®iÓm P cè ®Þnh. Mét gãc vu«ng ®Ønh P quay quanh P. c¸c c¹nh cña gãc
vu«ng nµy c¾t xx' t¹i A vµ yy' t¹i B. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña ®o¹n AB.
Bµi 21: Trªn mçi b¸n kÝnh OM cña ®êng trßn (O) lÊy ®o¹n OI b»ng
kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®êng kÝnh cè ®Þnh AB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I.
Bµi 22: Cho ®êng trßn (O) cè ®Þnh vµ mét d©y AB cè ®Þnh. Trªn cung
nhá AB, ta lÊy ®iÓm C di ®éng. T×m tËp hîp t©m I cña ®êng trßn néi tiÕp tam
gi¸c ABC.
Bµi 23: Cho ®êng trßn (O) vµ mét d©y AB cè ®Þnh. KÓ mét d©y AC. Trªn
®êng th¼ng AC lÊy hai ®iÓm M, M' sao cho CM = CM' = CB, M n»m ngoµi
®êng trßn. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M vµ M' khi C v¹ch cung AB.
Bµi 24: Cho ®êng trßn (O; R), 2 ®iÓm B, C cè ®Þnh trªn (O) vµ mét ®iÓm
A di ®éng trªn (O). T×m tËp hîp c¸c trùc t©m H cña tam gi¸c ABC.
12
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
Bµi 25: Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M trong mÆt ph¼ng
sao cho h×nh chiÕu cña M trªn ba c¹nh cña tam gi¸c lµ ba ®iÓm th¼ng hµng.
Bµi 26: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®o¹n AB. Dùng trªn
cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®êng th¼ng AB c¸c h×nh vu«ng ANCD vµ
BMEF. C¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp chóng t©m P vµ Q c¾t nhau t¹i M vµ N.
a) Chøng minh r»ng: AE, BC ®i qua N.
b) Chøng minh r»ng: MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng.
c) T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña PQ khi M di ®éng.
Bµi 27: Cho ®êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm P cè ®Þnh trong ®êng trßn
kh«ng trïng víi O. Qua P dùng d©y cung APB, c¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A
vµ B c¾t nhau t¹i M. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M khi d©y AB quay quanh P.
Bµi 32: Hai ®êng trßn (O) vµ (O') giao nhau t¹i A vµ B. Mét c¸t tuyÕn di
®éng qua A c¾t (O) t¹i C vµ (O') t¹i D. T×m tËp hîp t©m I cña c¸c ®êng trßn
néi tiÕp tam gi¸c BCD.
Bµi 33: Cho tam gi¸c c©n ABC néi tiÕp ®êng trßn (O; R) cã AB = AC =
R 2
a) TÝnh ®é dµi BC theo R
b) M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn cung nhá AC, ®êng th¼ng AM c¾t ®êng
th¼ng BC t¹i D. Chøng minh r»ng AM.AD lu«n lu«n lµ h»ng sè
c) Chøng minh t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MCD di ®éng trªn mét
®êng cè ®Þnh khi M di ®éng trªn cung nhá AC.
A
Híng dÉn:
a) BC lµ ®êng kÝnh cña
(O).
b) Tam gi¸c AMC ®ång
d¹ng víi tam gi¸c ACD
=>
AM.AD = AC2 = R 2 .
M
I
B
O
C
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
D
13
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm
c) gãc ACM = gãc MDC = 1/2 s® cung CM => AC lµ tiÕp tuyÕn cña ( I )
=> IC vu«ng gãc víi AC cè ®Þnh => I thuéc ®êng th¼ng qua C vµ vu«ng gãc
víi CA.
Bµi 34: Cho h×nh vu«ng ABCD cã t©m O. VÏ ®êng th¼ng (d) quay quanh
O c¾t AD, BC t¹i E, F. Tõ E, F lÇn lît vÏ c¸c ®êng th¼ng song song víi DB,
AC chóng c¾t nhau t¹i I.
a) Chøng minh r»ng I thuéc mét ®êng th¼ng cè ®Þnh
b) Tõ I kÎ IH vu«ng gãc víi EF t¹i H. Chøng minh H thuéc mét ®êng cè
®Þnh vµ IH ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
K
A
I
B
F
E
O
H
D
14
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
C
[...]... hai điểm M, M' sao cho CM = CM' = CB, M nằm ngoài đờng tròn Tìm tập hợp các điểm M và M' khi C vạch cung AB Bài 24: Cho đờng tròn (O; R), 2 điểm B, C cố định trên (O) và một điểm A di động trên (O) Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác ABC 12 Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im Bài 25: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm. .. đoạn CE = MB Tìm tập hợp các điểm E khi M di động b) Trên tia đối của tia MC, lấy đoạn MF = MB Tìm tập hợp các điểm F khi M di động Bài 19: Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B Một cát tuyến (d) bất kì qua B cắt (O0 tại C và (O') tại C' Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B Bài 20: Cho hai đờng thẳng xx' và yy' vuông góc với nhau tại O và một điểm P cố định Một... quay quanh P các cạnh của góc vuông này cắt xx' tại A và yy' tại B Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB Bài 21: Trên mỗi bán kính OM của đờng tròn (O) lấy đoạn OI bằng khoảng cách từ M đến đờng kính cố định AB Tìm tập hợp các điểm I Bài 22: Cho đờng tròn (O) cố định và một dây AB cố định Trên cung nhỏ AB, ta lấy điểm C di động Tìm tập hợp tâm I của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 23: Cho đờng tròn... chúng cắt nhau tại I a) Tìm quỹ tích I b) Từ I vẽ đờng thẳng vuông góc với EF tại H Chứng tỏ H thuộc một đờng cố định và đờng thẳng IH đi qua một điểm cố định Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A Một điểm P di động trên cạnh BC Vẽ PQ song song với AC ( Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB ( R thuộc AC) Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR Bài 17: Cho góc vuông xOy Các điểm A và B tơng ứng thuộc... ba điểm thẳng hàng Bài 26: Cho đoạn thẳng AB và M là điểm tuỳ ý trên đoạn AB Dựng trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB các hình vuông ANCD và BMEF Các đờng tròn ngoại tiếp chúng tâm P và Q cắt nhau tại M và N a) Chứng minh rằng: AE, BC đi qua N b) Chứng minh rằng: MN đi qua một điểm cố định khi M di động c) Tìm tập hợp trung điểm I của PQ khi M di động Bài 27: Cho đờng tròn (O; R) và một điểm. .. Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 11 Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im và B Từ B hạ đờng thẳng vuông góc với AM cắt AM tại H và cắt đờng thẳng OA tại I a) Chứng minh rằng OI = OM và tứ giác OMHI nội tiếp b) Gọi K là hình chiếu của O lên BI Chứng minh rằng OK = HK c) Tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB Bài 18: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O) và M di động trên... tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M Tìm tập hợp các điểm M khi dây AB quay quanh P Bài 32: Hai đờng tròn (O) và (O') giao nhau tại A và B Một cát tuyến di động qua A cắt (O) tại C và (O') tại D Tìm tập hợp tâm I của các đờng tròn nội tiếp tam giác BCD Bài 33: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đờng tròn (O; R) có AB = AC = R 2 a) Tính độ dài BC theo R b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đờng thẳng...Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im A K H O C B P O' Hớng dẫn: a) ta có PO' = PO = hs; P cố định => O' thuộc đờng tròn ( P; PO) b) Tứ giác OO'HA là hình bình hành vẽ hình bình hành AOPK => K cố định => HO'PK... AC A Hớng dẫn: a) BC là đờng kính của (O) b) Tam giác AMC đồng dạng với tam giác ACD => AM.AD = AC2 = R 2 M I B O C Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh D 13 Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im c) góc ACM = góc MDC = 1/2 sđ cung CM => AC là tiếp tuyến của ( I ) => IC vuông góc với AC cố định => I thuộc đờng thẳng qua C và vuông góc với CA Bài 34: Cho hình vuông... vẽ các đờng thẳng song song với DB, AC chúng cắt nhau tại I a) Chứng minh rằng I thuộc một đờng thẳng cố định b) Từ I kẻ IH vuông góc với EF tại H Chứng minh H thuộc một đờng cố định và IH đi qua một điểm cố định K A I B F E O H D 14 Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh C ... quay quanh P a) Tìm quỹ tích điểm đối xứng O qua BC b) Tìm quỹ tích điểm H 10 Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im A K H... thẳng AC lấy hai điểm M, M' cho CM = CM' = CB, M nằm đờng tròn Tìm tập hợp điểm M M' C vạch cung AB Bài 24: Cho đờng tròn (O; R), điểm B, C cố định (O) điểm A di động (O) Tìm tập hợp trực tâm H... - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im Bài 25: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng cho hình chiếu M ba cạnh tam giác ba điểm
Ngày đăng: 04/10/2015, 12:38
Xem thêm: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS quỹ tích tập hợp điểm, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS quỹ tích tập hợp điểm