Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 CHỦ ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x 3 – 5x 2 + 8x – 4 b) x 3 – 3x + 2 c) x 3 – 5x 2 + 3x + 9 d) x 3 + 8x 2 + 17x + 10 e) x 3 + 3x 2 + 6x + 4 Phương pháp: - Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ước của hạng tử tự do. - Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có nghiệm x = 1=> Đa thức có chứa nhân tử là x – 1 - Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì đa thức có nghiệm x = - 1 => Đa thức có nhân tử là x + 1. Bài giải: a) x 3 – 5x 2 + 8x – 4 = (x 3 – x 2 ) – (4x 2 – 4x) + (4x – 4) = x 2 (x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)(x 2 – 4x + 4) = (x – 1)(x – 2) 2 b) x 3 – 3x + 2 = (x 3 – x) - (2x - 2) = x(x 2 – 1) – 2(x - 1) =(x – 1)(x 2 + x – 2) c) x 3 – 5x 2 + 3x + 9 = (x 3 + x 2 ) – (6x 2 + 6x) + (9x + 9) = x 2 (x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x +1) = (x + 1)(x – 3) 2 d) x 3 + 8x 2 + 17x + 10 = (x 3 + x 2 ) + (7x 2 + 7x) + 10x + 10) = x 2 (x +1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1) = (x + 1)(x 2 + 7x + 10) = (x + 1) [(x 2 + 2x) + (5x + 10) ] =(x + 1)(x + 2)(x + 5) e) x 3 + 3x 2 + 6x + 4 = (x 3 + x 2 ) +(2x 2 +2x) +(4x + 4) = x 2 (x + 1) + 2x(x + 1) + 4(x +1) = (x + 1)(x 2 + 2x + 4) Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x 3 – 2x – 4 b) 2x 3 – 12x 2 + 17x – 2 c) x 3 + 9x 2 + 26x + 24 d) x 3 – 2x 2 – 3x + 10 Bài giải: a) x 3 – 2x – 4 = (x 3 – 2x 2 ) + (2x 2 – 4x) + (2x – 4) = x 2 (x – 2) + 2x(x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2)(x 2 + 2x + 2) b) 2x 3 – 12x 2 + 17x – 2 = (2x 3 – 4x 2 ) – (8x 2 – 16x) + (x – 2) = 2x 2 (x – 2) – 8x(x – 2) + (x – 2) 1 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 = (x – 2)(2x 2 – 8x + 1) c) x 3 + 9x 2 + 26x + 24 = (x 3 + 2x 2 ) + (7x 2 + 14x) + (12x + 24) = x 2 (x + 2) + 7x(x + 2) + 12(x + 2) = (x + 2)(x 2 + 7x + 12) = (x + 2) [(x 2 + 4x) + (3x + 12) ] = (x + 2)(x + 3)(x + 4) d) x 3 – 2x 2 – 3x + 10 = (x 3 + 2x 2 ) – (4x 2 + 8x) + (5x + 10) = x 2 (x + 2) – 4x(x + 2) + 5(x + 2) = (x + 2)(x 2 – 4x + 5) Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x 3 – 3x 2 + 3x – 1 b) 3x 3 – 14x 2 + 4x + 3 c) 3x 3 – 7x 2 + 17x – 5 Phương pháp: Các ước của hệ số tự do không phải là nghiệm nguyên của đa thức. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm hữu tỉ phải có dạng q p trong đó p là ước của hệ số tự do còn q là ước của hệ số cao nhất. Bải giải: a) 2x 3 – 3x 2 + 3x – 1 ( thấy có nghiệm x = 2 1 , nên đa thức có nhân tử là 2x – 1) = (2x 3 – x 2 ) – (2x 2 – x) + (2x – 1) = x 2 (2x – 1) – x(2x – 1) + (2x – 1) = (2x – 1)(x 2 – x + 1) b) 3x 3 – 14x 2 + 4x + 3 (thấy có nghiệm x = 3 1 − , nên đa thức có nhân tử là 3x + 1) = (3x 3 + x 2 ) – (15x 2 + 5x) + (9x + 3) = x 2 (3x + 1) – 5x(3x + 1) + 3(3x +1) = (3x + 1)(x 2 – 5x + 3) c) 3x 3 – 7x 2 + 17x – 5 (ta thấy có nghiệm x = 3 1 , nên đa thức có nhân tử là 3x – 1) = (3x 3 – x 2 ) – (6x 2 – 2x) + (15x – 5) = x 2 (3x – 1)- 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x 2 – 2x + 5) Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x 8 + x 7 + 1 b) x 7 + x 5 + 1 c) x 4 + 324 Giải: a) x 8 + x 7 + 1 = (x 8 – x 2 ) + (x 7 – x) + (x 2 + x + 1) (thêm và bớt x 2 + x) = x 2 (x 6 – 1) + x(x 6 – 1) + (x 2 + x + 1) = x(x 6 – 1)(x + 1) + (x 2 + x + 1) 2 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 = (x 3 – 1)(x 3 + 1)(x 2 + x) + (x 2 + x + 1) = (x – 1)(x 2 + x + 1)(x 3 + 1)(x 2 + x) + (x 2 + x +1) = (x 2 + x + 1) [(x – 1)(x 3 + 1)(x 2 + x) + 1] = (x 2 + x + 1)(x 4 – x 3 + x – 1)(x 3 + x) + 1] = (x 2 + x + 1)(x 6 – x 4 + x 3 + x + 1) b) x 7 + x 5 + 1 = x 7 + x 5 – x 2 - x + (x 2 + x + 1) = (x 7 - x) + (x 5 – x 2 ) + (x 2 + x + 1) = x(x 6 – 1) + x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) = x(x 3 – 1)(x 3 + 1+ x) + (x 2 + x + 1) = x(x – 1)(x 2 + x + 1)(x 3 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)[(x 2 – x)(x 3 + x + 1) + 1] = (x 2 + x + 1)(x 5 – x 4 + x 3 – x + 1) c) x 4 + 324 = [(x 2 ) 2 + 2.18x 2 + 18 2 ] – 36x 2 = (x 2 + 18) 2 – (6x) 2 = (x 2 + 6x + 18)(x 2 – 6x + 18) Bài 5: Chứng mính rằng: a) x 50 + x 10 + 1 chia hết cho x 20 + x 10 + 1 b) x 2 – x 9 – x 1945 chia hết cho x 2 – x + 1 c) 8x 9 – 9x 8 + 1 chia hết cho (x – 1) 2 Giải: a) x 50 + x 10 +1 = (x 50 – x 20 ) + (x 20 + x 10 + 1) = x 20 (x 30 – 1) + (x 20 + x 10 + 1) = x 20 (x 10 – 1)(x 20 + x 10 + 1)+ (x 20 + x 10 + 1) = (x 20 + x 10 + 1)(x 30 – x 20 + 1) chia hết cho (x 20 + x 10 + 1) b) x 2 – x 9 – x 1945 = (x 2 – x + 1) – (x 9 + 1) – (x 1945 – x) = (x 2 – x + 1) – (x 3 + 1)(x 6 – x 3 + 1) – x(x 1944 - 1) = (x 2 – x + 1) – (x + 1)(x 2 – x + 1)(x 6 – x 3 + 1) – x( Bài 5: Tìm số nguyên a sao cho đa thức (x + a)(x – 5) + 2 phân tích được thành (x + b) (x + c) với b, c, là số nguyên Giải Dùng phương pháp xét giá trị riêng Với mọi x ∈ R ta luôn có: (x + a)(x – 5) + 2= (x + b)(x + c) (*) với x = 5 ta được: (5 + b)(5 + c) = 2 Vì b và c là số nguyên nên (5 + b)(5 + c) là tích của hai số nguyên. Số 2 chỉ viết được 1.2 hoặc (-1)(-2) Giả sử b < c ta xét hai trường hợp: TH1: 5 + b = 1 5 + c = 2 => b = - 4, c = -3 Thay vào (*) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x – 3) với mọi x Với x = 4 thì -(4 + a) + 2 = 0 => 4 + a = 2 => a = -2. Đa thức phân tích thành (x -2)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x – 3) TH 2: 3 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 5 + b = - 2 5 + c = -1 => b = - 7, c = - 6 Thay vào (*) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6) với mọi x Với x = 6 thì (6 + a) + 2 = 0 => a = - 8. Đa thức được phân tích thành (x – 8)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6) Bài 6: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức x 3 + ax 2 + bx + c phân tích được thành (x + a)(x + b)(x + c). Giải: Dùng phương pháp hệ số bất định Ta có: x 3 + ax 2 + bx + c = (x + a)(x + b)(x + c)  x 3 + ax 2 + bx + c = x 3 + (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ca)x + abc  a = a + b + c b = ab + bc + ca c = abc => b + c = 0 (1) ; ab + bc + ca = b (2) ; abc = c (3) Từ (1) => c = -b; Thay vào (2) được – b 2 = b => b(b + 1) = 0 => b = 0 hoặc b = -1 * Với b = 0=> c = 0, a tuỳ ý * Với b = -1 thì c = 1, a = - 1 Vậy ta được x 3 + ax 2 = x 2 (x + a) hoặc x 3 – x 2 – x + 1 = (x – 1) 2 (x + 1) BTVN: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 3 – 9x 2 + 6x + 16 b) x 3 – 6x 2 – x + 30 c) 27x 3 – 27x 2 + 18x – 4 d) x 2 + 2xy + y 2 – x – y – 12 Bài 2: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho (x + a)(x – 4) – 7 phân tích được thành (x + b) (x + c) Bài 3: Chứng minh rằng: x 8n + x 4n + 1 chia hết cho x 2n + x n + 1 với mọi số n ∈ N Đáp số: Bài 1: a). Biến đổi x 3 – 9x 2 + 6x + 16 = (x + 1)(x – 2)(x – 8) b) 2 là một nghiệm Biến đổi x 3 – 6x 2 – x + 30 = (x + 2)(x – 3)(x – 5) c) 3 1 là một nghiệm của đa thức Biến đổi 27x 3 – 27x 2 + 18x – 4 =(3x – 1)(9x 2 – 6x + 4) d) Đặt x + y = a. Biến đổi x 2 + 2xy + y 2 – x – y – 12 = (x + y = 3)(x + y – 4) Bài 2: Trường hợp 1: a = -10 ; b = -3 ; c = -11 4 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 Được: (x – 10)(x – 4) – 7 = (x – 3)(x – 11) Trường hợp 2: a = 2; b = 3; c = - 5 Được: (x + 2)(x – 4) – 7 = (x + 3)(x – 5) Bài 3: x 8n + x 4n + 1 = (x 2n + x n + 1)(x 2n – x n + 1) chia hết cho x 2n + x n + 1 5 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 CHUYÊN ĐỀ 2: CHIA ĐA THỨC LOẠI 1: TÌM HỀ SỐ CỦA ĐA THỨC Bài 1: Xác định các hằng số a, b, c sao cho a) ax 3 + bx 2 + 5x – 50 chia hết cho x 2 + 3x – 10 b) x 3 + ax + b chia x + 1 dư 7, chia x – 3 dư – 5 c) ax 3 + bx 2 + c chia hết cho x + 2, chia x 2 – 1 dư x + 5 (Đề thi HSG – năm 2001 Đông Anh) Giải a) Dùng phương pháp xét giá trị riêng Phân tích đa thức chia x 2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2) Gọi Q(x) là đa thức thương của phép chia ax 3 + bx 2 + 5x – 50 cho x 2 + 3x – 10. Ta có: ax 3 + bx 2 + 5x – 50 = (x + 5)(x – 2). Q(x) Xét các giá trị x = - 5 và x = 2. Ta được: -125a + 25b = 75 -5a + b = 3 a = 1 8a + 4b = 40 2a + b = 10 b = 8 b) Gọi P(x) là thương của phép chia x 3 + ax + b cho x + 1. Q(x) là thương của phép chia x 3 + ax + b cho x – 3. Ta có: x 3 + ax + b = (x + 1). P(x) + 7. Xét giá trị x = -1 . ta được a – b = - 8 x 3 + ax + b = (x -3). Q(x) - 5. Xét giá trị x = 3 . ta được 3a + b = - 32  a = -10, b = - 2 c) Ta được – 8a + 4b + c = 0 ; a + b + c = 6 và – a + b + c = 4 => a = 1, b = 1, c = 4 LOẠI 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC NÀY CHIA HẾT CHO GIÁ TRỊ ĐA THỨC KIA Bài 2: a) Tìm số nguyên n sao cho 2n 3 + n 2 + 7n + 1 chia hết cho 2n - 1 b) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức 25n 2 – 97n + 11 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 4 (Đề thi HSG năm 2001 – Đông Anh) c) Tìm số nguyên n sao cho n 3 – 3n 2 – 3n – 1 chia hết cho n 2 + n + 1 Giải: a) 2n 3 + n 2 + 7n + 1 = (2n 3 – n 2 ) + (2n 2 – n) + (8n – 4) + 5 = n 2 (2n – 1) + n(2n – 1) + 4(2n – 1) + 5 = (2n – 1)(n 2 + n + 4) + 5 Để 2n 3 + n 2 + 7n + 1 chia hết cho 2n – 1 thì 2n – 1 là ước của 5 mà Ư(5) = {1; -1; 5; -5} => n ∈ { … } b) Ta có 25n 2 – 97n + 11 = (25n + 3)(n – 4) + 23. Để giá trị của 25n 2 – 97n + 11 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 4 thì n – 4 phải là ước của 23 Ư(23) = {1; - 1; 23; - 23} 6 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9  n ∈ {3; 5; 27} c) n 3 – 3n 2 – 3n – 1 = (n 3 + n 2 + n) – (4n 2 + 4n + 4) + 3 = n(n 2 + n + 1) – 4(n 2 + n + 4) + 3 = (n – 4)(n 2 + n + 1) + 3 Để n 3 – 3n 2 – 3n – 1 chia hết cho (n 2 + n + 1) thì (n 2 + n + 1) là ước của 3 Để ý thấy n 2 + n + 1 > 0 nên n 2 + n + 1 = 1 hoặc 3 ĐS: 1, - 2, 0 , - 1 LOẠI 3: TÌM ĐA THỨC THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN Bài 3: Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 3 thì dư 7, f(x) chia cho x – 2 thì dư 5, f(x) chia cho (x – 2)(x – 3) thì thương là 3x và còn dư Bài 4: Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 3 thì dư 2, chia cho x + 4 thì dư 9, còn chia cho x 2 + x – 12 thì được thương là x 2 + 3 và còn dư Giải: Bài 3: Vì f(x) chia cho (x – 3) dư 7 nên: f(x) = (x – 3).A(x) + 7 (1) Vì f(x) chia cho (x – 2) dư 5 nên: f(x) = (x – 2). B(x) + 5 (2) Vì f(x) chia cho (x – 2)(x – 3) được thương là 3x và còn dư nên: f(x) = 3x(x – 2)(x – 3) + ax + b (3) Cho x = 3 từ (1) và (3) ta có: 7 = 3a + b Cho x = 2 từ (2) và (3) ta có: 5 = 2a + b => a = 2, b = 1. Vậy đa thức f(x) = 3x(x – 2)(x – 3) + 2x + 1 Bài 4: Vì f(x) chia cho (x – 3) dư 2 nên: f(x) = (x – 3).A(x) + 2 (1) Vì f(x) chia cho (x + 4) dư 5 nên: f(x) = (x + 4). B(x) + 9 (2) Vì f(x) chia cho x 2 + x - 12 được thương là x 2 + 3 và còn dư nên: f(x) = (x 2 + 3)(x 2 + x – 12) + ax + b = (x 2 + 3)(x – 2)(x – 3) + ax + b (3) ĐS: x 4 + x 3 – 9x 2 + 2x – 31 LOẠI 4: Tìm số dư Bài 5: Tìm dư khi chia x 99 + x 55 + x 11 + x + 7 cho a) x + 1 b) x 2 + 1 Bài 6: Tìm dư khi chia đa thức x 50 + x 49 + … + x 2 + x + 1 cho x 2 – 1 7 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 Giải: Bài 5: a) Số dư r = f(-1) = - 1 – 1 – 1 – 1 + 7 = 3. b) x 99 + x 55 + x 11 + x + 7 = x(x 98 + 1) + x(x 54 + 1) + x(x 10 + 1) – 2x + 7 = x[ (x 2 ) 49 + 1] + x[(x 2 ) 27 + 1] + x[(x 2 ) 5 + 1] – 2x + 7 Vì (x 2 ) 49 + 1; (x 2 ) 27 + 1; (x 2 ) 5 + 1 chia hết cho x 2 + 1 nên số dư là – 2x + 7 Bài 6: Gọi thương là Q(x). ta có: f(x) = (x 2 – 1).Q(x) + ax + b Cho x = - 1. => - a + b = 1 x = 1 => a + b = 51 => b = 26; a = 25 Vậy số dư là 25x + 26 BTVN: 1) Xác định các số a, b sao cho ax 3 + bx – 24 chia hết cho (x + 1)(x + 3) 2) Xác định các số a, b sao cho x 4 – x 3 – 3x 2 + ax + b chia cho x 2 – x – 2 có dư là 2x – 3 3) Tìm dư của phép chia đa thức x + x 3 + x 9 + x 27 + x 81 cho a) x – 1 b) x 2 – 1 4) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức 2n 2 + 3n + 3 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n – 1 CHUYÊN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH I - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Bài 1: Giải các phương trình sau: (Đề thi HSG năm 2003 – Đông Anh) a) 4x 2 + 4x – 3 = 0 b) x 3 – 2x 2 – 3x + 10 = 0 Giải a) 4x 2 + 4x – 3 = 0  (4x 2 + 4x + 1) – 4 = 0  (2x + 1) 2 – 2 2 = 0  (2x + 1 + 2)(2x + 1 – 2) = 0 => x = ½ hoặc x = -3/2 b) x 3 – 2x 2 – 3x + 10 = 0  (x + 2)(x 2 – 4x + 5) = 0 Ta có x 2 – 4x + 5 = (x – 2) 2 + 1 > 0  x + 2 = 0 => x = - 2 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) x 3 – 5x 2 + 8x – 4 = 0 b) 3x 3 – 7x 2 + 17x – 5 = 0 c) (x – 1) 3 + x 3 + (x + 1) = (x + 2) 3 Giải: a) x 3 – 5x 2 + 8x – 4 = 0  (x 3 – x 2 ) – (4x 2 – 4x) + (4x - 4) = 0  x 2 (x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = 0  (x – 1)(x – 2) 2 = 0 8 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9  x = 1 hoặc x = 2 b) 3x 3 – 7x 2 + 17x – 5 = 0  (3x 3 – x 2 ) – (6x 2 – 2x) + (15x – 5) = 0  x 2 (3x – 1)- 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = 0  (3x – 1)(x 2 – 2x + 5) = 0 Vì x 2 – 2x + 5 = x 2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1) 2 + 4 > 0 Nên (3x – 1)(x 2 – 2x + 5) = 0  3x – 1 = 0  x = 1/3 c) (x – 1) 3 + x 3 + (x + 1) = (x + 2) 3  x 3 – 3x 2 – 3x – 4 = 0  x 3 – 1 – 3x 2 – 3x – 3 = 0  (x – 1)(x 2 + x + 1) – 3(x 2 + x + 1) = 0  (x 2 + x + 1)(x – 4) = 0 Vì x 2 + x + 1 ≠ 0 nên => x = 4 Bài 3: Giải các phương trình sau a) x 4 +3x 3 + 4x 2 + 3x + 1 = 0 (Đề thi HSG năm 2001 – Đông Anh) b) x 5 – x 4 + 3x 3 + 3x 2 – x + 1 = 0 Giải: Phương trình ở câu a, b gọi là phương trình đối xứng. PHương trình ở câu a là phương trình đối xứng bậc chẵn. Phương trình ở câu b là phương trình đối xứng bậc lẻ. PHương pháp giải: - ĐỔi xứng bậc chẵn: vì x = 0 không phải là nghiệm, ta chia hai vế cho x 2 ≠ 0 và đặt ẩn phụ y = x + x 1 - Đối xứng bậc lẻ: PT luôn có một trong các nghiệm x = -1. a) x 4 +3x 3 + 4x 2 + 3x + 1 = 0  x 2 + 3x + 4 + 2 13 x x + = 0  04 1 3 1 2 2 =+       ++       + x x x x Đặt x + x 1 = y thì 2 1 2 2 2 −=       + y x x ta được: y 2 + 3y + 2 = 0 Tìm ra được y 1 = - 1 ; y 2 = - 2 Với y 1 = -1 ta có x + x 1 = -1 nên x 2 + x + 1 = 0 vô nghiệm với y = -2 ta có x + x 1 = - 2 nên (x + 1) = 0, do đó x = - 1. Kết luận nghiệm của phương trình là x = - 1 b) Ta thấy x = - 1 là một nghiệm của phương trình (vì tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ. Phương trình trở thành: (x + 1)(x 4 – 2x 3 + 5x 2 – 2x + 1) = 0 9 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 Giải phương trình x 4 – 2x 3 + 5x 2 – 2x + 1 = 0. Chia cả hai vế cho x 2 ta được: x 2 – 2x + 5 - 0 12 2 =+ x x đặt y = x x 1 + ta được y 2 – 2y + 3 = 0, vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 1 * Khi giải phương trình bậc 4 có dạng (x + a) 4 + (x + b) 4 = c ta thường đặt ẩn phụ y = x + 2 ba + Bài 4: Giải các phương trình sau: a) (x + 3) 4 + (x + 5) 4 = 2 Đặt y = x + 4 phương trình trở thành: (y – 1) 4 + (y + 1) 4 = 2 Biến đổi thành y 2 (y 2 + 6) = 0 do đó y = 0 vậy x = -4 b) (x – 2) 4 + (x – 6) 4 = 82 Đặt y = x – 4 Ra được nghiệm x = 5 và x = 3 c) (x – 6) 4 + (x – 8) 4 = 16 Đặt x – 7 = y phương trình trở thành: (y + 1) 4 + (y – 1) 4 = 16 Rút gọn ta được: 2y 4 + 12y 2 + 2 = 16 y 4 + 6y 2 + 1 = 8 y 4 + 6y 2 – 7 = 0 Đặt y 2 = z ≥ 0 ta được z 2 + 6z – 7 = 0 giải ra đượ z = 1, z = - 7 (loại) Với z = 1=> y = 1 và y = - 1  x = 8 hoặc x = 6 d) (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72  (x 2 – 9x + 14)(x 2 – 9x + 20) = 72 Đặt x 2 – 9x + 17 = y ta được (y – 3)(y + 3) = 72  y 2 – 9 = 72  y 2 = 81 => y = 1 hoặc y = - 1 => x = 1 hoặc x = 8 BTVN: Giải các phương trình sau: a) (x + 1) 4 + (x – 3) 4 = 82 b) (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 Đáp án: a) x = 0; 2 b) x = 4; x = -8 10 [...]... 16 Chuyờn Bi dng hc sinh gii Toỏn 9 Bài 5: a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6 Chứng minh a + b + c + 8 là số chính phơng Bài 6: (Đề thi HSG năm 2008) Cho s t nhiờn a c vit bng 223 ch s 9 Tớnh tng cỏc ch s ca s n = a2 + 1 Bài 7: Số sau là bìh phơng của số tự nhiên nào? A = 99 900025 (nchữ số 9, n chữ số 0) Chuyên đề 8 một số bài toán hình học * Nguyên lý Đirichlê:... 0,1(x 10) = 0,1x + 9 một Phn cũn li sau khi i 1 nhn l x (0,1x + 9) = 0,9x 9 một on ng 2 nhn di 20 + 0,1(0,9x 9 20) = 0,09x + 17,1 một Vỡ chiu di ca on ng hai i lm bng nhau nờ 0,1x + 9 = 0,09x + 17,1 Do ú x = 810 on ng di 810m Mi i phi lm 0,1.810 + 9 = 90 một S i tham gia l 810 : 90 = 9 i CHUYấN 5: BT NG THC Bi 1: Cho a, b, c > 0 v a + b + c = 1 Chng minh rng: f gf 1fff f @1 a gf 1fff f @1 b... a+b+c+d + + + + 2 a+b b+c c+d d +a 2 Chuyên đề 7: Số, chữ số, số chính ph ơng Bài 1: Số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2 CHứng minh rằng A B là một số chính phơng Giải: Đặt C = 111 1 (50 số) thì B = 2C, cón A = 111000 + 111 = = C.1050 + C Do đó A B = C.1050 + C 2C = C.1050 C = C(1050 1) Ta lại có 1050 1 = 99 9 = 9C Vậy A B = C.9C = 9C2 = (3C)2 = (333)2 là số chính phơng... Chia tam giác đã cho thành các lục giác đều có cạnh 1 hoặc một phần của 1 2 lục giác đều có cạnh 1 ( lục giác đều hoặc 1 lục giác đều) nh hình vẽ 6 Tất cả có 22 mảnh Ta thấy 45 : 22 đợc thơng là 2 và còn d Theo nguyên lý đirichlê tồn tại một mảnh chứa 3 điểm, mảnh đó hoặc lực giác đều cạnh 1 hoặc một phần lục giác đều cạnh 1 Vẽ đờng tròn ngoại tiếp lục giác đều ấy đó là hình tròn phải tìm Bài 2: Chia... Chuyờn Bi dng hc sinh gii Toỏn 9 Gii: Bi 1: Bi 2: Gi vn tc d nh l x (km/h) Ta cú phng trỡnh: 30 30 60 + = x + 10 x 6 x Gii ra ta c x = 30 Thi gian ụ tụ d nh l 60 : 30 = 2 gi Bi 3: i th nht cn 40 gi, i th hai cn 60 gi Bi 4: Gii ra c 5 gi v 10 gi Bi 5: Gi chiu di on ng cn sa l x (m) x >0 on ng 1 nhn di 10 + 0,1(x 10) = 0,1x + 9 một Phn cũn li sau khi i 1 nhn l x (0,1x + 9) = 0,9x 9 một on ng 2 nhn... Bài toán hình học tổ hợp Bài 1: Bên trong một tam giác đều cạnh 10 có 45 điểm Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính 1 chứa ít nhất ba điểm trong 45 điểm đã cho Bài 2: Trong một hình tròn có diện tích S lấy 35 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng tồn tại ba điểm là các đỉnh của một tam giác có diệntích nhỏ hơn 1 S 17 Bài 3: (Đề thi HSG năm 2008) 17 Chuyờn Bi dng hc sinh. .. + y + x + z + x + z + y 3 + 2 + 2 + 2 = 9 Bi 6: Thay a = y + z; b = x + z; c = x + y Ta c 14 Chuyờn Bi dng hc sinh gii Toỏn 9 ` f g f g a ` a 1 1 1 1 1 1 y + z + x + z + x + y A ffffffffffffffff+ ffffffffffffffff+ ffffffffffffffff = 2 x + y + z A ffffffffffffffff+ ffffffffffffffff+ ffffffffffffffff 9 y+z x+z x+y y+z x+z x+y f g a ffffffff ffffffff ffffffff 9ff ff1 ffff ff1 ffff ff1 ffff ff ff ff... Cho x, y, z dng CHng minh rng: ( x + y + z ) 1 + 1 + 1 9 x y z Bi 6: Cho x, y, z dng Chng minh rng x y z 3 + + y+z x+z x+ y 2 Bi 7: Chng minh rng a) a + b 2 2 ( a + b) 2 2 13 Chuyờn Bi dng hc sinh gii Toỏn 9 b) a + b + c 2 2 2 ( a + b + c) 2 3 Bi 8: Cho a, b dng v a + b = 1 Chng minh rng 2 2 1 1 25 (*) a + + b + a b 2 Bi 9: ( thi HSG nm 2008 ụng Anh) Cho a, b, c > 0 v a + b + c =... ffff ff ff ff f x+y+z A y+z + x+z + x+y 2 xffff+fffffffff+ffffffff xfffffffffffffffffffffffffff xffff+fffffffff+ffffffff 9ff f ff y ff z f f f+y+z f ff y ff z f f f y+z + x+z + x+y 2 9ff ffffffff ffxfffff f ffffffff ffyfffff f ffffffff ffzfffff f f ffffffff ffffffff ffffffff 9f ffxfffff ffyfffff ffzfffff ff f f f y + z + 1 + x + z + 1 + x + y + 1 2 y + z + x + z + x + y 2 @3 ` Bi 7: a) ta cú... a + b 4 a + b 4ab 1 4ab Ta luụn cú: a + b 2 ab 1 2 ab 1 4ab (pcm) ( x + y + z) 2 Bi 9: Ta cú: x + y + z 2 2 2 3 1fff 1fff 1ff f f t x = a + a ;y = b + b ;z = c + cf ta c 2 1 1 1 a + + b + + c + 2 2 2 1 1 1 a b c a + + b + + c + a b c 3 15 Chuyờn Bi dng hc sinh gii Toỏn 9 2 1 1 1 1 + + + 2 2 2 1 1 1 a b c a + + b + + c + a b c 3 2 a+b+c a+b+c a+b+c . khi chia x 99 + x 55 + x 11 + x + 7 cho a) x + 1 b) x 2 + 1 Bài 6: Tìm dư khi chia đa thức x 50 + x 49 + … + x 2 + x + 1 cho x 2 – 1 7 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 Giải: Bài. (x – 3) 4 = 82 b) (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 Đáp án: a) x = 0; 2 b) x = 4; x = -8 10 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 CHUYÊN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH (Tiếp) Một số dạng phương. = (x 2n + x n + 1)(x 2n – x n + 1) chia hết cho x 2n + x n + 1 5 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 CHUYÊN ĐỀ 2: CHIA ĐA THỨC LOẠI 1: TÌM HỀ SỐ CỦA ĐA THỨC Bài 1: Xác định các hằng