0

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

18 1,892 1
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 08/07/2015, 23:37

Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 CHỦ ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x 3 – 5x 2 + 8x – 4 b) x 3 – 3x + 2 c) x 3 – 5x 2 + 3x + 9 d) x 3 + 8x 2 + 17x + 10 e) x 3 + 3x 2 + 6x + 4 Phương pháp: - Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ước của hạng tử tự do. - Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có nghiệm x = 1=> Đa thức có chứa nhân tử là x – 1 - Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì đa thức có nghiệm x = - 1 => Đa thức có nhân tử là x + 1. Bài giải: a) x 3 – 5x 2 + 8x – 4 = (x 3 – x 2 ) – (4x 2 – 4x) + (4x – 4) = x 2 (x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)(x 2 – 4x + 4) = (x – 1)(x – 2) 2 b) x 3 – 3x + 2 = (x 3 – x) - (2x - 2) = x(x 2 – 1) – 2(x - 1) =(x – 1)(x 2 + x – 2) c) x 3 – 5x 2 + 3x + 9 = (x 3 + x 2 ) – (6x 2 + 6x) + (9x + 9) = x 2 (x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x +1) = (x + 1)(x – 3) 2 d) x 3 + 8x 2 + 17x + 10 = (x 3 + x 2 ) + (7x 2 + 7x) + 10x + 10) = x 2 (x +1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1) = (x + 1)(x 2 + 7x + 10) = (x + 1) [(x 2 + 2x) + (5x + 10) ] =(x + 1)(x + 2)(x + 5) e) x 3 + 3x 2 + 6x + 4 = (x 3 + x 2 ) +(2x 2 +2x) +(4x + 4) = x 2 (x + 1) + 2x(x + 1) + 4(x +1) = (x + 1)(x 2 + 2x + 4) Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x 3 – 2x – 4 b) 2x 3 – 12x 2 + 17x – 2 c) x 3 + 9x 2 + 26x + 24 d) x 3 – 2x 2 – 3x + 10 Bài giải: a) x 3 – 2x – 4 = (x 3 – 2x 2 ) + (2x 2 – 4x) + (2x – 4) = x 2 (x – 2) + 2x(x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2)(x 2 + 2x + 2) b) 2x 3 – 12x 2 + 17x – 2 = (2x 3 – 4x 2 ) – (8x 2 – 16x) + (x – 2) = 2x 2 (x – 2) – 8x(x – 2) + (x – 2) 1 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 = (x – 2)(2x 2 – 8x + 1) c) x 3 + 9x 2 + 26x + 24 = (x 3 + 2x 2 ) + (7x 2 + 14x) + (12x + 24) = x 2 (x + 2) + 7x(x + 2) + 12(x + 2) = (x + 2)(x 2 + 7x + 12) = (x + 2) [(x 2 + 4x) + (3x + 12) ] = (x + 2)(x + 3)(x + 4) d) x 3 – 2x 2 – 3x + 10 = (x 3 + 2x 2 ) – (4x 2 + 8x) + (5x + 10) = x 2 (x + 2) – 4x(x + 2) + 5(x + 2) = (x + 2)(x 2 – 4x + 5) Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x 3 – 3x 2 + 3x – 1 b) 3x 3 – 14x 2 + 4x + 3 c) 3x 3 – 7x 2 + 17x – 5 Phương pháp: Các ước của hệ số tự do không phải là nghiệm nguyên của đa thức. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm hữu tỉ phải có dạng q p trong đó p là ước của hệ số tự do còn q là ước của hệ số cao nhất. Bải giải: a) 2x 3 – 3x 2 + 3x – 1 ( thấy có nghiệm x = 2 1 , nên đa thức có nhân tử là 2x – 1) = (2x 3 – x 2 ) – (2x 2 – x) + (2x – 1) = x 2 (2x – 1) – x(2x – 1) + (2x – 1) = (2x – 1)(x 2 – x + 1) b) 3x 3 – 14x 2 + 4x + 3 (thấy có nghiệm x = 3 1 − , nên đa thức có nhân tử là 3x + 1) = (3x 3 + x 2 ) – (15x 2 + 5x) + (9x + 3) = x 2 (3x + 1) – 5x(3x + 1) + 3(3x +1) = (3x + 1)(x 2 – 5x + 3) c) 3x 3 – 7x 2 + 17x – 5 (ta thấy có nghiệm x = 3 1 , nên đa thức có nhân tử là 3x – 1) = (3x 3 – x 2 ) – (6x 2 – 2x) + (15x – 5) = x 2 (3x – 1)- 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x 2 – 2x + 5) Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x 8 + x 7 + 1 b) x 7 + x 5 + 1 c) x 4 + 324 Giải: a) x 8 + x 7 + 1 = (x 8 – x 2 ) + (x 7 – x) + (x 2 + x + 1) (thêm và bớt x 2 + x) = x 2 (x 6 – 1) + x(x 6 – 1) + (x 2 + x + 1) = x(x 6 – 1)(x + 1) + (x 2 + x + 1) 2 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 = (x 3 – 1)(x 3 + 1)(x 2 + x) + (x 2 + x + 1) = (x – 1)(x 2 + x + 1)(x 3 + 1)(x 2 + x) + (x 2 + x +1) = (x 2 + x + 1) [(x – 1)(x 3 + 1)(x 2 + x) + 1] = (x 2 + x + 1)(x 4 – x 3 + x – 1)(x 3 + x) + 1] = (x 2 + x + 1)(x 6 – x 4 + x 3 + x + 1) b) x 7 + x 5 + 1 = x 7 + x 5 – x 2 - x + (x 2 + x + 1) = (x 7 - x) + (x 5 – x 2 ) + (x 2 + x + 1) = x(x 6 – 1) + x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) = x(x 3 – 1)(x 3 + 1+ x) + (x 2 + x + 1) = x(x – 1)(x 2 + x + 1)(x 3 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)[(x 2 – x)(x 3 + x + 1) + 1] = (x 2 + x + 1)(x 5 – x 4 + x 3 – x + 1) c) x 4 + 324 = [(x 2 ) 2 + 2.18x 2 + 18 2 ] – 36x 2 = (x 2 + 18) 2 – (6x) 2 = (x 2 + 6x + 18)(x 2 – 6x + 18) Bài 5: Chứng mính rằng: a) x 50 + x 10 + 1 chia hết cho x 20 + x 10 + 1 b) x 2 – x 9 – x 1945 chia hết cho x 2 – x + 1 c) 8x 9 – 9x 8 + 1 chia hết cho (x – 1) 2 Giải: a) x 50 + x 10 +1 = (x 50 – x 20 ) + (x 20 + x 10 + 1) = x 20 (x 30 – 1) + (x 20 + x 10 + 1) = x 20 (x 10 – 1)(x 20 + x 10 + 1)+ (x 20 + x 10 + 1) = (x 20 + x 10 + 1)(x 30 – x 20 + 1) chia hết cho (x 20 + x 10 + 1) b) x 2 – x 9 – x 1945 = (x 2 – x + 1) – (x 9 + 1) – (x 1945 – x) = (x 2 – x + 1) – (x 3 + 1)(x 6 – x 3 + 1) – x(x 1944 - 1) = (x 2 – x + 1) – (x + 1)(x 2 – x + 1)(x 6 – x 3 + 1) – x( Bài 5: Tìm số nguyên a sao cho đa thức (x + a)(x – 5) + 2 phân tích được thành (x + b) (x + c) với b, c, là số nguyên Giải Dùng phương pháp xét giá trị riêng Với mọi x ∈ R ta luôn có: (x + a)(x – 5) + 2= (x + b)(x + c) (*) với x = 5 ta được: (5 + b)(5 + c) = 2 Vì b và c là số nguyên nên (5 + b)(5 + c) là tích của hai số nguyên. Số 2 chỉ viết được 1.2 hoặc (-1)(-2) Giả sử b < c ta xét hai trường hợp: TH1: 5 + b = 1 5 + c = 2 => b = - 4, c = -3 Thay vào (*) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x – 3) với mọi x Với x = 4 thì -(4 + a) + 2 = 0 => 4 + a = 2 => a = -2. Đa thức phân tích thành (x -2)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x – 3) TH 2: 3 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 5 + b = - 2 5 + c = -1 => b = - 7, c = - 6 Thay vào (*) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6) với mọi x Với x = 6 thì (6 + a) + 2 = 0 => a = - 8. Đa thức được phân tích thành (x – 8)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6) Bài 6: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức x 3 + ax 2 + bx + c phân tích được thành (x + a)(x + b)(x + c). Giải: Dùng phương pháp hệ số bất định Ta có: x 3 + ax 2 + bx + c = (x + a)(x + b)(x + c)  x 3 + ax 2 + bx + c = x 3 + (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ca)x + abc  a = a + b + c b = ab + bc + ca c = abc => b + c = 0 (1) ; ab + bc + ca = b (2) ; abc = c (3) Từ (1) => c = -b; Thay vào (2) được – b 2 = b => b(b + 1) = 0 => b = 0 hoặc b = -1 * Với b = 0=> c = 0, a tuỳ ý * Với b = -1 thì c = 1, a = - 1 Vậy ta được x 3 + ax 2 = x 2 (x + a) hoặc x 3 – x 2 – x + 1 = (x – 1) 2 (x + 1) BTVN: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 3 – 9x 2 + 6x + 16 b) x 3 – 6x 2 – x + 30 c) 27x 3 – 27x 2 + 18x – 4 d) x 2 + 2xy + y 2 – x – y – 12 Bài 2: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho (x + a)(x – 4) – 7 phân tích được thành (x + b) (x + c) Bài 3: Chứng minh rằng: x 8n + x 4n + 1 chia hết cho x 2n + x n + 1 với mọi số n ∈ N Đáp số: Bài 1: a). Biến đổi x 3 – 9x 2 + 6x + 16 = (x + 1)(x – 2)(x – 8) b) 2 là một nghiệm Biến đổi x 3 – 6x 2 – x + 30 = (x + 2)(x – 3)(x – 5) c) 3 1 là một nghiệm của đa thức Biến đổi 27x 3 – 27x 2 + 18x – 4 =(3x – 1)(9x 2 – 6x + 4) d) Đặt x + y = a. Biến đổi x 2 + 2xy + y 2 – x – y – 12 = (x + y = 3)(x + y – 4) Bài 2: Trường hợp 1: a = -10 ; b = -3 ; c = -11 4 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 Được: (x – 10)(x – 4) – 7 = (x – 3)(x – 11) Trường hợp 2: a = 2; b = 3; c = - 5 Được: (x + 2)(x – 4) – 7 = (x + 3)(x – 5) Bài 3: x 8n + x 4n + 1 = (x 2n + x n + 1)(x 2n – x n + 1) chia hết cho x 2n + x n + 1 5 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 CHUYÊN ĐỀ 2: CHIA ĐA THỨC LOẠI 1: TÌM HỀ SỐ CỦA ĐA THỨC Bài 1: Xác định các hằng số a, b, c sao cho a) ax 3 + bx 2 + 5x – 50 chia hết cho x 2 + 3x – 10 b) x 3 + ax + b chia x + 1 dư 7, chia x – 3 dư – 5 c) ax 3 + bx 2 + c chia hết cho x + 2, chia x 2 – 1 dư x + 5 (Đề thi HSG – năm 2001 Đông Anh) Giải a) Dùng phương pháp xét giá trị riêng Phân tích đa thức chia x 2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2) Gọi Q(x) là đa thức thương của phép chia ax 3 + bx 2 + 5x – 50 cho x 2 + 3x – 10. Ta có: ax 3 + bx 2 + 5x – 50 = (x + 5)(x – 2). Q(x) Xét các giá trị x = - 5 và x = 2. Ta được: -125a + 25b = 75 -5a + b = 3 a = 1 8a + 4b = 40 2a + b = 10 b = 8 b) Gọi P(x) là thương của phép chia x 3 + ax + b cho x + 1. Q(x) là thương của phép chia x 3 + ax + b cho x – 3. Ta có: x 3 + ax + b = (x + 1). P(x) + 7. Xét giá trị x = -1 . ta được a – b = - 8 x 3 + ax + b = (x -3). Q(x) - 5. Xét giá trị x = 3 . ta được 3a + b = - 32  a = -10, b = - 2 c) Ta được – 8a + 4b + c = 0 ; a + b + c = 6 và – a + b + c = 4 => a = 1, b = 1, c = 4 LOẠI 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC NÀY CHIA HẾT CHO GIÁ TRỊ ĐA THỨC KIA Bài 2: a) Tìm số nguyên n sao cho 2n 3 + n 2 + 7n + 1 chia hết cho 2n - 1 b) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức 25n 2 – 97n + 11 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 4 (Đề thi HSG năm 2001 – Đông Anh) c) Tìm số nguyên n sao cho n 3 – 3n 2 – 3n – 1 chia hết cho n 2 + n + 1 Giải: a) 2n 3 + n 2 + 7n + 1 = (2n 3 – n 2 ) + (2n 2 – n) + (8n – 4) + 5 = n 2 (2n – 1) + n(2n – 1) + 4(2n – 1) + 5 = (2n – 1)(n 2 + n + 4) + 5 Để 2n 3 + n 2 + 7n + 1 chia hết cho 2n – 1 thì 2n – 1 là ước của 5 mà Ư(5) = {1; -1; 5; -5} => n ∈ { … } b) Ta có 25n 2 – 97n + 11 = (25n + 3)(n – 4) + 23. Để giá trị của 25n 2 – 97n + 11 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 4 thì n – 4 phải là ước của 23 Ư(23) = {1; - 1; 23; - 23} 6 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9  n ∈ {3; 5; 27} c) n 3 – 3n 2 – 3n – 1 = (n 3 + n 2 + n) – (4n 2 + 4n + 4) + 3 = n(n 2 + n + 1) – 4(n 2 + n + 4) + 3 = (n – 4)(n 2 + n + 1) + 3 Để n 3 – 3n 2 – 3n – 1 chia hết cho (n 2 + n + 1) thì (n 2 + n + 1) là ước của 3 Để ý thấy n 2 + n + 1 > 0 nên n 2 + n + 1 = 1 hoặc 3 ĐS: 1, - 2, 0 , - 1 LOẠI 3: TÌM ĐA THỨC THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN Bài 3: Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 3 thì dư 7, f(x) chia cho x – 2 thì dư 5, f(x) chia cho (x – 2)(x – 3) thì thương là 3x và còn dư Bài 4: Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 3 thì dư 2, chia cho x + 4 thì dư 9, còn chia cho x 2 + x – 12 thì được thương là x 2 + 3 và còn dư Giải: Bài 3: Vì f(x) chia cho (x – 3) dư 7 nên: f(x) = (x – 3).A(x) + 7 (1) Vì f(x) chia cho (x – 2) dư 5 nên: f(x) = (x – 2). B(x) + 5 (2) Vì f(x) chia cho (x – 2)(x – 3) được thương là 3x và còn dư nên: f(x) = 3x(x – 2)(x – 3) + ax + b (3) Cho x = 3 từ (1) và (3) ta có: 7 = 3a + b Cho x = 2 từ (2) và (3) ta có: 5 = 2a + b => a = 2, b = 1. Vậy đa thức f(x) = 3x(x – 2)(x – 3) + 2x + 1 Bài 4: Vì f(x) chia cho (x – 3) dư 2 nên: f(x) = (x – 3).A(x) + 2 (1) Vì f(x) chia cho (x + 4) dư 5 nên: f(x) = (x + 4). B(x) + 9 (2) Vì f(x) chia cho x 2 + x - 12 được thương là x 2 + 3 và còn dư nên: f(x) = (x 2 + 3)(x 2 + x – 12) + ax + b = (x 2 + 3)(x – 2)(x – 3) + ax + b (3) ĐS: x 4 + x 3 – 9x 2 + 2x – 31 LOẠI 4: Tìm số dư Bài 5: Tìm dư khi chia x 99 + x 55 + x 11 + x + 7 cho a) x + 1 b) x 2 + 1 Bài 6: Tìm dư khi chia đa thức x 50 + x 49 + … + x 2 + x + 1 cho x 2 – 1 7 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 Giải: Bài 5: a) Số dư r = f(-1) = - 1 – 1 – 1 – 1 + 7 = 3. b) x 99 + x 55 + x 11 + x + 7 = x(x 98 + 1) + x(x 54 + 1) + x(x 10 + 1) – 2x + 7 = x[ (x 2 ) 49 + 1] + x[(x 2 ) 27 + 1] + x[(x 2 ) 5 + 1] – 2x + 7 Vì (x 2 ) 49 + 1; (x 2 ) 27 + 1; (x 2 ) 5 + 1 chia hết cho x 2 + 1 nên số dư là – 2x + 7 Bài 6: Gọi thương là Q(x). ta có: f(x) = (x 2 – 1).Q(x) + ax + b Cho x = - 1. => - a + b = 1 x = 1 => a + b = 51 => b = 26; a = 25 Vậy số dư là 25x + 26 BTVN: 1) Xác định các số a, b sao cho ax 3 + bx – 24 chia hết cho (x + 1)(x + 3) 2) Xác định các số a, b sao cho x 4 – x 3 – 3x 2 + ax + b chia cho x 2 – x – 2 có dư là 2x – 3 3) Tìm dư của phép chia đa thức x + x 3 + x 9 + x 27 + x 81 cho a) x – 1 b) x 2 – 1 4) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức 2n 2 + 3n + 3 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n – 1 CHUYÊN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH I - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Bài 1: Giải các phương trình sau: (Đề thi HSG năm 2003 – Đông Anh) a) 4x 2 + 4x – 3 = 0 b) x 3 – 2x 2 – 3x + 10 = 0 Giải a) 4x 2 + 4x – 3 = 0  (4x 2 + 4x + 1) – 4 = 0  (2x + 1) 2 – 2 2 = 0  (2x + 1 + 2)(2x + 1 – 2) = 0 => x = ½ hoặc x = -3/2 b) x 3 – 2x 2 – 3x + 10 = 0  (x + 2)(x 2 – 4x + 5) = 0 Ta có x 2 – 4x + 5 = (x – 2) 2 + 1 > 0  x + 2 = 0 => x = - 2 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) x 3 – 5x 2 + 8x – 4 = 0 b) 3x 3 – 7x 2 + 17x – 5 = 0 c) (x – 1) 3 + x 3 + (x + 1) = (x + 2) 3 Giải: a) x 3 – 5x 2 + 8x – 4 = 0  (x 3 – x 2 ) – (4x 2 – 4x) + (4x - 4) = 0  x 2 (x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = 0  (x – 1)(x – 2) 2 = 0 8 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9  x = 1 hoặc x = 2 b) 3x 3 – 7x 2 + 17x – 5 = 0  (3x 3 – x 2 ) – (6x 2 – 2x) + (15x – 5) = 0  x 2 (3x – 1)- 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = 0  (3x – 1)(x 2 – 2x + 5) = 0 Vì x 2 – 2x + 5 = x 2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1) 2 + 4 > 0 Nên (3x – 1)(x 2 – 2x + 5) = 0  3x – 1 = 0  x = 1/3 c) (x – 1) 3 + x 3 + (x + 1) = (x + 2) 3  x 3 – 3x 2 – 3x – 4 = 0  x 3 – 1 – 3x 2 – 3x – 3 = 0  (x – 1)(x 2 + x + 1) – 3(x 2 + x + 1) = 0  (x 2 + x + 1)(x – 4) = 0 Vì x 2 + x + 1 ≠ 0 nên => x = 4 Bài 3: Giải các phương trình sau a) x 4 +3x 3 + 4x 2 + 3x + 1 = 0 (Đề thi HSG năm 2001 – Đông Anh) b) x 5 – x 4 + 3x 3 + 3x 2 – x + 1 = 0 Giải: Phương trình ở câu a, b gọi là phương trình đối xứng. PHương trình ở câu a là phương trình đối xứng bậc chẵn. Phương trình ở câu b là phương trình đối xứng bậc lẻ. PHương pháp giải: - ĐỔi xứng bậc chẵn: vì x = 0 không phải là nghiệm, ta chia hai vế cho x 2 ≠ 0 và đặt ẩn phụ y = x + x 1 - Đối xứng bậc lẻ: PT luôn có một trong các nghiệm x = -1. a) x 4 +3x 3 + 4x 2 + 3x + 1 = 0  x 2 + 3x + 4 + 2 13 x x + = 0  04 1 3 1 2 2 =+       ++       + x x x x Đặt x + x 1 = y thì 2 1 2 2 2 −=       + y x x ta được: y 2 + 3y + 2 = 0 Tìm ra được y 1 = - 1 ; y 2 = - 2 Với y 1 = -1 ta có x + x 1 = -1 nên x 2 + x + 1 = 0 vô nghiệm với y = -2 ta có x + x 1 = - 2 nên (x + 1) = 0, do đó x = - 1. Kết luận nghiệm của phương trình là x = - 1 b) Ta thấy x = - 1 là một nghiệm của phương trình (vì tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ. Phương trình trở thành: (x + 1)(x 4 – 2x 3 + 5x 2 – 2x + 1) = 0 9 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 Giải phương trình x 4 – 2x 3 + 5x 2 – 2x + 1 = 0. Chia cả hai vế cho x 2 ta được: x 2 – 2x + 5 - 0 12 2 =+ x x đặt y = x x 1 + ta được y 2 – 2y + 3 = 0, vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 1 * Khi giải phương trình bậc 4 có dạng (x + a) 4 + (x + b) 4 = c ta thường đặt ẩn phụ y = x + 2 ba + Bài 4: Giải các phương trình sau: a) (x + 3) 4 + (x + 5) 4 = 2 Đặt y = x + 4 phương trình trở thành: (y – 1) 4 + (y + 1) 4 = 2 Biến đổi thành y 2 (y 2 + 6) = 0 do đó y = 0 vậy x = -4 b) (x – 2) 4 + (x – 6) 4 = 82 Đặt y = x – 4 Ra được nghiệm x = 5 và x = 3 c) (x – 6) 4 + (x – 8) 4 = 16 Đặt x – 7 = y phương trình trở thành: (y + 1) 4 + (y – 1) 4 = 16 Rút gọn ta được: 2y 4 + 12y 2 + 2 = 16 y 4 + 6y 2 + 1 = 8 y 4 + 6y 2 – 7 = 0 Đặt y 2 = z ≥ 0 ta được z 2 + 6z – 7 = 0 giải ra đượ z = 1, z = - 7 (loại) Với z = 1=> y = 1 và y = - 1  x = 8 hoặc x = 6 d) (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72  (x 2 – 9x + 14)(x 2 – 9x + 20) = 72 Đặt x 2 – 9x + 17 = y ta được (y – 3)(y + 3) = 72  y 2 – 9 = 72  y 2 = 81 => y = 1 hoặc y = - 1 => x = 1 hoặc x = 8 BTVN: Giải các phương trình sau: a) (x + 1) 4 + (x – 3) 4 = 82 b) (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 Đáp án: a) x = 0; 2 b) x = 4; x = -8 10 [...]... 16 Chuyờn Bi dng hc sinh gii Toỏn 9 Bài 5: a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6 Chứng minh a + b + c + 8 là số chính phơng Bài 6: (Đề thi HSG năm 2008) Cho s t nhiờn a c vit bng 223 ch s 9 Tớnh tng cỏc ch s ca s n = a2 + 1 Bài 7: Số sau là bìh phơng của số tự nhiên nào? A = 99 900025 (nchữ số 9, n chữ số 0) Chuyên đề 8 một số bài toán hình học * Nguyên lý Đirichlê:... 0,1(x 10) = 0,1x + 9 một Phn cũn li sau khi i 1 nhn l x (0,1x + 9) = 0,9x 9 một on ng 2 nhn di 20 + 0,1(0,9x 9 20) = 0,09x + 17,1 một Vỡ chiu di ca on ng hai i lm bng nhau nờ 0,1x + 9 = 0,09x + 17,1 Do ú x = 810 on ng di 810m Mi i phi lm 0,1.810 + 9 = 90 một S i tham gia l 810 : 90 = 9 i CHUYấN 5: BT NG THC Bi 1: Cho a, b, c > 0 v a + b + c = 1 Chng minh rng: f gf 1fff f @1 a gf 1fff f @1 b... a+b+c+d + + + + 2 a+b b+c c+d d +a 2 Chuyên đề 7: Số, chữ số, số chính ph ơng Bài 1: Số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2 CHứng minh rằng A B là một số chính phơng Giải: Đặt C = 111 1 (50 số) thì B = 2C, cón A = 111000 + 111 = = C.1050 + C Do đó A B = C.1050 + C 2C = C.1050 C = C(1050 1) Ta lại có 1050 1 = 99 9 = 9C Vậy A B = C.9C = 9C2 = (3C)2 = (333)2 là số chính phơng... Chia tam giác đã cho thành các lục giác đều có cạnh 1 hoặc một phần của 1 2 lục giác đều có cạnh 1 ( lục giác đều hoặc 1 lục giác đều) nh hình vẽ 6 Tất cả có 22 mảnh Ta thấy 45 : 22 đợc thơng là 2 và còn d Theo nguyên lý đirichlê tồn tại một mảnh chứa 3 điểm, mảnh đó hoặc lực giác đều cạnh 1 hoặc một phần lục giác đều cạnh 1 Vẽ đờng tròn ngoại tiếp lục giác đều ấy đó là hình tròn phải tìm Bài 2: Chia... Chuyờn Bi dng hc sinh gii Toỏn 9 Gii: Bi 1: Bi 2: Gi vn tc d nh l x (km/h) Ta cú phng trỡnh: 30 30 60 + = x + 10 x 6 x Gii ra ta c x = 30 Thi gian ụ tụ d nh l 60 : 30 = 2 gi Bi 3: i th nht cn 40 gi, i th hai cn 60 gi Bi 4: Gii ra c 5 gi v 10 gi Bi 5: Gi chiu di on ng cn sa l x (m) x >0 on ng 1 nhn di 10 + 0,1(x 10) = 0,1x + 9 một Phn cũn li sau khi i 1 nhn l x (0,1x + 9) = 0,9x 9 một on ng 2 nhn... Bài toán hình học tổ hợp Bài 1: Bên trong một tam giác đều cạnh 10 có 45 điểm Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính 1 chứa ít nhất ba điểm trong 45 điểm đã cho Bài 2: Trong một hình tròn có diện tích S lấy 35 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng tồn tại ba điểm là các đỉnh của một tam giác có diệntích nhỏ hơn 1 S 17 Bài 3: (Đề thi HSG năm 2008) 17 Chuyờn Bi dng hc sinh. .. + y + x + z + x + z + y 3 + 2 + 2 + 2 = 9 Bi 6: Thay a = y + z; b = x + z; c = x + y Ta c 14 Chuyờn Bi dng hc sinh gii Toỏn 9 ` f g f g a ` a 1 1 1 1 1 1 y + z + x + z + x + y A ffffffffffffffff+ ffffffffffffffff+ ffffffffffffffff = 2 x + y + z A ffffffffffffffff+ ffffffffffffffff+ ffffffffffffffff 9 y+z x+z x+y y+z x+z x+y f g a ffffffff ffffffff ffffffff 9ff ff1 ffff ff1 ffff ff1 ffff ff ff ff... Cho x, y, z dng CHng minh rng: ( x + y + z ) 1 + 1 + 1 9 x y z Bi 6: Cho x, y, z dng Chng minh rng x y z 3 + + y+z x+z x+ y 2 Bi 7: Chng minh rng a) a + b 2 2 ( a + b) 2 2 13 Chuyờn Bi dng hc sinh gii Toỏn 9 b) a + b + c 2 2 2 ( a + b + c) 2 3 Bi 8: Cho a, b dng v a + b = 1 Chng minh rng 2 2 1 1 25 (*) a + + b + a b 2 Bi 9: ( thi HSG nm 2008 ụng Anh) Cho a, b, c > 0 v a + b + c =... ffff ff ff ff f x+y+z A y+z + x+z + x+y 2 xffff+fffffffff+ffffffff xfffffffffffffffffffffffffff xffff+fffffffff+ffffffff 9ff f ff y ff z f f f+y+z f ff y ff z f f f y+z + x+z + x+y 2 9ff ffffffff ffxfffff f ffffffff ffyfffff f ffffffff ffzfffff f f ffffffff ffffffff ffffffff 9f ffxfffff ffyfffff ffzfffff ff f f f y + z + 1 + x + z + 1 + x + y + 1 2 y + z + x + z + x + y 2 @3 ` Bi 7: a) ta cú... a + b 4 a + b 4ab 1 4ab Ta luụn cú: a + b 2 ab 1 2 ab 1 4ab (pcm) ( x + y + z) 2 Bi 9: Ta cú: x + y + z 2 2 2 3 1fff 1fff 1ff f f t x = a + a ;y = b + b ;z = c + cf ta c 2 1 1 1 a + + b + + c + 2 2 2 1 1 1 a b c a + + b + + c + a b c 3 15 Chuyờn Bi dng hc sinh gii Toỏn 9 2 1 1 1 1 + + + 2 2 2 1 1 1 a b c a + + b + + c + a b c 3 2 a+b+c a+b+c a+b+c . khi chia x 99 + x 55 + x 11 + x + 7 cho a) x + 1 b) x 2 + 1 Bài 6: Tìm dư khi chia đa thức x 50 + x 49 + … + x 2 + x + 1 cho x 2 – 1 7 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 Giải: Bài. (x – 3) 4 = 82 b) (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 Đáp án: a) x = 0; 2 b) x = 4; x = -8 10 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 CHUYÊN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH (Tiếp) Một số dạng phương. = (x 2n + x n + 1)(x 2n – x n + 1) chia hết cho x 2n + x n + 1 5 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 CHUYÊN ĐỀ 2: CHIA ĐA THỨC LOẠI 1: TÌM HỀ SỐ CỦA ĐA THỨC Bài 1: Xác định các hằng
- Xem thêm -

Xem thêm: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Từ khóa liên quan