Chuyen de boi duong hoc sinh gioi toan 9 THCS

Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - Ngay soan: 22/9/2016 Ngay day: 1/10/2016 Buụi 1: Chuyên đề 1: Số phơng I- Định nghĩa: Số phơng số bình phơng số nguyên II- tính chất: 1- Số phơng có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9; có chữ tận 2, 3, 7, 2- Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3- Số phơng có hai dạng 4n 4n+1 Không có số phơng có dạng 4n + 4n + (n N) 4- Số phơng có hai dạng 3n 3n +1 Không có số phơng có dạng 3n + ( n N ) 5- Số phơng tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phơng tận chữ số hàng chục Số phơng tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6- Số phơng chia hết cho chia hết cho Số phơng chia hết cho chia hết cho Số phơng chia hết cho chia hết cho 25 Số phơng chia hết cho chia hết cho 16 III- Một số dạng tập số phơng A- Dạng 1: chứng minh số số phơng Bài 1: Chứng minh số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y số phơng Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y = ( x + xy + y )( x + xy + y ) + y Đặt x + xy + y = t (t Z ) A = ( t y )(t + y ) + y = t y + y = t = ( x + xy + y )2 Vì x, y, z Z nên x Z , xy Z , y Z x + 5xy + y Z Vậy A số phơng Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng số phơng Giải : Gọi số tự nhiên, liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 (n Z) Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + = ( n + 3n)(n + 3n + 2) + (*) Đặt n + 3n = t (t N ) (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + số phơng Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chứng minh 4S + số phơng Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1 k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2) 4 [ (k + 3) (k 1)] = 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) k(k + 1)(k + 2)(k 4 - 1) => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kết => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + số phơng Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; - Dãy số đợc xây dựng cách thêm số 48 vào chữ số đứng trớc đứng sau Chứng minh tất số dãy số phơng Ta có 44 488 89 = 44 488 + = 44 10n + 11 + n chữ số n - chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số 10n n 10 n = .10 + +1 9 4.10 n 4.10n + 8.10n + 4.10 n + 4.10 n + = = 9 Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan 2.10n + = ữ Ta thấy 2.10n + = 200 01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho n - chữ số 2.10n + => ữ Z hay số có dạng 44 488 89 số phơng Các tơng tự: Chứng minh số sau số phơng A = 11 + 44 + 2n chữ số n chữ số B = 11 + 11 + 66 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C= 44 + 22 + 88 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số D = 22499 9100 09 n-2 chữ số n chữ số E = 11 155 56 n chữ số n-1 chữ số 10n + Kết quả: A= ữ; n D = (15.10 - 3) 2 10n + B= ữ; 2.10 n + C = ữ 10 n + E = Bài 5: Chứng minh tổng bình phơng số tự nhiên liên tiếp số phơng Gọi số tự nhiên liên tiếp n - 2, n - 1, n +1, n + ( n N, n >2) Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = (n2 + 2) Vì n2 tận n + chia hết cho => (n2 + 2) không số phơng hay A không số phơng Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - Bài 6: Chứng minh số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n N n >1 số phơng n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Với n N, n > n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + số phơng Bài 7: Cho số phơng có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phơng số phơng Ta biết số phơng có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phơng 1,3,5,7,9 tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phơng Bài 8: Chứng minh tổng bình phơng số lẻ số phơng a b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + (Với k, m N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 số phơng Bài 9: Chứng minh p tích n (với n > 1) số nguyên tố p - p + số phơng Vì p tích n số nguyên tố nên p M2 p chia hết cho (1) a- Giả sử p + số phơng Đặt p + = m2 ( m N) Vì p chẵn nên p + lẻ => m2 lẻ => m lẻ Đặt m = 2k + (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k + 4k + => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M mâu thuẫn với (1) => p + số phơng Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - b- p = 2.3.5 số chia hết cho => p - có dạng 3k + => p - không số phơng Vậy p tích n (n >1) số nguyên tố p - p + không số phơng Bài 10: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 2011 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N 2N + số số phơng a- 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Có 2N M => 2N - = 3k + (k N) => 2N - không số phơng b- 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N chẵn => N lẻ => N không chia hết cho 2N M nhng 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho d d => 2N không số phơng c- 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lẻ nên 2N + không chia hết cho 2N không chia hết 2N + không chia cho d => 2N + không số phơng Bài 11: Cho a = 11 ; b = 100 05 2010 chữ số Chứng minh Giải: ab + 2009 chữ số số tự nhiên b = 100 05 = 100 - + = 99 + = 9a + 2009 chữ số 2010 chữ số 2010 chữ số ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 ab + = (3a + 1) = 3a + N Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - Ngay soan: 1/10/2016 Ngay day: 8/10/2016 Buụi 2: B dạng 2: tìm giá trị biến để biểu thức số phơng Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phơng a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 Giải: a) Vì n2 + 2n + 12 số phơng nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k k2 (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k - n - chúng số nguyên dơng, nên ta viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 k + n + = 11 k=6 k-n1=1 n=4 b) đặt n(n + 3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) = 4a2 (2n + 3)2 4a2 = (2n + + 2a)(2n + 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + 2a chúng số nguyên dơng, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + 2a) = 9.1 2n + + 2a = n=1 2n + 2a = a=2 13(n - 1) = y2 16 c) Đặt 13n + = y2 (y N) 13(n - 1) = (y + 4)(y 4) (y + 4)(y 4) 13 mà 13 số nguyên tố nên y + 13 y 13 y = 13k (với k N) 13(n - 1) = (13k 4)2 16 = 13k.(13k 8) 13k2 8k + Vậy n = 13k2 8k + (với k N) 13n + số phơng d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 (2m + 2n + 1) (2m 2n 1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n + > 2m 2n > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n + 1) (2m 2n 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bài tơng tự : Tìm a để số sau số phơng Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 Kết quả: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Bài : Tìm số tự nhiên n cho tổng 1! + 2! + 3! + + n! số phơng Với n = 1! = = 12 số phơng Với n = 1! + 2! = không số phơng Với n = 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 3 số phơng Với n ta có 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 5!; 6!; ; n! tận 1! + 2! + 3! + n! có tận chữ số nên số phơng Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề n = 1; n = Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 số phơng Giả sử 2010 + n2 số phơng 2010 + n2 = m2 (m N ) Từ suy m2 - n2 = 2010 (m + n) (m n) = 2010 Nh số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m n = 2m số m + n m n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m + n m n số chẵn (m + n) (m n) nhng 2006 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phơng Bài 4: Biết x N x > Tìm x cho x( x 1).x( x 1) = ( x 2) xx( x 1) Đẳng thức cho đợc viết lại nh sau: x( x 1) = ( x 2) xx( x 1) Do vế trái số phơng nên vế phải số phơng Một số phơng tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x N < x (2) Từ (1) (2) x nhận giá trị 5; 6; Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - Bằng phép thử ta thấy có x = thoả mãn đề bài, 76 = 5776 Bài 5: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + số phơng Ta có 10 n 99 nên 21 2n + 199 Tìm số phơng lẻ khoảng ta đợc 2n + 25; 49; 81; 121; 169 tơng ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n + 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phơng Vậy n = 40 Bài 6: Chứng minh n số tự nhiên cho n + 2n + số phơng n bội số 24 Vì n + 2n + số phơng nên đặt n + = k2, 2n + = m2 (k, m N ) Ta có m số lẻ m = 2a + m2 = 4a(a + 1) + m 4a( a + 1) = = 2a( a + 1) Mà n = 2 n chẵn n + lẻ k lẻ đặt k = 2b + (với b N ) k2 = 4b(b+1) + n = 4b(b+1) n (1) Ta có: k2 + m2 = 3n + (mod3) Mặt khác k2 chia cho d 1, m2 chia cho d Nên để k2 + m2 (mod3) k2 (mod3) m2 (mod3) m2 k2 hay (2n + 1) (n + 1) n (2) Mà (8; 3) = (3) Từ (1), (2), (3) n 24 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phơng Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) 2n = a2 482 = (a + 48) (a 48) 2p 2q = (a + 48) (a 48) với p, q N ; p + q = n p > q a + 48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q 1) = 25.3 a 48 = 2q q = p q = p = n = + = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - Ngay soan: 8/10/2016 Ngay day: 15/10/2016 Buụi 3: C.dạng : Tìm số phơng Bài : Cho A số phơng gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta đợc số phơng B Hãy tìm số A B Gọi A = abcd = k Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = m với k, m N 32 < k < m < 100 a, b, c, d = 1; Ta có: A = abcd = k B = abcd + 1111 = m Đúng cộng nhớ m2 k2 = 1111 (m - k)(m + k) = 1111 (*) Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - Nhận xét thấy tích (m k)(m + k) > nên m k m + k số nguyên dơng Và m k < m + k < 200 nên (*) viết (m k) (m + k) = 11.101 Do đó: m k = 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm số phơng gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Đặt abcd = k ta có ab cd = k N, 32 k < 100 Suy : 101 cd = k2 100 = (k 10)(k + 10) k + 10 101 k 10 101 Mà (k 10; 101) = k + 10 101 Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91 abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số phơng có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Gọi số phơng phải tìm là: aabb = n2 với a, b N, a 9; b Ta có: n2 = aabb = 11 a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) Nhận xét thấy aabb 11 a + b 11 Mà a 9; b nên a + b 18 a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) đợc n2 = 112(9a + 1) 9a + số phơng Bằng phép thử với a = 1; 2;; ta thấy có a = thoả mãn b =4 Số cần tìm là: 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phơng vừa lập phơng Gọi số phơng abcd Vì abcd vừa số phơng vừa lập phơng nên đặt abcd = x2 = y3 với x, y N Vì y3 = x2 nên y số phơng Ta có : 1000 abcd 9999 10 y 21 y phơng y = 16 abcd = 4096 Bài : Tìm số phơng gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phơng Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - Cũn nu M C thỡ ng thng ME ct Cx ti A, ct Dy ti B D Khi ú ta cú gúc AMB = 900 O Nu M D thỡ tng t trờn MC y x A E B C M D O Ta tr li bi toỏn: Nh vy tng t bi toỏn trờn ta cng cú: gúcMAB = gúcECM (do t giỏc ACME ni tip) gúcEBM = gúcEDM (do t giỏc BDME ni tip) m gúcECM + gúc EDM = 900 (do gúcCED = 900) Nờn gúcAMB = 900 -) Ta tip tc khai thỏc v m rng bi toỏn, chng hn im M khụng nm on CD m nm trờn ng thng CD v gi nguyờn cỏc iu kin ca bi toỏn 2.1 thỡ sao? t ú ta cú bi toỏn sau: Bai toan 2.2: Cho ng trũn (O) ng kớnh CD T C, D k hai tip tuyn Cx, Dy Mt im E bt k nm trờn ng trũn, im M bt k nm trờn ng thng CD (M khụng trựng vi C, D, O) Qua E k ng thng vuụng gúc vi ME ct Cx, Dy theo th t ti A v B Chng minh rng gúcAMB = 900 x A y E C D O M Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa B Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - - Mun chng minh gúc AMB = 900 ta da vo cỏch chng minh bi toỏn trờn Ta chng minh gúcMAB + gúcMBA = 900 Mung chng minh gúcMAB + gúc MBA = 900 ta chng minh gúcMAB + gúcMBA = gúcCDE + gúcDCE = 900 chng minh iu ny ta cn chng minh gúcMAB = gúcECD, gúcMBA = gúcMDE Nh vy ta cn phi chng minh cỏc t giỏc AMCE, MEDB ni tip T ú ta cú li gii sau: Chng minh: Ta cú gúcACM = gúcAEM = 900, ú t giỏc AMCE ni tip gúcMAB = gúc ECD (cựng bự gúcMCE) Tng t t giỏc MEDB ni tip gúcMAB = gúcMDE (cựng chn mt cung) M gúcECD + gúcEDC = 900 Do ú gúcMBA + gúcMAB = 900 Suy gúcAMB = 900 Nh vy nhỡn li bi toỏn trờn ta cú th a thnh bi toỏn tng quỏt hn nh sau: Bai toan 2.3: (Bai toan tng quat) Cho ng trũn (O) ng kớnh CD Mt im E thuc ng trũn (O) M l im bt kỡ thuc ng thng CD K ng thng vuụng gúc vi ME ti E ct cỏc tip tuyn Cx, Dy ca ng trũn ti A v B Chng minh gúc AMB = 900 Vn tip tc bi toỏn ta khai thỏc theo khớa cnh khỏc, ta cú bi toỏn sau: Bai toan 2.4: Cho ng trũn (O; AB ), qua A v B k hai tip tuyn Ax, By ca ng trũn Mt im M thuc ng trũn, qua M k tip tuyn ct Ax, By theo th t C v D 1) Chng minh CD = AC + BD; Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - 2) ng trũn ngoi tip tam giỏc COD luụn tip xỳc vi mt ng thng c nh M thay i trờn ng trũn 3) AD ct BC H chng minh MH // AC y x D M C H A K O B Phõn tớch bai toỏn: 1) Vi phn ny rt phự hp vi hc sinh trung bỡnh hc xong bi tớnh cht hai tip tuyn ct nhau, Ta thy CM = CA; DM = DB t ú suy CM + DM = CA + DB m M nm gia C v D nờn CD = CA + DB 2) Cng tng t bi toỏn trờn ta cú COD vuụng O Mt khỏc gi I l trung CD im ca CD thỡ O I ; (1) Li cú t giỏc ABDC l hỡnh thang, OI l ng trung bỡnh nờn OI // CA, m CA AB ú IO AB (2) T (1) v (2) suy AB l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc COD M AB l ng thng c nh nờn ng trũn ngoi tip tam giỏc COD luụn tip xỳc vi ng thng AB c nh M thay i trờn ng trũn 3) Vi phn ny l mt bi toỏn rt hay vỡ nú ũi hi hc sinh phi dựng phng phỏp phõn tớch i lờn tỡm li gii ca bi toỏn Hn na tỡm li gii hc sinh cũn phi huy ng kin thc v nh lớ Talột o Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - Giỏo viờn hng dn hc sinh tỡm li gii ca bi toỏn bng s phõn tớch i lờn, nh sau: MH //AC T ú yờu cu hc sinh lờn bng cn c vo s trỡnh by li gii ca bi toỏn: DM DH = MC HA Ta cú AC, BD l hai tip tuyn ca (O) ng kớnh AB nờn AC AB, BD AB ú AC // BD Xột ACH cú AC // BD ỏp dng h qu nh lớ DB DH = (vỡ DM=DB; AC HA Talột, ta cú MC=CA) ta cú AC // DB ( AB) DB DH = m DB = DM; AC = MC nờn AC HA DM DH = ỏp dng nh lớ Talột o tam MC HA giỏc DAC suy MH // AC Khai thỏc bai toỏn: -) Giỏo viờn t cho hc sinh suy ngh Gi giao im ca MH v AB l K, cú nhn xột gỡ v v trớ ca H i vi MK? T ú ta cú bi toỏn: Bai toan 5: Vi gi thit ca bi toỏn trờn Chng minh H l trung im ca MK -) Nu gi P l giao im ca BM v Ax Thỡ ta cng cú kt qu C l trung im ca AP -) Nu giỏo viờn cho thờm iu kin AC = R (AB = 2R) thỡ chỳng ta li cú bi toỏn liờn quan n tớnh toỏn T ú ta cú bi toỏn sau: Bai toan 2.6: Cho O; AB , t A, B k cỏc tip tuyn Ax, By ca ng trũn Mt im C trờn tia Ax cho AC = R T C k tip tuyn CM ti ng trũn ct By D AD ct BC H 1) Tớnh s o gúcAOM; 2) Chng minh trc tõm ca tam giỏc ACM nm trờn (O); 3) Tớnh MH theo R Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - -) Bõy chỳng ta li xột bi toỏn khụng tnh nh trờn na, m cho im C thay i trờn tia Ax cho AC R thỡ ú trc tõm ca ACM cng thay i theo T ú ta cú bi toỏn sau: Bai toan 2.7: Cho O; AB , t A, B k cỏc tip tuyn Ax, By ca ng trũn Mt im C trờn tia Ax cho AC R T C k tip tuyn CM ti ng trũn ct By D.Gi H l trc tõm ca tam giỏc ACM Tỡm qu tớch im H -) Li nhỡn bi toỏn di gúc bi toỏn cc tr hỡnh hc, ta cú bi toỏn sau: Bai toan 2.8: Cho O; AB t A, B k cỏc tip tuyn Ax, By ca ng trũn Mt im M trờn ng trũn, t M k tip tuyn ca (O) ct Ax, By th t C v D Tỡm v trớ ca im M : 1) CD cú di nh nht; 2) Din tớch tam giỏc COD nh nht Ngay soan: 18/2/2017 Ngay day: 25/2/2017 Buụi 21: REN LUYấN MễT THI Bai 1 1 + 1.1 Rỳt gn biu thc A = x + y ữ x + y + xy ( x+ y ) 1 x y + ữ : x ữ y xy xy 1.2 Tớnh giỏ tr biu thc: M = ( x y )3 + 3( x y )( xy + 1) , bit x = 3 + 2 3 2 , y = 17 + 12 17 12 Bai Cho cỏc s x, y, z tho iu kin x + y + z = v xy + yz + zx = 8, chng minh rng x, y, z Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan 2 (1) x + y + = 4x Bai Gii h phng trỡnh: 3 x + 12 x + y = x +9 (2) Bai Tỡm s cú ch s m bỡnh phng ca s y bng lp phng ca tng cỏc ch s ca nú Bai Cỏc s thc dng x, y, z tho iu kin: x + y +z = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: F = x4 y4 z4 + + ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) Bai Cho ng trũn (O; R) v hai ng kớnh AB v CD cho tip tuyn ti A ca ng trũn (O; R) ct cỏc ng thng BC v BD ti hai im tng ng l E v F Gi P v Q ln lt l trung im ca cỏc on thng AE v AF a Chng minh rng trc tõm H ca tam giỏc BPQ l trung im ca on thng OA b Gi l s o ca gúc BFE Hai ng kớnh AB v CD tho iu kin gỡ thỡ biu thc P = sin + cos t giỏ tr nh nht? tỡm giỏ tr nh nht ú BE CE c Chng minh cỏc h thc sau: CE.DF.EF = CD v = BF DF Bai Cho mt cỏi bn hỡnh ch nht Hai ngi chi nh sau: ngi th nht dựng ng xu mu trng t lờn bn, sau ú ngi th hai t ng xu en lờn bn v trớ m trc ú cha cú ng xu no t v c nh vy cho n khụng cũn ch t ng xu no na Bit rng tt c cỏc ng xu l bng Ngi no n lt i m khụng t c ng xu no lờn bn thỡ ngi ú thua cuc Chng minh rng cú cỏch chi ngi th nht luụn luụn thng cuc Ht P N Cõu 1.1 ỏp ỏn KX : x >0 ; y>0 ; x y 1 + A = x + y ữ x + y + xy = = = 1.2 xy x+ y ( x+ y + ) ( x + y + xy xy ( x+ y xy ) xy xy x y = ( ( ) x+ y x+ y ) ( x+ y ) x y ) 1 x y + ữ : x ữ y xy xy xy xy x y xy xy x y im xy x Ta cú x3 = ( iờm 3+ 2 3 2 ( ) y )( )( = + 2 + 2 33 + 2 2 x3 = 3x x3 + 3x = 3+ 2 32 ) (1) Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa 0,25 Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan y + y = 24 (2) Tng t: Ly phng trỡnh (1) tr phng trỡnh (2) v theo v ta c x y + 3( x y ) = ( x y )3 + 3( x y )( xy + 1) = 20 0,25 Vy M = 20 0,5 Theo bi 0,25 y + z = x y.z = ( xy + xz ) = x ( x ) Ta cú Do ú y, z l nghim ca phng trỡnh bc hai u2 + (x - 5)u + x2 - 5x + = (1) = (x - 5)2 4(x2 - 5x + 8) = -3x2 + 10x -7 Vỡ (1) cú nghim nờn -3x + 10x -7 x Vai trũ ca x, y, z nh nờn x, y, z (pcm) 0,25 0,25 0,25 (1) x + y + = 4x 3 x + 12 x + y = x +9 (2) 2 Gii h phng trỡnh: T phng trỡnh (1) ta suy ra: = 12 x 3x y th vo phng trỡnh (2) thu gn ta c: x + y = x + y = 3( x y ) ( x + y )( x xy + y 3x + y ) = 2 x xy + y 3x + y = 0,25 * Nu x + y = y = x y = x th vo phng trỡnh (1) ta c x + = x 2( x 1) + = phng trỡnh ny vụ nghim 0,25 * Nu x xy + y 3x + y = , tr v theo v ca phng ny vi phng trỡnh (1) ta c: 2 x = xy x + y = x xy x y + = ( x 3)( y 1) = y =1 0,25 + Nu x =3 thay vo phng trỡnh (1) ta suy y = suy y = 0, cp (x;y) = (3; 0) tho phng trỡnh (2) + Nu y =1 thay vo phng trỡnh (1) ta suy (x - 2)2 = suy x = 2, cp (x;y) = (2; 1) tho phng trỡnh (2) Vy nghim ca h ó cho l (x; y) = (3;0), (2; 1) Gi s phi tỡm l ab vi a,b Theo gi thit ta cú : ab N v a , b = ( a + b )3 (10a+b)2 = ( a + b )3 Giao viờn: Ngụ Thi Liờn 0,25 Trng THCS An Hoa 0,25 Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan ab l mt lp phng v a+b l mt s chớnh phng t ab N ) , a + b = l ( l N ) = t3 ( t Vỡ 10 ab 99 ab = 27 hoc ab = 64 0,25 Nu ab = 27 a + b = l s chớnh phng Nu ab = 64 a + b = 10 khụng l s chớnh phng loi Vy s cn tỡm l ab = 27 0,25 0,25 Ta cú (a b) a + b2 ( a + b ) (du = xy a = b) x4 y4 = x y; Ta cú: 2 ( x + y )( x + y ) ( x + y )( x + y ) 0,25 Tng t: y4 z4 z4 x4 = y z ; = zx ( y + z )( y + z ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) ( z + x )( z + x ) x4 y4 z4 + + Do ú F = 2 ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x ) x4 + y y4 + z4 z + x4 = + + ữ 2 2 2 ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) 2 2 y2 + z2 ) z + x2 ) ( ( ( x + y ) ữ + + ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) ữ 2 2 2 1( x + y ) ( y +z ) ( z +x ) ữ = + + ( x + y) ( y + z) ( z + x) ữ 2 ( y + z ) + ( z + x ) ữ = x + y + z = 1 ( x + y) + ( ) ( x + y ) ( y + z) ( z + x) ữ 4 1 Do ú F t giỏ tr nh nht bng x = y = z = 0,25 0,25 0,25 Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - B D 0,25 I O C H E P F Q A BA l ng cao ca tam giỏc BPQ suy H thuc BA Ni OE, BEF vuụng ti B; BA EF nờn AB2 = AE AF a 0,25 AE AB AE AB AE AB = = = AB AF 1 OA AQ AB AF 2 Vy AEO : ABQ(c.g.c) (gúc cú cỏc cnh tng ng vuụng gúc) Suy ãABQ = ãAEO m ãABQ = P , nờn ãAEO = P m hai gúc ng v => PH // OE Trong AEO cú PE = PA (gi thit); PH// OE suy H l trung im ca OA b 0,5 Ta cú: P = sin + cos6 = ( sin ) + ( co s ) 3 P = ( sin + cos ) sin sin cos + cos P = ( sin + cos ) 3sin cos = 3sin cos 0,25 Ta cú: ( sin + cos ) 4sin cos 4sin cos sin cos 2 Suy ra: P = 3sin cos Do ú: Pmin = va ch khi: 4 = 4 sin = cos sin = cos (vỡ l gúc nhn) 0,25 sin = tan = = 450 cos Khi ú CD vuụng gúc vi AB c 0,25 0,25 Ta cú ACB v ADB ni tip ng trũn (O) cú AB l ng kớnh nờn Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - ãACB = ãADB = 900 => ADBC l hỡnh ch nht 2 4 Ta cú: CD = AB = AE AF => CD = AB = AE AF 0,25 0,25 = (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF AB3 = CE.DF.EF Vy CD3 = CE.DF.EF 0,25 Ta cú: BE EA.EF AE BE AE CE BE BE CE = = = = = BF FA.EF AF BF AF DF BF BF DF 0,25 Ta tụ en - trng cỏc ụ bn c nh hỡnh v Khi ú s ụ en nhiu hn s ụ trng Nh vy s b da ụ en s nhiu hn s b da ụ trng Do mi b da ch di chuyn sang ụ bờn cnh(ngang hoc dc), vỡ th sau di chuyn cỏc ụ en s cha cỏc b da ụ trng M s b da ụ en nhiu hn s b da ụ trng nờn sau cỏc b da bũ i s cú ớt nht mt ụ en b b trng Vy : Cú th khng nh rng sau di chuyn s luụn cú ớt nht mt ụ bn c khụng cú b da no ú Ngay soan: 25/2/2017 Ngay day: 4/3/2017 Buụi 22: REN LUYấN MễT THI Cõu (3 im): Cho a, b, c > tha a + b + c = Chng minh rng: + + + 64 a b c Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan - Cõu (3 im): Tỡm tt c cỏc s thc x, y, z tha phng trỡnh: x + y + z + = x2 + y + z Cõu (4 im): Gii h phng trỡnh sau: xyz x + y = xyz =1 y+ z xyz =1 x + z Cõu (2 im): Cho x= +1 +1 + Tớnh giỏ tr ca biu thc: A = (x4 x3 x2 + 2x 1)2003 Cõu (4 im): Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc A = 120 0, tia Ax to vi tia AB gúc BAx bng 150 v ct cnh BC ti M, ct ng thng DC ti N Chng minh: 1 + = 2 AM AN AB Cõu (4 im): Cho tam giỏc ABD vuụng ti D, ly C l im thuc cnh AB K CH vuụng gúc vi AD (H AD) ng phõn giỏc ca gúc BAD ct ng trũn ng kớnh AB ti E, ct CH ti F; DF ct ng trũn trờn ti K a) Chng minh rng t giỏc AFCK ni tip b) Chng minh ba im K, C, E thng hng c) Cho BC = AD, k CI song song vi AD (I DK) Chng minh CI = CB v DF l ng trung tuyn ca tam giỏc ADC P N Cõu (3 im): Ta cú + a +1 a+a+b+c = = a a a (0,5 im) Do a, b, c > 0, theo bt ng thc Cauchy ta cú: 1+ a+a+b+c a + bc 2.2 = a a a 44 a bc Vy: + a a a bc = a bc a a (0,5 im) Tng t: 1+ 44 b ac b b (0,5 im) Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan 1 + c ab (0,5 im) c c T ú, suy ra: + + + a b a 4b c = 64 (pcm) 64 c abc (1 im) Cõu (3 im): K: x ; y ; z Ta cú: x + y + z + = x2 + y + z (x - - x + 1) + (y - - 2.2 y + 4) + (z-5 - 2.3 z + 9) = ( x -1) + ( y - 2) + ( z - 3) = 2 x = y = z = x =1 y = z = x = y = z = x = y = z = 14 (0,5 im) (0,5 im) (0,5 im) (0,5 im) (0,5 im) (0,5 im) Cõu (4 im): Gii h phng trỡnh: xyz x + y = xyz =1 y+ z xyz =1 x + z x + y 1 1 xyz = yz + xz = (1) y+ z 1 = + = (2) xyz xz xy x + z 1 = = (3) + xyz yz xy 1 + + = (4) xz xy yz 1 = (4) (1): xy (1 im) (1) + (2) + (3): (0,5 im) Ly (0,5 im) Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan 1 = (4) (2): (0,5 im) yz 1 = (4) (3): (0,5 im) xz Vy xy = 2, yz = 6, xz = Ta cú: (xyz)2 = 36 xyz = hay xyz = -6 Trng hp 1: xyz = Ta cú: x = 1, y = 2, z = Trng hp 2: xyz = -6 Ta cú: x = -1, y = -2, z = -3 (0,5 im) (0,5 im) Cõu (2 im): Ta cú x= +1 +1 + 2 +1 +1 = +1 +1 (0,5 im) +11 = 2 = (0,5 im) Ta li cú: A = (x4 x3 x2 + 2x 1)2003 2003 = [( x 1) ( x x + 1) ] Thay x = vo A, ta c: 2003 A = 2 +1 = [( )( )] [( (0,5 im) )( )] +1 2003 = 12003 = (0,5 im) Cõu (4 im): V hỡnh; vit GT, KL ỳng (0,75 im) Trờn cnh DC ly im E cho gúc DAE bng 150, suy NAE = 900 (0,5 im) DAE = BAM (g.c.g) (0,5 im) AE =AM (0,25 im) Xột tam giỏc EAN vuụng ti A, ng cao AH, 1 + = 2 AE AN AH 1 + = suy ra: 2 AM AN AH ta cú: (0,5 im) (1) (0,5 im) Xột tam giỏc u ADC, ng cao AH Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan 3 2 ta cú: AH2 = AD = AB (2) (0,5 im) 4 1 + = T (1), (2) suy (pcm) (0,5 im) 2 AM AN AB Cõu (4 im): V hỡnh v vit gi thit kt lun ỳng v y E D H (0,5 im) F A C B I K a) Ta cú CH AD v BD AD (gt) HCA DKA = DBA = S DA ( hai gúc ng v) m = DBA HCA = DKA M HCA, DKA cựng chn FA nờn t giỏc AFCK ni tip b) Ta cú DKE = DAE = (0,5 im) S DE SFC t giỏc AFCK ni tip M FAC = DAE (gt) DKE = DKC vy hai tia KC v KE trựng (0,5 im) FAC = DKC = (0,5 im) Vy K, C, E thng hng c) Ta cú AD//IC (gt) suy DAB = ICA (ng v) (0,5 im) M DAB = DKB = S DEB (0,25 im) DKB = ICA nờn t giỏc KBCI ni tip ICB + ICA = ICB + DKB = 180 1 EKB = CIB = S BC v DKE = IBA = S IC 2 (0,25 im) Mt khỏc EKB = DKE ( vỡ cựng chn hai cung EB, ED bng nhau) Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan vy tam giỏc BIC cõn ti C nờn BC = IC IBA = CIB (0,5 im) * Ta cú AD = BC v AD//IC (gt) IC = AD v AD//IC nờn t giỏc ADCI l hỡnh bỡnh hnh DF i qua trung im ca AC (tớnh cht ng chộo hỡnh bỡnh hnh ) Vy DF l ng trung tuyn ca tam giỏc ADC (0,5 im) Ghi chỳ: Thớ sinh cú th gii nhiu cỏch khỏc nu ỳng, cht ch, c im ti a Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa ... = .10 + +1 9 4.10 n 4.10n + 8.10n + 4.10 n + 4.10 n + = = 9 Giao viờn: Ngụ Thi Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan ... 2010 chữ số Chứng minh Giải: ab + 20 09 chữ số số tự nhiên b = 100 05 = 100 - + = 99 + = 9a + 20 09 chữ số 2010 chữ số 2010 chữ số ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 ab + = (3a... Liờn Trng THCS An Hoa Giao an bụi dng hoc sinh gioi Toan x = y 20 y + y 27 = x = 3y 42 y + y 27 = x = y 5 49 y = 20 5 49 y =