Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Chuyờn bi dng hc sinh gii Phn I: H M CC QUI TC THC HNH PHẫP TNH I Khỏi nim v h m: Trong sinh hot hng ngy ca XH loi ngi, khỏi nim v s gn lin vi vic hỡnh thnh cỏc ký hiu s T thi xa ngi ta cha cn cỏc s ln thỡ mt s hỡnh nh tr thnh phng tin biu din cỏc s nh: Mt tri, ụi mt, s ngún tay trờn mt bn tay Dn dn cỏc kớ hiu thay i khỏc vi hỡnh tng ban u v ch cũn cú ý ngha qui c cỏc kớ hiu s hin )1, 2, 3, 4, ,8, 9) l nhng qui c v kớ hiu s hin v cú t/c quc t (Nhng v tờn gi thỡ tựy theo cỏc dõn tc khỏc v nú ch cú tớnh ngụn ng hc khụng ph thuc phm trự toỏn hc) Xó hi ngy cng phỏt trin, cn s dng nhng s ln thỡ cỏc kớ hiu s qui nh dựng khụng Vy phi tỡm cỏch biu din cỏc s t nhiờn bt k bng mt s ớt kớ hiu ó chn Loi ngi ó sỏng to vic m theo nhúm cỏc n v theo nguyờn tc sau: Mt s nht nh cỏc n vthnh lp mt n v bc cao hn; S nht nh ú gi l c s ca phộp m Phộp m vi c s nht nh gi l h thng m Hin ngoi h thng m c s 10, ta cũn cú cỏc h thng m: - H c s (Dựng mỏy tớnh in t) - H c s 12 (ng vi 12 ln trng trũn nm) - H c s (ng vi ngún tay trờn mt bn tay) - H c s 60 (ng vi s o thi gian) II H m theo c s: H m theo c s 10: a Cỏch c: 10 n v bc ny lp thnh mt n v bc cao hn (hng 2) 10 n v hng lp thnh mt n v hng gim bt cỏch gi tờn cỏc hng, ngi ta qui nh ba hng liờn tip to thnh mt lp: Lp n v gm hng 1, hng 2, hng Lp nghỡ gm hng 4, hng 5, hng => T ú mun c mt s no ú, ta ln lt c s n v kốm theo hng theo th t l bc cao n bc thp lp cao nht v c tờn lp v c tip tc nh vy Vớ d: 234 110 768 c l: Hai trm ba t triu, mt trm mi ngh,by trm sỏu tỏm n v b Cỏch vit: theo hai cỏch - Cng v tr kớ hiu - Theo nguyờn tc giỏ tr v trớ * Cỏch biu din: + Ta vit cỏc kớ hiu (1, 2, 3, , v 0) theo hng ngang vi nguyờn tc qui c cựng mt s vit hai hng k tip thỡ giỏ tr ca kớ hiu bờn trỏi gp 10 ln giỏ tr kớ hiu vit bờn phi GV: Lờ Chớ Tụn Chuyờn bi dng hc sinh gii + Nh vy bit c s ca h m, ta cú th biu din bt kỡ mt s t nhiờn no di dng mt dũng cỏc ch Dũng ny cú th phõn tớch thnh mt tng ú mi s hng l mt ly tha ca c s nhõn vi mt sụ thớch hp nh hn c s Vớ d: Cú mt s cú ch s, ch s hng kớ hiu l cha, hng l ch b, hng l ch c, hng l ch d, hng l ch e, hng l ch f: N = abcdef = a.100000 + b.10000 + c.1000 + d.100 + e.10 + f 100 = a.105 + b.104 + c.103 + d.102 + e.101 + f H m theo c s tựy ý: Tng t nh h thp phõn, nhng cn chỳ ý h c s k, thỡ c k n v lp thnh mt hng no ú thỡ lp thnh mt n v ca hng cao tip theo Vỡ th cn chn k tờn riờng u tiờn v tờn cỏc hng dựng vo vic c s Chn k kớ hiu u v kớ hiu vit s Vớ d: N = abcdef = a.k + b.k + c.k + d.k + e.k1 + f.k Chỳ ý: lm ln vi cỏc s c s 10, ta vit thờm ch s vo phớa di bờn phi s ú 425 c s = 425(5) Ly tha ca c s phi bng s ch s ssú ú tr i i mt s t h thng c s ny sang h thng c s khỏc: a Nhn xột: Mt s ó cho vit theo h c s a mun vit sang h c s b thỡ ly h c s thp phõn lm trung gian Vỡ th ta xột hai trng hp i sau: - Vit mt s t h c s tựy ý sang h thp phõn - Vit mt s t h c s thp phõn sang h c s khỏc b Cỏch i: * - Cỏch i th nht: da vo cỏch biu din mt s thnh mt tng cỏc ly tha Vớ d: i 11101(2) sang h thp phõn 11101(2) =1.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 16 + + + = 29 - Cỏch i th hai: da vo nguyờn tc vit s theo th t v trớ Gia hai hng k tip thỡ n v hng bờn trỏi gp k ln n v hng bờn phi Da vo nguyờn tc ú, ta i cỏc hng n v v vit theo h thp phõn Vớ d: Vit 32075(8) h thp phõn - 3.8 + = 26 n v hng - 26.3 + = 208 n v hng - 208.8 + = 1671 n v hng - 1671.8 + = 13373 n v hng Vy 32075(8) = 13373(10) * C s lý lun ca cỏch i ny: Gi s ta cú mt s N vit theo h thp phõn Ta cn i nú s cú c s r vit di ì ìP Ngha l ta phi tỡm cỏc ch s P < r cho: N = P rn + P dng: Nổỗỗ10ửữữữ= Pn Pn- ì 0( r ) i n nỗ ố ữ ứ rn-1 +.+ P1.r + P0 Tht vy; ta cú th biu din N nh sau: GV: Lờ Chớ Tụn Chuyờn bi dng hc sinh gii N = (Pn.r + Pn-1 r + + P1.r0)r + P0 Vy P0 l s d phộp chia N co r v thng l: Q0 = Pn.rn-1 + Pn-1.rn-2 + + P1 Ta li cú: Q0 = (Pn.rn-2 + Pn-1.rn-3 + + P2).r + P1 Vy P1 l s d ca Q0 cho r v thng l: Q1 = Pn.rn-2 + Pn-1.rn-3 + + P2 Tip tc chia Q1 cho r ta c thng Q2 v s d P2 Cui cựng ta cú Qn-1 chia cho r c s thng Qn = Túm li: Nu chia liờn tip s N v cỏc thng b phn (Q 0, Q1, Q2,.Qn-1) cho r ta c Pn Pn- Pn- P1 P0 cỏc ch s Pi l cỏc ch cu to nờn s N(r) v vit cỏc s ú theo th t: Vớ d: Vit 138 theo c s n-1 n-2 138 18 P0 P1 15 15 46 15 P2 P3 P4 1 138 = 12010 (3) Bi ng dng: Tớnh s trang ca mt quyn sỏch bit rng ỏnh s trang quyn sỏch ú ngi ta phi dựng 3897 ch s Gii: - ỏnh s trang cú ch s phi dựng x = ch s - ỏnh s trang cú ch s phi dựng 90 x = 180 ch s - ỏnh s trang cú ch s phi dựng 900 x = 270 ch s Nh vy ó dựng ht + 180 + 2700 = 2889 ch s S cũn li phi dựng ỏnh trang cú ch s l: 3897 2889 = 1008 (ch s) Mi trang cú ch s nờn s trang cú ch s cn ỏnh l: 1008 : = 252 (trang) S nh nht cú ch s l s 1000 Vy cun sỏch ú cú: 1000 + 252 = 1251 (trang) Cho mt s cú hai ch s, ch s hng chc l a, ch s hng n v l b a Nu ta xen gia hai ch s ú mt s , thỡ s mi ln hn s c bao nhiờu ln? b Nu ta xen gia 2, 3, 4,, n ch s thỡ s mi tng bao nhiờu n v so vi s c Gii: S ó cho cú th biu din: ab = 10a + b - Sau xen vo gia hai ch s ch s ta cú: a0b = 100a + b GV: Lờ Chớ Tụn Chuyờn bi dng hc sinh gii Hiu ca hai s mi v c l: a0b - ab = 100a + b - 10a - b = 90a - Kt qu ny (90a) cho ta kt lun l : vic thay i trờn khụng ph thuc ch s n v 14442 4443 Nu tng thờm 2, 3, 4, n ch s thỡ kt qu tng 900 0.a n chữ số Tng cỏc ch s ca mt s cú hai ch s l 10 Nu tahy i th t cỏc ch s thỡ s mi gim 36 n v Tỡm s ú Gii: S ó cho cú th vit: ab v a + b = 10 (1) Nu i th t ch s thỡ s mi l: Khi ú ta cú: ba ab - ba = 10a + b -10b - a = 36 => 9a - 9b = 36 => a - b = (2) ỡù a + b = 10 Từ (1) (2) ta có: ùớ ị 2a = 14 ị a = b = ùùợ a - b = Số cho là: 73 Tỡm mt s gm ba ch s, bit tng cỏc ch s l 14, ch s hng chc gp ụi ch s hng n v v s o ngc ln hn s c l 198 Gii: S ó cho cú th vit abc Theo bi thỡ: a + b + c = 14 (1) b = 2c (2) cba - abc = 198 (3) T (3) ta cú: 100c + 10b + a 100a 10b c = 198 => 99c 99a = 198 => c- a = => c = a + ùỡ a + b + a + = 14 ị Thay c = a + v (1) v (2) ta cú: ùớù ợù b = (a + 2) ị c= ùớùỡ 2a + b = 12 ị 2b = 16 ị b = ùợù -2a + b = b = = a = 14 - (4 + 8) = 14 - 12 = S phi tỡm l 284 2 Vit theo h c s dóy s t n 30 Gii: Ta vit: 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 40 41 42 43 44 50 51 52 53 54 60 i s 1463(7) sang c s 12 Gii: * Ta i 1463(7) sang c s 10 1463(7) = 73 + 72 + 71 + = 343 + 196 + 42 + = 584 GV: Lờ Chớ Tụn Chuyờn bi dng hc sinh gii * Ta i 584 sang c s 12 584 48 104 12 48 48 12 4 12 Vy 1463(7) = 408(12) Vi c s no thỡ 167 c vit thnh 326 ? Gii: Gi x l c s ca 326 ta cú: 167(10) = 326(x) i 326(x) ta c : 326(x) = 3.x2 + 2.x + Gii phng trỡnh bc hai 3x2 + 2x + = 167 ta c x1 = ; x2 = - 23 X = l tha Vy vi c s thỡ 326 = 167(10) Trong h thng c s hóy tớnh tng 43 + 17 ? Gii : - Mun tớnh tng 43 + 17 ta i cỏc s hng c s thp phõn 43(8) = 4.8 + = 35 17(8) = 1.8 + = 15 => 43 (8) + 17 (8) = 50(10) - Ta i tng tỡm c sang c s 50 6 Vy 43(8) + 17(8) = 62(8) Trong mt h thng m ta cú 53 + 76 = 140 Hóy xỏc nh c s ca h thng ú ? Gii : Gi c s ca h thng m ú l x, ta cú : 53(x) + 76(x) -= 140(x) Hay (5x + 3) + (7x + 6) = x2 + 4x + => 12x + = x2 + 4x => x2 8x = => x(x 8) = => x(8-x) = 9(-1) => x = Vy c s ca h thng m ú l Ngha l 53(9)+ 76(9) -= 140(9) GV: Lờ Chớ Tụn Chuyờn bi dng hc sinh gii 10 Ngi ta vit lin cỏc s t nhiờn bt u t s 1: 123456 Hi ch s vit hng 427 l s no? Gii: T s n s 100 phi dựng (9 x + 90 x 2) = 189 ch s M ta thy 189 < 427 nờn s vit hng 427 l s cú ch s.Do ú 427 189 = 238 ch s cũn li dựng vit cỏc s cú ch s v s vit c (238 : 3) = 79 s cú ch s v cũn d ch s S th 79 cú ch s l s 100 + 79 = 178 nờn ch s hng th 427 l ch s u ca s 179 v s ú l s 11 Ngi ta vit liờn tip cỏc s t nhiờn thnh dóy 12345 Hi ch s hng n v ca s 1991 ng hng th bao nhiờu ? Gii: T s n s 1991 cú s cú ch s, 90 s cú hai ch s, 900 s cú ba ch s v cú 1991 1000 + = 992 s cú ch s S ch s phi dựng vit cỏc s t n 1991 l : + 2.90 + 900 + 992 = 6857 Vy : Ch s hng n v ca s 1991 ng hng th 6857 dóy s trờn 12 Vit liờn tip cỏc s t nhiờn chn thnh dóy 246810 Hi ch s th 2000 l ch s gỡ ? Gii: T s n s 1000 (khụng k 1000) cú s chn cú ch s, 45 s chn cú ch s, 450 s chn cú ch s Do ú, s ch s phi dựng vit cỏc s chn t n 1000 (khụng k s 1000) l : + 45 + 3.450 = 1444 Vỡ 1444 < 2000 nờn ch s th 2000 thuc vo mt s chn cú ch s S ch s cũn li vit cỏc s chn cú ch s l : 2000 1444 = 556 Vỡ s 556 = 139 nờn vi 556 ch s ny, ta cú th vit c 139 s chn u tiờn cú ch s S chn th 139 cú ch s l : 1000 + 139.2 = 1276 Vy ch s th 2000 l ch s ca s 1276 13 Cho dóy s 4, 7, 10, 13, 16, a Tỡm s th 100, s th n ca dóy s ú ? b cỏc s 45723 v 3887 cú mt dóy ú khụng ? Gii: Ta nhn thy : 7=4+3 10 = + 13 = 10 + 16 = 13 + nh vy, dóy s ó cho, k t s th hai, mi s u bng s lin trc ú cng vi a Gi cỏc s ca dóy s trờn theo th t l a 1, a2, a3, , an-1, an Theo qui lut thnh lp dóy s ta cú: GV: Lờ Chớ Tụn Chuyờn bi dng hc sinh gii a2 a1 =3 a3 a2 =3 An-1 an-2 =3 An an-1 =3 Cng tng v n ng thc trờn ta c: an a1 = 3.(n 1) hay an = a1 + 3(n 1) Vỡ a1 = nờn ta cú: an = + 3(n 1) hay an = 3n + (n = 1, 2, 3,.) Nh vy s th 100 ca dóy s trờn l: a100 = 3.100 + = 301 b Cỏc s thuc dóy s ó cho cú dng 3n + nhng 45723 = 15241 v 3887 = 1295 + nờn c hai s ny u khụng cú mt dóy s ú . III CC PHP TNH S NGUYấN Phộp cng: a nh ngha: Phộp toỏn cho bit tng ca hai s gi l phộp cng a + b = S nu b = thỡ a + = a b Tớnh cht: - Giao hoỏn: a + b = b + a - Kt hp: a + b + c = (a + b) + c c H qu: - Cng mt tng vo mt s - Cng mt s vo mt tng - Cng mt tng vo mt tng Phộp tr: a L phộp tớnh ngc ca phộp cng- kt qu ca phộp tr s a cho s b gi l hiu ca a v b a b = c (Nu a = b thỡ a b = 0) b Tớnh cht: - Giao hoỏn: a+bc=ac+b abc=acb - Kt hp: a + b c = (a + b) c a b + c = (a b) + c a b c = (a b) c c H qu: - Tr mt tng vo mt s: a (b + c + d) = a-b-c-d - Tr mt hiu vo mt s: a (b c) = a-b+c - Tr mt s vo mt tng: (a + b) c = (a c) + b - Tr mt tng vo mt tng: (a + b + c) (e + f + k) = ììì Phộp nhõn: a Phộp nhõn a vi b l phộp cng b s hng bng a a x b = a + a + a + + a (b s hng) b x a = b + b + b +.+ b (a s hng) GV: Lờ Chớ Tụn Chuyờn bi dng hc sinh gii ax0=0 b Tớnh cht: - Giao hoỏn: a.b = b.a - Kt hp: a.b.c = (a.b).c - Phõn phi: + a.(b + c + d) = a.b + a.c + a.d + a.(b c) = a.b a.c + (a + b).(x y) = ax ay + bx by c H qu: - Nhõn mt s vi mt tớch: k(abcd) = kabcd - Nhõn mt tớch vi mt s: (abc)d = (ad)bc =(bd)ac =(cd)ab - Nhõn mt tớch vi mt tớch: (abc)(de) = abcde ng dng ca phộp nhõn: Ly tha N: Ly tha bc m ca mt s a hay am l tớch ca m tha s bng a a1 = a; a0 = am.an = am + n ; am: an = am - n (m > n v m, n > 0) m ổa am = (abc) = a B C ; ỗỗỗ ữ ữ ữ bm ốb ứ m m m m ; (a ) m n = a m n Phộp chia: a Phộp chớa a cho s b l tỡm mt s q cho a = bq + r (r < b) * a s b chia,b s chia, q thng s, r s d * a b => q ; a < b => q = 0, r = a c bit: a = =0 b b a = * a = 0; b = Vô định b b a = a * a 0; b = Vô nghiệm b o => Không có phép chia số khác cho số * a = 0; b b Phộp chia ht l phộp tớnh ngc ca phộp nhõn, kt qu ca phộp chia s t nhiờn a cho s t nhiờn b l thng q (a : b = q hay a = bq) c Phộp chia cũn d: a = bq + r d Tớnh cht: * (a + b + c) : d = (a : d) + (b : d) + (c : d) * (a.b) : d = (a : d) b * a.(b : d) = (a.b) : d e H qu: * (a.b.c.d) : e = (a : e).b.c.d GV: Lờ Chớ Tụn Chuyờn bi dng hc sinh gii * a : (b.c.d) = [(a : b) : c] : d f Tớnh cht ca phộp chi cũn d: * a.m = b.q.m + m.r * a : m = b.q : m + r : m * Chia mt tng cho mt s ta ly s th nht chia cho s ú, sau ú ly s d cng vi s th hai ri chia cho s ú s thng l tng ca cỏc thng riờng bit S d l s d phộp chia cui cựng Chỳ ý: * so sỏnh hai ly tha ta thng a v vic so sỏnh hai ly tha cú cựng s m hc cú cựng c s Vi a, b, m, n l cỏc s t nhiờn ta luụn cú: Nu a > b thỡ an > bn (a 0) Nu m > n thỡ am > an (a > 1) * Khi gii cỏc bi v tỡm ch s tn cựng ca mt s, ta thng s dng cỏc nhn xột sau: + Tt c cỏc s tn cựng bng cỏc ch s 0, 1, 5, cựng nõng lờn bt k ly tha t nhiờn no khỏc cng tn cựng bng chớnh nhng ch s ú Vỡ vy tỡm ch s tn cựng ca mt s, ta thng bin i a v cỏc s cú mt cỏc ch s tn cựng nờu trờn Lu ý: 92 = 81, 34 = 81, 24 = 16 + Cn c vo nhn xột trờn, riờng i vi cỏc s tn cựng bng hoc ta cú qui tc sau: - Ly tha ca mt s tn cựng bng l mt s tn cựng bng nu s m chn, tn cựng bng nu s m l Tht vy, ta cú: 42k = (42)k = 16k tn cựng bng 42k + = 42k = 16k.4 tn cựng bng - Ly tha ca mt s tn cựng bng l mt s tn cựng bng nu s m chn, tn cựng bng nu s m l Tht vy, ta cú: 92k = (92)k = 81k tn cựng bng 92k + = 92k = 81k.9 tn cựng bng Bi ỏp dng: Tỡm s nguyờn N, bit rng thờm s vo bờn phi thỡ N tng thờm 594 n v Gii: Thờm s vo bờn phi N tc l ta tng N lờn 10 ln Cú ngha l: 10 N N = 594 => 9N = 594 => N = 66 2.Tỡm mt s gm hai ch s, bit rng s y ln gp tớch s ca cỏc ch s Gii : GV: Lờ Chớ Tụn Chuyờn bi dng hc sinh gii Gi s cn tỡm l xy (x, y nguyờn dng v nh hn 10) Khi ú ta cú : xy = 2xy ị 10x + y = 2xy ị 2xy - 10x - y = ị 2x(y - 5) - y = Thêm vào vế ta có: 2x(y - 5) - (y - 5) = => (2x - 1)(y - 5) = ỡù 2x - = ỡù x = ù ù ù Vậy: => ùớ (Không thích hợp) ùù y - = ùù y = 10 ù ù Hoặc ùợ ỡù ù ùớ ùù ùợ 2x - = y-5=1 Hoặc Hoặc => ùợ ỡù ù ùớ ùù ùợ ỡù 2x - = -1 ù ùớ ùù y - = -5 ùợ ỡù 2x - = -5 ù ùớ ùù y - = -1 ùợ x=3 y=6 => => ỡù x ù ùớ ùù y ùợ ỡù x ù ùớ ùù y ùợ =0 =0 = -2 =4 (Không thích hợp) (Không thích hợp) Vậy x = , y = Số cần tìm 36 Tỡm mt s gm ch s, bit rng em nhõn s y vi ta c mt s m ba ch s cui cựng bờn phi l 548 Gii : Gọi số phải tìm xyz đem số nhân với ta thấy z.7 = => z = z.7 = 28 (viết nhớ 2) y.7 =.2 (vỡ nh na l 4) => y = Vy y.7 = 42 (vit nh 4) x.7 = (vỡ nh na thnh 5) => x = (vỡ 3.7 = 21) Vy xyz = 364 Tỡm N (nguyờn) chia N cho s cú s d bng thng s Gii : Khi chia s a cho s b ta cú : a = bq + r (r > v r < b) => N = 4q + r q = r < 4) hay N = 4q + q = 5q Vỡ q < nờn : N = q = N = 10 q = N = 13 q = GV: Lờ Chớ Tụn 10 Chuyờn bi dng hc sinh gii Thi gian ngi th hai ui kp ngi th nht l: 60 : 12 = (gi) Cỏch 3: Gi t1 l thi gian ngi i xe p i ht quóng ng AC; t l thi gian ngi i xe p i ht quóng ng BC Ta bit thi gian t l nghch vi tc, tc l: t 12 = = Mặt khác t t = t 10 n õy bi toỏn c a v dng: Tỡm hai s bit t s ca chỳng v hiu ca s t1 = 1.6 = (gi) t2 = (gi) Quóng ng cn tỡm l 5.12 = 60 (km) *Toỏn v chuyn ng ngc chiu: Mt xe p i t A n B lỳc gi sỏng vi tc 20 km/h Lỳc gi mt ụ tụ i t B n A vi tc 35 km/h Hi sau my gi thỡ gp nhau? V ch gp cỏch B bao nhiờu km? Bit rng A v B cỏch 240 km Gii: B 220 A 20 A / Cỏch 1: Sau gi ngi i xe p i t A n A / cỏch A 20 km, lỳc ú ụ tụ bt u i t B v cỏch ngi i xe p 240 20 = 220 (km) - Mi gi hai ng t i c 20 + 35 = 55 (km) - i c 220 km phi mt: 220 : 55 = (gi) - Ch gp cỏch B: 35 = 140 (km) Cỏch 2: {220} T gi n lỳc gp nhau, cựng mt thi gian ngi i xe p i c quóng ng x vi tc 20 km/h Trong lỳc ú ụ tụ i c quóng ng y vi tc 35 km/h Vỡ quóng ng t l thun vi tc nờn ta cú: x 20 = = Mt khỏc x + y = 220 nờn suy ra: y 35 x x + y 4+7 = = y y 220 11 220 220.4 = y= ì7 = 140 (km) => x = = 80 (km) => y 11 11 GV: Lờ Chớ Tụn 67 Chuyờn bi dng hc sinh gii Mt ngi cỏn b ó i b liờn tc t lng A n lng B vi tc v = km/h ri t lng B n lng C vi tc v = km/h sau mt thi gian cụng tỏc C ngi cỏn b ú tr v A theo ng c v quyt nh i th no cho thi gian i quóng ng CA bng thi gian i quóng ng AC kp bỏo cỏo Mun vy ngi cỏn b tớnh toỏn phi i n trờn on CA vi tc v = km/h Th nhng n B ngi cỏn b phi dng 24 phỳt gii quyt cụng tỏc v cú th v A ỳng thi gian qui nh, ngi cỏn b quyt nh tng tc km/h Hỏy tớnh khong cỏch t A n B, t B n C ? a) Gii: + Gi thi gian i t B n C l t 1, thi gian i t C n B l t (t1 v t2 t l nghch vi v nờn ta cú: t1 = t2 + i t B n C thi gian lõu hn i t C n B 24 phỳt (vỡ thi gian t A B v t B v A l nh (quóng ng nh nhau, tc nh nhau) Chi nờn ch cũn chờnh lch thi gian quóng ng CB v BC) => t1 t2 = 24 + Vy: t1 t t t 24 = = = t = 5.24 = 120(phút) = (giờ) 5-4 => Quóng ng BC bng: 2.4 = (km) b) Gi t3 l thi gian i t A B, t4 l thi gian i t B A Ta thy: t3 = Nhng i t B ti A lõu hn t A ti B 24 phỳt nờn: t4 t t t t 24 = = = = 24 t = 24.5 = 120 (phút) = (giờ) 65 Vy quóng ng AB l: 6km/h h = 12 (km) Mt ụ tụ i qua ct km ac lỳc gi, qua ct km ca lỳc gi v qua ct km abc lỳc gi Bit ụ tụ chuyn ng thng u Tớnh tc ca ụ tụ Gii: * T gi n gi ụ tụ i c ca - ac (km) T gi n gi ụ tụ i c abc - ca (km) * Vỡ ụ tụ chuyn ng u nờn : abc ca = ca ac = xy => ca + ca = abc + ac (Tổng hai số nhau, số có hai ch s bao gi cng hn 200) ú abc + ac cng phi hn 200 v a khụng th bng v a khụng th ln hn vỡ nu a > thỡ abc + ac > 200 Vy a = GV: Lờ Chớ Tụn 68 Chuyờn bi dng hc sinh gii Mt khỏc tng a + a v tng c + c l cỏc tng ca cỏc ch s thuc hng n v ca hai s bng nờn phi cú ch s tn cựng bng M ta ó cú : a + a = 2a = 2.1 = Vy c + c = 2c cng cú tn cựng bng Tc l c = (vỡ < c < 10 nờn 2c = 12 => c = 6) Ta cú tc ca ụ tụ l : 61 16 = 45 (km/h) Mai v Lan nh cỏch 1200 m i v phớa nh bn mai i lỳc gi, Lan i sau phỳt Dc ng khụng thy nhau, mi ngi c n nh bn ri quay li Ln ny thỡ hai bn gp Hi lỳc gp l my gi ? Bit rng mi phỳt Mai i 60m, Lan i 90m Gii: Trong phỳt Mai i c 60 = 300 (m) Mai v Lan gp sau Lan i c mt thi gian l: (1200 m 300 m) : (60 m + 90 m) = (phỳt) Mai v Lan gp ln lỳc (9 gi phỳt + phỳt ) = gi 11 phỳt Quóng ng m Mai v Lan i c cng li bng ln khong cỏch 1200 m mt thi gian l : 1200.2 : (60 + 90) = 16 (phỳt) Thi gian gp ln l : 9h11 ph + 16 ph = h 27 ph Mt xe la i qua cu di 181 m mt tt c 47 s, cng vi tc ú xe la lt qua ngi i b i ngc chiu vi xe la Tớnh chiu di v tc ca xe la ? Bit rng tc c ngi i b l m/s v xe la lt qua ngi ú s Gii: Trong 47 s, xe la i c mt quóng ng l mt cu di 181m v quóng ng bng chiu di on tu (hỡnh bờn) Gi s u tu bt u n m cu B, sau tu qua A thỡ ht thi gian 47 s Chng hn ngi ú gp uụi tu A Tc l 38 s, xe la i c 181+ 9.1 = 190 (km) => tc xe la l: v= 190 = (m/s) = 18 (km/h) 38 Chiu di xe la l : 5.9 + = 54 (m) Hin gi (gi thit l cỏc kim ng h chy ỳng) Hóy tớnh xem bao nhiờu phỳt kim phỳt ui kp kim gi ? Gii: Cỏch 1: GV: Lờ Chớ Tụn 69 Chuyờn bi dng hc sinh gii Gi S1 v S2 l s vũng m kim phỳt v kim gi ó quay c kim phỳt kp kim gi, nh vy thỡ : S1 S2 = kim phỳt quay (vòng) Mt khỏc khong cỏch t l thun vi tc, m tc gp 12 ln tc kim gi nờn S1 12 S1 S S1 S => S1 = 12 = (vòng) = hay = = = = 4.11 11 S2 12 12 11 4.11 Kim phỳt quay vũng ht 60 phỳt nờn mun quay 3/11 vũng cn : = 16 (phút) 11 11 Vy sau 16 phỳt thỡ kim phỳt ui kp kim gi 11 60 ì Cỏch 2: Kim phỳt quay vũng thỡ kim gi quay c 1/12 vũng Nh vy 60 phỳt kim phỳt 11 = (vòng) Mun ui kp kim gi kim phỳt cn quay hn 12 12 60 ì = 16 (phút) kim gi ẳ vũng v nh vy mt mt thi gian : 11 11 12 quay nhiu hn kim gi - Gii toỏn bng phng phỏp la chn: a Ni dung: Trong phng phỏp ny ta xột mi trng hp cú th xy i vi mt i tng Sau ú ch xem trng hp no ỳng vi cỏc iu kin ca bi toỏn b Vớ d: Tỡm s cú ba ch s bit rng bỡnh phng ch s hng chc bng tớch hai ch s v nu i ch hai ch s hng trm v hng n v cho thỡ s y gim i 594 n v Gii: -abc cba Gi s phi tỡm l abc Xét phép trừ: 594 Do a > c nờn phộp tr ct n v cú nh, vỡ th 10 + c a, tc l a c = Cỏc s tha iu kin ny l : 6b0 , 7b1 , 8b2 , 9b3 b thứ tự 0, 7, 16, 27 Cú hai trng hp tha bi toỏn : * b2 = 0, s phi tỡm l 600 GV: Lờ Chớ Tụn 70 Chuyờn bi dng hc sinh gii b = 16, s phi tỡm l 842 2 Tỡm s t nhiờn cú hai ch s bit rng tng cỏc ch s ca nú bng 12 v nu i ch hai ch s cho thỡ c s ln hn s ban u l 18 Gii: Gi s phi tỡm l ab Do a + b = 12, a < b nờn ta xột cỏc s : 57, 48, 39 cú tng hai ch s tha bi Tuy nhiờn phi i chiu vi iu kin th hai l ba ab = 18 ta cú : * 75 57 = 18 * 84 48 = 36 * 93 39 = 54 Nh vy ch cú s 57 l tha Tỡm s cú ba ch s bit rng ch s hng chc bng trung bỡnh cng ca hai ch s v s ú chia ht cho 45 Gii: Gi s phi tỡm l abc Theo abcM nên c = c = Ta li cú a + b + c M m a + c = 2b nờn 3b M 9, ú b M 3, m b nờn b bng hoc hoc * Vi b = ta cú cỏc s : 630, 135 * Vi b = ta cú s : 765 * Vi b = thỡ khụng cú s no tha Vy cỏc s cn tỡm l : 630, 135, 765 Gii toỏn s dng nguyờn lý IRICHLấ: a Ni dung: Nguyờn lý ny mang tờn nh bỏc hc irichlờ (1805-1859) : Khụng th nht th vo cỏi lng m mi lng cú khụng quỏ th Núi cỏch khỏc, nu nht th vo cỏi lng thỡ tn ti mt lng cú t th tr lờn b Vớ d: Mt lp hc cú 40 hc sinh Chng minh rng cú ớt nht hc sinh cú thỏng sinh ging Gii: Mt nm cú 12 thỏng Ta phõn chia 40 hc sinh vo 12 thỏng y Nu mi thỏng cú khụng quỏ hc sinh c sinh thỡ s hc sinh khụng quỏ 3.12 = 36 (em) m 36 < 40 vụ lý Vy tn ti mt thỏng cú ớt nht hc sinh trựng thỏng sinh (Trong bi ny 40 th vớ nh l 40 HS, 12 lng vớ nh l 12 tờn thỏng) Chng minh rng tn ti s t nhiờn k cho 3k tn cựng bng 001 Gii: GV: Lờ Chớ Tụn 71 Chuyờn bi dng hc sinh gii Trc ht ta chng t rng tn tihai ly tha ca cú cựng s d chia cho 1000 Trong phộp chia cho 1000, cú 1000 s d l 0, 1, 2, , 999 Ta xột 1001 s l 3, 32, 33, , 31001 thỡ tn ti hai s cú cựng s d phộp chia cho 1000 Gi hai s ú l m v 3n (1 n < m 1000) Nh vy 3m 3n chia ht cho 1000, ú 3n.(3m 1) chia ht cho 1000, suy 3m-1 chia ht cho 1000, tc l s 3m n tn cựng bng 001 Ngi ta th 130 viờn xỳc xc vo mt bn c Quc T cú 64 ụ vuụng Chng minh rng tn ti ụ vuụng bn c cha viờn xỳc xc Gii: Gi s mi ụ cha khụng quỏ viờn xỳc xc thỡ 64 ụ cha khụng quỏ 2.64 = 128 (viờn) M 128 < 130 Nờn cú ớt nht ụ vuụng bn c cha viờn xỳc xc Chng minh rng s t nhiờn bt k, tỡm c hai s cú hiu chia ht cho Gii: Mt s chia cho ch cú s d l 0, 1, 2, 3, Ta li cú s t nhiờn bt k Nh vy s tn ti hai s cú cựng s d chia cho 5, hiu ca chỳng s chia ht cho Chng minh rng tn ti mt bi s ca 1989 c vit bi ton cỏc ch s v Gii: 11 Xột 1990 s dng 1, 11, 111, , Chia cỏc s trờn cho 1989, s d ch cú th l 1990 chữ số 0, 1, 2, 3, 4,,1988 Cú 1990 s m ch cú 1989 s d nờn tn ti hai s cú cựng s d, hiu ca chỳng chia ht cho 1989 Hiu ny gm ton ch s v PHN VI : HèNH HC sỏch GK hỡnh hc c xõy dng khụng ch bng quan sỏt, thc nghim m cũn bng suy din cht ch, chớnh xỏc Ngi ta nh ngha khỏi nim cú sau theo cỏc khỏi nim cú trc Tuy nhiờn khụng th nh ngha c mi khỏi nim cng nh khụng th chng minh c mi tớnh cht hỡnh hc (bao gi cng gp nhng khỏi nim u tiờn khụng nh ngha, nhng tớnh cht u tiờn khụng chng minh) Chng hn : tam giỏc ABC c nh ngha l hỡnh to bi ba on thng AB, BC, CA ba im A, B, C khụng thng hng ; on thng AB thỡ c nh ngha l hỡnh gm im A, B v tt c cỏc im nm gia A v B.v.v im, ng thng l cỏc hỡnh hỡnh hc khụng nh ngha, im nm gia hai im khỏc l quan h hỡnh hc khụng nh ngha Ngi ta hiu chỳng qua cỏc tớnh cht c cụng nhn m khụng chng minh, ú l cỏc tiờn GV: Lờ Chớ Tụn 72 Chuyờn bi dng hc sinh gii I Cỏc tiờn : Tiờn (V trớ ca im v ng thng): Vi mt ng thng bt k, cú nhng im thuc ng thng v cú nhng im khụng thuc ng thng Tiờn (S xỏc nh ng thng): Cú mt v ch mt ng thng i qua hai im phõn bit Tiờn (Th t ca ba im trờn ng thng): Trong ba im thng hng, cú mt v ch mt im nm gia hai im cũn li Tiờn (S xỏc nh tia): Mi im O trờn mt ng thng chia cỏc im cũn li ca ng thng thnh phn : - Nu hai im A v B thuc cựng mt phn thỡ im O khụng nm gia chỳng - Nu hai im A v B thuc hai phn khỏc thỡ im O nm gia chỳng Tiờn (S xỏc nh na mt phng): Mi ng thng a trờn mt phng chia cỏc im cũn li thuc mt phng thnh hai phn: - Nu hai im A v B cựng thuc mt phn thỡ ng thng akhụng ct on thng AB - Nu hai im A v B thuc hai phn khỏc nhauthỡ ng thng a ct on thng AB Tiờn ( di on thng): Mi on thng cú mt di xỏc nh ln hn Tiờn (Cng di on thng): Nu im M nm gia hai im A v B thỡ AM + MB = AB Tiờn (S xỏc nh im trờn tia): Vi bt k s m >0 no, bao gi cng xỏc nh c trờn tia Ox mt v ch mt im M cho OM = m Tiờn (S o gúc): Mi gúc cú mt s o xỏc nh ln hn S o () ca gúc bt bng 180 Tiờn 10 (Cng s o gúc): ã ã ã Nu tia Oy nm gia hai tia Ox v Oz thỡ xOy + yOz = xOz Tiờn 11 (S xỏc nh tia trờn na mt phng): Vi bt k s m no cho < m 1800, bao gi cng xỏc nh c trờn na mt phng cú ã b cha tia Ox mt v ch mt tia Oy cho xOy = m0 II Vớ d minh ha: V im phõn bit A, B, C, D, E, cho ba im A, B, C thng hng, ba im B, C, D thng hng, ba im B, C, E khụng thng hng a Cn c vo kin thc no m ta cú th lm c nh vy ? b Gii thớch vỡ bn im A, B, C, D cựng thuc mt ng thng ? GV: Lờ Chớ Tụn 73 Chuyờn bi dng hc sinh gii c V cỏc ng thng, mi ng thng i qua ớt nht im im núi trờn Cú bao nhiờu ng thng hỡnh v ? (cỏc ng thng trựng ch k mt ng thng) Gii: a Xột hai im B v C Theo tiờn (s xỏc nh ng thng), cú mt v ch mt ng thng BC Theo tiờn (v trớ ca im v ng thng), tn ti im A thuc ng thng BC, tn ti im D thuc ng thng BC, tn ti im E thuc ng thng BC b Bn im A, B, C, D cựng thuc ng thng BC c Cú ng thng, ú l cỏc ng thng AD, EA, EB, EC, ED ( ng thng AD i din cho cỏc ng thng AB, AC, AD, BC, BD, CD) E A B C D Cho im A, B, C, D, E V cỏc ng thng i qua tng cp im Cú th cú bao nhiờu ng thng hỡnh v? (cỏc ng thng trựng ch k l mt ng thng) Gii: a Nu c im thng hng thỡ cú mt ng thng b Nu ch cú im thng hng thỡ cú ng thng (Vớ d 1) c Nu ch cú ba im thng hng thỡ cú ng thng (hỡnh a) Hình a Hình b d Nu khụng cú ba im no thng hng thỡ ta cú lp lun nh sau: Chn mt im, ni im ú vi im cũn li, ta c ng thng Lm nh vy vi im ta c ng thng Nhng mi ng thng ó c tớnh ln, ú tt c ch cú 4.5 = 10 (đường thẳng) (hỡnh b) GV: Lờ Chớ Tụn 74 Chuyờn bi dng hc sinh gii Cho 10 im, ú khụng cú im no thng hng C qua hai im ta v mt ng thng Hi tt c cú bao nhiờu ng thng Nu thay 10 im bi n im thỡ s ng thng l bao nhiờu? Gii: Chn mt im, ni im ú vi im cũn li ta c ng thng Lm nh vy vi 10 im, ta c 10.9 ng thng, nhng nh vy mi ng thng c tớnh ln, ú ch cú tt c 10.9 = 45 (đường thẳng) Vy nu thay 10 im bi n im thỡ ta s cú n.(n - 1) (đường thẳng) im C nm gia hai im A v B, im D nm gia hai im A v C Bng lp lun, hóy chng t rng im C nm gia hai im D v B Gii: Ta s chng t rng cỏc tia CD v CB l i Tht vy: C nm gia A v B nờn cỏc tia CA v CB i (1) D nm gia A v C nờn cỏc tia CA v CD trựng (2) T (1) v (2) suy cỏc tia CB v CD D C B A i Vy C nm gia D v B im C nm gia hai im A v B, im M nm gia hai im A v C, im N nm gia hai im C v B a Tia CM trựng vi tia no? Ti sao? b Tia CN trựng vi tia no? Ti sao? c Dựng lp lun chng t rng hai tia CM v CN i Gii: a Tia CM trựng tia CA vỡ M nm gia A v C b Tia CN trựng vi tia CB vỡ N nm gia C v B c Cỏc tia CM, CA trựng nhau, cỏc tia CN, CB trựng M cỏc tia CA, CB i (vỡ C nm gia A v B) Suy cỏc tia CM, CN i Cho ng thng a v hai im A, B thuc cựng mt na mt phng b a v khụng thuc a a Gii thớch vỡ ng thng a khụng ct on thng AB? b V im C khụng thuc a cho ng thng a ct on thng AC Gii thớch vỡ ng thng a ct on thng BC? GV: Lờ Chớ Tụn 75 Chuyờn bi dng hc sinh gii Gii: a ng thng a khụng ct on thng AB vỡ hai im A, B thuc cựng mt na A mt phng b a v khụng thuc a a b ng thng a ct on thng AC (A v C khụng thuc a) nờn A v C thuc hai na mt phng i b a, m A v B C thuc cựng mt na mt phng b a, nờn B v C thuc hai na mt phng i b a (B v C khụng thuc a) Do ú ng thng a ct on thng BC B Cho im C nm gia hai im A v B, im O nm ngoi ng thng AB Trong cỏc tia OA, OB, OC, tia no nm gia hai tia cũn li, tia no khụng nm gia hai tia cũn li? Gii thớch ti sao? Gii: O Tia Oy ct on thng AB (A, B khụng trựng O) ti im C nm gia A v B Do ú tia Oy nm gia hai tia Ox v Oz A Tia Ox khụng ct on thng C B BC nờn tia Ox khụng nm gia hai y tia Oy, Oz Tng t , tia Oz khụng x z nm gia hai tia Ox, Oy Cho tia Oc nm gia hai tia Oa, Ob khụng i nhau, tia Om nm gia hai tia Oa v Oc, tia On nm gia hai tia Oc v Ob Chng t rng tia Oc nm gia hai tia Om v On Gii: Ly cỏc im A v B khụng c n m trựng O cho A thuc tia Oa , B thuc tia Ob Tia Oc nm gia hai B N tia Oa, Ob nờn ct on thng AB ti im C nm gia A v B Cng C vy, tia Om ct on AC ti im M M nm gia A v C, tia On ct on CB ti N nm gia C v B a A Tia Oc ct on MN t C nm gia O M v N nờn tia Oc nm gia hai tia Om v On GV: Lờ Chớ Tụn 76 Chuyờn bi dng hc sinh gii Cho hai tia Oa, Ob khụng i Ly cỏc im A v B khụng trựng O cho A thuc tia Oa, B thuc tia Ob Gi C l im nm gia A v B Gi M l im khụng trựng O thuc tia i ca tia OC a Tia OM cú ct on AB khụng? Vỡ sao? b Tia OB cú ct on AM khụng? Vỡ sao? c Tia OA cú ct on BM khụng? Vỡ sao? d Trong ba tia OA, OB, OM cú tia no nm gia hai tia cũn li khụng? Gii: a Tia OM khụng ct on AB Vỡ ng thng OM ct on AB ti C nhng C khụng thuc tia OM b Tia OB khụng ct on AM B Vỡ tia OB v on thng AM thuc na mt phng i b MC Cỏc C im ca chỳng thuc b chung l O v M li khụng trựng Do ú tia A a OB khụng ct on thng AM O c Gii thớch tng t ta cng M cú tia OA khụng ct on BM d T cỏc cõu a, b, c ta suy ba tia OA, OB, OM khụng cú tia no nm gia hai tia cũn li 10 Cho tam giỏc ABC ng thng a khụng i qua cỏc nh ca tam giỏc v ct cnh BC ca tam giỏc y Chng t rng ng a ct mt v ch mt hai cnh AB, AC Gii: A B a a C B A C ng thng a chia mt phng hai na mt phng: mt na mt phng cha B, na mt phng cha C im A khụng nm trờn a thuc mt hai na mt phng trờn Nu A thuc na mt phng cha B thỡ ng thng a khụng ct on thng AB (vỡ A v B thuc cựng mt na mt phng cú b a), ct on thng AC (vỡ A v C thuc hai na mt phng i cú b a) Tng t ta cng cú: Nu A thuc na mt phng cha C thỡ ng thng a khụng ct cnh AC, m ct cnh AB Vy ng thng a ct mt v ch mt hai cnh AB, AC GV: Lờ Chớ Tụn 77 Chuyờn bi dng hc sinh gii Ta cú nh lý (nh lý Pỏp nh toỏn hc c Hi Lp th k III): Nu mt ng thng khụng i qua cỏc nh ca tam giỏc v ct mt cnh ca tam giỏc y thỡ nú ct mt v ch mt hai cnh cũn li 11 Cho tam giỏc ABC, im D nm gia A v C, im E nm gia A v B Chng t rng: a Tia BD ct on thng CE b Cỏc on thng BD v CE ct Gii: a Tia BD ct on AC ti D nm gia A v C nờn tia BD nm gia hai tia BA, BC A Do ú tia BD ct on thng CE b T cõu a suy ng thng BD E D ct on thng CE Gi giao im nht ca chỳng l M, nh vy M cng l giao B im ca hai ng thng BD v CE (1) Lp C lun tng t, ng thng CE ct on thng BD Gi giao im nht ca chỳng l N, nh vy N cng l giao im ca hai ng thng CE v BD (2) BD v CE l hai ng thng phõn bit nờn t (1) v (2) suy M trựng vi N Ta cú M thuc c hai on thng CE v BD, hai on thng ny li khụng cựng thuc mt ng thng, ú chỳng ct 12 Trờn ng thng a ly cỏc im A, B, C cho AB = cm, BC = 1cm Tớnh di AC Gii: im C khụng xỏc nh nht trờn ng thng a Do ú ta phi xột hai trng hp: a C thuc tia i ca tia BA.(H.1) A B C Khi ú B nm gia A v C nờn: H.1 a AC = AB + BC = + = (cm) B A C H.2 a b C thuc tia BA (hỡnh 2) Khi ú C nm gia B v A (vỡ BC < BA), ú : AB = AC + CB => = AC + => AC = = (cm) 13 Cho ba im A, B, C trờn mt phng Bit rng AB = cm, AC = cm, BC = cm Chng t rng: a A khụng nm gia B v C b B khụng nm gia A v C c C khụng nm gia A v B GV: Lờ Chớ Tụn 78 Chuyờn bi dng hc sinh gii d Ba im A, B, C khụng thng hng Gii: a Gi s A nm gia B v C, ta cú BA + AC = BC, tc l + = 4, iu ny vụ lý Vy A khụng nm gia B v C b Gi s B nm gia A v C, ta cú AB + BC = AC, tc l + = 3, iu ny vụ lý Vy B khụng nm gia A v C c Gi s C nm gia A v B, ta cú AC + CB = AB, tc l + = 2, iu ny vụ lý Vy C khụng nm gia A v B d Gi s ba im A, B, C thng hng thỡ phi cú mt im nm gia hai im cũn li, nh vy trỏi vi cỏc kt qu trờn Vy ba im A, B, C khụng thng hng 14 im B nm gia hai im A v C cho AC = cm, BC = cm a Tớnh AB b Trờn tia i ca tia BA, ly im D cho BD = cm Gii thớch vỡ cỏc tia BD, BC trựng c Chng t AB = CD Gii: a B nm gia A v C nờn: A B C D AB + BC = AC => AB + = => AB = (cm) b B nm gia A v C nờn cỏc tia BA, BC i Theo bi cỏc tia BA, BD i nhau, vy cỏc tia BD, BC trựng c C v D thuc cựng mt tia gc B v BC < BD nờn C nm gia B v D, ú BC + CD = BD => + CD = => CD = (cm) Vy AB = CD ã 15 Cho gúc xOy khỏc gúc bt Gii thớch vỡ xOy < 1800 Gii: V tia Oz l tia i ca tia Ox (hỡnh v) y Thỡ tia Oz khụng trựng tia Oy Cỏc gúc xOy ã ã v yOz k bự nờn xOy + yOz = 1800 ã Vỡ yOz > 00 nên ãxOy < 1800 z O x 16 Trờn cựng mt na mt phng cú b cha tia Ox, v cỏc tia Oy, Oz khụng thuc b ca na mt phng Gi Ox l tia i ca tia Ox Ly A, B, C l cỏc im khụng trựng O theo th t thuc cỏc tia Ox, Oz, Ox a Gii thớch vỡ ng thng Oy ct mt v ch mt hai cnh BA, BC c tam giỏc ABC ? b Gii thớch vỡ Oy ct mt v ch mt hai on thng BA, BC? GV: Lờ Chớ Tụn 79 Chuyờn bi dng hc sinh gii ã ã c Cho bit xOy , gii thớch vỡ tia Oy khụng th ct on thng BC, vỡ tia < xOz Oy nm gia hai tia Ox v Oz? Gii: a ng thng Oy khụng i qua z B cỏc nh ca tam giỏc ABC v ct cnh AC nờnct mt v ch mt hai cnh BA, BC (nh lý Pỏp) x' b Tia i ca tia Oy khụng th ct cỏc on thng BA, BC, m ng thng C A x Oy ct mt v ch mt hai on thng y c Gi s tia Oy ct cnh BC thỡ tia Oy nm gia hai tia Ox v Oz nờn ã xã Oy + yOz = xã Oz Do ú xã Oy < xã Oz, ã ã suy 1800 xã Oy > 1800 - xã Oz, tức xOy > xOz, tr với đề Tia Oy ct mt hai on thng BA, BC (cõu b) m tia Oy khụng ct on thng BC nờn tia Oy ct on thng BA, suy tia Oy nm gia hai tia ế v Oz ã ã 17 Cho hai gúc k xOy, xOz m xOy + xOz = 1800 a Gi Oy l tia i ca tia Oy Chng t rng cỏc tia Oy v Oz trựng b Hai tia Oy v Oz cú v trớ nh th no i vi nhau? Gii: a Cỏc tia Oz, Oy thuc cựng y mt na mt phng cú b cha tia Ox (1) Cỏc gúc xOy, xOy k bự nờn: O x ã ã xOy = 180 xOy, ã ã m xOz (theo bi) = 1800 xOy ã = xOz ã Suy xOy (2) z y' Chng t Oy v Oz trựng b.Trờn cựng mt na mt phng cú b cha tia Ox, ta cú cỏc tia Oz v Oy m ã =xOz ã nờn cỏc tia Oz v Oy trựng Vy Oy v Oz l hai tia i xOy ã 18 Cho tam giỏc ABC cú = 80 im D nm gia B v C cho BAD = 200 ã A = 250 , tia ny ct CB E Trờn na mt phng cha B cú b AC, v tia Ax cho CAx a Chng t rng E nm gia D v C ã b Tớnh DAE ? C Gii: B E GV: Lờ Chớ Tụn 80 D x Chuyờn bi dng hc sinh gii a D nm gia B v C nờn tia AD nm ã ã ã gia hai tia AB, AC nờn: BAD + DAC = BAC ã ã => 200 + DAC = 800 DAC = 600 Trờn cựng na mt phng cú b AC, ta cú cỏc tia AE, ã ã AD m CAE < CAD nên tia AE nằm hai tia AC, AD Do ú E nm gia D v C ã b DAE = 600 250 = 350 19 Trờn tia Ax ly cỏc m B v C cho AB = cm, AC = cm a O l im nm ngoi ng thng AB ã ã AOC = 400 , COB = 500 Tính ãAOB ? b Trờn tia i ca tia AC ly im E cho AE = cm Tớnh EB ? Gii: a C, B thuc tia Ax m AC < AB A nờn C nm gia A v B, ú: ã ã ã AOB = AOC + COB = 400 + 500 = 900 b C nm gia A v B nờn cỏc tia B A E C AC, AB trựng nhau, m cỏc tia AC, AE i nhau, nờn cỏc tia AB, AE i Vy A nm gia E v B Do ú: EB = EA + AB = + = 12 (cm) GV: Lờ Chớ Tụn Bit rng x 81 [...]... 6 199 1 , b) 91 991 c) 3 199 1 d) 2 199 1 Gii: a Mt s tn cựng bng 6 dự nõng lờn bt k ly tha t nhiờn khỏc 0 no cng vn tn cựng bng 6 Do ú 6 199 1 cú ch s tn cựng l 6 b 91 991 = (92 )99 5 .9 Mt s tn cựng bng 1, dự nõng lờn bt k ly tha t nhiờn no cng vn tn cựng bng 1 nờn (92 )99 5 = 8 199 5 tn cựng bng 1 Do ú : 91 991 = (92 )99 5 .9 cú ch s tn cựng l 9 c 3 199 1 = (34) 497 .33 = 81 497 .27 Suy ra 3 199 1 cú ch s tn cựng l 7 d 2 199 1... t nhiờn u tiờn ? b Tỡm kt qu ca dóy tớnh : 99 97 + 95 93 + 91 89 + +3 1 = ? Gii : a Ta thy 1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 T 1 n 100 cú tt c 50 cp nh vy, m mi cp cú tng bng 101 nờn : 1 + 2 + 3 +98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99 ) + +(50 + 51) = = 101 50 = 5050 b Ta thy 99 97 + 95 93 + 91 89 + +3 1 = = (99 97 ) + (95 93 ) + + (3 1) õy chớnh l tng ca tng cp hiu hai s l lin nhau cu... Chia ht cho 3 v 9: * Nhn xột: S d ca phộp chia mt s nguyờn cho 3 v 9 bng s d ca phộp chia tng cỏc ch s ca s ú cho 3 v 9 Tht vy: 10 = 9 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1 100 = 99 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1 10n = 99 9 + 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1 Vỡ vy mt s abcd = 1000a + 100b + 10c + d = = a(Bs9 + 1) + b(Bs9 + 1) + c(Bs9 + 1) + d = aBs9 + a + bBs9 + b + cBs9 + c + d = Bs9(a = b = c) + a = b = c = d = Bs9 + (a + b + c... phộp chia trờn gi l s d ỏp chút rn (trong nh lut C lit) Vớ d: Tỡm USCLN ca 195 21 v 1357 ? * Ta cú 195 21 : 1357 = 14 d 253 1357 : 253 = 5 d 92 253 : 92 = 2 d 69 92 : 69 = 1 d 23 69 : 23 = 3 d 0 USCLN ( 195 21, 1357) = 23 * Khi thc hnh ta t: Thng s Phộp chia S d 14 5 195 21 1357 253 253 92 69 USCLN ( 195 21, 1357) = 23 2 92 23 1 69 0 3 23 d Cỏch tỡm USCLN ca 2 s: Cú 2 cỏch Cỏch 1: * Nu a chia ht cho b thỡ... 99 999 3 199 9 55557 199 7 Chng minh rng A chia ht cho 5 Gii: chng minh A chia ht cho 5, ta xột ch s tn cựng ca A bng vic xột ch s tn cựng ca tng s hng Ta cú: 3 199 9 = (34) 499 .33 = 81 499 .27 Suy ra s b tr cú s tn cựng bng 7 Mt khỏc: 7 199 7 =(74) 499 .7 = 2041 499 .7 Do ú s tr cng cú tn cựng bn 7 Vy A tn cựng bng (7 7=) 0, nờn A chia ht cho 5 11 Cho s t nhiờn A ngi ta i ch cỏc ch s ca A c s B gp ba ln s A Chng minh... hoc l 0, 3, 9 hoc l 1, 4, 7 hoc l 2, 5, 8 Do ú s cỏc s cú 5 ch s chia ht cho 3 m khụng cú ch s 6 no l: 8 .9. 9 .9. 3 = 17 496 (s) Vy s cỏc s cú 5 ch s tho món c hai iu kin ca u bi l: 30000 17 796 = 12504 (s) 15 Chng minh rng A = 10n + 18n 1 chia ht cho 27 Gii: Ta vit s A di dng sau: A = 10n + 18n 1 = 10n 1 9n + 27 n GV: Lờ Chớ Tụn 24 Chuyờn bi dng hc sinh gii = 99 9 { 9n + 27n n = 9( 11 1 { n)... chia ht cho 4 34x5y M9 ta phải có (3 + 4 +x + 5 + y) M9 Vỡ x v y l cỏc ch s nờn ch cú th x + y = 6 hoc x + y = 15 Mt khỏc 34x5y M4 nên 5y M4, suy ra y = 2 hoặc y = 6 Kt hp vi cỏc iu kin trờn, ta cú : Nu y = 2 thỡ x = 6 2 = 4 Nu y = 6 thỡ x = 6 6 = 0 hoc x = 15 6 = 9 Vy cỏc s phi tỡm l : 34452 ; 34056 ; 3 495 6 10 Cho A = 99 999 3 199 9 55557 199 7 Chng minh rng A chia ht cho 5 Gii: chng minh A chia... l 9 cú 3 + 9 + 9 = 21 S phi tỡm l 399 21 Tng ca mt s t nhiờn v cỏc ch s ca nú bng 23 59 Tỡm s t nhiờn ú? Gii: Theo u bi ta thy ngay s ú phi nh hn 23 59 S ú cựng lm cú 4 ch s nờn tng cỏc ch s ca nú khụng vt quỏ 9. 4 = 36 Do ú, s t nhiờn phi tỡm ln hn: 23 59 36 = 2323 Vy s ú cú dng 23ab (a, b là các chữ số và a 2) 23ab + 2 + 3 + a + b = 23 59 2300 + ab + 5 + a + b = 23 59 10a + b + a + b + 2305 = 23 59. .. - baba)M9 và 101 (a > b) Gii: GV: Lờ Chớ Tụn 22 Chuyờn bi dng hc sinh gii abab - baba = (1000a + 100b + 10a + b) - (1000b + 100a + 10b + a) = (1000 + 10 - 100 - 1)a - (1000 + 10 - 100 - 1)b = 90 9a - 90 9b = 9 101.(a - b) Vy: vi a > b ta cú (abab - baba)M9 và 101 9 Tỡm tt c cỏc s cú 5 ch s cú dng : 34x5y m chia ht cho 36 Gii: Vỡ 36 = 9. 4 nờn s 34x5y va chia ht cho 9 va chia ht cho 4 34x5y M9 ta phải... 15000 (1) A = 393 q1 + 210 (2) A = 655q2 + 210 (3) (q1, q2 N) T (2) v (3) ta suy ra A 210 chia ht cho 393 v 655 tc l A 210 chia ht cho [ 393 ,655] = 196 5 Do ú A 210 = 196 5 q (q N), nờn A = 196 5q + 210 T (1) suy ra q ch cú th bng 5, 6, 7 Vi q = 5 thỡ A = 196 5.5 + 210 = 10035 Vi q = 6 thỡ A = 196 5.6 + 210 = 12000 Vi q = 7 thỡ A = 196 5.7 + 210 = 1 396 5 Vy cỏc s phi tỡm l: 10035, 12000, 1 396 5 14 Cho cỏc