Đề học sinh giỏi toán 8

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 THANH OAI Môn: Toán TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1( điểm): Cho biểu thức : 2x  2x   21  x  x   1  : 2 x  12 x  13 x  x  20 x  x  x     P= a) Rút gọn P x  b) Tính giá trị P c) Tìm giá trị nguyên x để P đạt giá trị nguyên d) Tìm x để P có trị dương 1   0 x y z Câu (2,0 điểm): Cho x, y, z đôi khác A yz xz xy   x  yz y  2xz z  xy Tính giá trị biểu thức: Câu (3,0 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Câu (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA ' HB' HC '   AA' BB' CC' a) Tính tổng b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB  BC  CA) 4 AA'  BB'  CC'2 c) Chứng minh rằng: Câu 5(3,0 điểm): 1   9 a b c a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 PHÒNG GD&ĐT ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Toán THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Toán Câu 1: Phân tích : 4x2 -12x + = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ 3 x  ;x  ;x  ;x  ;x  2 Điều kiện : 0,5đ 2x  2x  a) Rút gọn P = x  2đ 1 x 2 x 1 b) x +) không TMĐKXĐ x 1 +)  (TMĐKXĐ ) …P = 2x  2x  c) P = Ta có : = 1+2/2x-5 1 Z Vậy P Z 2x–5  Ư(2) Mà ¦(2) = { -2; -1; 1; 2}  x – = -2 x = 3/2 (KTMĐK) 1đ  2x – = -1 x = (TMĐK)  2x–5=1 x = (TMĐK)  2x – = KL: x  x = 7/2 (KTMĐK) {2; 3} P nhận giá trị nguyên 1đ 2x  2x  d) P= 0,25đ Ta có : x – > x – Có P > :  *) x – 5>  2x >  hoặc*) x – 3 /2  2x x > /2 ; x ≠ x< 3/2 ; x ≠ ½; x ≠-3/2 ; x≠7/4 P > 0,25đ Câu (2,0 điểm): xy  yz  xz 1 0  xy  yz  xz 0   0  xyz x y z  yz = –xy–xz ( 0,5điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) A yz xz xy   ( x  y)( x  z) ( y  x )( y  z) ( z  x )( z  y) Do đó: ( 0,5điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm ) Câu (3 điểm): abcd Gọi a, b, c, d 9, a 0  số phải tìm (a, b, c, d N, ) abcd k  Ta có: với k, m (0,5điểm) 31  k  m  100 N, (a  1)( b  3)(c  5)(d  3) m  abcd k abcd  1353 m (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33  m+k = 123 m–k = 11 m = 67  ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 41 m–k = 33 k =56 m = 37 k=4 (0,25điểm) abcd Kết luận Câu (6 điểm): = 3136 (0,25điểm) Vẽ hình S HBC S ABC (0,5điểm) HA '.BC HA '   AA' AA'.BC a) ; (0,5điểm) S HAB HC ' S HAC HB'   S ABC CC' S ABC BB' Tương tự: ; (0,5điểm) HA ' HB' HC ' S HBC S HAB S HAC      1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,5điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC   1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI.AN.CM BN.IC.AM (1điểm )  c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm)  - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)  - BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2   AB + AD (BC+CD)2 (0,25điểm)  2 (BC+AC)2 AB + 4CC’  4CC’ (BC+AC)2 – AB2  Tương tự: 4AA’ (AB+AC)2 – BC2  4BB’ (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)  2 -Chứng minh : 4(AA’ + BB’ + CC’ )  (AB+BC+AC)2 ( AB  BC  CA) 4 AA'2  BB'2  CC'2 (0,25điểm)  (Đẳng thức xảy  BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC   ABC đều) Câu 5:(3 điểm) (0,25điểm)  b c      a a a  a c    1  b b  b a b   c  1 c  c  a Từ: a + b + c = 1 1 b c  a b  a  c             a b c c b  b a  c  a  3  2   (1,5 điểm)  Dấu xảy a=b=c= b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab =  (a – 1).(b – 1) =  a = hoÆc b = Vì a = => b2000 = b2001 => b = hoÆc b = (lo¹i) Vì b = => a2000 = a2001 => a = hoÆc a = (lo¹i) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1,5 điểm)