tuyển tập 40 đề học sinh giỏi toán lớp 8

tuyển tập 40 đề học sinh giỏi toán lớp 8

Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : +x x2 −x x −3 x A =( − − ):( ) −x x −4 + x x −x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = Gv: Nguyễn Văn Tú Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : Năm học: 2011-2012 0,5 5,0 3,0 2 − x ≠  x ≠ x − ≠   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠  x − 3x ≠ x ≠   2 x − x ≠  1,0 + x x2 2− x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) A=( − − ):( )= = − x x − + x x − x3 (2 − x)(2 + x) x ( x − 3) 1,0 x2 + 8x x (2 − x ) = (2 − x )(2 + x) x − = 0,5 x( x + 2) x(2 − x) 4x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 0,25 4x Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ A = 0,25 x −3 b 1,0 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ ⇔ x−3> ⇔ x > 3(TMDKXD ) 4x >0 x −3 0,25 0,25 0,25 1,0 Vậy với x > A > c x − = x−7 = ⇔   x − = −4  x = 11(TMDKXD ) ⇔  x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 0,25 0,5 0,25 121 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = ⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Gv: Nguyễn Văn Tú a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Ta có : Năm học: 2011-2012 x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z xy xz yz ⇔ + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 a b c abc x2 y2 z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D K a 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b · · Ta có: · ABC = · ADC ⇒ HBC = KDC Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) ⇒ b, CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g − g ) AF AK = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC CF AH = ⇒ AB AH = CF AC Mà : CD = AB ⇒ AB AC ⇒ 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ SỐ Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2011-2012 Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 + ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) − 24 b Giải phương trình: x4 − 30x2 + 31x − 30 = c Cho Câu2 a b c a2 b2 c2 + + = Chứng minh rằng: + + =0 b + c c + a a+ b b + c c + a a+ b   10 − x2   x A = + + ÷:  x − + x + ÷  x − 2− x x + 2   Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết |x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 1 + + ≥9 a b c HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Câu (6 điểm) Đáp án 4 Điểm a x + = x + 4x + - 4x = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x4 − 30x2 + 31x − 30 = (x ) (2 điểm) (2 điểm) − x + ( x − 5) ( x + 6) = (*) Vì x2 - x + = (x - 12 ) + >0 ∀x  (*) (x - 5)(x + 6) = x − = ⇔ x + =   Gv: Nguyễn Văn Tú x = x = −  Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP a b c + + =1 b + c c + a a+ b với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm   10 − x2   x A = + + :  x − 2+ Biểu thức: ÷ ÷ x+   x − 2− x x + 2  −1 a Rút gọn kq: A = x− 1 −1 b x = ⇒ x = x = 2 c Nhân vế của: Câu (6 điểm) 4 A = c A < ⇔ x > −1 d A ∈ Z ⇔ ∈ Z ⇒ x ∈ { } ;3 x− ⇒A= HV + GT + KL (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E A (2 điểm) B (1 điểm) F M D Câu (6 điểm) Câu 4: (2 điểm) C AE = FM = DF ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm b DE, BF, CM ba đường cao ∆EFC ⇒ đpcm a Chứng minh: c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ⇒ ME + MF = a không đổi ⇒ SAEMF = ME.MF lớn ⇔ ME = MF (AEMF hình vng) ⇒ M trung điểm BD b c 1  a = 1+ a + a  a c 1 a Từ: a + b + c = ⇒  = 1+ + b b b a b 1  c = 1+ c + c  1  a b  a c  b c  ⇒ + + = 3+ + ÷+  + ÷+  + ÷ a b c  b a   c a  c b  ≥ 3+ 2+ + 2= Gv: Nguyễn Văn Tú (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) (1 điểm) Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Dấu xảy ⇔ a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab =  (a – 1).(b – 1) =  a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 im) Đề thi S Câu : (2 ®iĨm) Cho P= a − 4a − a + a − 7a + 14a − a) Rót gän P b) T×m giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phơng trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh r»ng : A= a b c + + ≥3 b+c −a a +c −b a +b−c C©u : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi đáp án ®Ò thi häc sinh giái Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Nm hc: 2011-2012 Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a ≠ Rót gän P= b) (0,5®) P= 0,25 a +1 a −2 0,25 a −2+3 =1+ ; ta thấy P nguyên a-2 ớc 3, a2 a mà Ư(3)= { ;1; ;3} 0,25 { Từ tìm đợc a 1;3;5} 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta có a+b chia hÕt cho [ 0,25 ] Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a + 2ab + b ) − 3ab = [ =(a+b) ( a + b) − 3ab ] 0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; [ ] Do vËy (a+b) ( a + b) − 3ab chia hÕt cho 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 ≥ nên P=(x2+5x)2-36 -36 0,5 0,25 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm đợc x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ 6; x 0,25 Phơng trình trở thành : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Nm hc: 2011-2012 (x+13)(x-2)=0 Từ tìm đợc x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Tõ ®ã suy a= y+z x+z x+y ;b = ;c = ; 2 Thay vµo ta ®ỵc A= 0,5 y+z x+z x+y 1 y x x z y z  + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y  0,25 Tõ ®ã suy A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ 0,25 C©u : (3 đ) a) (1đ) Trong tam giác BDM ta cã : D1 = 120 − M Vì M =600 nên ta có Suy ˆ ˆ : M = 120 − M ˆ ˆ D1 = M x Chøng minh BMD CEM (1) Suy Vì b) (1đ) Tõ (1) suy 0,5 E BD CM = , từ BD.CE=BM.CM BM CE BC BM=CM= , nên ta cã y A BC BD.CE= D B 2 M C 0,5 BD MD = mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD = BM EM Chøng minh ∆BMD ∾ ∆MED 0,5 ˆ ˆ Tõ ®ã suy D1 = D2 , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác cđa gãc CED 0,5 c) (1®) Gäi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dơng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đợc giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + ) ( a + ) + 15 Câu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: ( x − a ) ( x − 10 ) + phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x − 3x + ax + b chia hết cho đa thức B ( x ) = x − x + Caâu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P= Câ u 2ñ 1 1 + + + + với x * x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ) ⇔ x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔( (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 + 1) + ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + ⇔ 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Gv: Nguyễn Văn Tú (0,25đ) 33 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 1 1 1 1 1 < + + − − − ) = (0,5đ) Vì ⇔ ( x + 2009)( < ; ; 2008 2005 2007 2004 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 < 2006 2003 1 1 1 + + − − − - 1® 1® VËy nghiƯm cđa phơng trình x > - Bài 5: Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > 0,5 đ Vậy số ngày tổ đà thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) 0,5 đ - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 0,5 ® ⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70 0,5 ® ⇔ x = 10 (thoả mÃn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày 1đ Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) Xét ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc góc) 1đ b) áp dụng pitago vuông ABC 1đ ta có : BC = AB + AC = 15 + 20 = 625 = 25 (cm) v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn Gv: Nguyễn Văn Tú AB AC BC 15 20 25 = = hay = = HB HA BA HB HA 15 36 1® Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 20.05 = 12 (cm) 25 15.15 = (cm) 25 ⇒ AH = BH = 1® HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25 − BH = − = 3,5(cm) 2 = 12 3,5 = 21 (cm2) c) HM = BM – BH = SAHM = AH HM - Vẽ hình: 1đ A B H M 1® C ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 b) x − 17 x − 21 x + + + =4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + =0 x y z yz xz xy A= + + x + yz y + xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đơi khác Tính giá trị biểu thức: Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm Tính tổng a) HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM c) Chứng minh rằng: (AB + BC + CA ) ≥ AA' + BB' + CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 Gv: Nguyễn Văn Tú ( điểm ) ( điểm ) 37 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = Năm học: 2011-2012 ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): 1 xy + yz + xz + + =0 ⇒ = ⇒ xy + yz + xz = ⇒ x y z xyz yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A = ( x − y)( x − z) + ( y − x )( y − z) + (z − x )(z − y) ( 0,25điểm ) Tính A = • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈ N, Ta có: ( 0,5 điểm ) ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ abcd = k (a +1)(b +3)(c +5)(d +3) = m (0,25điểm) với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 abcd = k abcd +1353 = m (0,25điểm) ⇔ ⇔ đó: m2–k2 = 1353 Do ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) • Bài (4 điểm): Vẽ hình HA'.BC S HBC HA' =2 = a) S ; AA' ABC AA'.BC S HAB HC' S HAC HB' = = Tương tự: S ; S CC' BB' ABC ABC B HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,25điểm) A (0,25điểm) C’ H N x B’ M I A’ (0,25điểm) C (0,25điểm) D b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: Gv: Nguyễn Văn Tú 38 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒BI AN.CM = BN.IC.AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD - ∆BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 ⇔ ( AB + BC + CA ) ≥4 AA' + BB'2 + CC'2 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ABC u) Đề S 22 Câu 1: (5điểm) a, b, B Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n + 3n + 2n + 6n − = n2 + D= n5-n+2 số phơng Chứng minh : c, Câu 2: (5điểm) a, a b c + + =1 ab + a + bc + b + ac + c + (n ≥2) biết abc=1 Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 b, c, Câu 3: (5điểm) a, Có giá trị số nguyên a2 b2 c2 c b a + + ≥ + + b2 c2 a2 b a c Giải phơng trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh: 1 + = AB CD EF c, Gäi Klµ điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF Gv: Nguyễn Văn Tú 39 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2011-2012 C©u Nội dung giải a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 Điể m 0,5 0,5 ®ã A=5 B=n2+3n- b, (2®iĨm) n +2 B có giá trị nguyên n2+2 n2+2 ớc tự nhiên Câu n2+2=1 giá trị thoả mÃn n=0 Với n=0 B có giá trị (5điể Hoặc n +2=2 nguyên m) c, (2®iĨm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [ ( n − 4) + 5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2) (n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2  (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1  VËy D chia d Do ®ã số D có tận 7nên D số phơng Vậy giá trị n để D số phơng a, (1®iĨm) ac abc c + + abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + ac abc c abc + ac + 0,5 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 ⇒ 2(ab+ac+bc) =2(a b +a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 Gv: Nguyễn Văn Tú 0,5 0,5 0,5 b, (2®iĨm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8 abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 Câu a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) Mặt khác (5điể 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) m) V× a+b+c=0 0,5 0,5 0,5 a b c + + = ab + a + bc + b + ac + c + = + ac + c + c + + ac + ac + c + = abc + ac + = 0,5 40 0,5 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm hc: 2011-2012 c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x +y ≥ 2xy DÊu b»ng x=y a2 b2 a b a + ≥ = ; b c c b c 2 c b c b b + ≥ = 2 a c a a c a2 c2 a c c + ≥ = ; b a b b a 0,5 0,5 0,5 Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 2( a b2 c2 a c b a b2 c2 a c b + + ) ≥ 2( + + ) ⇒ + + ≥ + + b2 c a c b a b c a c b a x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 + + =0 86 84 82 a, (2®iĨm) ⇔ ⇔ 1   + + =0  86 84 82  ⇔ (x-300)  1,0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S = 0,5 {300} b, (2điểm) 2x(8x-1) 2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) Câu = 72 Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 (5điể ⇔ k2=72,25 ⇔ k=± 8,5 m) Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1) (4x+1)=0; ⇒ x= ; x = −1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Víi k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x1)2+8=0 vô nghiÖm 1 −1    VËy S = 2 , 0,5 c, (1®iĨm) x -y +2x-4y-10 = ⇔ (x +2x+1)2 (y +4y+4)-7=0 0,5 2 ⇔ (x+1) -(y+2) =7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng (x,y)=(3;1) Gv: Nguyn Văn Tú 2 41 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 0,5 A CBA B a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S (cùng đáy đờng cao) 0,5 K O S DAB –SAOB = S CBA- SAOB E F I Hay SAOD = SBOC N M C D 0,5 1,0 0,5 Câu (5điể m) EO AO = Mặt khác AB//DC DC AC AB AO AB AO AB AO EO AB = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 1 = ⇒ = ⇒ + = ⇒ DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF b, (2điểm) Vì EO//DC 1,0 1,0 c, (2điểm) +Dựng trung tun EM ,+ Dùng EN//MK (N ∈ DF) +KỴ đờng thẳng KN đờng thẳng phải dựng Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN KIẾM TIỀN QUA MẠNG VIỆT NAM Quý thầy cô bạn dành thêm chút thời gian để đọc giới thiệu sau tri ân người đăng tài liệu cách dùng Email mã số người giới thiệu tơi theo hướng dẫn sau Nó mang lại lợi ích cho thầy bạn, đồng thời tri ân với người giới thiệu mình: Kính chào q thầy bạn Lời cho phép gửi tới quý thầy cô bạn lời chúc tốt đẹp Khi thầy cô bạn đọc viết nghĩa thầy bạn có thiên hướng làm kinh doanh Nghề giáo nghề cao quý, xã hội coi trọng tôn vinh Tuy nhiên, có lẽ tơi thấy đồng lương q hạn hẹp Nếu khơng phải mơn học chính, khơng có dạy thêm, liệu tiền lương có đủ cho nhu cầu thầy Còn bạn sinh viên…với thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ? Bản thân tơi giáo viên dạy mơn TỐN thầy hiểu tiền lương tháng thu Vậy làm cách để kiếm thêm cho 4, triệu tháng ngồi tiền lương Thực tế thấy thời gian thầy cô bạn lướt web ngày tương đối nhiều Ngồi mục đích kiếm tìm thơng tin phục vụ chun mơn, thầy bạn cịn sưu tầm, tìm hiểu thêm nhiều lĩnh vực khác Vậy không bỏ ngày đến 10 phút lướt web để kiếm cho 4, triệu tháng Điều có thể? Thầy bạn tin vào điều Tất nhiên thứ có giá Để quý thầy cô bạn nhận 4, triệu tháng, cần địi hỏi thầy bạn kiên trì, chịu khó Gv: Nguyễn Văn Tú 42 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2011-2012 biết sử dụng máy tính chút Vậy thực chất việc việc làm nào? Q thầy bạn đọc viết tôi, có hứng thú bắt tay vào cơng việc Thầy cô nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng Chắc chắn có Tuy nhiên internet có nhiều trang Web kiếm tiền khơng uy tín ( trang web nước ngoài, trang web trả thù lao cao ) Nếu web nước ngồi gặp nhiều khó khăn mặt ngơn ngữ, web trả thù lao cao khơng uy tín, nhận tương xứng với cơng lao chúng ta, thật Ở Việt Nam trang web thật uy tín : http://satavina.com Lúc đầu thân thấy không chắn cách kiếm tiền Nhưng hồn tồn tin tưởng, đơn giản tơi nhận tiền từ công ty.( thầy cô bạn tích lũy 50.000 thơi u cầu satavina toán cách nạp thẻ điện thoại tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm chẳng bao nhiêu, sau số tiền kiếm tăng lên Có thể thầy bạn nói: vớ vẩn, chẳng tự nhiên mang tiền cho Đúng chẳng cho khơng thầy cô bạn tiền đâu, phải làm việc, phải mang lợi nhuận cho họ Khi đọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa mang doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm phải có cháo mà ăn chứ, khơng dại mà làm việc cho họ Vậy làm Thầy cô bạn làm nhé: 1/ Satavina.com cơng ty nào: Đó công ty cổ phần hoạt động nhiều lĩnh vực, trụ sở tòa nhà Femixco, Tầng 6, 231-233 Lê Thánh Tơn, P.Bến Thành, Q.1, TP Hồ Chí Minh GPKD số 0310332710 - Sở Kế Hoạch Đầu Tư TP.HCM cấp Giấy phép ICP số 13/GP-STTTT Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận Thành Phố HCM Khi thầy cô thành viên công ty, thầy cô hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cáo xem video quảng cáo( tiền trích từ tiền thuê quảng cáo công ty quảng cáo thuê satavina) 2/ Các bước đăng kí thành viên cách kiếm tiền: Để đăng kí làm thành viên satavina thầy làm sau: Bước 1: Nhập địa web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, khơng nên dùng trình duyệt explorer) Giao diện sau: Để nhanh chóng quý thầy bạn coppy đường linh sau: Gv: Nguyễn Văn Tú 43 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 ( Thầy cô bạn điền thông tin Tuy nhiên, chức đăng kí thành viên mở vài lần ngày Mục đích để thầy bạn tìm hiểu kĩ cơng ty trước giới thiệu bạn bè ) Bước 2: Click chuột vào mục Đăng kí, góc bên phải( khơng có giao diện bước thời gian đăng kí không liên tục ngày, thầy cô bạn phải thật kiên trì) Bước 3: Nếu có giao diện thầy cô khai báo thông tin: Thầy cô khai báo cụ thể mục sau: Gv: Nguyễn Văn Tú 44 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 + Mail người giới thiệu( mail tôi, thành viên thức): hoangngocc2tmy@gmail.com + Mã số người giới thiệu( Nhập xác) : 66309 Hoặc quý thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 + Địa mail: địa mail thầy cô bạn Khai báo địa thật để cịn vào kích hoạt tài khoản sai thầy cô bạn thành viên thức + Nhập lại địa mail: + Mật đăng nhập: nhập mật đăng nhập trang web satavina.com + Các thông tin mục: Thông tin chủ tài khoản: thầy cô bạn phải nhập xác tuyệt đối, thơng tin nhập lần nhất, không sửa Thông tin liên quan đến việc giao dịch sau Sai không giao dịch + Nhập mã xác nhận: nhập chữ, số có bên cạnh vào ô trống + Click vào mục: đọc kĩ hướng dẫn + Click vào: ĐĂNG KÍ Sau đăng kí web thơng báo thành cơng hay không Nếu thành công thầy cô bạn vào hịm thư khai báo để kích hoạt tài khoản Khi thành công quý thầy cô bạn vào web có đầy đủ thơng tin cơng ty satavina cách thức kiếm tiền Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina mang lại cho thầy cô Hãy bắt tay vào việc đăng kí, khơng gì, chút thời gian ngày mà thơi Kính chúc q thầy bạn thành cơng Nếu q thầy có thắc mắc q trình tích lũy tiền gọi trực tiếp mail cho tôi: Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú hoangngocc2tmy@gmail.com Mã số người giới thiệu: 66309 Quý thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 Email người giới thiệu: 2/ Cách thức satavina tính điểm quy tiền cho thầy bạn: + Điểm thầy cô bạn tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo xem video quảng cáo Nếu tích lũy điểm từ thầy bạn tháng khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cô cần phát triển mạng lưới bạn bè thầy cô bạn 3/ Cách thức phát triển mạng lưới: - Xem quảng cáo video: 10 điểm/giây (có 10 video quảng cáo, video trung bình phút) - Đọc tin quảng cáo: 10 điểm/giây (hơn tin quảng cáo) _Trả lời phiếu khảo sát.:100,000 điểm / _Viết Trong ngày bạn cần dành phút xem quảng cáo, bạn kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, bạn kiếm 300đồng - Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi Mức bạn), 10 người dành phút xem quảng cáo ngày, công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Cũng tương tự 10 Mức bạn giới thiệu người 10 người bạn có 100 người (gọi mức bạn), cơng ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Tương tự vậy, công ty chi trả đến Mức bạn theo sơ đồ sau : - Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn 3.000đồng/ngày → 90.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn 30.000đồng/ngày → 900.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn 300.000đồng/ngày Gv: Nguyễn Văn Tú 45 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 → 9.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn 3.000.000đồng/ngày → 90.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn 30.000.000đồng/ngày → 900.000.000 đồng/tháng Tuy nhiên thầy cô bạn không nên mơ đạt đến mức Chỉ cần cố gắng để 1tháng 1=>10 triệu ổn Như thầy cô bạn thấy satavina không cho không thầy cô bạn tiền khơng Vậy đăng kí giới thiệu mạng lưới Lưu ý: Chỉ thầy bạn thành viên thức thầy cô bạn phép giới thiệu người khác Hãy giới thiệu đến người khác bạn bè thầy cô bạn giới thiệu quan tâm đến người mà bạn giới thiệu chăm sóc họ( thành viên thầy bạn có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè thay nội dung mục thông tin người giới thiệu thông tin thầy cô bạn Chúc quý thầy cô bạn thành cơng kiếm khoản tiền cho riêng Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú Email người giới thiệu: hoangngocc2tmy@gmail.com Mã số người giới thiệu: 66309 Q thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 Website: http://violet.vn/nguyentuc2thanhmy HÃY KIÊN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CƠNG Chúc bạn thành cơng! Gv: Nguyễn Văn Tú 46 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Gv: Nguyễn Văn Tú Năm học: 2011-2012 47 Trường THCS Thanh Mỹ ... 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 + + =0 86 84 82 a, (2®iĨm) ⇔ ⇔ 1   + + =0  86 84 82  ⇔ (x-300)  1,0 ⇔... (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) (1 điểm) Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Dấu xảy ⇔ a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000... ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 0,25 18( x+7)- 18( x+4)=(x+7)(x+4) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm hc: 2011-2012