Đề học sinh giỏi Toán 8 thi giữa tháng 4

Gồm Đề, đáp án HSG chi tiết lớp 8 môn Toán thi ở thời điểm chương trình giữa tháng 4. Rất phù hợp cho các nhà trường, thầy cô, các em học sinh thi thử cho các đội tuyển, qua đó nắm bắt chất lượng. Cảm ơn mọi người đã quan tâm. đt 0962 78 26 26.

TRƯỜNG TH & THCS THIỆU GIAO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN THI: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 120 phút Câu (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + xy + y − y − x 2) Cho a − 3ab = b3 − 3a b = 10 Tính S = 2016a + 2016b Câu (5,0 điểm)  4x 8x2   x − 2 + : − ÷ 1) Cho biểu thức A =  ÷   + x − x   x − 2x x  Rút gọn biểu thức A tìm giá trị x để A < 2) Chứng minh ( n2 + 3n + 1)2 - chia hết cho 24 với n số tự nhiên Câu (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x3 + 3x = x2 y + 2y + 2) Một đa thức P(x) chia cho x2 + x + dư - x chia cho x2 − x + dư 3x + Tìm số dư phép chia P(x) cho x4 + x2 + Câu (6,0 điểm) Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF 1) Chứng minh AE vng góc với BC 2) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng 3) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB cố định Câu (1,0 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị lớn biểu thức Q = x yz(1+ x ) + 1 + + =1 xy yz xz y zx(1+ y ) + z xy(1+ z ) HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HỐ MƠN THI: TỐN LỚP Bản hướng dẫn chấm có 03 trang TRƯỜNG TH & THCS THIỆU GIAO Câu 1 (1.5 điểm) Hướng dẫn giải điểm x + xy + y − y − x = ( x + xy − x) + (5 xy + y − y ) 0,5 = x( x + y − 1) + y ( x + y − 1) 0.5 0.5 2 2 = ( x + y − 1)( x + y ) Ta có a3 − 3ab2 = ⇒ ( a3 − 3ab2 ) = 25 ⇒ a6 - 6a4b2 + 9a2b4 = 25 0.5 b3 − 3a2b = 10 ⇒ ( b3 − 3a2b) = 100 ⇒ b6 – 6b4a2 + 9a4b2 = 100 0.5 Suy 125 = a6 + b6 + 3a2b4 + 3a4b2 0.5 Hay 125 = ( a2 + b2 ) ⇒ a2 + b2 = 0.5 2 (2.5 điểm) Do S = 2016( a2 + b2 ) = 2016.5=10080 Câu 0.5 điểm 0.5 Điều kiện xác định x ≠ ; x ≠ ± 2; x ≠  4x 8x2   x −  x ( − x ) + 8x x − − ( x − ) + : − ÷= : A=  ÷  x ( x − 2)  + x − x   x − 2x x  ( + x) ( − x) 0.5 8x − 4x2 + 8x2 x −1 − x + 8x + x2 3− x : : = ( + x ) ( − x ) x ( x − 2) ( + x ) ( − x ) x ( x − 2) 0.5 (3 điểm) (2 điểm) 4x ( + x) x ( x − 2) 4x2 = = ( + x) ( − x) − x x−3 4x Vậy A = với x ≠ ; x ≠ ± 2; x ≠ x−3 Với x ≠ ; x ≠ ± 2; x ≠ 4x2 A< ⇔ < ⇔ x - < (do x ≠ nên 4x2 > ) ⇔ x < x−3 Vậy x < ; x ≠ ; x ≠ ± A < ( n2 + 3n + 1)2 - = n( n + 1)(n + 2)(n + 3) Lập luận để tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 Câu x −5 x + 3x -5 ⇔ y= ⇔ y= x+ Ta có x + 3x = x y + 2y +5 (2 điểm) x +2 x +2 0.5 0.25 0.5 0.25 1 điểm 0.5 Ta thấy y nguyên ⇔ x −5 nguyên ⇔ x – chia hết cho x2 + 2 x +2 => (x – 5)(x + 5) chia hết cho x2 + hay x2 + - 27 chia hết cho x2 + => 27 chia hết cho x2 + 2, mà x2 + ≥ nên x2 + ∈ { 3,9, 27} Xét trường hợp ta cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn (-1; -3) (5; 5) Đặt P(x) = ( x + x2 + ) Q(x) + R(x) ( Q(x) đa thức thương, R(x) đa thức dư có bậc ≤ ) => P(x) = ( x + x + )( x2 − x + ) Q(x) + R(x) => P(x) - R(x) M( x + x + )( x2 − x + ) Nghĩa R(x) có số dư với P(x) chia cho x + x + x2 − x + Khi đó: R(x) = ( x + x + )(mx + n) + - x (2 điểm) R(x) = ( x − x + )(px + q) +3x + Do đó: m = p n + m = q − p    n + m − 1= − p + q +  n + 1= q + 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 => m = p = − ; n = ; q = Câu Vậy đa thức dư R(x) phải tìm là: R(x) = −2 x3 + x2 + x + 0.5 điểm C D I H O (6 điểm) A I' E F M B 1) Chứng minh BE//MD Chứng minh BE ⊥ AC Xét tam giác CAB có CM ⊥ AB, AE ⊥ BC ⇒ AE ⊥ BC 0,5 0,75 2, · Gọi O giao điểm AC DM Do AHC = 900 nên OH=AC/2, OH=DM/2 Tam giác MHD có đường trung tuyến HO=DM/2 nên · =900 MHD Chứng minh tương tự  ·MHF = 900 0,75 0,5 0,75 Vây D, H, F thẳng hàng 3) Gọi I giao điểm DF AC, xét tam giác DMF 0,75 có DO=OM, OI//MF nên suy ID=IF Kẻ II’ ⊥ AB, chứng minh I’ trung điểm AB => II’=AB/2, I cố định 0,5 0,75 0,75 1điểm Câu điểm Từ 1 + + = => x + y + z = xyz xy yz xz yz ( + x ) = Ta có Tương tự: Nên Q = = xy ( + z yz + x yz = ) = ( z + y) ( z + x) ; x ( x + y) ( x + z) + y ( y + z) ( y + x) zx ( + y + A.B ≤ A+ B (với A, B >0), Dấu "=" xảy A = B ( x + y) ( x + z) ) = ( y + z ) ( y + x) 0.25 z ( z + x) ( z + y ) x x y y z z + + x+ y x+z x+ y y+z x+z y+z Áp dụng BĐT Ta yz + x ( x + y + z ) = 0.25 0.25 1 x x y y z z  Q≤  + + + + + ÷= 2 x+ y x+ z y+ x y+ z z+ x z+ y  Vậy giá trị lớn Q = x = y = z = Điểm toàn Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm 0.25 20 điểm ... sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình... 3ab2 = ⇒ ( a3 − 3ab2 ) = 25 ⇒ a6 - 6a4b2 + 9a2b4 = 25 0.5 b3 − 3a2b = 10 ⇒ ( b3 − 3a2b) = 100 ⇒ b6 – 6b4a2 + 9a4b2 = 100 0.5 Suy 125 = a6 + b6 + 3a2b4 + 3a4b2 0.5 Hay 125 = ( a2 + b2 ) ⇒ a2 +... 2016.5=10 080 Câu 0.5 điểm 0.5 Điều kiện xác định x ≠ ; x ≠ ± 2; x ≠  4x 8x2   x −  x ( − x ) + 8x x − − ( x − ) + : − ÷= : A=  ÷  x ( x − 2)  + x − x   x − 2x x  ( + x) ( − x) 0.5 8x − 4x2