de chuyên TOAN QN14 15

Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Quảng Nam năm 20142015 có đáp án cụ thể Câu 1b) Cho x, y nguyên dương và x2 + 2y là số chính phương. Chứng minh x2 + y là tổng hai số chính phương Ta có: x2 + 2y là số chính phương nên x2 + 2y = k2 => k2 – x2 = 2y Hay (k – x)(k + x) = 2y là một số chẵn Mặt khác: k – x + k + x = 2k là một số chẵn nên k – x và k + x cùng tính chẵn, lẻ Do đó k – x và k + x là các số chẵn Đặt k – x = 2m và k + x = 2n (m < n) => x = m – n ; y = 2mn x2 + y = (m n)2 + 2mn = m2 + n2 (đpcm)

ĐỀ THI TUYẾN SINH MƠN TỐN CHUN QUẢNG NAM 14-15 (V2) Câu 1: (2 điểm) a) b) Cho a = − ( − 2) + 6−4 + 3−2 Tính M = (a2 + a - 1)2014 Cho x, y nguyên dương x2 + 2y số phương Chứng minh x2 + y tổng hai số phương Câu 2: (2 điểm) a) Giải phương trình − + 2x − x = x +1 + − x  y − y − xy + x = b) Giải hệ phương trình   x + x = y − y + Câu 3: (1 điểm) Cho hàm số y = −3 −3 x + 2m y = x có đồ thị (d) (P) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC G điểm tam giác qua G vã tia vng góc với BC, CA, AB cắt cạnh D, E, F Trên tia GD, GE, GF lấy A/ , B/, C/ cho GA / GB / GC / = = Gọi H điểm đối xứng với A/ BC AC AB qua G a) b) Chứng minh HB///GC/ Chứng minh G trọng tâm tam giác A/B/C/ Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC E D; BD cắt CE H; AH cắt BC I Vẽ tiếp tuyếnAM, AN (O) Chứng minh a) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEI b) MN, BD, CE đồng quy Câu 6: (1 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy có đường thẳng (d): y = 2014 – x cắt Ox A , cắt Oy B Điểm M(x;y) di chuyển đoạn AB (M khơng trùng với A B) Tìm MinP = x 2014 − x + y 2014 − y Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (2 điểm) a) Cho a = Ta có: a = − ( − 2) + 6−4 + 3−2 Tính M = (a2 + a - 1)2014 − ( − 1) + (2 − ) + ( − 1) 2 = − ( − 1)( + 1) − + −1 = -1 M = (a2 + a - 1)2014 = b) Cho x, y nguyên dương x2 + 2y số phương Chứng minh x2 + y tổng hai số phương Ta có: x2 + 2y số phương nên x2 + 2y = k2 => k2 – x2 = 2y Hay (k – x)(k + x) = 2y số chẵn Mặt khác: k – x + k + x = 2k số chẵn nên k – x k + x tính chẵn, lẻ Do k – x k + x số chẵn Đặt k – x = 2m k + x = 2n (m < n) => x = m – n ; y = 2mn x2 + y = (m - n)2 + 2mn = m2 + n2 (đpcm) Câu 2: (2 điểm) a) Giải phương trình x +1 + − x − + x − x = (1) Điều kiện: -1 ≤ x ≤ Đặt a = x + + − x => a = + ( x + 1)(3 − x) => (1) => a2 − + 2x − x = 2 a2 − = => – a3 + 4a = 2a a a3 – 2a – = => a = Với a = => x + + − x =2 x +1 = - 3− x => x + = – − x + – x => 2x – = – − x => x – = – − x => x – 6x + = 4(3 – x) => x – 2x - = => x = -1 x = Vậy x = -1; x =  y − y − xy + x = 0(1) b) Giải hệ phương trình   x + x = y − y + 2(2) từ (1) => (y – 2)(y – 2x) = y = y = 2x Thay y = vào (2) ta được: x3 + 3x2 – = => x = ; x = -2 Thay y = 2x vào (2) ta được: x3 – x2 + 2x – = => x = Vậy (x; y) = (1; 2) ; (-2; 2) Câu 3: (1 điểm) Cho hàm số y = −3 −3 x + 2m y = x có đồ thị (d) (P) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An −3 −3 x + 2m = x 3x2 - 6x + 8m = (1) Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung phương trình (1) ∆/ = − 24m >  8m  >0 Có hai nghiệm dương phân biệt  p = < m <  s = > Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC G điểm tam giác qua G vã tia vuông góc với BC, CA, AB cắt cạnh D, E, F Trên tia GD, GE, GF lấy A/ , B/, C/ cho GA / GB / GC / = = Gọi H điểm đối xứng với A/ BC AC AB qua G a) Chứng minh HB///GC/ b) Chứng minh G trọng tâm tam giác A/B/C/ H đối xứng với A/ qua G nên GH = GA/ GC / GA / GH = = Ta có: AB BC BC ABC = HGC/ => △ABC ~△C/GH (C-G-C) => GC / HC / GH = = AB AC BC GHC/ = ACB Mà GA / GB / GC / = = (gt) BC AC AB HGB/=ACB => HC/ = GB/ ; GHC/ = HGB/ => HC/ = GB/ ; HC/ //GB/ => Tứ giác HB/GC/ hình bình hành => HB/ //GC/ b) Chứng minh G trọng tâm tam giác A/B/C/ Tứ giác HB/GC/ hình bình hành => GH B/C/ cắt tai trung điểm đường => A/G trung tuyến △A/B/C/ Tương tự C/G trung tuyến △A/B/C/ Vậy G trọng tâm tam giác A/B/C/ Câu 5: (2 điểm) Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC E D; BD cắt CE H; AH cắt BC I Vẽ tiếp tuyến AM, AN (O) Chứng minh a) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEI b) MN, BD, CE đồng quy a) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEI (dễ dàng) b)Ta có điểm A, M, I, O, N nằm đường tròn ĐK AO Mặt khác AM2 = AN2 = AE.AB = AH.AI  AHM = AMI AHN = ANI  Mà AMI + ANI = 1800  AHM + AHN = 1800  ba điểm M, H, N thẳng hang Vậy MN, BD, CE đồng quy H Câu 6: (1 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy có đường thẳng (d): y = 2014 – x cắt Ox A , cắt Oy B Điểm M(x;y) di chuyển đoạn AB (M khơng trùng với A B) Tìm x MinP = P= 2014 − x x 2014 − x + y + 2014 − y y 2014 − y x = y + y x = x2 x y + y2 y x ≥ ( x + y) xy ( x + y ) ( x + y) 2 2014 = 4028 P≥ x+ y = 2( x + y ) 2014 2014 Dấu “=” xãy x = y = 1007 Kết luận: MinP = 4028 x = y = 1007 Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An ... tuyến AM, AN (O) Chứng minh a) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEI b) MN, BD, CE đồng quy a) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEI (dễ dàng) b)Ta có điểm A, M, I, O, N nằm đường tròn ĐK AO Mặt