Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên TOAN Lê Quý Đôn Đàng Nẵng năm học 20142015

ĐỀ CHUN LÊ Q ĐƠN ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2014-2015 Bài (2điểm) a) Cho biểu thức P = 2n - 8n + 18n + 28 , với n số tự nhiên Tìm tất số n cho n < 100 P số nguyên b) Cho số x, y, z khác thỏa điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng: 1 1 1 + + = + + x y z x y z Giải phương trình 1 =3 + ( x + 1) x Bài (2điểm) a) Giải hệ phương trình: 2 x y − xy = xy − x + y     ( x + y )1 +  = xy    b) Giải phương trình: 5x2 – (3x + 1) x + - x + = Bài (2,5điểm) a) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2013x + = 0, x3, x4 nghiệm pt x2 + 2014x + = Tính giá trị biểu thức Q = (x1 + x3) (x2 - x3) (x1 + x4) (x2 – x4) b) Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x đường thẳng (Dab) có phương trình y = ax + b với a,b tham số Với giá trị b > 0, có giá trị a để (Dab) (P) cắt hai điểm A, B cho AB = 2? Bài (2,5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) với tâm O, AB CD không song song, I giao điểm AC BD Gọi H, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB ICD a) Chứng minh OHIK hình bình hành b) Giả sử M điểm tùy ý chạy (O) Gọi E, F hình chiếu M AB BD Xác định vị trí M (O) để EF lớn Bài (1 điểm) Với 13 số nguyên dương khác nhau, số ngun dương có chữ số, lấy số 13 số viết liền kề (số viết trước sau số kia) ta số có chữ số (ví dụ với số abc , def ta viết thành abcdef defabc Hỏi có số viết liền kề chia hết cho 11? Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHUYÊN LÊ Q ĐƠN ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2014-2015 Bài (2điểm) a) Cho biểu thức P = 2n - 8n + 18n + 28 , với n số tự nhiên Tìm tất số n cho n < 100 P số nguyên Để P số nguyên 2n, 8n, 18n số phương Giả sử 2n = k2 ; i2 = 18n = 9k2 => i = 3k => i chia hết cho => i chia hết cho (1) (2, 3) = Mặt khác n số tự nhiên n < 100 nên ≤ i ≤ 42 Từ (1) (2) => i ∈ {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42} I 12 18 24 30 36 42 K 10 12 14 n 18 32 50 72 98 Vậy n ∈ {0; 2; 8; 18; 32; 50; 72; 98} b) Cho số x, y, z khác thỏa điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng: 1 1 1 + + = + + x y z x y z 1 2 1 + + + ) = + + + + x y z xy yz xz x y z 1 x+ y+z = + + +2 x y z xyz 1 = + + (Vì x + y + z = 0) x y z 1 Giải phương trình + =3 ( x + 1) x ĐK: x ≠ x ≠ -1 1 + =3 ( x + 1) x2 1 => =4 + + (− x) ( x + 1) (−1) ( 1   =>  + +  = – x + x + – =  − x x + −1 1 1 1 + + = + + = -2 => − x x +1 −1 − x x +1 −1 1 1 + + => =3 => = -1 − x x +1 − x x +1 => - x - + x = 3x2 + 3x => 3x2 + 3x + = vô nghiệm => - x - + x = - x2 - x => x2 + x – = −1+ −1− ; x2 = 2 −1+ −1− Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = 2 x1 = Bài (2điểm) a)Giải hệ phương trình: Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An 2 x y − xy = xy − x + y     ( x + y )1 +  = xy    ĐK: xy ≠ b) Giải phương trình: 5x2 – (3x + 1) x + - x + = Bài (2,5điểm) a) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2013x + = 0, x3, x4 nghiệm pt x2 + 2014x + = Tính giá trị biểu thức Q = (x1 + x3) (x2 - x3) (x1 + x4) (x2 – x4) b) Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x đường thẳng (Dab) có phương trình y = ax + b với a,b tham số Với giá trị b > 0, có giá trị a để (Dab) (P) cắt hai điểm A, B cho AB = 2? Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (Dab) là: x2 = ax + b ⇔ x2 – ax – b = (1) Do b > nên – b < => PT (1) ln ln có hai nghiệm x1; x2 phân biệt => Theo định lý Vi-ét ta có x1 + x2 = a ; x1 x2 = - b (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1.x2 = a2 + 4b Gọi A(x1; x12); B(x2; x22) hai giao điểm (P) (Dab) AB = ( x1 − x ) + a ( x1 − x2 ) = a + 4b + a (a + 4b) =2 a2 + 4b + a4 + 4a2b = a4 + (4b+1) a2 + 4b - = Bài (2,5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) với tâm O, AB CD khơng song song, I giao điểm AC BD Gọi H, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB ICD a) Chứng minh OHIK hình bình hành b) Giả sử M điểm tùy ý chạy (O) Gọi E, F hình chiếu M AB BD Xác định vị trí M (O) để EF lớn Giải: Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An a) C/m OHIK hình bình hành Gọi IK cắt AB P; HI cắt DC Q Ta có ABD = ACD = IKD 1 PIB = KID = KDI = (1800 – IKD) = 900 2 IKD => PBI + PIB = 900 => IK ⊥ AB mà OH ⊥ AB => OH//IK Tương tự HI//OK Vậy OHIK hình bình hành b) Xác định vị trí M (O) để EF lớn Ta có: BEM = BFM = 900 => tứ giác BEFM nội tiếp đường tròn đường kính BM gọi L tâm => ELF = 2EBF mà EBF = ABD không đổi => Nên ELF không đổi Vẻ LJ ⊥ EF => JE = JF = EF => EF = 2EJ = 2ELsinELJ = BMsinABD EF lớn BM đường kính đường tròn (O) Vậy vị trí điểm M đường tròn cho BM đường kính EF lớn 2RsinABD Bài (1 điểm) Với 13 số nguyên dương khác nhau, số ngun dương có chữ số, lấy số 13 số viết liền kề (số viết trước sau số kia) ta số có chữ số (ví dụ với số abc , def ta viết thành abcdef defabc Hỏi có số viết liền kề chia hết cho 11? Giải: Ta có: abcdef = 100000a + 10000b +1000c + 100d + 10e + f = 99990a + 10a + 9999b + b + 990c + 10c + 99d + d + 10e + f = B(11) – a + b – c + d – e + f Do abcdef  11 nên – a + b – c + d – e + f  11 Mặt khác def - abc = 100d + 10e + f - 100a – 10b - c = 99d + d + 10e + f – 99a – a – 10b - c = B(11) + d + f + b – a – e – c  11 Hoàn toàn tương tự trường hợp viết ngược lại Trong 13 số khác có chữ số có có cặp số có số dư chia hai số cho 11 Do có hai cặp số có hiệu chia hết cho 11 Vậy: với hai cặp số ta viết số có chữ số chia hết cho 11 (kể viết trước sau) Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An ... trước sau số kia) ta số có chữ số (ví dụ với số abc , def ta viết thành abcdef defabc Hỏi có số viết liền kề chia hết cho 11? Giải: Ta có: abcdef = 100000a + 10000b +1000c + 100d + 10e + f = 99990a... + 990c + 10c + 99d + d + 10e + f = B(11) – a + b – c + d – e + f Do abcdef  11 nên – a + b – c + d – e + f  11 Mặt khác def - abc = 100d + 10e + f - 100a – 10b - c = 99d + d + 10e + f – 99a