Bài 5. (1.0 điểm) Cho tam giác ABC không đều, Có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi các điểm I và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu IG và IC vuông góc với nhau thì 6ab = (a + b)(a + b + c).
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM 2012
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1 (2.0 điểm)
a) Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x – 1 = 0 (m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x 1 x2 = 2
b) Lập phương trình bậc hai nhận x1 = y1 y2
+ 3 y1 và x2 = y2 y1
+ 3 y2 làm các nghiệm, biết rằng y1; y2 là tập nghiệm của phương trình y2 – 7y + 1 = 0
Bài 2 (2.5 điểm)
a) Giải hệ phương trình
x y y
y x x
2 2
b) Giải phương trình
x = 40 x 45 x + 45 x 72 x + 72 x 40 x
Bài 3 (2.0 điểm)
a) Cho x, y, z, t là bốn số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + t2 ≤ 1 Chứng minh rằng ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2
z y t x z y t
x
b) Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2012
Bài 4 (2.5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AB Biết rằng các cặp đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E và AD, BC cắt nhau tại F hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB Hai đường thẳng CH và
BD cắt nhau tại N
a) Chứng minh rằng: 1
NB
NM DM DB
b) Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCE và CDF cắt nhau tại điểm thứ hai là L Chứng minh rằng Ba điểm E, F, L thẳng hàng
Bài 5 (1.0 điểm)
Cho tam giác ABC không đều, Có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi các điểm I
và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng nếu IG và IC vuông góc với nhau thì 6ab = (a + b)(a + b + c)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (2.0 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2a) Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x – 1 = 0 (m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x 1 x2 = 2
b) Lập phương trình bậc hai nhận x1 = y1 y2
+ 3 y1 và x2 = y2 y1
+ 3 y2 làm các nghiệm, biết rằng y1; y2 là tập nghiệm của phương trình y2 – 7y + 1 = 0
Bài 2 (2.5 điểm)
a) Giải hệ phương trình
x y y
y x x
2 2
Dễ dàng
Bài 2 (1.0 điểm)
b) Giải phương trình
x = 40 x 45 x + 45 x 72 x + 72 x 40 x
Đặt a = 40 x ; b = 45 x ; c = 72 x ; ĐK: a, b, c > 0; 0 < x < 40
Ta có x = ab + bc + ca ; a2 + x = 40 ; b2 + x = 45 ; c2 + x = 72
Từ đó suy ra:
7 2 )
) ( (
45 )
) ( (
40 )
) ( (
c b
c a
c b
b a
c a
b a
=>
5 9
b a
c a
c b
=>
6 2
c
b => x = 36 (thỏa mãn ĐK)
Vậy x = 36
Bài 3 (2.0 điểm)
a) Cho x, y, z, t là bốn số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + t2 ≤ 1 Chứng minh rằng ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2
z y t x z y t
x
HD: A = (xz) 2 (y t) 2 (x z) 2 (yt) 2 = 1 2 (xz yt) 1 2 (xz yt)
A2 = 2 + 2 1 2 (xz yt) 1 2 (xz yt)= 2 + 2 1 4 (xz yt) 2 ≤ 4
=> A ≤ 2 (đpcm)
b) Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2012
HD: x + y = 2 503
Do x, y là các số tự nhiên nên x, ylà các căn bậc hai đồng dạng của 503
Đặt x = a 503 ; y = b 503
Ta có: a + b = 2 => a = 0 ; b= 2 hoặc a = b = 1 hoặc a = 2 ; b = 0
=> (x = 0; y = 2012); (x = 503; y = 503); (x = 2012; y = 0)
Bài 4 (2.5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AB Biết rằng các cặp đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E và AD, BC cắt nhau tại F hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB Hai đường thẳng CH và
BD cắt nhau tại N
c) Chứng minh rằng: 1
NB
NM DM DB
d) Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCE và CDF cắt nhau tại điểm thứ hai là L Chứng minh rằng Ba điểm E, F, L thẳng hàng
a) Ta có: CM là phân giác của góc DCH
=> MD MN CD CN (1)
CB là phân giác của góc NCE
=> DB NB CN CD (2)
Trang 3Từ (1) và (2) => 1
CN
CD CD
CN NB
DB MD MN
NB
NM
DM
DB
b) BCLE nội tiếp => CLE = CBA
ABCD nội tiếp => CBA = CDF
Mà CDF + CLF = 1800
CLE + CLF = 1800
Vậy ba điểm F, L, E thẳng hàng
Bài 5 (1.0 điểm)
Cho tam giác ABC không đều, Có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi các điểm I
và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng nếu IG và IC vuông góc với nhau thì 6ab = (a + b)(a + b + c)
- Vẽ đường thẳng GI cắt AC tại E và BC tại F
- Theo giả thiết GI IC và CI là phân giác nên tam giác CEF cân tại C suy ra CE = CF Gọi khoảng cách từ G đến BC và AC lần lượt là m và n; ha , hb lần lượt là độ dài đường cao
hạ từ A và B suy ra m =
3
a
h
; n =
3
b
h
- Ta có SCIF = SCIE = 21 r.CF
=> SCEF = SCIF + SCIE = SCGE + SCGF = 12 CF.m + 21 CE n = 21 CF(m + n) (vì CE = CF)
=> r.CF = 21 CF(
3
a
h
+
3
b
h
) => 6r = (ha + hb) (1) Mặt khác SABC = 21 r.(a + b + c) = 21 a.ha = 21 b.hb
=> ha =
a
c b a
; hb =
b
c b a
(2)
Trang 4Từ (1) và (2) suy ra 6r = r.( aa bcab bc) => 6 = (a + b + c)(a1 b1)
=> 6ab = (a + b)(a + b + c)