Bài 5. (1.0 điểm) Cho tam giác ABC không đều, Có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi các điểm I và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu IG và IC vuông góc với nhau thì 6ab = (a + b)(a + b + c).
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN LÊ Q ĐƠN NĂM 2012 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Bài (2.0 điểm) a) Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x – = (m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1 x2 = b) Lập phương trình bậc hai nhận x1 = y1 y2 + y1 x2 = y2 y1 + nghiệm, biết y1; y2 tập nghiệm phương trình y2 – 7y + = y2 làm Bài (2.5 điểm) x x y a) Giải hệ phương trình y y x b) Giải phương trình x = 40 x 45 x + 45 x 72 x + 72 x 40 x Bài (2.0 điểm) a) Cho x, y, z, t bốn số thực thỏa mãn điều kiện x + y2 + z2 + t2 ≤ Chứng minh ( x z ) ( y t ) ( x z ) ( y t )2 2 b) Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2012 Bài (2.5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB Biết cặp đường thẳng AB, CD cắt E AD, BC cắt F hai đường chéo AC BD cắt M Gọi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng AB Hai đường thẳng CH BD cắt N a) Chứng minh rằng: DB NM 1 DM NB b) Hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE CDF cắt điểm thứ hai L Chứng minh Ba điểm E, F, L thẳng hàng Bài (1.0 điểm) Cho tam giác ABC không đều, Có cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi điểm I G tâm đường tròn nội tiếp trọng tâm tam giác ABC Chứng minh IG IC vng góc với 6ab = (a + b)(a + b + c) HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (2.0 điểm) a) Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x – = (m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1 x2 = b) Lập phương trình bậc hai nhận x1 = y1 y2 + y1 x2 = y2 y1 + nghiệm, biết y1; y2 tập nghiệm phương trình y2 – 7y + = y2 làm Bài (2.5 điểm) x x y a) Giải hệ phương trình y y x Dễ dàng Bài (1.0 điểm) b) Giải phương trình x = 40 x 45 x + 45 x 72 x + 72 x 40 x Đặt a = 40 x ; b = 45 x ; c = 72 x ; ĐK: a, b, c > 0; < x < 40 Ta có x = ab + bc + ca ; a2 + x = 40 ; b2 + x = 45 ; c2 + x = 72 (a b)(a c) 40 b c 9 a 2 Từ suy ra: (a b)(b c) 45 => a c 8 => b 3 => x = 36 (thỏa mãn ĐK) (a c )(b c ) 72 a b 5 c 6 Vậy x = 36 Bài (2.0 điểm) a) Cho x, y, z, t bốn số thực thỏa mãn điều kiện x + y2 + z2 + t2 ≤ Chứng minh ( x z ) ( y t ) ( x z ) ( y t )2 2 HD: A = ( x z ) ( y t ) ( x z ) ( y t ) = 2( xz yt ) 2( xz yt ) A2 = + 2( xz yt ) 2( xz yt ) = + 4( xz yt ) ≤ => A ≤ (đpcm) b) Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2012 HD: x + y = 503 Do x, y số tự nhiên nên x , y bậc hai đồng dạng 503 Đặt x = a 503 ; y = b 503 Ta có: a + b = => a = ; b= a = b = a = ; b = => (x = 0; y = 2012); (x = 503; y = 503); (x = 2012; y = 0) Bài (2.5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB Biết cặp đường thẳng AB, CD cắt E AD, BC cắt F hai đường chéo AC BD cắt M Gọi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng AB Hai đường thẳng CH BD cắt N c) Chứng minh rằng: DB NM 1 DM NB d) Hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE CDF cắt điểm thứ hai L Chứng minh Ba điểm E, F, L thẳng hàng a) Ta có: CM phân giác góc DCH => MN CN (1) MD CD CB phân giác góc NCE DB CD => (2) NB CN MN DB CN CD 1 Từ (1) (2) => MD NB CD CN DB NM 1 Vậy DM NB b) BCLE nội tiếp => CLE = CBA ABCD nội tiếp => CBA = CDF Mà CDF + CLF = 1800 CLE + CLF = 1800 Vậy ba điểm F, L, E thẳng hàng Bài (1.0 điểm) Cho tam giác ABC khơng đều, Có cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi điểm I G tâm đường tròn nội tiếp trọng tâm tam giác ABC Chứng minh IG IC vng góc với 6ab = (a + b)(a + b + c) - Vẽ đường thẳng GI cắt AC E BC F - Theo giả thiết GI IC CI phân giác nên tam giác CEF cân C suy CE = CF Gọi khoảng cách từ G đến BC AC m n; , hb độ dài đường cao hạ từ A B suy m = - Ta có SCIF = SCIE = h ;n= b 3 r.CF => SCEF = SCIF + SCIE = SCGE + SCGF = 1 CF.m + CE n = CF(m + n) (vì CE = CF) 2 h h CF( a + b ) => 6r = (ha + hb) (1) 3 1 Mặt khác SABC = r.(a + b + c) = a.ha = b.hb 2 r ( a b c) r ( a b c) => = ; hb = (2) a b a b c a b c 1 Từ (1) (2) suy 6r = r.( ) => = (a + b + c)( ) a b a b => r.CF = => 6ab = (a + b)(a + b + c) ... Vậy DM NB b) BCLE nội tiếp => CLE = CBA ABCD nội tiếp => CBA = CDF Mà CDF + CLF = 1800 CLE + CLF = 1800 Vậy ba điểm F, L, E thẳng hàng Bài (1.0 điểm) Cho tam giác ABC khơng đều, Có cạnh BC