1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

ĐỀ CHUYÊN TOÁN LE QUY DON DN

4 124 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 4
Dung lượng 200 KB

Nội dung

Bài 5. (1.0 điểm) Cho tam giác ABC không đều, Có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi các điểm I và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu IG và IC vuông góc với nhau thì 6ab = (a + b)(a + b + c).

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM 2012

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

Bài 1 (2.0 điểm)

a) Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x – 1 = 0 (m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x 1 x2 = 2

b) Lập phương trình bậc hai nhận x1 = y1 y2

+ 3 y1 và x2 = y2 y1

+ 3 y2 làm các nghiệm, biết rằng y1; y2 là tập nghiệm của phương trình y2 – 7y + 1 = 0

Bài 2 (2.5 điểm)

a) Giải hệ phương trình 

x y y

y x x

2 2

b) Giải phương trình

x = 40  x 45  x + 45  x 72  x + 72  x 40  x

Bài 3 (2.0 điểm)

a) Cho x, y, z, t là bốn số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + t2 ≤ 1 Chứng minh rằng ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2

z y t x z y t

x

b) Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2012

Bài 4 (2.5 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AB Biết rằng các cặp đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E và AD, BC cắt nhau tại F hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB Hai đường thẳng CH và

BD cắt nhau tại N

a) Chứng minh rằng:  1

NB

NM DM DB

b) Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCE và CDF cắt nhau tại điểm thứ hai là L Chứng minh rằng Ba điểm E, F, L thẳng hàng

Bài 5 (1.0 điểm)

Cho tam giác ABC không đều, Có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi các điểm I

và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng nếu IG và IC vuông góc với nhau thì 6ab = (a + b)(a + b + c)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1 (2.0 điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2

a) Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x – 1 = 0 (m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x 1 x2 = 2

b) Lập phương trình bậc hai nhận x1 = y1 y2

+ 3 y1 và x2 = y2 y1

+ 3 y2 làm các nghiệm, biết rằng y1; y2 là tập nghiệm của phương trình y2 – 7y + 1 = 0

Bài 2 (2.5 điểm)

a) Giải hệ phương trình 

x y y

y x x

2 2

Dễ dàng

Bài 2 (1.0 điểm)

b) Giải phương trình

x = 40  x 45  x + 45  x 72  x + 72  x 40  x

Đặt a = 40  x ; b = 45  x ; c = 72  x ; ĐK: a, b, c > 0; 0 < x < 40

Ta có x = ab + bc + ca ; a2 + x = 40 ; b2 + x = 45 ; c2 + x = 72

Từ đó suy ra: 

7 2 )

) ( (

45 )

) ( (

40 )

) ( (

c b

c a

c b

b a

c a

b a

=> 

5 9

b a

c a

c b

=>

6 2

c

b => x = 36 (thỏa mãn ĐK)

Vậy x = 36

Bài 3 (2.0 điểm)

a) Cho x, y, z, t là bốn số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + t2 ≤ 1 Chứng minh rằng ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2

z y t x z y t

x

HD: A = (xz) 2  (yt) 2  (xz) 2  (yt) 2 = 1  2 (xzyt)  1  2 (xzyt)

A2 = 2 + 2 1  2 (xzyt) 1  2 (xzyt)= 2 + 2 1  4 (xz  yt) 2 ≤ 4

=> A ≤ 2 (đpcm)

b) Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2012

HD: x + y = 2 503

Do x, y là các số tự nhiên nên x, ylà các căn bậc hai đồng dạng của 503

Đặt x = a 503 ; y = b 503

Ta có: a + b = 2 => a = 0 ; b= 2 hoặc a = b = 1 hoặc a = 2 ; b = 0

=> (x = 0; y = 2012); (x = 503; y = 503); (x = 2012; y = 0)

Bài 4 (2.5 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AB Biết rằng các cặp đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E và AD, BC cắt nhau tại F hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB Hai đường thẳng CH và

BD cắt nhau tại N

c) Chứng minh rằng:  1

NB

NM DM DB

d) Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCE và CDF cắt nhau tại điểm thứ hai là L Chứng minh rằng Ba điểm E, F, L thẳng hàng

a) Ta có: CM là phân giác của góc DCH

=> MD MNCD CN (1)

CB là phân giác của góc NCE

=> DB NBCN CD (2)

Trang 3

Từ (1) và (2) =>   1

CN

CD CD

CN NB

DB MD MN

NB

NM

DM

DB

b) BCLE nội tiếp => CLE = CBA

ABCD nội tiếp => CBA = CDF

Mà CDF + CLF = 1800

 CLE + CLF = 1800

Vậy ba điểm F, L, E thẳng hàng

Bài 5 (1.0 điểm)

Cho tam giác ABC không đều, Có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi các điểm I

và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng nếu IG và IC vuông góc với nhau thì 6ab = (a + b)(a + b + c)

- Vẽ đường thẳng GI cắt AC tại E và BC tại F

- Theo giả thiết GI  IC và CI là phân giác nên tam giác CEF cân tại C suy ra CE = CF Gọi khoảng cách từ G đến BC và AC lần lượt là m và n; ha , hb lần lượt là độ dài đường cao

hạ từ A và B suy ra m =

3

a

h

; n =

3

b

h

- Ta có SCIF = SCIE = 21 r.CF

=> SCEF = SCIF + SCIE = SCGE + SCGF = 12 CF.m + 21 CE n = 21 CF(m + n) (vì CE = CF)

=> r.CF = 21 CF(

3

a

h

+

3

b

h

) => 6r = (ha + hb) (1) Mặt khác SABC = 21 r.(a + b + c) = 21 a.ha = 21 b.hb

=> ha =

a

c b a

; hb =

b

c b a

(2)

Trang 4

Từ (1) và (2) suy ra 6r = r.( aa bcab bc) => 6 = (a + b + c)(a1 b1)

=> 6ab = (a + b)(a + b + c)

Ngày đăng: 17/03/2019, 06:36

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w