cực trị của hàm số

• Tìm f ' (x ) • Tìm các ñiem ( 1,2, 3...) i x i = ti ñó ño hàm bang 0 hoac hàm sô liên tJc nhưng không có ño hàm. • Xét dâu c6a f ' (x ). Nêu f ' (x )ñoi dâu khi x qua ñiem 0 x thì hàm sô có c>c tr- ti ñiem 0 x .

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm cực trị hàm số :

Giả sử hàm số f xác ựịnh trên tập hợp D D( ⊂ ℝ và ) x0 ∈D

0

)

a x ựược gọi là một ựiểm cực ựại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( )a b chứa ựiểm ; x0sao cho

( )a b; ⊂D và f x( ) ( )< f x0 với mọi x ∈( ) { }a b; \ x0 Khi ựó f x( )0 ựược gọi là giá trị cực ựại của hàm số f

0

)

b x ựược gọi là một ựiểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( )a b chứa ựiểm ; x0sao cho

( )a b; ⊂D và f x( ) ( )> f x0 với mọi x ∈( ) { }a b; \ x0 Khi ựó f x( )0 ựược gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Giá trị cực ựại và giá trị cực tiểu ựược gọi chung là cực trị

Nếu x0là một ựiểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f ựạt cực trị tại ựiểm x0

Như vậy : ựiểm cực trị phải là một ựiểm trong của tập hợp D D( ⊂ ℝ )

2 điều kiện cần ựể hàm số ựạt cực trị:

định lý 1: Giả sử hàm số f ựạt cực trị tại ựiểm x0 Khi ựó , nếu f có ựạo hàm tại ựiểm x0thì f'( )x0 = 0Chú ý :

Ớ đạo hàm 'f có thể bằng 0 tại ựiểm x0 nhưng hàm số f không ựạt cực trị tại ựiểm x0

Ớ Hàm số có thể ựạt cực trị tại một ựiểm mà tại ựó hàm số không có ựạo hàm

Ớ Hàm số chỉ có thể ựạt cực trị tại một ựiểm mà tại ựó ựạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại ựó hàm

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

Ớ Tìm các ựiểm x ii ( =1, 2, 3 )tại ựó ựạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có ựạo hàm

Ớ Xét dấu của f '( )x Nếu f '( )x ựổi dấu khi x qua ựiểm x0thì hàm số có cực trị tại ựiểm x0

Quy tắc 2: Áp dụng ựịnh lý 3

Ớ Tìm f '( )x

Ớ Tìm các nghiệm x ii( =1, 2, 3 )của phương trình f '( )x = 0

Ớ Với mỗi xi tắnh f ''( )xi

− Nếu f ''( )xi < thì hàm số ựạt cực ựại tại ựiểm 0 xi

− Nếu f ''( )xi > thì hàm số ựạt cực tiểu tại ựiểm 0 xi

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Vậy hàm số ựạt cực ựại tại ựiểm ( ) 10

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm số ựã cho xác ựịnh và liên tục trên ℝ f x( ) x khi x 00

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

Ta có f '( )x =2 sinx +2 s in2x =2 sinx(1 2 cos+ x)

+ không có cực ựại , cực tiểu

4 Xác ựịnh các giá trị của tham số k ựể ựồ thị của hàm số ( ) 4 ( ) 2

Giải :

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm số ựã cho xác ựịnh trên D = ℝ\{ }m

3 Hàm số ựã cho xác ựịnh trên D = ℝ\{ }−m và có ựạo hàm

g x =mx + m x = x ≠ −m vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Vậy m = thoả mãn yêu cầu bài toán 0

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y' = có một nghiệm duy nhất và '0 y ựổi dấu khi x ựi qua nghiệm ựó Khi ựó phương trình 2 ( )

2kx + − =k 1 0 * vô nghiệm hay có nghiệm kép x = 0

x = −

3 Xác ựịnh giá trị tham số m ựể hàm số ( ) 3 2 ( )

y = f x =x − x + m + x −m − ựạt cực ựại và cực tiểu ựồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu

x

xx

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn −∞ −∞ 5

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ựạt cực ựại tại x = , do ựó 2 m = − thoả mãn 3

mm

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

x = − và ựồ thị của hàm số ựi qua ựiểm A( )1; 0

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm số ựạt cực trị bằng 0 tại ựiểm x = − khi và chỉ khi 2 ( )

2

2 2

0

00

y = f x =x − x + C Hãy xác ựịnh tất cả các giá trị của a ựể ựiểm cực ựại

và ựiểm cực tiểu của ựồ thị ( )C ở về hai phắa khác nhau của ựường tròn (phắa trong và phắa ngoài):

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ựường thẳng 1 5

trị ựồng thời tắch các giá trị cực ựại và cực tiểu ựạt giá trị nhỏ nhất

5 Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số 2 ( )

2CT

yCứ +y > Giải :

12

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Vậy giá trị m cần tìm là 1 3

1

2 <m < ∨m > 2

3 Hàm số ựã cho xác ựịnh trên ℝ và có ựạo hàm y' =3x2 −6x +m2

Hàm số có cực ựại , cực tiểu khi phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt 0 x x1, 2

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

2 2

2 Với giá trị nào của m thì ựồ thị của hàm số 2 ( 2 ) 3

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

thuoảc goùc phaàn tỏ thỏ ù (II)

thuoảc goùc phaàn tỏ thỏ ù (IV)

He ảsoá goùc cuũa tieảm caản xieân nhoũ hôn 0 3

2

10

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

b Viết phương trình ựường thẳng ựi qua hai ựiểm cực trị của ( )C

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm số có hai ựiểm cực ựại và cực tiểu nằm về hai phắa trục tung khi và chỉ khi phương trình

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

3 Hàm số cho xác ựịnh trên ℝ và có ựạo hàm ( ) 2 ( ) ( 2 )

f x = − x + m+ x − m + m− Hàm số ựạt cực tiểu tại một ựiểm có hoành ựộ nhỏ hơn 1 ( ) 2 ( ) ( 2 )

mm

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

đặt A x y( 0; 0).Giả sử ứng với giá trị m =m1 thì A là ựiểm cực ựại và ứng với giá trị m =m2 thì A

là ựiểm cực tiểu của ựồ thị hàm số

đồ thị hàm số có cực ựại , cực tiểu khi y' = có 3 nghiệm phân biệt và '0 y ựổi dấu khi x qua các

nghiệm ựó , khi ựó phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔m > 0

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

1 Hàm số cho xác ựịnh trên ℝ và có ựạo hàm ( )

2

2 3 2 2

)

1)

=+

2 Tìm cực trị của các hàm số sau :

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

2 2 2 2

)

4)

( )

f x = ⇔x = − x =

Hàm số ựạt cực ựại tại ựiểm A( )0;2 và ựạt cực tiểu tại các ựiểm B( ) ( )−1;1 ,C 1;1

3 Chứng minh rằng với mọi m ựồ thị của hàm số y = 4x3 −mx2 −3x +m luôn có cực ựại , cực tiểu

a Tìm các số thực p q sao cho hàm số ựạt cực ựại tại ựiểm , x = − và 2 f ( )−2 = − 2

+ ựồng biến trên mỗi khoảng

(−∞ − và ; 1) (− +∞ Hàm số không có cực ựại , cực tiểu 1; )

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 0

a Chứng minh rằng m ≠ thì ựồ thị của hàm số luôn có cực ựại và cực tiểu Viết phương trình qua 2hai ựiểm cực ựại và cực tiểu ựó

a Với ựiều kiện nào ựể hàm số f có một cực ựại và một cực tiểu ?

)

b Chứng minh rằng nếu giá trị cực ựại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình x3 +px + = có q 0

3 nghiệm phân biệt?

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn )

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

= + ∈ℤ là ựiểm cực tiểu của hàm số

Một bài toán tương tự : f x( )= sin 2x − , ựể ý xét x f'( )x = 0,x ∈ −( π π, )⇒x = ?

( )

Hàm số ựã cho xác ựịnh và liên tục trên ℝ

π π

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

6

xx

x

x

πππ

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn )

23

b Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) ( ) 3 2

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn )

y = x − m+ x + m − x − có cực ựại , cực tiểu x x1, 2ựồng thời hoành ựộ cực ựại,

cực tiểu thỏa mãn ựiều kiện 1 2 ( 1 2)

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn )

e y = f x( )=2x3 +3(m −1)x2 +6 (1 2 )m − m x có cực ựại , cực tiểu thuộc ựường thẳng y = −4x )