Tài liệu được bố cục rõ ràng, gồm có hệ thống lý thuyết, phân loại các dạng bài toán hay gặp về cực trị của hàm số trong các đề thi đại học, cao đẳng; các ví dụ minh hoạ, hệ thống bài tập có đáp án.
Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 6 CHUYỀN ĐỂ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. ĐỊNH NGHĨA (sgk GT12) Khoỏ LTH cp tc nm 2014. Ch 2. Cc tr hm s Dng Bo Quc_THPT Khỏnh Lõm 7 Chỳ ý: 1. Dng cc tr ca hm s bc 3: y f (x) 3 2 0 ax bx cx d a y f (x) cú cc tr y f (x) cú C v CT 0 f x cú 2 nghim phõn bit b 2 3ac > 0 Khi ú, nu x 0 l im cc tr thỡ ta cú th tớnh f(x 0 ) bng hai cỏch: + 3 2 0 0 0 0 ( ) f x ax bx cx d + Ly f(x) chia cho f(x), ta cú: ( ) ( ). '( ) ( ) f x q x f x r x ; ( ) r x Ax B . Khi ú: 0 0 ( ) f x Ax B T ú, ta cng cú: y Ax B l PT ca ng thng i qua hai im cc tr ca th hm s. i vi hm s tng quỏt : y f (x) 3 2 0 ax bx cx d a thỡ ng thng i qua cc i, CT cú phng trỡnh: 2 2 3 3 9 b bc y c x d a a 2. Dng cc tr ca Hm s: y f ( x ) 4 2 0 ax bx c a . Cc tr: Xột 0 f x cú ( ) f x đúng 1 nghiệm có đúng 1 cực trị 1 nghiệm đơn có đúng 2 nghiệm 1 nghiệm kép có 3 nghiệm phân biệt có 3 cực trị gồm CĐ và CT 4. K nng tớnh nhanh cc tr Gi s f (x) trit tiờu v i du ti x x 0 , khi ú f (x) t cc tr ti x 0 vi giỏ tr cc tr l 4 2 0 0 0 f x ax bx c . Trong trng hp x 0 l s vụ t thỡ cc tr f (x 0 ) c tớnh theo thut toỏn: Bc 1: Thc hin phộp chia f (x) cho f (x) ta cú: . 4 3 2 f x q x f x r x Bậc Bậc Bậc Bc 2: Do f (x 0 ) 0 nờn f (x 0 ) r(x 0 ) H qu: Cỏc im cc tr ca hm bc 4: y f (x) nm trờn y r(x) (parabol) Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 8 MỘT SỐ LOẠI CÂU HỎI HAY GẶP VÀ HƯỚNG GIẢI Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 9 MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 1. Hàm số bậc ba: Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 10 HD. + 2 2 7 ( ): (21 ) 3 9 9 m d y m x + 2 21 3 10 2 2 (21 ).3 1 9 m d m m HD. Đường thẳng qua hai cực trị (d): 2 ( 2) 2 3 3 m m y x ; 6 6 ( ;0), (0; ) 2( 3 3 m m A B m 9 3 6; ; 2 2 OA OB m m m (nhận 3 2 m ) Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 11 HD. + ' 0 y có hai nghiệm phân biệt khi m >0. + ( ;2 2 ), ( ;2 2 ) M m m x N m m x ; MN: 2 2 0 mx y + 2 . sin 1 IAB S IA IAB AIB + Dấu = xảy ra khi 0 1 3 90 ( , ) 1 2 2 AIB d I MN m HD. 2 ' 3( ) y x m ; HS có CĐ, CT 0 m ; ( ;2 2 ), ( ;2 2 ) A m m m B m m m : 2 2 AB y mx ; 1 . ( , ) 18 2 2 IAB S AB d I AB m Ví dụ 1. Tìm m để hàm số 3 2 2 ( ) 3 f x x x m x m có CĐ, CT đối xứng nhau qua 1 5 : 2 2 y x HD. - Hs có CĐ, CT '( ) 0 f x có hai nghiệm phân biệt ' 0 3 3 m - Đ thẳng qua 2 điểm CĐ, CT (d): 2 2 2 ( 3) 3 3 m y m x m ; - ycbt 0 d m I d Hd. +(C m ) có CĐ, CT khi m < 3 Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 12 +ĐT qua 2 cực trị là (d’): 2( 1) 2 3 3 m m y x . Có hai trường hợp - TH1. d//(d’) (loại) - TH2. Trung điểm I của AB thuộc d 0, m với (1; ) I m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 4 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 1 ( 1) [4 4] 1 ( 1) 4(1 ) 9 9 9 AB x x y y x x x x m m m 2 13 min 0 3 AB m ĐS: 0 1 m m ĐS: m = 1 HD. ' 0 1; 1 y x m x m ; ( 1; 3), ( 1; 1) A m m B m m ; . 0 1; 2 OA OB m m Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 13 ĐS: 14 2 m 2) Hàm số bậc bốn trùng phương: + 0; ycbt m 4 4 2 4 2 (0; 2 ), ( ; 2 ), ( ; 2 ) A m m B m m m m C m m m m + 2 2 3 3 2 2 0 0 3 ( 3) 0 m m AB AC m m m AB BC + Hs có cực trị khi m > 0 + 2 2 2 (0;2 4), ( ; 4), ( ; 4) A m B m m C m m + 1 2 1 1 2 ABC B A B S y y x m ; ĐS: m = 1 + HS có 3 cực trị 1 1 m + 2 2 2 2 (0;1 ), ( 1 ; 1 ),C( 1 ; 1 ) A m B m m m m + 2 2 1 . ( , ) (1 ) 1 2 ABC S BC d A BC m . Dấu “=” xảy ra khi m = 0. ĐS: m=0 Ví dụ 4. (Đề thi TSĐH khối B 2002) Tìm m để hàm số 4 2 2 9 10 y mx m x có 3 điểm cực trị Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 14 Giải. Yêu cầu bài toán 2 2 2 2 9 2 . 0 y x mx m x g x có 3 nghiệm phân biệt 2 3 9 0 2 0 3 m m m m B. CỰC TRỊ TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM QUA Bài 1. Tìm m để hàm số: 3 2 2 2 1 2 3 1 5 3 y x m m x m x m đạt CT tại x 2. ĐS: m = 3 Bài 2. B.2002 Cho hàm số 4 2 2 ( 9) 10 y mx m x . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị. Đáp số: 3;0 3 m m Bài 3 (B.2007) Cho hàm số 3 2 2 2 3 3( 1) 3 1 y x x m x m . Tìm m để hàm số có cực đại, CT và các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ. Đáp số: 1 2 m Bài 4. B2012 : Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2 3 3 y x mx m có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. Đáp số: 2 m Bài 5. Tìm m để 3 2 2 3 1 6 2 1 f x x m x m x có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng y -4x 1. Đáp số: 1; 5 m m Bài 6. Tìm m để 3 2 2 3 1 6 1 2 f x x m x m m x có CĐ, CT nằm trên (d): y 4x. Đáp số: 1 m Bài 7. Cho hàm số 3 2 2 2 1 4 3 3 f x x m x m m x 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1. 2. Gọi các điểm cực trị là x 1 , x 2 . Tìm GTLN của 1 2 1 2 2 A x x x x Hướng dẫn: Ta có: 2 2 2 2 1 4 3 f x x m x m m 1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1 0 f x có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x thoả mãn: 1 2 1 2 1 1 x x x x 5, 3 2 m 2. 2 2 9 1 1 9 8 16 9 4 2 2 2 A m m m . Với 4 m thì 9 Max 2 A Bài 8. Tìm m để hàm số 3 2 1 1 3 f x x mx x m có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất. Hướng dẫn: 2 13 3 AB . Vậy 2 13 Min 3 AB xảy ra m 0. Bài 9. Tìm m để hàm số 3 2 1 1 1 3 2 3 3 f x mx m x m x đạt cực trị tại x 1 , x 2 thoả mãn 1 2 2 1 x x . ĐS: 2 2 3 m m Bài 10. (A.02) Cho hàm số 3 2 2 3 2 3 3(1 ) y x mx m x m m . Viết PT đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho ĐS: 2 2 y x m m Bài 11. (B.11): Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 15 ĐS: 2 2 2 m Bài 12. (A. 12): ĐS: 0 m Bài 13. (B.12): ĐS: 2 m Bài 14. (D.12) ĐS: 2 3 m Bài 15. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004) Tìm m để hàm số 4 2 2 2 1 y x m x có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân . 1 : 0Đ AB AC m S Bài 16. Chứng minh rằng: 4 2 6 4 6 f x x x x luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị B13. (B.2013) Cho hàm số 3 2 y 2x 3(m 1)x 6mx (1) , với m là tham số thực . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 . ĐS : 0; 2 m m BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hàm số 4 2 2 ( ) 2( 2) 5 5 f x x m x m m ; (C m ) Tìm m để (C m ) có các điểm cực đại, CT tạo thành 1 tam giác vuông cân. Bài 2: Cho hàm số 3 2 3 y x x m (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho 0 120 . AOB Bài 3: Cho hàm số : 3 2 (1 2 ) (2 ) 2 y x m x m x m (1) ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm CT, đồng thời hoành độ của điểm CT nhỏ hơn 1. Bài 4: Cho hàm số 4 2 2 2 y x mx m m (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 0 120 . Bài 5: Cho hàm số : 3 2 3 3 1 2 2 y x mx m . Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, CT đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Bài 6: Cho hàm số 4 3 2 2 3 1 (1) y x mx x mx . Định m để hàm số (1) có hai CT. Bài 7: Cho hàm số y x m m x m 4 2 2 2( 1) 1 (1). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm CT ngắn nhất. Bài 8: Cho hàm số y x mx m x 3 2 2 2 9 12 1 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có CĐtại x CĐ , CT tại x CT thỏa mãn: CÑ CT x x 2 . Bài 9: Cho hàm số y = 4x 3 + mx 2 – 3x. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x 1 và x 2 thỏa x 1 = - 4x 2 . tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 6 CHUYỀN ĐỂ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. ĐỊNH NGHĨA (sgk GT12) Khoỏ LTH cp tc nm 2014. Ch. Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 8 MỘT SỐ LOẠI CÂU HỎI HAY GẶP VÀ HƯỚNG GIẢI Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm. Tìm m để 3 2 2 3 1 6 2 1 f x x m x m x có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng y -4x 1. Đáp số: 1; 5 m m Bài 6. Tìm m để 3 2 2