Sưu tầm các bài toán hay

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DOÃN BẢO NGUYÊN ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN MINH Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tháng 06 năm 2013 Có thể tìm hiểu luận văn Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Định lý Ptôlêmê bất đẳng thức Ptôlêmê 1.1 Định lý Ptôlêmê 1.2 Bất đẳng thức Ptôlêmê 10 Định lý Ptôlêmê mở rộng 2.1 Định lý Ptôlêmê không gian 2.1.1 Bất đẳng thức Ptôlêmê 2.1.2 Bất đẳng thức Ptôlêmê 2.2 Định lý Bretchneider 2.3 Định lý Casey không gian ba chiều không gian n chiều Ứng dụng định lý Ptôlêmê bất đẳng thức Ptôlêmê 3.1 Ứng dụng việc chứng minh số kết hình học 3.1.1 Điểm Toricelli 3.1.2 Bất đẳng thức Erdos-Mordell 3.1.3 Công thức tính sin(α + β) 3.1.4 Định lý Pythagore 3.1.5 Định lý hàm số cosin tam giác 3.1.6 Hệ thức Feuerbach 3.1.7 Định lý Carnot 3.2 Ứng dụng việc giải số toán 3.2.1 Định lý Ptôlêmê tứ giác điều hòa 3.2.2 Định lý Ptôlêmê số toán cực trị hình học 3.2.3 Định lý Ptôlêmê số đẳng thức, bất đẳng thức hình học Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 14 14 17 19 22 34 34 34 37 38 39 39 40 41 42 42 45 52 61 62 Mở đầu Ptôlêmê hay Claudius Ptolemaeus (khoảng 100-178) nhà bác học Hy Lạp xuất xứ từ Tebaida, học hành làm việc Alexandria Ptôlêmê sinh thành phố Ptôlêmmai Hecmin (Thượng Ai Cập), đời ông có công đóng góp vào phát triển khoa học nhân loại Ông viết nhiều tác phẩm lĩnh vực toán học, thiên văn học, địa lý âm nhạc Bất đẳng thức Ptôlêmê trường hợp đặc biệt nó, định lý Ptôlêmê tính chất tứ giác nội tiếp kết kinh điển đẹp hình học sơ cấp Lý chọn đề tài Định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê mở rộng nó, ứng dụng quan trọng việc giải số toán hình học Nêu cách thức vận dụng định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê để giải số toán cấp trung học sở, trung học phổ thông bồi dưỡng học sinh giỏi toán Với ý tưởng này, chọn đề tài cho Định lý Ptôlêmê số ứng dụng Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài trình bày nội dung định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê Ứng dụng định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê vào giải số toán hình học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khảo sát lý thuyết định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê định lý hình học, toán có liên quan.Đó ứng dụng quan trọng kết hình học Sử dụng định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê số toán dành cho học sinh giỏi toán Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cấp Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyên toán, tạp trí toán học tuổi trẻ từ học kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp bạn học viên lớp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học sở, trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Luận văn hoàn thành định hướng hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Minh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thày Trong trình học tập làm luận văn, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ Khoa Toán, phòng đào tạo sau đại học trường ĐHKH ĐHTN Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn học viên lớp toán K5A, thày cô tổ toán Ban Giám Hiệu trường THPT Hoàng Su Phì Hà Giang giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Định lý Ptôlêmê bất đẳng thức Ptôlêmê 1.1 Định lý Ptôlêmê Định lý 1.1 (Xem [2]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Khi AC.BD = AB.CD + AD.BC Có nhiều cách chứng minh định lý này, sau xin trình bày số cách chứng minh • Cách 1: Sử dụng kết hai tam giác đồng dạng Chứng minh Lấy M thuộc đường chéo AC cho ABD = M BC Khi xét ∆ABD ∆M BC có: ABD = M BC ADB = M CB Nên ∆ABD đồng dạng với ∆M BC (g.g) ta có AD MC = ⇒ AD.BC = BD.M C BD BC (1.1) AD MC = ABM = DBC nên ∆ABM đồng dạng với BD BC ∆DBC (g.g) Suy AB BD = ⇒ AB.CD = AM.BD (1.2) AM CD Lại có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 1.1 Từ (1.1) (1.2) suy AD.BC + AB.CD = BD.M C + AM.BD = AC.BD • Cách 2: Sử dụng đường thẳng Simson Trước hết ta có định lý đường thẳng Simson Từ điểm D vòng tròn ngoại tiếp ∆ABC ta hạ đường vuông góc xuống BC, CA, AB, chúng tương ứng gặp BC, CA, AB A1 , B1 , C1 Khi điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng, đường thẳng tạo ba điểm gọi đường thẳng Simson Ta sử dụng đường thẳng Simson để chứng minh định lý Ptôlêmê Chứng minh Hạ DA1 vuông góc với BC, DB1 vuông góc với AC DC1 vuông góc với AB A1 , B1 , C1 thẳng hàng A1 B1 + B1 C1 = A1 C1 (1.3) Áp dụng định lý hàm số sin cho đường tròn đường kính DC, DB, DA dây cung A1 B1 , A1 C1 B1 C1 tương ứng, ta có A1 B1 = DC sin C, A1 C1 = DB sin B, B1 C1 = AD sin A Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 1.2 Lại áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ABC, ta có AB AC BC , sin B = , sin A = 2R 2R 2R Thay vào đẳng thức (1.3) rút gọn, ta thu sin C = AD.BC + AB.CD = AC.BD • Cách 3: Chứng minh định lý Ptôlêmê dùng định lý hàm số sin tam giác Chứng minh Đặt ABD = ACD = α; DBC = DAC = β BDC = BAC = γ; BCA = BDA = δ Áp dụng định lý hàm số sin tam giác ABD, ACD, ABC ta có AB.CD + AD.BC = 2R2 (2 sin δ sin β + sin α sin γ) = 2R2 [cos(δ − β) − cos(δ + β) + cos(α−γ) − cos(α + γ)] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.4) Hình 1.3 Vì α + β + γ + δ = 1800 suy cos(δ + β) = −cos(α + γ) (1.5) Từ (1.4) (1.5) suy AB.CD + AD.BC = 2R2 [cos(δ − β) + cos(α − γ)] (1.6) Lại áp dụng định lý hàm số sin vào ∆ACD, ∆BCD, có AC.BD = 2Rsin(γ+δ)2Rsin(δ+α) = 2R2 [cos(α−γ)−cos(α+γ+2δ)] (1.7) Vì (α + γ + 2δ) + (β − δ) = 1800 suy cos(α + γ + 2δ) = − cos(β − δ) (1.8) Thay (1.8) vào (1.7) ta có AC.BD = 2R2 [cos(α − γ) + cos(δ − β)] (1.9) Từ (1.6) (1.9) suy AD.BC + AB.CD = AC.BD Hệ 1.1 (Xem [5]) Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp với ABC = ADC = 900 , ta có BD = AC.sinBDA Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ban dang xem mot so trang mau Vui long download file day du ve de xem!