Dapan Tài liệu sưu tầm

à tổng bình phương cạnh đối nhau” Áp dụng tính chất để chứng minh OK vuông góc với BM ta cần chứng minh: OM + BK = M K + OB Ta xét: OM + BK − M K − OB = OA2 + AM + (OK − OB ) − M K − OB = AM + OK − OA2 − M K (OA = OB) = 0(OM ⊥AK) Vậy ta có điều phải chứng minh c) Gọi J giao điểm d với đường thẳng AB Ta cần chứng minh JP tiếp tuyến đường tròn (O) Gọi Q giao điểm thứ hai CP với (O); H giao điểm CO với AB Ta có: CP.CQ = CA2 = CH.CO, suy tứ giác P QOH nội tiếp, ∠CQO = ∠CHP Tam giác OP Q cân O nên ∠CQO = ∠QP O Suy ∠QP O = ∠CHP Ta có: ∠JOP + ∠QP O = ∠CHP + ∠JOP = 900 = ∠CHP + ∠JHP Suy ∠JOP = ∠JHP , hay tứ giác JP HO nội tiếp Từ đó, suy ∠JP O = ∠JHO = 900 , hay IP tiếp tuyến (O) Vậy ta có điều phải chứng minh Câu Cho dãy hữu hạn số tự nhiên a0 , a1 , a2 , , an−1 có tính chất sau đây: với i ∈ {0, 1, 2, , n − 1} số số hạng nhận giá trị i dãy (chẳng hạn, dãy gồm số hạng a0 = 1, a1 = 2, a2 = 1, a3 = 0) Chứng minh n có dãy gồm n số hạng thỏa mãn tính chất n − 4, 2, 1, 0, , 0, 1, 0, 0, Lời giải Đầu tiên ta chứng minh a0 +a1 +· · ·+an−1 = n Thật vậy, theo định nghĩa a0 + a1 + · · · + an−1 số phần tử dãy a0 , a1 , a2 , , an−1 , giá trị n Vì a0 số số hạng 0, nên ta suy n − a0 số số hạng khác dãy Tuy nhiên, a0 = ngược lại, a0 = mâu thuẫn Khi đó, a0 , lại có n − a0 − số hạng khác Lại a0 + a1 + · · · + an−1 = n nên tổng n − a0 − số hạng khác 0, không bao gồm a0 , n − a0 Do vậy, n − a0 − số hạng này, có n − a0 − số hạng có số hạng (vì tất số tự nhiên dương) Nếu a0 = a1 = n − a0 − + = n − 2, a2 = 1, an−2 = 1, điều dẫn đến a0 + a1 + a2 + an−2 = n + > n: mâu thuẫn Do đó, a0 = Lập luận tương tự ta có a0 = 2, a0 Giả sử a0 = k Ta suy a1 = n − k − 2, a2 = 1, an−k−2 = Điều kéo theo n − k − = a1 = a2 + an−k−2 = + 1, k = n − = a0 Từ suy a1 = 2, a2 = 1, an−4 = Vì a0 nên n Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa theo