HH12 : Chương III : Bài 1 : Hệ tọa độ

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN KHÔNG GIAN Biên soạn Phạm Quốc Khánh Chương trình thay sách giáo khoa 2008 Click Bài 1 : I. Tọa độ của điểm và của vectơ 1) Hệ tọa độ : Trong không gian cho 3 trục x’Ox ; y’Oy ; z’Oz. vuông góc với nhau từng đôi một . Gọi ; ;i j k r r r là các véc tơ đơn vị trên các trục đã cho z’ Hệ trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz trong không gian Đơn giản gọi : Hệ tọa độ Oxyz Điểm O gọi là gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy) ; (Oyz) ; (Ozx) ; Đôi một vuông góc được gọi là các mặt phẳng tọa độ Không gian với hệ trục Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz Vì ; ;i j k r r r là các véc tơ đơn vị và đôi một vuông góc nên 2 2 2 1i j k= = = r r r và . . . 0i j k j k i= = = r r r r r r O x’ x y’ y z i r j r k r Click Trong không gian Oxyz , cho một điểm M . Hãy phân tích véc tơ OM uuuur theo 3 véc tơ không đồng phẳng ; ;i j k r r r đã cho trên các trục Ox ; Oy : Oz 2. Tọa độ của một điểm : O x y z i r j r k r M Trong không gian Oxyz , cho 1 điểm M tùy ý . Vì không đồng phẳng nên có 1 bộ ba số ( x ; y ; z) duy nhất sao cho x y z . . .OM x i y j z k= + + uuuur r r Ngược lại với bộ ba số ( x ; y ; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa : . . .OM x i y j z k= + + uuuur r r Ta gọi bộ 3 số ( x ; y ; z) đó là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đã cho và viết : M = ( x ; y ; z) hay M(x ; y ; z) 3. Tọa độ của một véctơ : Trong không gian Oxyz , cho 1 vectơ a r Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a 1 ;a 2 ;a 3 ) sao cho : 1 2 3 . . .a a i a j a k= + + r r r Vậy : tọa độ của véctơ ( ) 1 2 3 ; ;a a a a= r Do đó M(x ; y ;z) ( ) ⇔ OM = x;y;z uuuur Click ; ;i j k r r r M (x ; y ; z) Ví dụ minh họa : Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có điểm A trùng với gốc O , có ; ; 'AB AD AA uuur uuur uuur theo thứ tự cùng hướng với ; ;i j k r r r và có AB = a ; AD = b ; AA’ = c . Hãy tính tọa độ các véc tơ : ; ; ' ;AB AC AC AM uuur uuur uuuur uuuur trong đó M là trung điểm của C’D’ . O = A y z i r j r k r C’ B D A’ C B’ D’ a b c ( ;0;0)AB a= uuur ( ; ;0)AC a b= uuur ' ( ; ; )AC a b c= uuuur M (?;?;?)AM = uuuur ( ; ; ) 2 a AM b c= uuuur Thầy trò cùng đi tìm ….? Click x II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ Định lí : Trong không gian cho 2 vectơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; & ; ;a a a a b b b b= = r r Trong đó k là một số thực ( ) 1 1 2 2 3 3 ) ; ;a a b a b a b a b+ = + + + r r ( ) 1 1 2 2 3 3 ) ; ;b a b a b a b a b− = − − − r r ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ) . ; ; ; ;c k a k a a a ka ka ka= = r Chứng minh : Theo giả thiết : 1 2 3 a a i a j a k= + + r r r r 1 2 3 b b i b j b k= + + r r r r ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 a b a b i a b j a b k⇒ + = + + + + + r r r r r Vậy : ( ) 1 1 2 2 3 3 ; ;a b a b a b a b+ = + + + r r Chứng minh tương tự cho b) và c) Click Hệ quả : a) Cho 2 vectơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; & ; ;a a a a b b b b= = r r Ta có : 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b =   = ⇔ =   =  r r b) Vectơ ( ) 0 0;0;0= r c) Vectơ 0b ≠ r r thì hai vectơ &a b r r cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho : a 1 = kb 1 ; a 2 = kb 2 ; a 3 = kb 3 . d) Trong không gian Oxyz , nếu cho 2 điểm A(x A ; y A ; z A ) và B(x B ; y B ; z B ) Thì : ( ) ; ; B A B A B A AB OB OA x x y y z z∗ = − = − − − uuur uuur uuur ∗ Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là : ; ; 2 2 2 A B A B A B x x y y z z M + + +    ÷   Bài tập thêm : Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(x A ; y A ; z A ) ; B(x B ; y B ; z B ) ; C(x C ; y C ;z C ) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là : ; ; 3 3 3 A B C A B C A B C x x x y y y z z z G + + + + + +    ÷   Click III. Tích vô hướng . 1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng . Định lí : Trong không gian Oxyz , tích vô hướng của 2 vectơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; & ; ;a a a a b b b b= = r r được xác định bởi : 1 1 2 2 3 3 a.b = a b + a b + a b r r Chứng minh : ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 a b a i a j a k b i b j b k= + + + + r r r r r r r r 2 1 1 . ???a b i= + + r Áp dụng : 2 2 2 1i j k= = = r r r và . . . 0i j k j k i= = = r r r r r r Có đpcm 2. Ứng dụng . a) Độ dài của một vectơ ( ) 2 2 3 ; ;a a a a= r ⇒ 2 2 2 1 2 3 a = a + a + a r b) Khoảng cách giữa 2 điểm : Cho 2 điểm A(x A ; y A ; z A ) và B(x B ; y B ; z B ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A AB AB x x y y z z= = − + − + − uuur Click c) Góc giữa 2 vectơ : Cho 2 vectơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; & ; ;a a a a b b b b= = r r và góc ϕ giữa 2 vectơ là : cos . ab a b ϕ = r r r r Ta có : ( ) ϕ 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b + a b + a b cos = cos a;b = a + a + a . b + b + b r r Qua đó suy ra 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b⊥ ⇔ + + r r Bài tập cùng làm tại lớp : Vơi hệ Oxyz cho ( ) ( ) ( ) 3;0;1 ; 1; 1; 2 ; 2;1; 1a b c= = − − = − r r r Hãy tính : ( ) a. b + c & a + b r r r r r ( ) a b c+ = r r r ( ) ( ) 3;0; 3b c+ = − r r ( ) 3.3 0.0 1. 3 6+ + − = a b+ = r r ( ) ( ) 4; 1; 1b a+ = − − r r ( ) ( ) 2 2 2 4 1 1 18+ − + − = Click ( ) 1 1 2 2 3 3 ; ;a b a b a b a b+ = + + + r r 1 1 2 2 3 3 ab a b a b a b= + + r r 2 2 2 1 2 3 a a a a= + + r IV. Phương trình mặt cầu . Định lí : Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I (a ; b ; c) , bán kính r có phương trình : (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = r 2 Chứng minh : Giả sử điểm M thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r I(a ; b ; c) M(x ; y ; z) r Nên có M ∈ (S) IM r⇔ = uuur ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x a y b z c r⇔ − + − + − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b z c r⇔ − + − + − = Bài tập cùng làm tại lớp : Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) có bán kính r = 5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 5x y z⇒ − + + + − = Chú ý : Phương trình mặt cầu có thể viết : (S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 trong đó d = a 2 + b 2 + c 2 – r 2 Cũng chứng minh được pt mặt cầu : x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 Trong đó r 2 = A 2 + B 2 + C 2 - D > 0 ; tâm I(-A;-B;-C) Click Ví dụ : Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình : x 2 + y 2 + z 2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0 Giải : Ta có : 2 4 2 2 2 6 a b c − =   − = −   − =  (S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 2 1 3 a b c = −   ⇔ =   = −  Vậy tâm I ( -2 ; 1 ; -3) d = a 2 + b 2 + c 2 – r 2 Nên r 2 = (-2) 2 +1 2 +(-3) 2 – 5 = 9 ⇒ r = 3 Bài tập trắc nghiệm : I - Trong kg Oxyz cho 3 véc tơ : ( ) ( ) ( ) 1;1;0 ; 1;1;0 ; 1;1;1a b c= − = = r r r Hãy trả lời các câu hỏi sau : 1. Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào sai ? A : a = 2 r B : c = 3 r C : ⊥a b r r D : ⊥b c r r Click [...]... C rr a.c = 1 rr 2 cos b.c = 6 ( ) r r B a & c cung phuong B r r r r D D a+b+c = 0 uu r uu r ur ur 3) Cho hình bình hành OADB có OA = a ; OB = b (O là gốc tọa độ ) > Tọa độ của tâm hình bình hành OADB là : A (0 ; 1 ; 0) C (1 ; 0 ; 1) B D (1 ; 0 ; 0) (1 ; 1 ; 0) Click II - Trong kg Oxyz cho 4 điểm : A (1; 0;0) B(0 ;1; 0) C(0;0 ;1) và D (1; 1 ;1) 1 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tọa độ điểm G là... M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tọa độ điểm G là trung điểm của MN là : A 1 1 1 G ; ; ÷ 3 3 3 C 2 2 2 G ; ; ÷ 3 3 3 B 1 1 1 G ; ; ÷ 4 4 4 D 1 1 1 G ; ; ÷ 2 2 2 2 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là : A 2 C 3 B 3 4 D 3 2 Click V Bài tập : Bài tập về nhà 1; 2;3;4;5;6 trang 68 sgk hh12 - 2008 . gốc tọa độ ) > Tọa độ của tâm hình bình hành OADB là : (0 ; 1 ; 0) B (1 ; 0 ; 0) C (1 ; 0 ; 1) D (1 ; 1 ; 0) Click II - Trong kg Oxyz cho 4 điểm : A (1; 0;0). B(0 ;1; 0) C(0;0 ;1) và D (1; 1 ;1) 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Tọa độ điểm G là trung điểm của MN là : A 1 1 1 ; ; 3 3 3 G    ÷   B 1