BẤT PHƯƠNG TRÌNH và hệ bất PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN – ĐHQG TP.HCM Khoa Toán - Tin học TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ SƠ CẤP Đề tài: BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH Giảng viên : TS Tạ Thị Nguyệt Nga Nhóm sinh viên: Trần Anh Thuận Nguyễn Thị Diễm Tiên Nguyễn Đức Anh Tuấn Vũ Thanh Tuyền Phan Hồi Vy 1511297 1511306 1511327 1511334 1511352 Tp Hồ Chí Minh 07/ 03/ 2018 Lời nói đầu Tiểu luận sản phẩm nhóm chúng tơi mơn học Đại số sơ cấp, khoa Toán – Tin học, trƣờng ĐH Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh Bất phƣơng trình hệ bất phƣơng trình chủ đề trọng tâm chƣơng trình tốn phổ thơng Trong đề tài này, nhóm trình bày phân loại dạng bất đẳng thức với nội dung: Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Những khả bậc cao Sau bàn bạc thảo luận kĩ lƣỡng , nhóm định đƣa định nghĩa, cách làm, ví dụ cụ thể dạng “ Bất phƣơng trình hệ bất pƣơng trình” để làm đề tài thực Nhóm gồm thành viên: Trần Anh Thuận 1511297 Nguyễn Thị Diễm Tiên 1511306 Nguyễn Đức Anh Tuấn 1511327 Vũ Thanh Tuyền 1511334 Phan Hoài Vy 1511352 Hy vọng tiểu luận giúp bạn hiểu bất phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình tốn học áp dụng thƣờng xuyên học tập nghiên cứu Do nhiều nguyên nhân khác nhau, chắn tiểu luận mắc phải nhiều thiếu sót Nhóm mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp từ bạn Nhóm thực MỤC LỤC I MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT II Bất phƣơng trình bậc ẩn Bất phƣơng trình bật hai ẩn Hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn Ví dụ áp dụng vào tốn kinh tế 10 III BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 11 Bất phƣơng trình bậc hai ẩn 11 Hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn .14 Hệ bất phƣơng trình bậc hai hai ẩn .15 IV BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ 17 V BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC CAO 19 VI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 21 VII TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 Nhắc lại: “Ta kí hiệu x  ( x1 , , xn ) với x1 , , xn biến Khi biểu thức f  x1 , , xn  đƣợc viết gọn f  x  Hai biểu thức chứa biến nối với dấu bất đẳng thức đƣợc gọi bất phƣơng trình Trong bất phƣơng trình f  x   g  x * , x đƣợc gọi ẩn số biến số bất phƣơng trình * ; giá trị biến x1 , x2 , , xn thuộc tập K * bất phƣơng trình n ẩn x1 , x2 , , xn K Tập S Kn đƣợc gọi tập xác định bất phƣơng trình (*) , f  a  g  a  có nghĩa với a  S Nếu a  S làm cho f  a  < g  a  đúng, a đƣợc gọi nghiệm bất phƣơng trình (*) Nếu b  S mà đẳng thức f  b   g (b) khơng xảy ra, ta nói b khơng nghiệm bất phƣờn trình (*) Giải bất phƣơng trình (*) tập T S tìm tập hợp tất nghiệm (*) nằm T Giả sử L tập nghiệm (*) L tập hữu hạn hay vơ hạn Nếu L   ta nói bất phƣơng trình vơ nghiệm T.” (Đại số sơ cấp_NXB Đại học sư phạm) I MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN Sau số phép biến đổi thƣờng gặp: Định lý Ta ln có  f ( x)  g( x) a) f ( x)  g( x)   g( x)   f ( x)  g( x) b) f ( x)  g( x)   g( x)    f ( x)  g ( x)   g ( x)  c) f ( x)  g ( x)     f ( x)     g ( x)    f ( x)  g ( x)   g ( x)  d) f ( x)  g ( x)     f ( x)     g ( x)  0  f ( x )  g ( x ) e) f ( x )  g ( x )    g ( x)  0  f ( x )  g ( x ) f) f ( x)  g ( x)    g ( x)  Định lý Nếu f ( x), g ( x) hai hàm số biến số x , thì:   f ( x)   g( x)  f ( x) g ( x)      f ( x)    g( x)  Đối với bất phƣơng trình ẩn Xét bất phƣơng trình ẩn f ( x)  thƣờng đƣợc giải nhƣ sau:  Giải phƣơng trình ẩn f ( x)  , tìm nghiệm x1 , x2 , , xn với x1  x2   xn  Lập bảng xét dấu f ( x ) lần lƣợt khoảng ( xk ; xk 1 ) , ( xk ; xk 1 ) Từ bảng xét dấu, suy tập nghiệm bất phƣơng trình Ví dụ: Giải bất phƣơng trình sau 30 x3  73 x  26 x  24  Bài giải Đặt f ( x)  30 x3  73x  26 x  24 Giải f ( x)   30 x  73 x  26 x  24   (2 x  3)(3x  4)(5 x  2)  2 x    3x   5 x    x    x    x    Lập bảng xét dấu x   3  2x  3x  5x  f ( x)       0           Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x )  khoảng  ;    ;   5 3 2 Kết luận : x   ;     ;  thỏa u cầu tốn 2     II BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Bất phương trình bậc ẩn Bất phƣơng trình có dạng ax  b  ax  b  , ax  b  ax  b  , a  , đƣợc gọi bất phƣơng trình bật ẩn Ta đại diện bất phƣơng trình ax  b  b Nếu a  tập nghiệm D   x x    a  b Nếu a  tập nghiệm D   x x    a  Do tập nghiệm bất phƣơng trình bậc ẩn ln khoảng khoảng đóng mở Ví dụ: Giải bất phƣơng trình sau: a) x  x  12   x b) x  3x   x  x   x  x  Giải x  x  12   x a)  x  x  12     x  x  12    x  7  x     x  3   x   x   x  3   61   13 x  61   x   13  7  x   x     x  3    x  61 13  Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm D   ; 3  4; 61    13  x  3x   x  x   x  x  (*) b)  x    x   x  3x    x   x   Điều kiện  x  x     x   x2  5x   x    x     x   Với x  , (*)  Với x  1, (*) suy ra: 1  x   x  + 1  x   x   1  x   x   2 x  3 x  4 x 2   x   x   11  x -    x   x   11  x  x (do 11- 2x > 0) 97 22 Kết hợp điều kiện x  nên (*) vô nghiệm  Với x  , (*) suy ra:  x  1 x   +  x  1 x  3   x  1 x    x 2  x 3  x 4 (1) x   x    x2  x4  x   x    x 3  x 4 Mà ta có  Suy ra, (1) với x  ⇒ nhận x  Kết hợp trƣờng hợp, suy bất phƣơng trình có tập nghiệm D= {1} ∪ [4, +∞) Bất phương trình bật hai ẩn ĐỊNH NGHĨA Bất phương trình bậc hai ẩn bất phƣơng trình có dạng ax  by  c  , ax  by  c  , ax  by  c  , ax  by  c  a , b c số cho trƣớc cho a  b  ; x y ẩn Mỗi cặp số  x0 , y0  cho ax0  by0  c  gọi nghiệm bất phƣơng trình ax  by  c  ĐỊNH LÍ Trong mặt phẳng tọa độ, đƣờng thẳng  d  : ax  by  c  chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Một hai nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) gồm điểm có tọa độ thỏa mãn bất phƣơng trình ax  by  c  , nửa mặt phẳng lại (khơng kể bờ  d  ) gồm điểm có tọa độ thỏa mãn bất phƣơng trình ax  by  c  Cách xác định miền nghiệm bất phương trình ax  by  c  , ta làm nhƣ sau: - Vẽ đƣờng thẳng  d  : ax  by  c  ; - Xét điểm M  x0 ; y0  không nằm  d   Nếu ax0  by0  c  nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) chứa điểm M miền nghiệm bất phƣơng trình ax  by  c   Nếu ax0  by0  c  nửa mặt phẳng (khơng kể bờ  d  ) không chứa điểm M miền nghiệm bất phƣơng trình ax  by  c  CHÚ Ý: Đối với bất phƣơng trình có dạng ax  by  c  ax  by  c  miền nghiệm nửa mặt phẳng kể bờ Ví dụ Xác định miền nghiệm bất phƣơng trình x  y  Giải Trên mặt phẳng tọa độ, đƣờng thẳng  d  : x  y  chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn điểm không thuộc đƣờng thẳng đó, chẳng hạn điểm M 1;1 Ta thấy 1;1 nghiệm bất phƣơng trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ  d  không chứa điểm M 1;1 (Minh họa hình bên miền nghiệm nửa mặt phẳng khơng bị gạch) Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Sau ví dụ hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn 3x  y    I  2 x  y   2 x  y    Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn bất phƣơng trình hệ miền nghiệm hệ Vậy miền nghiệm hệ giao miền nghiệm bất phƣơng trình hệ Để xác định miền nghiệm hệ, ta dùng phƣơng pháp biểu diễn hình học nhƣ sau: - Với bất phương trình hệ, ta xác định miền nghiệm cua gạch bỏ miền lại - Sau làm tất bất phương trình hệ mặt phẳng tọa độ, miền lại khơng bị gạch miền nghiệm hệ bất phương trình cho Ví dụ Xác định miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (I) Giải Ta vẽ ba đƣờng thẳng:  d1  3x  y   0;  d   x  y   0;  d3  x  y   Ta kiểm tra thấy điểm  0;0  nghiệm ba bất phƣơng trình Có nghĩa gốc tọa độ thuộc ba miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (I) Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch nhƣ hình bên ( khơng tính biên) miền nghiệm hệ (I) Ví dụ áp dụng vào tốn kinh tế Sau ví dụ ứng dụng toán học vào đời sống kinh tế Bài toán Ngƣời ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất 140 kg chất A kg chất B Từ nguyên liệu loại I giá triệu đồng, chiết xuất đƣợc 20 kg chất A 0,6 kg chất B Từ nguyên liệu loại II giá triệu đồng, chiết xuất đƣợc 10 kg chất A 1,5 kg chất B Hỏi phải dùng nguyên liệu loại để chi phí mua nguyên liệu nhất, biết sở cung cấp ngun liệu có cung cấp khơng q 10 nguyên liệu loại I không nguyên liệu loại II ? Phân tích tốn Nếu sử dụng x nguyên liệu loại I y ngun liệu loại II theo giả thiết, chiết xuất đƣợc  20 x  10 y  kg chất A  0, x  1,5 y  kg chất B Theo giả thiết, x y phải thỏa mãn điều kiện:  x  10  y  ; 20 x  10 y  140 , hay x  y  14; 0, x  1,5 y  , hay x  y  30 Tổng số tiền mua nguyên liệu T  x, y   x  y 10 Bài tốn trở thành: Tìm số x y thỏa mãn hệ bất phƣơng trình 0  x  y 0  y   II   2 x  y  14 2 x  y  30, cho T  x, y   x  y có giá trị nhỏ Bài toán dẫn đến hai toán nhỏ sau: Bài toán 1.Xác định tập hợp (H) điểm có tọa độ  x, y  thỏa mãn hệ (II) Bài toán Trong tất điểm thuộc (H), tìm điểm  x, y  cho T  x, y  có giá trị nhỏ Ta thấy miền nghiệm (H) hệ (II) miền tứ giác ABCD nhƣ hình bên Để giải tốn 2, ta thấy biểu thức T  x, y  có giá trị nhỏ đạt đƣợc giá trị đỉnh tứ giác ABCD Sau tìm tọa đọ đỉnh A, B, C, D so sánh giá trị tƣơng ứng T  x, y  , ta đƣợc T  5,   32 giá trị nhỏ Vậy để chi phí nguyên liệu nhất, cần sử dụng nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II (khi đó, chi phí tổng cộng 32 triệu đồng) III BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Bất phương trình bậc hai ẩn Những bất phƣơng trình dạng ax2 + bx + c < ax2 + bx + c ≤ ax2 + bx + c > ax2 + bx + c ≥ 0, a ≠ 0, đƣợc gọi bất phƣơng trình bậc hai ẩn Mọi bất phƣơng trình bậc hai ẩn đƣa đƣợc dạng ax2 + bx + c > ax2 + bx + c ≥ 0, a ≠ Phƣơng pháp giải bất phƣơng trình bậc hai đƣợc suy từ việc khảo sát dấu tam thức bậc hai quen thuộc Đặt: ∆ = b2 – 4ac, x1 = b   b   , x2 = 2a 2a Khi đó, dễ thấy 11 b  af (x)  (ax  )   a (x  x1 )(x  x ) Ta nhận đƣợc nghiệm bất phƣơng trình ax2 + bx + c > nhƣ sau:       ∆ > 0, a > 0, tập nghiệm (-∞, x1) ∪ (x2, +∞) ∆ > 0, a < 0, tập nghiệm (x1, x2) ∆ = 0, a > 0, tập nghiệm ℝ \ {x1} ∆ = 0, a < 0, bất phƣơng trình vơ nghiệm ∆ < 0, a > 0, tập nghiệm ℝ ∆ < 0, a < 0, bất phƣơng trình vơ nghiệm Ví dụ Giải bất phƣơng trình sau: (4x  x  7) x   4x  8x  10 (1) Giải: Điều kiện: x≥ -2 (1)  (4x  x  7) x   8x  2x 14  2x   (4x  x  7) x   2(4x  x  7)  2(x  2)  (4x  x  7)( x   2)  2(x   4)   (4x  x  7)( x   2)  2( x   2)( x   2)   ( x   2)[4x  x   2( x   2)]   4x  x   2( x   2)  (do  4x  x   x  x  2    4x  x   (4x  x  3)  4(x  2)  x2 2 > ) (2) (3) 3 4 (3)  16x  8x  23x  2x   (2)  x   x   (x  1)(4x  1)(4x  5x  1)  Đặt f (x)  (x  1)(4x  1)(4x  5x  1) 12 Lập bảng xét dấu:  41 -1 x+1 - 4x-1 - - 4x  5x  + + + - - + f(x) 0 +  41 + - + + 0 + + - + - + Từ bảng xét dấu, (2) điều kiện tốn ta có tập nghiệm bất phƣơng trình D = [-2, 1) ∪ (  41 , ) Ví dụ 2: Với giá trị m  log5 (x  1)  log5 (mx  4x  m)  (1) với x Giải:  mx  4x  m  , x Ta có (1) ⇔  2 log (5x  5)  log (mx  4x  m)    '   m2   m0 ⇔  (m  5)x  4x  m  5, x  m2   ⇔ 4  (m  5)2   m5   2  m   ⇔  m   m    ⇔ 20 Hiển nhiên a  2a   có nghiệm thực a0  việc tìm đƣợc xem nhƣ tập 1  a   Vậy nghiệm hệ là:  x   a hay   y  2a  1  a  a0  x   a   y  2a  20 VI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải hệ bất phương trình sau: 5 x   13x   15 x   8 x      x  3  x   1)  2) x 8  2  3x  1  3)  11  x  x    x  3x    4)  3x    x  x y   1  5)  2  x  1  y    4 x  y  20   6)  y   x 3  y    7) 2x2  2x 1   26 x  10 x  8) 1  20 x  x  1 2 x  x  2 x  3xy  x  y  y   9)  2 3x y  xy  y  xy  3x  y    2  2 x  3xy  x  y  y   10)  2  3x  y  xy  10 x  y   11) 10 x2  50 x   x  5x   x  12) x  3x  2 x   x  15 x  13x  40 21 13) 300 x  40 x   10 x    10 x 0 1 x  1 x  14) x  3x  28 x  24  3x    x  1 x  3   x ( x  x  1) x2  15) x   1   x 1  x 1  3 3x3 ( x  1)  x 1  16) x   x3   0 x2  x2 3 x ( x  1)  x 1   3x   6 x 1  x 1  15) x3  16) x3  x ( x  x  1)  3( x  x  1)3  17)  x2  1   x2  1  x  2   x2  1  x  2   x  2  2 Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm  x  m 1  3m   x   x 1  mx   1)  2)   x  4m  2mx  3)  3 x   x  3x   x   2 4)  x     x  1   m x   m   3m   x 22 VII TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Đại số 10_ NXB Giáo dục Giáo trình Đại số sơ cấp (Dƣơng Quốc Việt – Đàm Văn Nhỉ_NXB Đại học Sƣ phạm Bài tập đại số_ Tiến sĩ Nguyễn Viết Đông Internet tham khảo 23 ... PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 11 Bất phƣơng trình bậc hai ẩn 11 Hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn .14 Hệ bất phƣơng trình bậc hai hai ẩn .15 IV BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH... BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT II Bất phƣơng trình bậc ẩn Bất phƣơng trình bật hai ẩn Hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn Ví dụ áp dụng vào toán kinh tế 10 III BẤT... bỏ miền lại - Sau làm tất bất phương trình hệ mặt phẳng tọa độ, miền lại khơng bị gạch miền nghiệm hệ bất phương trình cho Ví dụ Xác định miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (I) Giải Ta vẽ ba đƣờng