Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – TIN HỌC - - TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ SƠ CẤP Năm học: 2017 - 2018 Nhóm thực hiện: Nguyễn Ngọc Như Huỳnh – 1411115 Nguyễn Thị Kim Phương - 141237 Trần Minh Tiến – 1511309 Trần Thị NgọcTâm – 1411259 Trương Hồ Ni - 1411216 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – TIN HỌC - - Nhóm thực hiện: Nguyễn Ngọc Như Huỳnh - 1411115 Nguyễn Thị Kim Phương - 1411237 Trần Minh Tiến – 1511309 Trần Thị Ngọc Tâm – 1411259 Trương Hồ Ni - 1411216 Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2018 LỜI CẢM ƠN Sự thành công gắn liền với hỗ trợ, giúp đỡ người xung quanh giúp đỡ nhiều hay ít, trực tiếp hay gián tiếp Trong suốt thời gian từ bắt đầu làm tiểu luận đến nay, kiến thức học từ cấp tham khảo nguồn tài liệu khác nhau, chúng em nhận quan tâm, bảo, giúp đỡ thầy cơ, gia đình bạn bè xung quanh Với lòng biết ơn vơ sâu sắc, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô- dùng tri thức tâm huyết để truyền đạt cho chúng em vốn kiến thức quý báu suốt thời gian học tập trường Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn đến Cô Tạ Thị Nguyệt Nga tận tâm bảo hướng dẫn em qua buổi học lớp Nhờ có lời hướng dẫn, dạy bảo đó, tiểu luận chúng em hoàn thành cách nhanh Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Bài tiểu luận thực vòng tuần Ban đầu chúng em bỡ ngỡ vốn kiến thức quên nhiều kĩ làm tiểu luận thời gian hạn chế Do vậy, khơng tránh khỏi thiếu sót, chúng em mong nhận ý kiến đóng góp Cơ bạn học lớp để có tiểu luận hoàn thiện Chúng em chân thành cảm ơn A Phương trình – Bất phương trình chứa thức: I Phương pháp biến đổi tương đương: Kiến thức cần nhớ: a b c d e 𝑛 𝑛 ( √𝑎 ) = 𝑎 𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑎2𝑛 = 𝑏 2𝑛 (𝑎𝑏 > 0) 𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑎2𝑛+1 = 𝑏 2𝑛+1 (∀𝑎, 𝑏) 𝑎 ≥ 𝑏 ≥ ⟺ 𝑎2𝑛 ≥ 𝑏 2𝑛 𝑎 ≥ 𝑏 ⟺ 𝑎2𝑛+1 ≥ 𝑏 2𝑛+1 (∀𝑎, 𝑏) Các dạng bản: Dạng 1: 𝑔(𝑥) ≥ √𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ { 𝑓(𝑥) = 𝑔2 (𝑥) Dạng 2: √𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) xét hai trường hợp: Trường hợp 1: { 𝑔(𝑥) < 𝑓(𝑥) ≥ Trường hợp 2: { 𝑔(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥) > 𝑔2 (𝑥) Dạng 3: 𝑓(𝑥) ≥ √𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ⟺ { 𝑔(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔2 (𝑥) Kỹ giải: Chú ý: Điều kiện thức * Bình phương hai vế phương trình – bất phương trình Ta có hai cách: Ta biến đổi cho hai vế không âm Điều kiện cho hai vế không âm VD: √5𝑥 − − √𝑥 − > √2𝑥 − (KA-2005) Ta biến đổi thành √5𝑥 − > √2𝑥 − + √𝑥 − bình phương hai vế đưa dạng để giải Tương tự bạn giải √𝑥(𝑥 − 1) + √𝑥(𝑥 + 2) = 2√𝑥 (1) (Đ𝑆: 𝑥 = 0, 𝑥 = 8) * Chuyển phương trình – bất phương trình tích Xét: (nghĩa là: Đặt nhân tử chung, đẳng thức) Dùng phương pháp: thêm, bớt, tách, phân tích… Xét tốn sau: Giải phương trình √4𝑥 + − √3𝑥 − = Điều kiện: x ≥ 𝑥+3 (4𝑥 + 1) − (3𝑥 − 2) (√4𝑥 + − √3𝑥 − 2)(√4𝑥 + + √3𝑥 − 2) ⟺ √4𝑥 + − √3𝑥 − = √4𝑥 + + √3𝑥 − ⟺ (√4𝑥 + − √3𝑥 − 2) (1 − )=0 ⟺ √4𝑥 + − √3𝑥 − = √4𝑥 + − √3𝑥 − = √4𝑥 + + √3𝑥 − = TH1: √4𝑥 + = √3𝑥 − ⟺ 4𝑥 + = 3𝑥 − ⟺ 𝑥 = −3(𝑙𝑜ạ𝑖) TH2: √4𝑥 + + √3𝑥 − = ⟺ 7𝑥 − + 2√4𝑥 + 1√3𝑥 − = 25 ⟺[ ⟺ 7𝑥 − + 2√4𝑥 + 1√3𝑥 − = 25 ⟺ 2√4𝑥 + 1√3𝑥 − = 26 − 7𝑥 ⟺ 4(4𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = (26 − 7𝑥)2 ⟺ 4(12𝑥 − 5𝑥 − 2) = 676 − 364𝑥 + 49𝑥 ⟺ 𝑥 − 344𝑥 + 684 = ⟺ 𝑥1 = 342(𝐿𝑜ạ𝑖), 𝑥2 = 2(𝑁ℎậ𝑛) * Một số dạng chuyển thành tích: Dạng 𝑢 + 𝑣 = + 𝑢 ∗ 𝑣 ⟺ (𝑢 − 1)(𝑣 − 1) = Dạng √𝑎𝑥 + 𝑏 ± √𝑐𝑥 + 𝑑 = Ta biến đổi thành (𝑎 − 𝑐)𝑥 + (𝑏 − 𝑑) 𝑚 𝑚√𝑎𝑥 + 𝑏 ± √𝑐𝑥 + 𝑑 = (𝑎𝑥 + 𝑏) − (𝑐𝑥 + 𝑑) (tức là: 𝑚(𝑎 ± 𝑏) = 𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)) Dạng: 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 𝑎𝑏 + 𝑢𝑣 ⟺ (𝑢 − 𝑏)(𝑣 − 𝑎) = Dạng: 𝑎3 − 𝑏 = ⟺ (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 ) = ⟺ 𝑎 = 𝑏 * Chuyển dạng 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + ⋯ + 𝑨𝒏 = 𝟎 với 𝑨𝒊 ≥ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒊 ≤ 𝒏 phương trình tương đương với 𝑨𝟏 = 𝟎, 𝑨𝟐 = 𝟎, … , 𝑨𝒏 = 𝟎 Xét ví dụ sau: Giải phương trình 4𝑥 + 3𝑥 + = 4𝑥√𝑥 + + 2√2𝑥 − Giải Đk: x ≥ ⟺ [(2𝑥 ) − ∗ 2𝑥 ∗ √𝑥 + + 𝑥 + 3] + [12 − ∗ ∗ √2𝑥 − + 2𝑥 − 1] = 2𝑥 − √𝑥 + = 2𝑥 = √𝑥 + ⟺ ⟺ − √2𝑥 − = = √2𝑥 − { { 𝑥≥0 2𝑥 ≥ 𝑥≥0 𝑥 = 1(𝑁ℎậ𝑛) 2 4𝑥 = 𝑥 + ⟺ 4𝑥 − 𝑥 − = ⟺ 𝑥 = − (𝐿𝑜ạ𝑖) ⟺ 𝑥 = = 2𝑥 − 2𝑥 − = 𝑥 = 1(𝑛ℎậ𝑛) { { { * Sử dụng lập phương: 2 ⟺ (2𝑥 − √𝑥 + 3) + (1 − √2𝑥 − 1) = ⟺ 3 Với dạng tổng quát √𝑎 ± √𝑏 = √𝑐 ta lập phương hai vế sử dụng đẳng thức (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 𝑏 ± 3𝑎𝑏(𝑎 ± 𝑎𝑏) Khi phương trình tương đương với hệ 3 𝑎 ± √𝑏 = √𝑐 { √ 𝑎 ± 𝑎𝑏 ± √𝑎𝑏𝑐 = 𝑐 Giải hệ phương trình ta nghiệm phương trình Ví dụ: Giải phương trình 3 √𝑥 + + √𝑥 − = √2𝑥 − (ĐS: x = 1, x = 2, x = ) II Phương pháp đặt ẩn phụ: Xét ví dụ: Tìm m để bất phương trình: 𝑚(√𝑥 − 2𝑥 + + 1) + 𝑥(2 − 𝑥) ≤ (1) có nghiệm Giải TXĐ: 𝑥 ∈ [0; + √3] Đặt: 𝑡 = √𝑥 − 2𝑥 + ⟹ 𝑥 − 2𝑥 = 𝑡 − Nếu 𝑥 ∈ [0; + √3] 𝑡 ∈ √(𝑥 − 1)2 + ∈ [0,2] Bất phương trình trở thành: 𝑚(𝑡 + 1) + − 𝑡 ≤ 0, (1) Khi ta có: Đặt: 𝑓(𝑡) = (𝑡 −2) 𝑡+1 ≥ 𝑚, với ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 −2 ,… , dùng đồ thị ta tìm 𝑚 ≤ 𝑡+1 (lưu ý: tìm miền giá trị củ t: dùng bất đẳng thức dùng phương pháp hàm số) Dạng 1: 𝑛 𝐹( √𝑓(𝑥) = 0, đặt 𝑡 = 𝑛√𝑓(𝑥) (lưu ý n chẵn ta thêm điều kiện 𝑡 ≥ 0) lại qua t Dạng 2: 𝑚(√𝑓(𝑥) ± √𝑔(𝑥) ± 2𝑛√𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑚(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) + 𝑃 = Đặt 𝑡 = √𝑓(𝑥) ± √𝑔(𝑥), bình phương vế để biểu diễn đại lượng Dạng 3: (đặt ẩn phụ không triệt để) 𝑎𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)√𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥) = 0, đặt 𝑡 = √𝑓(𝑥) Khi phương trình trở thành 𝑎𝑡 + 𝑔(𝑥)𝑡 + ℎ(𝑥) = VD1: (4𝑥 − 1)√𝑥 + = 2𝑥 + 2𝑥 + 1, (1) Giải Đặt 𝑡 = √𝑥 + ≥ 1, thì: 𝑡 = < 1(𝑙𝑜ạ𝑖) (1) ⟺ (4𝑥 − 1) 𝑡 = 2𝑡 + (2𝑥 − 1) ⟺ 2𝑡 − (4𝑥 − 1)𝑡 + 2𝑥 − = ⟺ [ 𝑡 = 2𝑥 − 2 2𝑥 − ≥ 𝑡 = 2𝑥 − ⟺ √𝑥 + = 2𝑥 − ⟺ { ⟺ 𝑥=0⟺𝑥= 𝑥 + = 4𝑥 − 4𝑥 + [ 𝑥=3 { 𝑥≥ Kết luận: phương trình có nghiệm: 𝑥 = Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 𝑛 𝑚 Phương trình có dạng 𝐹[𝑓(𝑥), √𝑎 + 𝑓(𝑥), √𝑏 − 𝑓(𝑥)] = Đặt 𝑢 = 𝑛√𝑎 + 𝑓(𝑥), 𝑣 = 𝑚√𝑏 − 𝑓(𝑥) Khi ta hệ phương trình 𝐹(𝑢, 𝑣) = { 𝑛 giải hệ tìm u , v sau ta tìm 𝑥 Khi tìm 𝑥 ta giải 𝑢 + 𝑣𝑚 = 𝑎 + 𝑏 [ 𝑢 = 𝑛√𝑎 + 𝑓(𝑥) 𝑣 = 𝑚√𝑏 − 𝑓(𝑥) VD1: Giải phương trình sau: 1/ √3 + 𝑥 + √6 − 𝑥 = + √(3 + 𝑥)(6 − 𝑥) (ĐS: 𝑥 = 6, 𝑥 = −3) 2/ √24 + 𝑥 + √12 − 𝑥 = (ĐS: 𝑥 = −24, 𝑥 = −88, 𝑥 = 3) VD2: Xét phương trình sau (tự giải) √3 + 𝑥 + √6 − 𝑥 = 𝑚 + √(3 + 𝑥)(6 − 𝑥) a/ Giải phương trình 𝑚 = (ĐS: 𝑥 = −3, 𝑥 = 6) b/ Tìm 𝑚 để phương trình có nghiệm ( 6√2−9 ≤ 𝑚 ≤ 3) Dạng 5: Xét tốn sau: Giải phương trình: √5𝑥 + 14𝑥 + − √𝑥 − 𝑥 − 20 = 5√𝑥 + Giải ĐK: 𝑥 ≥ 𝑝𝑡 ⟺ √5𝑥 + 14𝑥 + = 5√𝑥 + + √𝑥 − 𝑥 − 20 ⟺ 2(𝑥 − 4𝑥 − 5) + 3(𝑥 + 4) = 5√(𝑥 − 4𝑥 − 5)(𝑥 + 4) 𝑥 −4𝑥−5 Đặt 𝑡 = √ 𝑥+4 ,𝑡 ≥ Phương trình trở thành: 2𝑡 − 5𝑡 + = ⟺ 𝑡 = 1, 𝑡 = Với 𝑡 = ⟺ 𝑥 = 5+√61 > ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = (5−√61) 0, ∀𝑡 Vậy 𝑓(𝑡) hàm số đồng biến nên ta có: − 𝑥 (1 − 2𝑥) = ⟺ 𝑥 − 2𝑥 = ⟺ 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑥2 𝑥2 Câu 2: Giải phương trình 𝑥 𝑥 (√3 − √2) + (√3 + √2) = (√5) 𝑥 Giải Đặt: 𝑎 = √3 − √2, 𝑏 = √3 + √2, 𝑐 = √5 Ta có: < 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, phương trình cho trở thành: 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑐 𝑥 ⟺ ( 𝑐 ) + (𝑐 ) = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 Nếu 𝑥 ≥ ( 𝑐 ) > 0, ( 𝑐 ) > ⟹ ( 𝑐 ) + ( 𝑐 ) > Nếu 𝑥 < ( 𝑐 ) > 1, ( 𝑐 ) > ⟹ ( 𝑐 ) + ( 𝑐 ) > Vậy phương trình vơ nghiệm VD3: 2𝑥+1 − 4𝑥 = 𝑥 − 1, (𝐼) Nhận thấy 𝑥 = nghiệm phương trình (𝐼) Khi 𝑥−1 2𝑥 ⟹ 2𝑥+1 > 22𝑥 = 4𝑥 ⟹ 𝑉𝑇(𝐼) = 2𝑥+1 − 4𝑥 > 0, 𝑉𝑃(𝐼) = Vậy 𝑥 < 1, phương trình (𝐼) khơng có nghiệm Khi 𝑥 > ⟹ 𝑥 + < 2𝑥 ⟹ 2𝑥+1 < 22𝑥 = 4𝑥 ⟹ 𝑉𝑇(𝐼) = 2𝑥+1 − 4𝑥 < 0, 𝑉𝑃(𝐼) = 𝑥 − > Vậy 𝑥 > 1, phương trình (𝐼) khơng có nghiệm Do đó, phương trình (𝐼) có nghiệm 𝑥 = IV Dạng bất đẳng thức: VD1: Giải phương trình: √7 − 𝑥 + √𝑥 − = 𝑥 − 12𝑥 + 38, (1) Giải ĐK: { 7≥𝑥 7−𝑥 ≥ ⟺{ ⟺5≤𝑥≤7 𝑥−5≥0 𝑥≥5 Áp dụng bất đẳng thức B.C.S, ta có: √7 − 𝑥 + √𝑥 − ≤ √2 (7 − 𝑥 + 𝑥 + 5) = Dấu " = " xảy khi: √7 − 𝑥 √𝑥 − = ⟺ 𝑥 = 6, (2) 1 Ta lại có: 𝑥 − 12𝑥 + 38 = 𝑥 − 12𝑥 + 36 + = (𝑥 + 6)2 + ≥ Dấu " = " xảy ⟺ 𝑥 = 6, (3) (1), (2), (3) ⟹ (1) có nghiệm dấu " = " (2), (3) xảy ⟹ nghiệm phương trình 𝑥 = VD2: √4𝑥 − + √8𝑥 − = 4𝑥 − 3𝑥 + 5𝑥, (1) Giải ĐK: 𝑥 ≥ √4𝑥 − √8𝑥 − (1) ⟺ + = 4𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 𝑥 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: √1(4𝑥 − 1) 4𝑥 − + ≤ =2 𝑥 2𝑥 √1.1.1 (8𝑥 − 3) 8𝑥 − + + + ≤ =2 𝑥 4𝑥 Nên √1(4𝑥 − 1) √1.1.1 (8𝑥 − 3) + ≤ 4, ∀𝑥 ≥ 𝑥 𝑥 Đẳng thức xảy ⟺ 𝑥 = Mặt khác, ta có: 4𝑥 − 3𝑥 + = 4𝑥 − 3𝑥 + + = (2𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1) + ≥ 4, ∀𝑥 ≥ Dấu đẳng thức xảy ⟺ 𝑥 = Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = V Một số phương trình có cách giải đặc biệt: VD1: Giải phương trình sau: (√𝑥 + − √𝑥 + 2) (1 + √𝑥 + 7𝑥 + 10) = 3, (1) Giải ĐK: 𝑥 ≥ −2 Ta có: 𝑥 + 7𝑥 + 10 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 2) Nhân hai vế phương trình (1) cho (√𝑥 + + √𝑥 + 2) ta được: (1) ⟺ (1 + √(𝑥 + 5)(𝑥 + 2)) = √𝑥 + + √𝑥 + ⟺ √(𝑥 + 5)(𝑥 + 2) − √𝑥 + + − √𝑥 + = 𝑥 = −4 (𝑙𝑜ạ𝑖) ⟺ (√𝑥 + − 1)(√𝑥 + − 1) = ⟺ [ 𝑥 = −1 (𝑛ℎậ𝑛) Vậy nghiệm phương trình (1) 𝑥 = −1 VD2: √2𝑥 + + = 𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥, (1) Giải (1) ⟺ 3√2𝑥 + + = 𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 ⟺ 3√2𝑥 + = (𝑥 + 1)3 − 𝑥 − Đặt: 𝑦 + = √2𝑥 + ⟹ (𝑦 + 1)3 = 2𝑥 + 3, (2) trở thành 𝑦 + = (𝑥 + 1)3 − 𝑥 − ⟹ (𝑥 + 1)3 = 𝑥 + 𝑦 + 3, (3) Lấy (2) − (1) vế theo vế: (1) (𝑥 + 1)3 − (𝑦 + 1)3 = 𝑦 − 𝑥 ⟺ (𝑥 − 𝑦)[(𝑥 + 1)2 + (𝑥 + 1)(𝑦 + 1) + (𝑦 + 1)2 + 1] = ⟺ 𝑥 = 𝑦 [(𝑥 + 1)2 + (𝑥 + 1)(𝑦 + 1) + (𝑦 + 1)2 + 1] > (∀𝑥, 𝑦 phương trình bậc hai theo (𝑥 + 1) có ∆< 0) Thay 𝑥 = 𝑦 vào (2) ta có: 𝑥1 = −2 (−1 − √5) 𝑥 = 2 (𝑥 + 1) = 2𝑥 + ⟺ (𝑥 + 2)(𝑥 + 𝑥 − 1) = ⟺ (−1 + √5) 𝑥 = { Vậy phương trình cho có ba nghiệm 𝑥1 = −2, 𝑥2 = 10 −1−√5 , 𝑥3 = −1+√5 VD3: Giải phương trình 4𝑥 + 29 7𝑥 + 7𝑥 = √ 28 Giải 4𝑥+29 Đặt √ 28 =𝑡+2 2 4𝑥+29 Ta có: (√ 28 ) = (𝑡 + 2) ⟺ 𝑡 + 𝑡 + = 4𝑥+9 28 ⟺ 28𝑡 + 28𝑡 + = 4𝑥 + Ta có HPT: 1 7𝑥 + 7𝑥 = 𝑡 + , (1) 7𝑥 + 7𝑥 − 𝑡 − = { ⟺{ 2 2 7𝑥 − 7𝑡 + 8𝑥 − 8𝑡 = (𝑑𝑜 (1) − (2)) 7𝑡 + 7𝑡 = 𝑥 + , (2) 𝑥=𝑡 =0 7𝑥 + 6𝑥 − =0 { ⟺{ ⟺{ 2 7𝑥 + 7𝑥 − 𝑥 − = (𝑥 − 𝑡)[7(𝑥 + 𝑡) + 8] = 𝑥=𝑡 7𝑥 + 7𝑥 − 𝑡 − ⟺𝑡=𝑥= Đáp số: 𝑥 = −3 + √50 −3+√50 VD4: Giải phương trình 𝑥 + 2𝑥 = (7 − 3𝑥)√5 − 3𝑥, (1) Giải ĐK: 𝑥 ≤ Để ý: (7 − 3𝑥)√5 − 3𝑥 = (5 − 3𝑥)√5 − 3𝑥 + 2√5 − 3𝑥 (1) ⟺ 𝑥 + 2𝑥 = (5 − 3𝑥)√5 − 3𝑥 + 2√5 − 3𝑥 Xét hàm số: 𝑓(𝑡) = 𝑡 + 2𝑡 đồng biến ℝ −3±√29 𝑥>0 Có 𝑓(𝑥) = 𝑓(√5 − 3𝑥) ⟺ 𝑥 = √5 − 3𝑥 ⟺ { ⟺𝑥 = − 3𝑥 = 𝑥 Bài tập: giái phương trình, bất phương trình sau: 3 √𝑥 + + √𝑥 + = + √𝑥 + 3𝑥 + 4 √𝑥 + + √𝑥 = + √𝑥 + 𝑥 √𝑥 + + 2𝑥√𝑥 + = 2𝑥 + √𝑥 + 4𝑥 + 11 √𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 + + √2𝑥 = √𝑥 + + √2𝑥 + + 3√9𝑥 (𝑥 + 2) = 2𝑥 + 3√3𝑥(𝑥 + 2)2 √4𝑥 − 𝑦 − √𝑦 + = √4𝑥 + 𝑦 √1 − 2𝑥 + √1 + 2𝑥 ≥ − 𝑥 √𝑥 + 3𝑥 + + √𝑥 + 6𝑥 + ≤ √2𝑥 + 9𝑥 + 𝑥 + √(1 − 𝑥 )3 = 𝑥√2(1 − 𝑥 ) 3 10 𝑥 + 4√𝑥 + + 2√3 − 2𝑥 = 11 11 √3𝑥 − = 83 − 36𝑥 + 53𝑥 − 25 12 𝑥 + √(1 − 𝑥 )3 = 𝑥√2 − 2𝑥 13 𝑥 = √2 − 𝑥√3 − 𝑥 + √3 − 𝑥√5 − 𝑥 + √5 − 𝑥√2 − 𝑥 14 𝑥 − 2𝑥 − = √𝑥 + 15 √𝑥 − 2𝑥 + + √𝑥 − = 16 𝑥 − 4𝑥 − 5𝑥 + = √7𝑥 + 9𝑥 − 17 2(1 − 𝑥)√𝑥 + 2𝑥 − = 𝑥 − 2𝑥 − 18 2𝑥 − 11𝑥 + 21 − √4𝑥 − = 19 √𝑥 + 𝑥 − + 3√𝑥 − − √3𝑥 − 6𝑥 + 19 = 3 20 √7𝑥 + − √𝑥 − 𝑥 − + √𝑥 − 8𝑥 − = B Hệ phương trình Các phương pháp thường gặp + Phương pháp cộng + Phương pháp + Biến đổi đặt ẩn phụ + Đưa hệ phương trình bậc + phương pháp mà thuường sử dụng để giải hệ phương trình Các cách tảng để giải hệ phương trình phức tạp, hệ phương trình khơng mẫu mực Chúng ta khơng nêu cách thức giải chúng mà vào hệ phương trình cụ để xem cách thức lối giải riêng hệ phương trình khác có điểm hay Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : { 𝑥 + 𝑦 − √𝑥𝑦 = (1) √𝑥 + + √𝑦 + = (2) Giải 12 (I) { (I) 𝑥 + 𝑦 = + √𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 + + 2√(𝑥 + 1)(𝑦 + 1) = 16 Điều kiện : x + y ≥ ; xy ≥ x > 0; y ≥ { 𝑥 + 𝑦 = + √𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 = + √𝑥𝑦 √𝑥𝑦 + 2√(𝑥 + 1)(𝑦 + 1) = 12 { { { 2√4 + √𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 = 11 − √𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 = + √𝑥𝑦 4(4 + √𝑥𝑦 + 𝑥𝑦) = 121 − 22√𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 = + √𝑥𝑦 { 35 3𝑥𝑦 + 26√𝑥𝑦 − 105 = √𝑥𝑦 = ∨ √𝑥𝑦 = − (𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑥 + 𝑦 = + √𝑥𝑦 𝑥+ 𝑦=6 Vậy (I) { 𝑥𝑦 = Nên x, y hai nghiệm phương trình X2 – 6X + =0 x = y = Kết luận: Hệ phương trình (I) có nghiệm (3;3) Phương pháp: Thế (x +y) phương trình (2) (3 +√𝑥𝑦) phương trình (1) Điểm đặc biệt: Cách đặt điều kiện Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : 𝑥3 + 𝑦3 = (1) { 2 𝑥 𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 (2) Giải (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 ) = 1(1) (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 ) = { 𝑦(𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 ) = 𝑦(𝑦 + 𝑥)2 = 2(2) Thế (1) vào (2), ta có (I) { (2) y(𝑥 + 𝑦)2 = 2(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 ) (x + y)[y(x + y) - 2(𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 )] = (x + y)(-2𝑥 + 3xy - 𝑦 ) = 𝑥3 + 𝑦3 = (𝐼𝐼)(𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) { 𝑥+𝑦 =0 Như (I) 𝑥3 + 𝑦3 = { (𝐼𝐼𝐼) [ −2𝑥 𝑣 + 3𝑦𝑥 − 𝑦 = Giải (III) [ −2𝑥 + 3𝑥𝑦 − 𝑦 = (𝑙à 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑏ậ𝑐 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑥) 𝑥3 + 𝑦3 = 13 [ (𝑥 − 𝑦)(2𝑥 − 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑥 = √2 𝑥=𝑦 𝑥−𝑦 =0 𝑥=𝑦 { { {𝑥 = 𝑥 + 𝑦3 = 2𝑥 = 𝑦 = √2 { 𝑥= 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 2𝑥 { { { 𝑥 + 𝑦3 = 8𝑥 + 𝑥 = 𝑦= √9 √9 Ví dụ 3: { 𝑥 − 8𝑥 = 𝑦 + 2𝑦 (1) 𝑥 − = 3(𝑦 + 1)(2) (I) (x,y ∈ 𝑅) Giải 𝑥 − 𝑦 = 2(4𝑥 + 𝑦) 3(𝑥 − 𝑦 ) = 6(4𝑥 + 𝑦)(1) { 𝑥 − 3𝑦 = (2) 𝑥 − 3𝑦 = Thế (2) vào (1) ta có (I) { 3(𝑥 − 𝑦 ) = (𝑥 − 3𝑦 )(4𝑥 + 𝑦) 𝑥 − 3𝑦 = 𝑥 + 𝑥 𝑦 − 12𝑥𝑦 = 𝑥(𝑥 + 𝑦𝑥 − 12𝑦 ) = { { 𝑥 − 3𝑦 = 𝑥 − 3𝑦 = 𝑥 = => −3𝑦 = (𝑉𝑁) 𝑥 = 3𝑦 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 (2) => (3; 1), (−3; 1) (I) { 6 6 𝑥 = −4𝑦 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 (2) => (−4√ ; √ ) , (4√ ; −√ ) 13 13 13 13 { Kết luận: Hệ phương trình (I) có nghiệm: 6 6 (3;1), (-3,-1), (−4√13 ; √13) , (4√13 ; −√13) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: { 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 3𝑦 (1) (I) (2) Giải 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 3𝑦 Thế (1) vào (2) ta có: (I) { (1) (2) 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = (1) 3 2 𝑥 + 𝑦 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦)(𝑥 + 3𝑦)(2) 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = (1) { 2 2𝑦[𝑥 + (𝑥 + 𝑦) ] = => 𝑦 = (2) (I) { Thế y = vào phương trình (1), ta có :𝑥 = x = ± 14 Kết luận: Hệ phuơng trình (I) có hai nghiệm (1;0) (-1;0) Điểm đặc biệt phương trình (1) : 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = Điểm đặc biệt phương trình (2) : 𝑥 + 𝑦 = 1.(x + 3y) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦)(x + 3y) Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 + = 4𝑦 (1) { 𝑦(𝑥 + 𝑦)2 = 2𝑥 + 7𝑦 + (2) Giải (I) Dễ thấy y = không thoả mãn hệ, ta chia phương trình hệ cho y ≠0 𝑥 +1 (I) +𝑥+𝑦 =4 𝑦 { 𝑥 +1 (𝑥 + 𝑦)2 − 𝑦 = Đặt u = (I) 𝑥 +1 𝑦 ; v = x + y, ta có: 𝑣 = => 𝑢1 = 𝑢 = 4−𝑣 𝑢+𝑣 =4 { { { 𝑣 𝑣 + 2𝑣 − 15 = 𝑣 − 2𝑢 = = −5 => 𝑢2 = Với { 𝑢1 = 𝑥 +1 𝑦 =1 { 𝑣1 = 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 +1 𝑥 = 𝑥 = −2 𝑥2 + = 𝑦 { ∨{ 𝑦=2 𝑦=5 𝑦 =3−𝑥 𝑥 + = 9𝑦 𝑥 + 9𝑥 + 46 = { { (VN) 𝑦 = −5 − 𝑥 𝑦 = −5 − 𝑥 𝑣2 = 𝑥 + 𝑦 = −5 Kết luận: Hệ phương trình (I) có nghiệm : (1,2), (-2,5) 𝑢2 = =9 Với { Giải hệ phương trình sau : (4𝑥 + 1)𝑥 + (𝑦 − 3)√5 − 2𝑦 = (1) { (I) 4𝑥 + 𝑦 + 2√3 − 4𝑥 = (2) Giải 𝑦 Điều kiện : x ≤ 4; y ≤ Đặt u = 2x ; v = √5 − 2𝑦, phương trình (1) trở thành: u(𝑢2 + 1) = v(𝑣 + 1) 𝑢3 + 𝑢 = 𝑣 + 𝑣 (u –v)(𝑢2 + 𝑢𝑣 + 𝑣 + 1) = 𝑢=𝑣 {𝑢2 + 𝑢𝑣 + 𝑣 + = 𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑢 (1) Vậy u = v √5 − 2𝑦 = 2x { 0≤𝑥≤4 𝑦= 5−4𝑥 2 𝑡ℎế 𝑣á𝑜 (2) 25 Phương trình (2) − 6𝑥 + 4𝑥 + 2√3 − 4𝑥 = 25 Xét hàm f(x) = 4𝑥 - 6𝑥 + +2√3 − 4𝑥 [0; ] 15 (*) Có f’(x) = 4x(4𝑥 − 3) - √3−4𝑥 3 𝑦1 = 𝑦 =𝑥 +1 𝑦 =𝑥 +1 { { { 𝑥+𝑥 +1−2=1 𝑥 + 𝑥 − = 𝑥2 = −2 => 𝑦2 = (I) Kết luận: Hệ phương trình (I) có nghiệm (1;2),(-2,5) Giải hệ phương trình sau : 4𝑥𝑦 + 4(𝑥 + 𝑦 ) + (𝑥+𝑦)2 = { 2𝑥 + 𝑥+𝑦 = (1) (2) Giải Điều kiện: x+y ≠ (I) 3(𝑥 + 𝑦)2 + (𝑥 − 𝑦)2 + (𝑥+𝑦)2 = { (𝑥 + 𝑦) + +𝑥−𝑦+3 𝑥+𝑦 Đặt u = x +y + 𝑥+𝑦 Điều kiện : |𝑢| ≥ 2; 𝑣 = 𝑥 − 𝑦 2 𝑣 = 3−𝑢 𝑢=2 {3𝑢 + 𝑣 = 13 { { 3𝑢 + (3 − 𝑢) = 13 𝑣=1 𝑢+𝑣 =3 x + y + 𝑥+𝑦 = 𝑥+𝑦 =1 𝑥=1 Vậy : { { { 𝑦=0 𝑥−𝑦 =1 𝑥−𝑦 =1 (I) Kết luận: hệ phương trình (I) có nghiệm (0;1) Giải hệ phương trình { 𝑥 (6 + 21𝑦) = 𝑥(𝑦 − 6) = 21 16 (1) (I) (2) (I) Giải Nếu giải trực tiếp (I) với ẩn (x,y) khó thấy hướng giải chuyện rõ ràng ta đặt x=𝑧 Khi ta có: 𝑧 = 21𝑦 + 𝑧 = 21𝑦 + (I) { { 𝑧 − 𝑦 = 21(𝑦 − 𝑧) 𝑦 = 21𝑧 + 𝑧=𝑦 𝑧 = 21𝑦 + { { (II) 2 𝑧 = 21𝑦 + (𝑧 − 𝑦)(𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑦 + 21) = 𝑧 = 21𝑦 + { (III) 𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑦 + 21 = 𝑦 ≈ −3,5 => 𝑥 = 𝑧=𝑦 Giải (I) { => 𝑧 = 21𝑧 − = 𝑦 ≈ 0,21 => 𝑥 = −2 100 21 50 {𝑦 ≈ −0,22 => 𝑥 = − 11 𝑧 = 21𝑦 + Giải (III) { 𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑦 + 21 = 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑏ậ𝑐 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑧 𝑡𝑎 𝑐ó: ∆𝑧 = 𝑦 − 4(𝑦 + 21) < => hệ (III) vơ nghiệm Kết luận : Hệ phương trình (I) có ba nghiệm −2 100 50 ( ; −3,5), ( 21 ; 0,21), (− 11 ; −0,22) Giải hệ phương trình : {1 𝑥 − 2𝑦 = 2(𝑦 − 𝑥 )(1) + 2𝑦 = (3𝑥 + 𝑦 )(𝑥 + 3𝑦 )(2) 𝑥 (I) Giải Điều kiện : x≠ 0, 𝑦 ≠ (I) 𝑥 {1 𝑦 { = 2𝑦 − 2𝑥 + 3𝑥 + 3𝑦 + 10𝑥 𝑦 2 = 5𝑦 𝑥 + 𝑥 + 10𝑥 𝑦 { = 5𝑥 𝑦 + 𝑦 + 10𝑥 𝑦 = 3𝑥 − 3𝑦 − 2𝑦 + 2𝑥 + 10𝑥 𝑦 2 + = 𝑥 + 5𝑥 𝑦 + 10𝑥 𝑦 + 10𝑥 𝑦 + 5𝑦 𝑥 + 𝑦 − = 𝑥 − 5𝑥 𝑦 + 10𝑥 𝑦 − 10𝑥 𝑦 + 5𝑦 𝑥 − 𝑦 5 𝑥= = (𝑥 + 𝑦)5 𝑥 + 𝑦 = √3 { { { 𝑥−𝑦=1 = (𝑥 − 𝑦) 𝑦= 1+ √3 (nhận) √3−1 5 1+ √3 √3−1 Kết luận: Hệ phương trình(I) có nghiệm ( ; ) Giải hệ phương trình : { 𝑥 (2 + 3𝑦) = 𝑥(𝑦 − 2) = Giải (1) (2) (I) 2 + 3𝑦 = 𝑥 = (𝑥)3 Vì x = khơng thoả mãn hệ (I) nên hệ (I) { 𝑦 − = 𝑥 = (𝑥) Lấy phương trình (1) + (2), ta có: 17 (1) (2) 𝑦 + 3𝑦 = ( ) + ( ) 𝑥 𝑥 𝑥 3 Đặt t = (∗) trở thành : 𝑦 + 3𝑦 = 𝑡 + 3𝑡 (∗) Xét f(u) = 𝑢3 + 3𝑢 => f’(u) = 3𝑢2 + > ∀𝑢 𝑥 Vậy f(u) = 𝑢3 + 3𝑢 hàm số tăng ℝ có f(y) = f(t) (do (*)) nên ta có y = t = Thế y = 𝑥 vào phương trình (1) ta có: 𝑥 = => 𝑦 = 2 𝑥 (2 + 𝑥) = 8 2𝑥 + 6𝑥 − = { 𝑥 = −2 => 𝑦 = −1 Kết luận: Hệ phương trình (I) có nghiệm (1;2);(-2;-1) Giải hệ phương trình sau 𝑥(4 − 𝑦 ) = 8𝑦 (1) 2) { 𝑦(4 − 𝑧 = 8𝑧 (I) (2) 2) 𝑧(4 − 𝑥 = 8𝑥 (3) Giải Nhận xét : Nếu (x;y;z) nghiệm hệ x,y,z ≠ ±2 8𝑦 𝑥 = 4−𝑦 (I) 8𝑧 𝑦= 4−𝑧 𝜋 𝜋 đặt x = 2tan𝛼 với 𝛼 ∈ (− ; ) 8𝑥 { 𝑧 = 4−𝑥 z = 2tan2𝛼; y = 2tan 𝛼; z = 2tan8 𝛼 𝜋 dẫn đến tan8 𝛼 = tan 𝛼 => 𝛼 = 𝑘 chọn k ∈ {0; ±1; ±2; ±3} 𝑣à 𝑘𝑖ể𝑚 𝑙ạ𝑖, 𝑡𝑎 đượ𝑐 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 ℎệ (𝐼) Giải hệ phương trình sau 2𝑥 − = 3𝑦 − 3𝑥 , { 𝑦 − = 3𝑥 − 2𝑦 (1) (2) (𝐼) Giải: 2𝑥 − = 3𝑦 − 3𝑥 (1) (𝐼) ⟺ { 𝑦 − = 3𝑥 − 2𝑦 (2) Lấy (1) − (2), ta được: (2𝑥 − 2𝑦 ) + (3𝑥 − 3𝑦 ) = 3(𝑦 − 𝑥) (3) Nếu 𝑥 > 𝑦 (3) khơng xảy Nếu 𝑥 < 𝑦 (3) không xảy Do 𝑥 = 𝑦 thỏa (3) nên hệ phương trình (𝐼) tương đương với hệ: 𝑦=𝑥 (𝐼) ⟺ { 𝑥 + 3𝑥 − 3𝑥 − = (4) Xét hàm số 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥 − 3𝑥 − 2, (𝑥 ∈ ℝ) Có 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 ln + 3𝑥 ln − liên tục ℝ đồng biến ℝ Mà lim 𝑓′(𝑥) = +∞; lim 𝑓 ′ (𝑥) = +∞ nên 𝑓 ′ (𝑥) = có nghiệm 𝑥→∞ 𝑥→−∞ Suy bảng biến thiên sau: 18 𝑥 −∞ 𝑥0 𝑓 ′ (𝑥 ) − +∞ + +∞ +∞ 𝑓 (𝑥 ) Suy phương trình 𝑓(𝑥) = có nhiều hai nghiệm mà 𝑓(0) = 𝑓(1) = nên 𝑥 = 0, 𝑥 = hai nghiệm phương trình 𝑓(𝑥) = Kết luận: hệ phương trình (𝐼) có hai nghiệm (0; 0), (1; 1) Giải hệ phương trình sau { x + y + z = với x, y, z > 0, (1) (1 + 𝑥)(1 + 𝑦)(1 + 𝑧) = (1 + 3√𝑥𝑦𝑧) , (2) Giải: Ta có: (1 + 𝑥)(1 + 𝑦)(1 + 𝑧) = + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥) + 𝑥𝑦𝑧 ≥ + 3√𝑥𝑦𝑧 + √(𝑥𝑦𝑧)2 + 𝑥𝑧𝑦 = (1 + 3√𝑥𝑦𝑧) Dấu " = " xảy 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = (do(1)) Kết luận: hệ phương trình có nghiệm 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 10 Giải hệ phương trình sau: { (1) 𝑥3 + 𝑦2 = 2 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑦 = (2) (𝐼) Giải: (2) ⟺ 𝑥 + 𝑦𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = (phương trình bậc hai theo x) Có ∆𝑥 = 𝑦 − 4(𝑦 − 𝑦) = −3𝑦 + 4𝑦 Để phương trình có nghiệm 𝑥 ⟺ ∆𝑥 = −3𝑦 + 4𝑦 ≥ ⟺ ≤ 𝑦 ≤ (2) ⟺ 𝑦 + (𝑥 − 1)𝑦 + 𝑥 = (phương trình bậc hai theo y) Có ∆𝑦 = (𝑥 − 1)2 − 4𝑥 = −3𝑥 − 2𝑥 + 1 Để phương trình có nghiệm 𝑦 ⟺ ∆𝑦 = −3𝑥 − 2𝑥 + ≥ ⟺ −1 ≤ 𝑦 ≤ 3 Ta có (1) ⟺ 𝑥 + 𝑦 ≤ (3) + (3) = 17 2, từ (1) suy ra: 𝑦 − < 0, điều mâu thuẫn với phương trình (2) có (𝑥 − 2), (𝑦 − 2) dấu Nếu 𝑥 < 2, từ (1) suy ra: 𝑦 − > 0, điều mâu thuẫn với phương trình (2) Do hệ phương trình (𝐼) có nghiệm 𝑥 = 𝑦 = Giải hệ phương trình sau: 12 𝑥 (2 + 3𝑦) = (1) (𝐼) { 𝑥(𝑦 − 2) = (2) Giải: Vì 𝑥 = khơng thỏa hệ (𝐼) nên ta chia phương trình (1) hệ cho 𝑥 ≠ 0, phương trình (2) cho 𝑥 ≠ 0, ta được: + 3𝑦 = ( ) , 𝑥 (𝐼) ⇔ {𝑦 − = 𝑥 = (𝑥 ) , 2 (1) (2) Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta có: 𝑦 + 3𝑦 = (𝑥) + (𝑥) Đặt 𝑡 = 𝑥, ta có: 𝑦 + 3𝑦 = 𝑡 + 3𝑡 (∗) Xét hàm 𝑓(𝑢) = 𝑢3 + 3𝑢 có 𝑓 ′ (𝑢) = 3𝑢2 + > ⇒ 𝑓(𝑢) hàm số tăng 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑡) (do (∗)), suy 𝑦 = 𝑡 ⇔ 𝑦 = 𝑥 vào phương trình (1) 𝑥 = −2 ⇒ 𝑦 = −1 (1) ⇔ 𝑥 (2 + ) = ⇔ 2𝑥 + 6𝑥 − = ⇔ [ 𝑥=1 ⇒𝑦=2 𝑥 Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm (−2, −1), (1,2) 13 Giải hệ phương trình sau: { √𝑥 + √𝑥 + + √𝑥 + = √𝑦 − + √𝑦 + + √𝑦 − (1) (𝐼) (2) 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 44, Giải: - Nếu 𝑥 > 𝑦 − ⇒ 𝑥 + > 𝑦 − 𝑥 + > 𝑦 − Do đó: √𝑥 + √𝑥 + + √𝑥 + > √𝑦 − + √𝑦 + + √𝑦 − (∗) 20 Nên phương trình (1) vơ nghiệm Nếu 𝑥 < 𝑦 − ⇒ 𝑥 + < 𝑦 − 𝑥 + < 𝑦 − Do đó: √𝑥 + √𝑥 + + √𝑥 + < √𝑦 − + √𝑦 + + √𝑦 − (∗∗) Nên phương trình (1) vơ nghiệm Từ (∗), (∗∗) (1) suy 𝑥 = 𝑦 − 5, vào phương trình (2) (2) ⇔ 𝑦 − + 𝑦 + (𝑦 − 5)2 + 𝑦 = 44 ⇔ 𝑦 − 4𝑦 − 12 = ⇔ [ 𝑦1 = −2 ⇒ 𝑥1 = −7 𝑦2 = ⇒ 𝑥2 = Kết luận: Hệ phương trình (𝐼) có hai nghiệm: (−7, −2), (1,6) Bài tập: Giải hệ phương trình sau: { 𝑥 + 2𝑦 = 2𝑦 − 2𝑥𝑦 + 3𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 = 2𝑥 − 𝑦 + 2.{ { 8𝑥 𝑦 + 27 = 18𝑦 4𝑥 𝑦 + 6𝑥 = 𝑦 { 𝑥 𝑦 (𝑦 + 𝑥 ) (𝑥 + 𝑦) = 15 { 𝑥 𝑦 ( + ) (𝑥 + 𝑦 ) = 85 𝑦 { √2𝑥 + 𝑦 + − √𝑥 + 𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦 = √𝑥 + 𝑦 + √𝑥 − 𝑦 = 𝑥 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 𝑦 = + 2𝑥𝑦 𝑥 + 𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑦 + { 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 = 3(𝑥 − 𝑦) 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 7(𝑥 − 𝑦)3 10 { { { 𝑥 𝑦(1 + 𝑦) + 𝑥 𝑦 (2 + 𝑦) + 𝑥𝑦 − 30 = 𝑥 𝑦 + 𝑥(1 + 𝑦 + 𝑦 ) + 𝑦 − 11 = + =5 𝑦 𝑥𝑦 + 𝑥 + = 7𝑦 𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 + = 13𝑦 2 𝑥𝑦 − 2𝑦 + 3𝑥 = 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 2𝑥 = 3𝑥−𝑦 𝑥(𝑥 + 2)(2𝑥 + 𝑦) = 11 { 𝑥 + 4𝑥 + 𝑦 = 13 { 𝑥(2𝑥 + 3𝑦)(𝑥 − 1) = 14 𝑥 + 𝑥 + 3𝑦 = 𝑥 + 𝑥 +𝑦2 = 12 { 𝑥+3𝑦 𝑦 − 𝑥 +𝑦 = 14 { 21 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 = 2𝑦 − 6𝑦 − MỤC LỤC Lời cảm ơn A Phương trình – Bất phương trình chứa thức I Phương pháp biến đổi tương đương Kiến thức cần nhớ 2 Các dạng II Phương pháp đặt ẩn phụ III Phương pháp hàm số IV Dạng bất đẳng thức V Một số phương trình có cách giải đặc biệt 11 B Hệ phương trình Các phương pháp thường gặp 14 Bài tập có lời giải 16 Bài tập 23 Mục lục 24 22 ... 8
Ngày đăng: 25/02/2019, 21:46
Xem thêm:
