dạy học bất phương trình bậc nhất và bậc hai ở trung học trong mối quan hệ với phương trình

Để hiện thực hóa mục tiêu đó chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau: • Phân tích bộ sáchP 2 P Toán 8, 9, đại số 10 nâng cao và cơ bản đồng thời tổng hợp những kết quả đạt được t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

Lời cảm ơn

Đầu tiên, con xin gởi lời tri ân đến Ba, Má đã sinh ra con và nuôi dạy con khôn lớn, cảm ơn những người thầy, những người cô đã đi qua trong cuộc đời tôi và truyền thụ cho tôi tri thức để thành người, gởi đến các bạn ở lớp cao học didactic toán k22 sự quí trọng nhất Cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu đã góp ý bản đề cương để tôi có thêm hướng đi trong những ngày đầu

"loe lói" ý tưởng Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn cô Vũ Như Thư Hương, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin chúc những người mà tôi đã chịu ơn luôn mạnh khỏe

và hạnh phúc

VÕ THANH PHÚ

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của cô Vũ Như Thư Hương, tôi không sao chép lại luận văn của người khác Nếu lời cam đoan của tôi không đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng pháp luật

Võ Thanh Phú

DANH M ỤC CÁC BẢNG

Bảng 1: Trích từ tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn

Bảng 2.1: Bảng tóm tắt kĩ thuật giải phương trình bậc hai 9

Bảng 2.2: Tóm tắt kĩ thuật giải phương trình, bất phương trình bậc nhất ;

phương trình, bất phương trình quy về bậc nhất ở lớp 8 20

Bảng 2.3: Kết quả giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0 23

Bảng 2.4: Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất 23Bảng 2.5: Tam thức bậc hai vô nghiệm (∆ < 0) 25

Bảng 2.6: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x0 = −2b a (∆ = 0) 25Bảng 2.7: Tam thức bậc hai có hai nghiệm xR 1 R và xR 2 R (xR 1 R< xR 2 R), ∆ > 0 26

Bảng 2.8: Bảng thống kê bài tập giải BPT bậc hai 43

Bảng 2.9: Tập nghiệm của BPT bậc hai trong trường hợp tam thức bậc hai

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do ch ọn đề tài

Trong chương trình môn toán của Việt Nam, cùng với việc mở rộng hệ thống

số là việc giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT) trong từng tập số tương ứng Khái niệm PT, BPT được hình thành ngầm ẩn từ cấp tiểu học thông qua các bài toán “điền vào chỗ trống”, tìm x (trong tập số ℕ)

B ảng 1: Trích từ tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán

l ớp 10 năm 2010

Đến cấp trung học cơ sở, trong chương trình lớp 7 có khái niệm về PT ax = b (trong tập ℚ) Khái niệm PT, BPT được giới thiệu tường minh ở lớp 8 và chúng được chính xác hóa ở lớp 10 Kể từ khi được giới thiệu tường minh, đối tượng PT, BPT tiến triển qua các lớp như sau:

8 • Khái niệm PT, BPT một ẩn

• Giới thiệu PT, BPT bậc nhất một ẩn và cách giải

9 • Phương trình bậc hai một ẩn và cách giải

11 • PT lượng giác.

• PT, BPT đại số tổ hợp

12 • PT, BPT mũ, logarit

• Giải PT trong tập số phức

BPT đóng một vai trò quan trọng trong toán học Nó là một phần trong nhiều

chủ đề toán học như: đại số, lượng giác, quy hoạch tuyến tính, giải tích (Chakrabarti&Hamsapriye, 1997; Mahmood & Edwards, 1999) Ví dụ như trong lĩnh vực giải tích để tìm tập xác định của các hàm số f x( )= x2 − 2x+ 2và

1

P

, 1989) Họ đề xuất thêm rằng học sinh "sẽ hiểu ý nghĩa của các hình thức tương đương của các biểu thức, PT, BPT, hệ phương trình và giải chúng một cách thông thạo" [NCTM, 2000, tr.269] Với vai trò quan trọng như thế chúng tôi tự hỏi:

PT và BPT được xây dựng và tiến triển ra sao trong việc dạy và học toán ở Việt Nam theo chương trình hiện hành? Trong mỗi lớp học có những kiểu bài tập nào

gắn liền với khái niệm này?

Một PT là một phát biểu mà duy trì giá trị bằng nhau của hai biểu thức toán

học Nếu phát biểu này là đúng với tất cả các giá trị của biến thì nó được gọi là một đồng nhất thức [13] BPT là một phát biểu sử dụng các ký hiệu < (nhỏ hơn), > (lớn hơn), ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng), và ≥ (lớn hơn hoặc bằng) thay cho dấu bằng trong hai

biểu thức của PT Một BPT không cụ thể như một PT, nhưng nó có chứa thông tin

về các biểu thức liên quan Ngoài ra, BPT còn cung cấp một quan điểm bổ sung cho

PT

1 National Council of Teachers of Mathematics

Nhìn chung, PT và BPT có vẻ như nhau, chúng giống nhau về nguyên tắc thực hành chẳng hạn như cộng và trừ bất kỳ một biểu thức, nhân (hoặc chia) các số nguyên dương Bên cạnh đó, chúng còn có nhiều điểm khác biệt, chẳng hạn như trong một PT để chứng minh câu trả lời là đúng, tất cả những gì chúng ta cần làm là

gắn câu trả lời vào sự bằng nhau Ví dụ (VD) nếu PT là 4x = 8 và câu trả lời là x = 2 thì chúng ta cần chứng minh khi thế số 2 vào để được: 4.2 = 8 Tuy nhiên, trong một BPT, chúng ta có một loạt các câu trả lời khác nhau Do đó, để chứng minh câu trả

lời chúng ta cần thế nhiều giá trị VD nếu BPT x >2 9 và câu trả lời là x < -3 hoặc3

x> Để chứng minh điều này chúng ta cần làm nhiều bước Chẳng hạn như để

x − x+ = , ∆’ = -2 nên PT vô nghiệm?

Đâu là nguyên nhân của những sai lầm trên? Ngoài những sai lầm đó học sinh còn có những sai lầm nào khác liên quan đến bài tập giải BPT?

Trong lịch sử, để giải các BPT thông thường ở các bước đầu tiên (trong nhiều trường hợp nó là bước chính) là việc giải một PT, ví dụ như để giải BPT a(x)

< b(x) chúng ta phải giải các PT a(x) = b(x) Sau đó, một cách hình thức ta sẽ thay

dấu “=” thành dấu “<” thì ta sẽ thu được kết quả cho BPT đưa ra Ngoài ra, các công trình nghiên cứu của P.Tsamir & L.Bazzini (2002) đã chỉ ra học sinh Isreal gặp phải sai lầm khi giải BPT chứa ẩn ở mẫu, sai lầm cũng được Mehmet Üreyen,

Nevin Mahir, Nezahat Çetin (2005) chỉ ra khi thực hiện nghiên cứu trên học sinh Thổ Nhĩ Kỳ

Qua những phân tích trên chúng tôi thấy một nghiên cứu đầy đủ về việc dạy

và học PT, BPT là thật sự cần thiết Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp nên chúng tôi

chỉ giới hạn đối tượng nghiên cứu của mình là: PT, BPT bậc nhất ở lớp 8 và lớp 10;

PT, BPT bậc hai ở lớp 9 và 10, các đối tượng PT và BPT mà chúng tôi nghiên cứu chỉ có một ẩn

Vì những lí do trên nên chúng tôi chọn “dạy học bất phương trình bậc nhất

và b ậc hai ở trung học trong mối quan hệ với phương trình” làm tên đề tài nghiên

cứu của mình

II Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán Cụ thể là thuyết nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích chương trình và sách giáo khoa Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm có thể tồn tại nơi học sinh Trên cơ sở phạm vi lý thuyết lựa chọn, chúng tôi đặt lại câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1 Mối quan hệ thể chế với đối tượng phương trình và bất phương trình được xây dựng và tiến triển ra sao ở các lớp 8, 9, 10? Đặc trưng của những tổ chức toán

học gắn liền với các đối tượng này?

Q2 Đối tượng bất phương trình đã được xây dựng như thế nào trong mối quan

hệ với đối tượng phương trình, cụ thể là bất phương trình bậc nhất, bất phương trình

bậc hai trong mối quan hệ với phương trình bậc nhất, bậc hai?

Q3 Có những sai lầm nào về việc giải bất phương trình có thể tìm thấy nơi học sinh khi chuyển từ đối tượng phương trình sang đối tượng bất phương trình? Có

những quy tắc hành động nào tồn tại nơi học sinh liên quan đến hai đối tượng đó?

III M ục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Đi tìm lời giải đáp cho những câu hỏi trên là mục tiêu nghiên cứu của luận văn này Để hiện thực hóa mục tiêu đó chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:

• Phân tích bộ sáchP

2

P

Toán 8, 9, đại số 10 (nâng cao và cơ bản) đồng thời tổng

hợp những kết quả đạt được từ các luận văn nghiên cứu về PT trước đây cùng các bài báo của các tác giả nước ngoài nghiên cứu về BPT bậc nhất và

bậc hai để tìm cách trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2

• Phân tích sách giáo viên toán 10 và tổng hợp các bài báo chuyên môn để dự đoán những sai lầm của học sinh gắn liền với đối tượng BPT và cố gắng giải thích những sai lầm này theo quan điểm của thuyết nhân học Sau đó tiến

2 Sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài t ập

hành một thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết đưa ra Thực hiện

những phương pháp này là tìm cách trả lời cho câu hỏi Q3

IV C ấu trúc luận văn

Luận văn được chia làm các phần

- Phần mở đầu

- Chương 1: Quan hệ thể chế với đối tượng phương trình, bất phương trình

- Chương 2: Thực nghiệm

- Phần kết luận

Chương 1 QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Theo chương trình giáo dục trung học môn Toán của Việt Nam PT, BPT bậc

nhất, bậc hai được giảng dạy qua các lớp như sau:

PT bậc nhất

Lớp 8, 10BPT bậc nhất

PT bậc hai Lớp 9, 10BPT bậc hai Lớp 10

Để trả lời ba câu hỏi đã đặt ra ở phần mở đầu chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và sách giáo khoa Việt Nam hiện hành qua các lớp 8, 9, 10 Ở lớp 9

học sinh không học BPT mà chỉ học về PT bậc hai nên phần phân tích SGK lớp 9 sẽ được chúng tôi lồng vào phần phân tích SGK lớp 10 Trước đây đã có một số luận văn thạc sĩ nghiên cứu về đối tượng PT bậc nhất, bậc hai nên chúng tôi sẽ kế thừa những kết quả đạt được từ những luận văn này và phần phân tích của chúng tôi chỉ tập trung vào đối tượng BPT bậc nhất và bậc hai Đối tượng PT, BPT mà chúng tôi

đề cập trong luận văn này chỉ có một ẩn

1.1 Một số kết quả về phương trình bậc nhất, bậc hai rút ra từ những nghiên cứu trước đây

Liên quan đến đối tượng PT bậc nhất, PT bậc hai chúng tôi tìm thấy ba luận văn thạc sĩ sau đây:

• Phạm Hải Dương (2011), một nghiên cứu didactic về phương trình bậc hai

chứa tham số ở lớp 9, 10, luận văn thạc sĩ, đại học sư phạm Tp.Hồ Chí Minh

• Lê Thanh Hải (2009), Tiếp cận khái niệm phương trình và phép biến đổi

phương trình bậc nhất một ẩn ở trường phổ thông, luận văn thạc sĩ, đại học sư

phạm Tp.Hồ Chí Minh

• Nguyễn Thị Thanh Thanh (2007), Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong

dạy học giải phương trình bậc hai, luận văn thạc sĩ, đại học sư phạm Tp Hồ

Chí Minh

Chúng tôi sẽ kế thừa phần phân tích SGK và những kết quả mà ba luận văn trên đạt được về đối tượng PT bậc nhất, PT bậc hai làm cơ sở tham chiếu cho phần phân tích của chúng tôi về đối tượng BPT bậc nhất, bậc hai

 Lớp 8 (chủ yếu là khái niệm PT và PT bậc nhất)

Tác giả Lê Thanh Hải khi phân tích sách Toán 8 tập hai hiện hành đã đưa ra một số kết luận sau đây:

• Khái niệm PT không được xây dựng một cách hoàn chỉnh mà chỉ được giới thiệu thông qua một ví dụ cụ thể Từ đó PT được mô tả là một sự thiết lập điều kiện bằng nhau giữa hai biểu thức của cùng một biến và có tên gọi tường minh, chưa có định nghĩa PT

• Khái niệm hai PT tương đương đã được định nghĩa và sử dụng kí hiệu "⇔ "

• Thể chế ưu tiên tuyệt đối kĩ thuật giải PT bậc nhất bằng hai quy tắc: Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số hoặc công thức nghiệm của PT bậc nhất: "Nếu PT có dạng ax+ =b 0,(a≠0) thì luôn có môt nghiệm duy nhất

b x

Bảng 2.1: Bảng tóm tắt kĩ thuật giải phương trình bậc hai

21

PT

τ Gồm hai giai đoạn liên tiếp: đặt nhân tử chung để đưa PT đã cho về dạng

P(x)×Q(x) = 0, rồi giải PT tích này

KT τPT28 xuất hiện ở bài đọc thêm nên MTBT chỉ là công cụ hỗ trợ tính toán

và chưa phải là kĩ thuật được cho phép chính thức để giải PT chuẩn tắc

 Tác giả Phạm Hải Dương thì cho rằng: "chương trình chỉ chỉ tập trung cho việc

giải các bài toán phương trình bậc hai với hệ số thuần số không có xuất hiện

dạng chứa tham số, đồng thời cũng không thấy đưa ra cách giải thể hiện sự tương giao của các đồ thị"

 Lớp 10

Theo tác giả Phạm Hải Dương:

• Đưa ra phương pháp giải và biện

luận PT dạng ax + b = 0 nhưng không

cho ví dụ minh họa mà chỉ có một

0

ax +bx+ = có hai hoạt động và hai ví c

dụ: một giải theo thuật toán ; một sử dụng

kĩ thuật đồ thị

Tác giả Nguyễn Thị Thanh Thanh đã chỉ ra:

• Không xuất hiện KNV giải và

biện luận PT bằng đồ thị;

• Kĩ thuật τPT28 được cho phép

sử dụng khi giải PT bậc hai;

• Kĩ thuật τPT24 được sử dụng

chủ yếu để giải và biện luận PT có

chứa tham số ở dạng đơn giản

• PT bậc hai xuất hiện chủ yếu với vai trò công cụ hỗ trợ giải quyết các vấn đề khác

• Đối với dạng toán giải và biện luận

PT chứa tham số, ngoài kĩ thuật τPT24 còn xuất hiện kĩ thuật τPT27 Tuy nhiên, việc

sử dụng kĩ thuật này cũng chỉ dừng ở mức

độ xác định số nghiệm của PT, không cần cho ra giá trị của nghiệm Hơn nữa, đối với dạng toán sử dụng τPT27, yêu cầu bài toán thể hiện kĩ thuật ngay trong đề bài;

• Kĩ thuật τPT28 được đưa vào trong bài đọc thêm để giải quyết T PT2 4 nhưng nó cũng chỉ dừng lại ở mức độ hỗ trợ cho

24

PT

Trong ba luận văn trên, các tác giả đã chỉ ra những kĩ thuật mà thể chế ưu tiên khi giải quyết các KNV liên quan đến giải PT bậc nhất, PT bậc nhất có tham số, PT bậc hai Vậy đối với BPT những kĩ thuật nào sẽ được thể chế mong đợi và những kĩ thuật đó có gì giống và khác với PT? Những sai lầm nào có thể tìm thấy ở học sinh khi giải quyết KNV liên quan đến giải BPT? Chúng tôi sẽ cố gắng trả lời các câu hỏi này bằng việc phân tích chương trình và SGK hiện hành Trước khi tiến hành phân tích, chúng tôi đưa ra một số qui ước sau đây:

M8.2: SGK Toán 8 tập 2

G8.2: Sách giáo viên Toán 8 tập 2

E8.2: Sách bài tập Toán 8 tập 2

M9.2: SGK Toán 9 tập 2

G9.2: Sách giáo viên Toán 9 tập 2

E9.2: Sách bài tập Toán 9 tập 2

M10.1: SGK đại số 10 nâng cao

G10.1: Sách giáo viên đại số 10 nâng cao

E10.1: Sách bài tập đại số 10 nâng cao

M10.2: SGK đại số 10

G10.2: Sách giáo viên đại số 10

E10.2: Sách bài tập đại số 10

M11: Sách giáo khoa môn Toán lớp 11 của Nam Phi

" Chương này có trọng tâm là hình thành kĩ năng giải BPT bậc nhất và các BPT quy về bậc nhất nhờ hai quy tắc: Quy tắc chuyển vế (chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của

m ột BPT và đổi dấu hạng tử đó) và quy tắc nhân (nhân cả hai vế của BPT với cùng một số khác 0 và giữ nguyên chiều BPT nếu số đó dương hoặc đổi chiều BPT nếu số đó âm)"

[G8.2, tr.41]

Trong chương trình Toán lớp 8, phần đại số học kỳ 2 học sinh được học tường minh về PT, BPT một ẩn; PT, BPT bậc nhất một ẩn Theo đó với PT thì yêu cầu được đặt ra là:

"Có kĩ năng giải và trình bày lời giải các PT có dạng quy định trong chương trình (phương trình bậc nhất, phương trình quy về bậc nhất, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu)"

[G8.2, tr.3]

Đối với BPT học sinh được yêu cầu:

"Gi ải được BPT bậc nhất một ẩn; giải được một số BPT một ẩn dạng khác nhờ vận dụng đơn giản hai quy tắc biến đổi BPT"

[G8.2, tr.41]

Do có nét tương tự giữa cách trình bày về PT và BPT nên chúng tôi tự hỏi

rằng: khái niệm BPT, BPT bậc nhất trong chương trình lớp 8 được tiếp cận như thế nào? Các quy tắc để giải BPT bậc nhất và BPT quy về BPT bậc nhất có điểm nào

giống và khác với các quy tắc để giải PT bậc nhất, PT quy về PT bậc nhất? Để làm sáng tỏ điều này, chúng tôi tiến hành phân tích bộ SGK Toán 8 tập hai hiện hành

Phần phân tích của chúng tôi sẽ tập trung vào BPT, BPT bậc nhất, BPT quy về bậc

nhất Tuy nhiên, trong quá trình phân tích chúng tôi sẽ tham chiếu đến phần PT tương ứng

1.2.2 Phân tích sách giáo khoa

Ph ần lý thuyết

 B ất phương trình một ẩn

Học sinh được tiếp cận khái niệm BPT một ẩn thông qua ví dụ mở đầu bằng một bài toán có nội dung thực tế:

"B ạn Nam có 25 000 đồng Nam muốn mua một cái bút giá 4000 đồng và một quyển

v ở loại 2200 đồng một quyển Tính số quyển vở bạn Nam có thể mua được

Trong bài toán trên n ếu kí hiệu số quyển vở bạn Nam có thể mua là x, thì x phải thỏa mãn hệ thức 2200x + 4000 ≤ 25 000 Khi đó người ta nói hệ thức

2200x + 4000 ≤ 25 000

là một bất phương trình ẩn x"

[M8.2, tr41]

Cách tiếp cận này được sách giáo viên giải thích:

"M ục đích của SGK giới thiệu BPT một ẩn thông qua phần mở đầu và chỉ mô tả thuật ngữ chứ không đưa ra định nghĩa Điều chủ yếu là để học sinh hiểu biết về BPT thông qua khái ni ệm về nghiệm và tập nghiệm của BPT"

Với cách trình bày như trên thì học sinh sẽ không thiết lập được bất kỳ sự khác

biệt về nghĩa giữa khái niệm hai khái niệm PT và BPT Nghĩa là, sự khác biệt chỉ đơn thuần là kí hiệu được viết giữa các hạng tử của mối quan hệ: kí hiệu “=” trong

một PT, và một trong những kí hiệu “<”, “>”, ”≤” hoặc ”≥” Các dấu bất đẳng thức không có giá trị ngữ nghĩa khi chúng được sử dụng, đơn giản chỉ là một mối quan

hệ giữa hai hạng tửcủa một BPT

"… người ta nói hệ thức 2200x + 4000 ≤ 25 000 là một BPT với ẩn là x Trong bất phương trình này, ta gọi 2200x + 4000 là vế trái và 25 000 là vế phải"

[M8.2, tr.41]

Cũng như PT, khái niệm BPT được tiếp cận theo khía cạnh hình thức, nghĩa là được giới thiệu và hỏi về các vế của BPT Các vế ở đây được xem như là các biểu

Với cách trình bày của M8.2, thêm vào đó G8.2 đề xuất “giáo viên yêu cầu

học sinh thử định nghĩa (giáo viên có thể gợi ý: tương tự định nghĩa PT bậc nhất

m ột ẩn)” cho thấy một sự “tầm thường” của định nghĩa BPT bậc nhất, nghĩa là BPT

bậc nhất được định nghĩa hoàn toàn tương tự như PT bậc nhất, nó được xác định qua dấu hiệu có tính hình thức mà ở đó ta chỉ việc thay dấu “=” trong PT bậc nhất thành dấu “<” (hoặc dấu “>, ≤, ≥) thì ta có định nghĩa BPT bậc nhất

• Hai quy t ắc biến đổi bất phương trình

Tương tự như PT, M8.2 giới thiệu hai quy tắc - chính là công nghệ để giải thích cho các kĩ thuật giải BPT

Bi ểu thức toán học (gọi tắt là biểu thức) được hiểu là một cách kí hiệu chỉ rõ các phép toán và thứ tự thực

hi ện các phép toán đó trên các số và các chữ thay số (thuộc một trường nào đó) [Bùi Văn Nghị, 2008]

Quy tắc nhân với một số (QT2)

"Khi nhân hai vế của bất phương trình với một số khác 0, ta phải:

• Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương ;

• Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm"

[M8.2, tr.44]

Hai quy tắc của PT và BPT được lưu ý thông qua bài tập 55

"Hai quy t ắc biến đổi tương đương của BPT cũng giống như hai quy tắc biến đổi tương đương của PT Điều đó có đúng không?"

[E8.2, tr.47]

Có thể nói quy tắc chuyển vế PT, được chuyển tương tự thành quy tắc chuyển

vế của BPT Nhưng quy tắc nhân hai vế của PT với cùng một số khác 0 thì không

thể chuyển tương tự thành quy tắc nhân hai vế của BPT với cùng một số khác 0 Đối với BPT khi nhân ta phải phân biệt là nhân với số âm hay số dương Ngoài ra, G8.2 còn nhấn mạnh:

"Giáo viên lưu ý học sinh về sự khác biệt với quy tắc biến đổi PT (nhân với số âm)

và không phát biểu quy tắc chia"

[E8.2, tr.58]

Như vậy các khái niệm BPT, BPT bậc nhất được tiếp cận hoàn toàn tương tự như khái niệm PT, PT bậc nhất, chỉ có cách trình bày bằng đại số, trong đó chỉ cần thay dấu “=” trong PT thành dấu “<, >, ≥ hoặc ≤” thì có khái niệm BPT Như đã

chỉ ra ở chương 1 với cách tiếp cận này học sinh hoàn toàn không nắm được nghĩa

của BPT mặc dù về hình thức nó thuận lợi cho người dạy khi chuyển từ PT sang BPT nhưng nó sẽ gây trở ngại cho người học lần đầu tiên tiếp cận khái niệm BPT Hai quy tắc của PT được phân biệt với hai quy tắc của BPT qua một bài tập Ngoài

ra, G8.2 còn yêu cầu giáo viên lưu ý học sinh về quy tắc nhân với số âm của BPT

 Phân tích các t ổ chức toán học

Trong phần này chúng tôi sẽ phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng BPT bậc nhất, BPT quy về BPT bậc nhất Bên cạnh đó chúng tôi cũng phân tích các kĩ thuật giải PT bậc nhất, PT quy về PT bậc nhất để làm cơ sở tham chiếu

Trong quá trình phân tích chúng tôi chỉ chọn BPT với dấu “<” làm đại diện, những BPT với dấu “>, ≤, ≥” nếu chúng tôi không giải thích gì thêm thì xem như thực hiện tương tự BPT với dấu “<”

Ki ểu nhiệm vụ thứ nhất: T1 Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

VD1 Giải bất phương trình 2x – 3 < 0

Gi ải

Ta có 2x – 3 < 0

⟺ 2x < 3 (chuyển -3 sang VP và đổi dấu)

⟺ 2x: 2 < 3: 2 (Chia hai vế cho 2)

- Tìm x bằng cách chia hai vế cho hệ số của x theo QT2

Để giải thích cho KT τ1.1 sách giáo viên có nêu:

"Điều chủ yếu của kĩ thuật giải BPT bậc nhất một ẩn là phối hợp hai quy tắc biến đổi BPT vào việc giải BPT bậc nhất đầy đủ với a ≠ 1 …"

[G8.2, tr53]

Như vậy công nghệ để giải thích cho KT τ1.1 là

CN θ1.1: Qui tắc QT1, QT2, quy tắc cộng các số và các biểu thức

Về PT bậc nhất một ẩn, sách giáo viên có nêu:

"Nói “chuy ển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia” cũng có nghĩa là có thể chuyển các hạng tử chứa ẩn sang vế trái, các hằng số sang vế phải hoặc ngược lại, tùy theo đặc điểm của PT Điều này vừa giáo dục tính linh hoạt trong việc vận

d ụng kiến thức đã học, vừa tránh nhầm lẫn trong việc giải PT, nhất là BPT sau này" [G8.2, tr.11]

việc “nhầm lần” mà G8.2 đề cập ở đây mặc dù không được nêu rõ là gì nhưng thông qua lời giải của ví dụ 6 trong M8.2 tr.46 tác giả đã lộ rõ ý đồ là chuyển các hạng tử

chứa x sang một vế sao cho sau khi rút gọn thì được hệ số của x là số dương, tránh sai lầm khi chia hai vế của BPT cho số âm mà không đổi chiều BPT Tuy nhiên, quan sát lời giải của VD2 chúng tôi thấy "sai lầm" đó không được quan tâm Nếu theo những gì mà G8.2 đã nêu khi học phần PT thì VD7 phải được giải như sau:

(α hoặc β ≠ 1) chúng tôi thấy trong M8.2 có

2 bài (gồm có 8 câu nhỏ), trong E8.2 có 6 bài tập (gồm có 14 câu nhỏ) nhưng không

có bài nào được giải mà chỉ đưa ra đáp số Phải chăng sách giáo khoa đã huy động

kĩ thuật giải PT loại này cho BPT? Để tìm câu trả lời chúng tôi đi tìm hiểu kĩ thuật

giải quyết KNV giải PT dạng ax b cx dα+ = β+

được chúng tôi mã hóa là T PT1 1.4

- Nhân hai vế với 6 để khử mẫu: 10x – 4 + 6x = 6 + 15 – 9x

- Chuy ển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia:

10x + 6x + 9x = 6 + 15 + 4

Thu g ọn và giải PT nhận được: 25x = 25 ⇔ x = 1

[M8.2, tr.11]

Đối với KNV này M8.2 trình bày rất chi tiết lời giải thông qua ví dụ trích dẫn

ở trên Sau đó trong G8.2 còn đưa ra kĩ thuật giải như sau:

"Bước 1: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc P

4

P

hoặc quy đồng để khử mẫu ; Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, còn các hằng số sang vế kia ; Bước 3: Giải phương trình nhận được”

“rõ ràng cách gi ải này phức tạp hơn, do phải thực hiện các phép tính về phân số Thực chất, mục đích của việc khử mẫu là tránh các phép tính phức tạp về phân số”

"Nhân chéo bi ểu thức dưới mẫu ở vế trái qua vế phải và ngược lại, đồng thời

gi ữ nguyên chiều của bất phương trình"

Trong khi đó phạm vi hợp thức của nó là số hoặc biểu thức dưới mẫu phải dương

Do đó có thêm một kĩ thuật nữa để giải quyết KNV T1

1.1.2 K ết luận

Trong chương trình toán 8 học kỳ hai học sinh được học về PT, PT bậc nhất,

PT quy về PT bậc nhất, PT tích, PT chứa ẩn ở mẫu ; BPT, BPT bậc nhất, BPT quy

về bậc nhất Cách trình bày về BPT chỉ theo con đường đại số, cách trình bày bằng

đồ thị hoàn toàn vắng mặt Cách tiếp cận kí hiệu của BPT được giới thiệu đầu tiên, điều này có thể gây trở ngại cho người học Bên cạnh đó, nghĩa của BPT không được làm rõ, kĩ thuật giải BPT luôn được đặt trong mối tương quan với PT nhưng cũng không có sự đồng nhất được thể hiện qua bảng 2.2 sau đây:

B ảng 2.2: Tóm tắt kĩ thuật giải phương trình, bất phương trình bậc nhất ; phương

trình, b ất phương trình quy về bậc nhất ở lớp 8

Bậc nhất Quy về bậc nhất

PT

Hạng tử chứa x luôn đặt ở vế trái,

hằng số chuyển sang vế phải

Các hạng tử chứa x được chuyển sang một vế sao cho sau khi rút

gọn ta được hệ số đứng trước x luôn dương, các hằng số chuyển sang vế còn lại

BPT

Hệ số của x dương thì hạng tử chứa

x được đặt ở vế trái

Hệ số của x âm thì chuyển hạng tử

chứa x sang vế phải

Các hạng tử chứa x luôn được đặt ở vế trái, các hằng số chuyển sang vế phải

Kĩ thuật giải của PT được chuyển giao tương tự cho BPT nhưng M8.2 không

có sự nhất quán trong kĩ thuật giải của hai đối tượng này nên học sinh mắc phải sai

lầm khi chia hai vế của BPT cho số âm nhưng không đổi chiều BPT Việc không đưa ra một bài giải nào của BPT dạng ax b cx dα+ < β+

sẽ gây trở ngại cho học sinh khi học BPT chứa ẩn ở mẫu sau này

1.3 B ất phương trình bậc hai ở lớp 10

1.3.1 Phân tích chương trình

Cũng cần nói thêm rằng chương trình lớp 10 hiện hành được phân thành hai ban: ban cơ bản và ban nâng cao với hai bộ sách khác nhau Bộ sách Toán viết cho ban cơ bản do nhóm tác giả với Trần Văn Hạo làm tổng chủ biên, còn bộ sách Toán

viết cho ban nâng cao do nhóm tác giả với Đoàn Quỳnh làm tổng chủ biên Do ban nâng cao học sinh được học nâng cao về môn Toán do vậy chúng tôi cho rằng lượng

kiến thức cung cấp cho học sinh cũng nhiều hơn nên chúng tôi sẽ chọn bộ sách Toán 10 nâng cao để phân tích Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ tham chiếu bộ sách Toán cơ bản để bổ sung những vấn đề chưa được làm rõ bên bộ sách nâng cao Quan sát phân phối chương trình đại số 10 chúng tôi thấy đối tượng BPT bậc

nhất, bậc hai được đặt trong chương IV có tên là “Bất đẳng thức và bất phương

trình“ được thực hiện trong 25 tiết Gồm các bài như sau:

§1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

§2 Đại cương về bất phương trình

§3 Bất phương và trình hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

§4 Dấu của nhị thức bậc nhất

§5 Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

§6 Dấu của tam thức bậc hai

§7 Bất phương trình bậc hai

§8 Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

Trong chương IV đại số 10 theo chương trình giáo dục THPT môn Toán học sinh sẽ được giới thiệu các khái niệm BPT một ẩn, nghiệm của BPT, điều kiện của BPT và một số phép biến đổi tương đương BPT Ngoài ra, G10.1 còn lưu ý thêm:

• Khái niệm BPT bậc nhất một ẩn đã được đưa vào SGK Toán 8 tập hai Điểm

mới ở đây là có thêm BPT bậc nhất một ẩn chứa tham số

• Định lí về dấu nhị thức bậc nhất là cơ sở để giải các BPT quy về bậc nhất

• Định lí về dấu của tam thức bậc hai là cơ sở để giải BPT bậc hai

1.3.2 Phân tích sách giáo khoa

Sách giáo khoa giới thiệu khái niệm này như sau:

1) Khái niệm bất phương trình một ẩn

"Các khái ni ệm về BPT ở đây được trình bày hoàn toàn tương tự khái niệm về PT trong chương III Cụ thể là:

- Định nghĩa BPT thông qua mệnh đề chứa biến

- Điều kiện của BPT f(x) < g(x) không phải chỉ gồm các điều kiện của ẩn làm cho biểu

th ức f(x) và g(x) có nghĩa (các phép toán thực hiện được) mà bao gồm các điều kiện khác

n ữa (nếu có)"

[G10.1, tr.159]

Cách tiếp cận BPT của M10.1 cũng tương tự như M8.2 tức là từ khái niệm PT

và thay dấu "=" thành dấu bất đẳng thức để phát biểu khái niệm về BPT Hơn nữa, G10.1 còn yêu cầu “do HS đã học các vấn đề tương tự về PT nên bài này có thể

xuất của Blanco & GarroteP

5

Pđã chỉ ra ở chương 1 Với cách tiếp cận này chúng tôi cho rằng “nghĩa” của BPT cũng không được hình thành ở học sinh

2) Biến đổi tương đương các bất phương trình

Nếu như ở lớp 8 học sinh mới chỉ biết cách giải các BPT bậc nhất không

chứa tham số dựa vào hai quy tắcP

Khi đó trên D, phương trình đã cho tương đương với mỗi bất phương trình:

5 Không gi ải thích khái niệm BPT hoặc kĩ thuật giải nó quá nhanh; phân biệt rõ khái niệm PT và BPT

6 Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số

( ) ( ) ( ) ( )

f x h x >g x h x n ếu h(x) < 0 với mọi x ∈ 𝐷"

[M10.1, tr115]

Trong phép biến đổi tương đương BPT giáo viên được yêu cầu:

“nh ấn mạnh sự khác nhau giữa PT và BPT khi thực hiện việc nhân hai vế với cùng một biểu thức: Đối với BPT, khi nhân cả hai vế với h(x) thì phải luôn để ý đến dấu của h(x)”

[G10.1, tr.159]

3) Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

Tương tự như phần giải và biện luận PT ax + b = 0, kết quả giải và biện luận BPT ax + b < 0 (1) cũng được tóm tắt thành một bảng

B ảng 2.3: Kết quả giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0

1) Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x <− ab Vậy tập nghiệm của (1) là S ; b

+ BPT (1) vô nghiệm (S = ∅) nếu b ≥ 0;

+ BPT (1) nghiệm đúng với mọi x, (S = ℝ) nếu b < 0

B ảng 2.4: Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất

f(x) = ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a

Trong phần này có xuất hiện đồ thị để giải thích ý nghĩa hình học của định lí (về dấu của nhị thức bậc nhất) thông qua hoạt động HD1

HD1 Hãy giải thích bằng đồ thị các kết quả của định lí trên

Hoạt động này được sách giáo viên đưa ra gợi ý giải

"Nếu a > 0 thì với x < x R 0 R , tung độ của các điểm tương ứng trên đồ thị có giá trị âm; còn v ới x > x R 0 R , tung độ các điểm tương ứng trên đồ thị có giá trị dương

Trường hợp a < 0 được xét tương tự"

[G10.1, tr.167]

5) Dấu của tam thức bậc hai

Mục tiêu cần đạt trong phần này là:

“v ận dụng thành thạo định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu các tam thức

b ậc hai và giải một vài bài toán đơn giản có tham số”

[G10.1, tr.183]

Trong đó, định lí về dấu của tam thức bậc hai được tiếp cận bằng cách quan sát

đồ thị của hàm số bậc hai để suy ra định lí

x y

Bảng 2.5: Tam thức bậc hai vô nghiệm (∆ < 0)

xR 0 R)

x y

O

1

x y

O

1

x y

Bảng 2.7: Tam thức bậc hai có hai nghiệm xR 1 R và xR 2 R (xR 1 RR R< xR 2 R), ∆ > 0

dấu với a

0 Khác dấu với a

0 Cùng dấu với a

Các kết quả trên được phát biểu thành định lí về dấu của tam thức bậc hai

"Cho tam thức bậc hai f(x) = axP

2

P

+ bx + c (a ≠ 0)

N ếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ℝ

Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi ≠ −

2

b x a

N ếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x R 1 R và x R 2 R (x R 1 R < x R 2 R ) Khi đó f(x) trái dấu với hệ số a với

m ọi x nằm trong khoảng (x R 1 R ; x R 2 R ) (t ức là với x R 1 R < x < x R 2 R ), và f(x) cùng d ấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn [x R 1 R ; x R 2 R ] (t ức là với x < x R 1 R ho ặc x > x R 2 R )"

Sách giáo viên cho rằng thấy rằng:

“Bất phương trình bậc hai được định nghĩa một cách tương tự như phương trình bậc

“định lí về dấu của nhị thức bậc nhất là cơ sở để giải các BPT quy về bậc nhất; định

lí về dấu của tam thức bậc hai là cơ sở để giải BPT hoặc hệ BPT bậc hai”

Để tìm lời giải đáp cho câu hỏi trên, chúng tôi tiến hành phân tích tổ chức toán

học trong bộ sách 10 nâng cao

 Phân tích các t ổ chức toán học

KNV th ứ 2: T2 Giải và biện luận BPT bậc nhất chứa tham số

VD4 Gi ải và biện luận BPT mx + 1 > x + m P

Nếu m > 1 thì tập nghiệm của (8.1) là S = (m + 1 ; +∞)

N ếu m < 1 thì tập nghiệm của (8.1) là S = (-∞ ; m + 1)

N ếu m = 1 thì tập nghiệm của (8.1) là S = ∅

[M10.1, tr.118]

Từ VD4 có thể rút ra được kĩ thuật để giải quyết KNV T2 như sau:

KTτ2

• Biến đổi BPT đã cho về dạng ax < b (2.1)

 Với giá trị của tham số mà a > 0 thì BPT (2.1)⇔ <x b.

 Nếu α ≤ 0 thì (2.1) vô nghiệm;

 Nếu α > 0 thì (2.1) nghiệm đúng với mọi x

• Kết luận tập nghiệm của BPT đã cho ứng với mỗi trường hợp của tham số

CNθ2 :

• Định lí về phép biến đổi tương đương

• Bảng 2.3

Cách giải và biện luận BPT ax + b < 0 có điểm chung với cách giải và biện

luận PT ax b+ = 0 là đều xét hai trường hợp a = 0 và a ≠ 0 Cụ thể: trường hợp 0

a= và a > 0 thì cách giải của PT và BPT là như nhau chỉ thay dấu “=” thành dấu

“<”, trường hợp a < 0 thì dấu “<” phải đổi thành “>”; trường hợp a < 0 và a > 0 ở

PT được nhập chung thành a ≠ 0 Như vậy, học sinh học BPT ax + b < 0 (a≠0) ở lớp 8 và tiếp tục gặp ở lớp 9 trong khi đó BPT dạng ax + b < 0 (có tham số) đến lớp

10 học sinh mới được tiếp cận và kĩ thuật giải được mong đợi tương tự như kĩ thuật giải của PT ax + b = 0 (có tham số) Phải chăng đây là một nguyên nhân dẫn đến

hiện tượng học sinh huy động kĩ thuật giải phương trình bậc nhất một ẩn chứa

t ham số khi giải quyết kiểu nhiệm vụ giải bất phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số

Trước khi phân tích KNV tiếp theo chúng tôi cũng cần nhắc lại rằng, ở lớp 8 học sinh đã được học chính thức PT dạng tích và PT chứa ẩn ở mẫu số sau đó được

mở rộng thêm ở lớp 9 Trong khi đó, BPT dạng tích và BPT chứa ẩn ở mẫu lớp 10

mới được học chính thức Tuy nhiên, trong E8.2 có xuất hiện hai bài tập về BPT tích và hai bài tập về BPT chứa ẩn ở mẫu Vậy kĩ thuật giải của hai KNV này ở lớp

8 và lớp 10 có gì khác nhau và nó có mối liên hệ gì với PT cùng loại?

KNV thứ 3: T3 Giải BPT dạng P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0 v ới P(x) là tích c ủa những nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai

Chúng tôi tìm thấy có 4 kĩ thuật giải BPT dạng tích: một dùng bảng xét dấu được trình bày thông qua một ví dụ trong M10.1, một được trình bày qua lời giải

của một bài tập trong E8.2, một được nêu trong G10.1 và một được trình bày trong bài đọc thêm Chúng tôi gọi các kĩ thuật đó lần lượt là τ3.1, τ3.2, τ3.3, τ3.4

g ọi là bảng xét dấu của P(x)

c ủa các dấu cùng cột ở cả ba hàng trên

D ựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của BPT (9.1) là = −∞ − ∪ ( )  

Cách giải BPT tích mà sách giáo khoa trình bày giống như trình tự giải BPT trong lịch sử, nghĩa là đầu tiên giải PT P(x) = 0, sau đó thay dấu “=” thành dấu bất đẳng thức Ở đây mục tiêu mà G10.1 đưa ra yêu cầu học sinh cần đạt trong bài

§.Dấu của nhị thức bậc nhất là:

"Bi ết cách lập bảng xét dấu để giải BPT tích và BPT thương

Sau khi lập bảng xét dấu, cần chú ý việc chọn khoảng thích hợp để kết luận về tập nghi ệm của BPT"

• Căn cứ vào dòng cuối cùng của bảng xét dấu ta chọn tập nghiệm của BPT

 Nếu dấu của BPT là dấu ">" ta chọn khoảng nghiệm mà P(x) có dấu "+";

 Nếu dấu của BPT là dấu "<" ta chọn khoảng nghiệm mà P(x) có dấu "-";

• Kết luận tập nghiệm của BPT dạng tập hợp

Ngoài ra G10.1 còn giải thích thêm về cách lập bảng xét dấu

"Ở hàng đầu tiên, khâu sắp xếp các nghiệm của PT P(x) = 0 cho đúng thứ tự trên trục số

là r ất quan trọng (khoảng cách giữa chúng không cần theo tỉ lệ nào cả, miễn là việc ghi các dấu “+” hay “-“ được thuận tiện, rõ ràng)

Các d ấu “|” chỉ có ý nghĩa dóng cho thẳng cột, ngoài ra nó không mang một nội dung nào khác"

- Cách nhận biết dấu của một tíchP

7

P

, tích của một số với số 0 chính là Trong E8.2, tr.50 hiện diện một kĩ thuật khác để giải BPT mà chúng tôi gọi là

KT τ3.2: Sử dụng quy tắc nhân dấu (sử dụng cho trường hợp

Người ta viết tập hợp này là {x / x < 2 hoặc x > 5}

[Bài 86b, E8.2, tr.50]

Lời giải trên dùng quy tắc nhân dấu để chia các trường hợp và sau đó tổng hợp các trường hợp lại Kĩ thuật này chỉ tỏ ra có hiệu quả khi BPT đề cho là tích của hai biểu thức mà chúng tôi giả sử là tích A(x).B(x) Khi đó kĩ thuật giải được tiến hành như sau:

A(x).B(x) < 0 A(x).B(x) > 0Trường hợp 1: A(x) < 0 và B(x) > 0

Trường hợp 2: A(x) > 0 và B(x) < 0

Trường hợp 1: A(x) > 0 và B(x) > 0Trường hợp 2: A(x) < 0 và B(x) < 0

Giải mỗi BPT trong mỗi trường hợp, sau đó tổng hợp kết quả lại

Với kĩ thuật này chúng tôi cho rằng, học sinh sẽ không phân biệt được khi nào dùng từ “và”, khi nào dùng từ “hoặc” và ở bước tổng hợp nghiệm thật khó mà

giải thích tại sao lại kết luận được tập nghiệm?

Kĩ thuật này có phần giống với kĩ thuật giải PT tích đã học ở lớp 8 Để giải PT tích M8.2 cung cấp công thức

A(x).B(x) = 0 ⟺ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.

Mặc dù kĩ thuật τ3.2 có vẻ phát triển tự nhiên từ quy tắc nhân dấu nhưng do

nó có phần giống với kĩ thuật giải PT tích nên có thể học sinh sẽ huy động kĩ thuật

giải của PT tích khi giải quyết kiểu nhiệm vụ giải BPT tích

Khi P(x) là tích của hai nhị thức G10.1 cung cấp thêm một kĩ thuật để giải quyết KNV T3

• Tìm nghiệm của từng nhị thức, giả sử là xR 1 R và xR 2 R (xR 1 R < xR 2 R)

• So sánh dấu của tích a.c và dấu của BPT

- Nếu tích a.c trái dấu với dấu của BPT thì xR

1 R < x < xR

2 R

- Nếu tích a.c cùng dấu với dấu của BPT thì x < xR 1 Rhoặc xR 2 R < x

CN 3.3θ :