dạy học bất phương trình bậc nhất và bậc hai ở trung học trong mối quan hệ với phương trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Phú DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ở TRUNG HỌC TRONG MỐI QUAN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Phú DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ở TRUNG HỌC TRONG MỐI QUAN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: LL&PP dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Lời cảm ơn Đầu tiên, xin gởi lời tri ân đến Ba, Má sinh nuôi dạy khôn lớn, cảm ơn người thầy, người cô qua đời truyền thụ cho tri thức để thành người, gởi đến bạn lớp cao học didactic toán k22 quí trọng Cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu góp ý đề cương để có thêm hướng ngày đầu "loe lói" ý tưởng Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn cô Vũ Như Thư Hương, người hướng dẫn hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin chúc người mà chịu ơn mạnh khỏe hạnh phúc VÕ THANH PHÚ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn làm hướng dẫn cô Vũ Như Thư Hương, không chép lại luận văn người khác Nếu lời cam đoan không thật bị xử lý theo pháp luật Võ Thanh Phú MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU T 4T I Lý chọn đề tài .1 T 4T II Phạm vi lý thuyết tham chiếu T T III Mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu T T IV Cấu trúc luận văn T 4T Chương QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH T T 1.1 Một số kết phương trình bậc nhất, bậc hai rút từ nghiên cứu trước .7 T 4T 1.2 Bất phương trình bậc lớp .11 T T 1.3 Bất phương trình bậc hai lớp 10 .21 T T Chương THỰC NGHIỆM 50 T T 2.1 Giới thiệu thực nghiệm 50 T T 2.2 Phân tích tiên nghiệm 50 T T 2.2 Phân tích hậu nghiệm .58 T T 2.4 Kết luận 66 T 4T PHẦN KẾT LUẬN 68 T PHỤ LỤC T 4T 4T DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT BDT Bất đẳng thức BPT Bất phương trình BT Bài tập BXD Bảng xét dấu CL Chiến lược KNV Kiểu nhiệm vụ KT Kĩ thuật PT Phương trình THPT Trung học phổ thông 10 TXD Tập xác định 11 VD Ví dụ 12 VT Vế trái 13 VP Vế phải 14 Nxb Nhà xuất DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1: Trích từ tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ môn Toán lớp 10 năm 2010 Bảng 2.1: Bảng tóm tắt kĩ thuật giải phương trình bậc hai Bảng 2.2: Tóm tắt kĩ thuật giải phương trình, bất phương trình bậc ; phương trình, bất phương trình quy bậc lớp 20 Bảng 2.3: Kết giải biện luận bất phương trình ax + b < 23 Bảng 2.4: Bảng xét dấu nhị thức bậc 23 Bảng 2.5: Tam thức bậc hai vô nghiệm (∆ < 0) 25 Bảng 2.6: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x0 = − b (∆ = 0) 2a 25 Bảng 2.7: Tam thức bậc hai có hai nghiệm x x (x < x ), ∆ > 26 Bảng 2.8: Bảng thống kê tập giải BPT bậc hai 43 R R R R R R R R Bảng 2.9: Tập nghiệm BPT bậc hai trường hợp tam thức bậc hai có nghiệm kép Bảng 2.10: Tóm tắt số kĩ thuật giải giống phương trình bất phương trình 45 48 Bảng 3.1: Kết thực nghiệm câu hỏi số - bất phương trình (1.1) 58 Bảng 3.2: Kết thực nghiệm câu hỏi số - bất phương trình (1.2) 60 Bảng 3.3: Kết thực nghiệm câu hỏi số - bất phương trình (1.3) 64 PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong chương trình môn toán Việt Nam, với việc mở rộng hệ thống số việc giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT) tập số tương ứng Khái niệm PT, BPT hình thành ngầm ẩn từ cấp tiểu học thông qua toán “điền vào chỗ trống”, tìm x (trong tập số ℕ) Bảng 1: Trích từ tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ môn Toán lớp 10 năm 2010 Đến cấp trung học sở, chương trình lớp có khái niệm PT ax = b (trong tập ℚ) Khái niệm PT, BPT giới thiệu tường minh lớp chúng xác hóa lớp 10 Kể từ giới thiệu tường minh, đối tượng PT, BPT tiến triển qua lớp sau: Lớp 10 Kiến thức • Khái niệm PT, BPT ẩn • Giới thiệu PT, BPT bậc ẩn cách giải • Phương trình bậc hai ẩn cách giải • Chính xác hóa khái niệm PT, BPT • BPT bậc hai ẩn • Giải biện luận PT ax + b = 0, ax2 + bx + c = P P 11 12 • PT lượng giác • PT, BPT đại số tổ hợp • PT, BPT mũ, logarit • Giải PT tập số phức BPT đóng vai trò quan trọng toán học Nó phần nhiều chủ đề toán học như: đại số, lượng giác, quy hoạch tuyến tính, giải tích (Chakrabarti&Hamsapriye, 1997; Mahmood & Edwards, 1999) Ví dụ lĩnh vực giải tích để tìm tập xác định hàm số f ( x ) = g ( x ) = log x − x + x x , ta phải tìm tập nghiệm BPT x − x + ≥ > Hơn x+3 x+3 theo tài liệu tiêu chuẩn Mỹ xác định tất học sinh từ lớp đến 12 nên học cách trình bày tình có liên quan đến PT, BPT ma trận (NCTM 1, 1989) Họ đề xuất thêm học sinh "sẽ hiểu ý nghĩa hình thức 0F P P tương đương biểu thức, PT, BPT, hệ phương trình giải chúng cách thông thạo" [NCTM, 2000, tr.269] Với vai trò quan trọng tự hỏi: PT BPT xây dựng tiến triển việc dạy học toán Việt Nam theo chương trình hành? Trong lớp học có kiểu tập gắn liền với khái niệm này? Một PT phát biểu mà trì giá trị hai biểu thức toán học Nếu phát biểu với tất giá trị biến gọi đồng thức [13] BPT phát biểu sử dụng ký hiệu < (nhỏ hơn), > (lớn hơn), ≤ (nhỏ bằng), ≥ (lớn bằng) thay cho dấu hai biểu thức PT Một BPT không cụ thể PT, có chứa thông tin biểu thức liên quan Ngoài ra, BPT cung cấp quan điểm bổ sung cho PT National Council of Teachers of Mathematics Nhìn chung, PT BPT nhau, chúng giống nguyên tắc thực hành chẳng hạn cộng trừ biểu thức, nhân (hoặc chia) số nguyên dương Bên cạnh đó, chúng có nhiều điểm khác biệt, chẳng hạn PT để chứng minh câu trả lời đúng, tất cần làm gắn câu trả lời vào Ví dụ (VD) PT 4x = câu trả lời x = cần chứng minh số vào để được: 4.2 = Tuy nhiên, BPT, có loạt câu trả lời khác Do đó, để chứng minh câu trả lời cần nhiều giá trị VD BPT x > câu trả lời x < -3 x > Để chứng minh điều cần làm nhiều bước Chẳng hạn để kiểm tra số (một số lớn 3): 42 > câu trả lời đúng, kiểm tra số 1: 12> P P P P câu trả lời sai Vì vậy, x < -3 x > câu trả lời Từ đây, câu hỏi đặt chương trình toán phổ thông Việt Nam PT BPT liên hệ với nào? Mặt khác, từ thực tế giảng dạy nhận thấy gặp toán giải BPT: 1) m2 – > P P 2) x2 – 2x + > P P Một số học sinh làm sau: 1) m2 – > P P Phải học sinh quan niệm dấu “>” dấu “=” khác mặt hình thức Do đó, học sinh vận dụng cách giải PT m2 – = ⇔ m2 = ⇔ P = ± vào cho BPT P P P m 58 mẫu nhị thức bậc (chưa xác định dấu) Trong bối cảnh này, học sinh thực quy đồng khử mẫu giữ nguyên chiều BPT phần giả thuyết H khẳng định  V3.2: Biểu thức vế phải Như phân tích chương 1, giải PT hay BPT bậc học sinh yêu cầu chuyển x sang vế trái, số sang vế phải Vì CL3.1 có hội xuất cao nên chọn vế phải số  V3.2: Nghiệm tử số nghiệm mẫu số Nếu tử mẫu có nghiệm chung α học sinh phân tích tử mẫu thành tích có chứa thừa số (x - α) để đơn giản Khi BPT đề cho không dạng chứa ẩn mẫu nên kiểm chứng học sinh có huy động kĩ thuật giải phương trình chứa ẩn mẫu giải kiểu nhiệm vụ giải bất phương trình chứa ẩn mẫu hay không 2.2 Phân tích hậu nghiệm Chúng tiến hành thực nghiệm vào đầu năm học 2013-2014 thời điểm học sinh lớp 10 chưa học BPT nên chọn đối tượng học sinh lớp 11 vốn học BPT, cụ thể có 76 học sinh lớp 11 THPT Nguyễn Hữu Thọ thuộc tỉnh Long An tham gia vào thực nghiệm Và vậy, kết thực nghiệm không bị ảnh hưởng Chúng thống kê kết làm học sinh giải BPT (1.1) bảng 3.1 Bảng 3.1: Kết thực nghiệm câu hỏi - bất phương trình (1.1) Chiến lược Số Phần trăm CL1.1 62 81.58% CL1.2 10 13.16% Bỏ trống 5.26% Tổng 76 100% Có 62/76 học sinh sử dụng CL1.1 cho phép khẳng định học sinh huy động kĩ thuật giải phương trình bậc ẩn chứa tham số cho bất phương trình bậc ẩn chứa tham số 59 Một học sinh sử dụng CL1.1 mã hóa HS1 đưa lời giải cho BPT (1.1) sau: Bài giải HS1 HS1 chuyển tất hạng tử vế trái để BPT x(m - 1) - < 0, sau xét hai trường hợp m - = m - ≠ 0, phải xét hai trường hợp m − < m − > Điều cho thấy HS1 sử dụng kĩ thuật giải PT chứa ẩn mẫu cho BPT chứa ẩn mẫu Trong số 62 học sinh sử dụng CL1.1 có 18 học sinh không tính đến x xuất vế phải nên xét hai trường hợp m = m ≠ Ví dụ giải học sinh mã hóa HS2 Bài giải HS2 60 Có học sinh sử dụng CL1.2 mắc phải sai lầm biến đổi BPT cho dạng ( m − 1) x < chia hai vế BPT cho m − đồng thời giữ nguyên chiều BPT Bài giải HS3 Sau biến đổi BPT cho dạng ( m − 1) x < , để tìm x thực chia hai vế cho m − , HS3 không quan tâm đến dấu m − thể quan việc đặt điều kiện m − ≠ , cho thấy HS3 giải BPT (1.1) PT thay cách hình thức dấu "=" thành dấu "[...]... BPT bậc nhất, bậc hai được đặt trong chương IV có tên là Bất đẳng thức và bất phương trình được thực hiện trong 25 tiết Gồm các bài như sau: §1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức §2 Đại cương về bất phương trình §3 Bất phương và trình hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn §4 Dấu của nhị thức bậc nhất §5 Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn §6 Dấu của tam thức bậc hai §7 Bất phương. .. toán học gắn liền với các đối tượng này? Q2 Đối tượng bất phương trình đã được xây dựng như thế nào trong mối quan hệ với đối tượng phương trình, cụ thể là bất phương trình bậc nhất, bất phương trình bậc hai trong mối quan hệ với phương trình bậc nhất, bậc hai? Q3 Có những sai lầm nào về việc giải bất phương trình có thể tìm thấy nơi học sinh khi chuyển từ đối tượng phương trình sang đối tượng bất phương. .. của mình là: PT, BPT bậc nhất ở lớp 8 và lớp 10; PT, BPT bậc hai ở lớp 9 và 10, các đối tượng PT và BPT mà chúng tôi nghiên cứu chỉ có một ẩn Vì những lí do trên nên chúng tôi chọn dạy học bất phương trình bậc nhất và bậc hai ở trung học trong mối quan hệ với phương trình làm tên đề tài nghiên cứu của mình 5 II Phạm vi lý thuyết tham chiếu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic... khoa môn Toán lớp 11 của Nam Phi 1.2 Bất phương trình bậc nhất ở lớp 8 1.2.1 Phân tích chương trình Kiến thức về BPT bậc nhất một ẩn được đặt trong chương IV Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Nội dung chương này bao gồm các bài §1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng §2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân §3 Bất phương trình một ẩn §4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn §5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối... được đặt trong mối tương quan với PT nhưng cũng không có sự đồng nhất được thể hiện qua bảng 2.2 sau đây: Bảng 2.2: Tóm tắt kĩ thuật giải phương trình, bất phương trình bậc nhất ; phương trình, bất phương trình quy về bậc nhất ở lớp 8 Bậc nhất Quy về bậc nhất Hạng tử chứa x luôn đặt ở vế trái, Các hạng tử chứa x được chuyển hằng số chuyển sang vế phải sang một vế sao cho sau khi rút gọn ta được hệ số... phương pháp này là tìm cách trả lời cho câu hỏi Q3 IV Cấu trúc luận văn Luận văn được chia làm các phần - Phần mở đầu - Chương 1: Quan hệ thể chế với đối tượng phương trình, bất phương trình - Chương 2: Thực nghiệm - Phần kết luận 7 Chương 1 QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Theo chương trình giáo dục trung học môn Toán của Việt Nam PT, BPT bậc nhất, bậc hai được giảng dạy. .. ẩn; PT, BPT bậc nhất một ẩn Theo đó với PT thì yêu cầu được đặt ra là: "Có kĩ năng giải và trình bày lời giải các PT có dạng quy định trong chương trình (phương trình bậc nhất, phương trình quy về bậc nhất, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu)" [G8.2, tr.3] Đối với BPT học sinh được yêu cầu: "Giải được BPT bậc nhất một ẩn; giải được một số BPT một ẩn dạng khác nhờ vận dụng đơn giản hai quy tắc... đối tượng PT bậc nhất, bậc hai nên chúng tôi sẽ kế thừa những kết quả đạt được từ những luận văn này và phần phân tích của chúng tôi chỉ tập trung vào đối tượng BPT bậc nhất và bậc hai Đối tượng PT, BPT mà chúng tôi đề cập trong luận văn này chỉ có một ẩn 1.1 Một số kết quả về phương trình bậc nhất, bậc hai rút ra từ những nghiên cứu trước đây Liên quan đến đối tượng PT bậc nhất, PT bậc hai chúng tôi... về phương trình bậc hai chứa tham số ở lớp 9, 10, luận văn thạc sĩ, đại học sư phạm Tp.Hồ Chí Minh • Lê Thanh Hải (2009), Tiếp cận khái niệm phương trình và phép biến đổi phương trình bậc nhất một ẩn ở trường phổ thông, luận văn thạc sĩ, đại học sư phạm Tp.Hồ Chí Minh • Nguyễn Thị Thanh Thanh (2007), Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học giải phương trình bậc hai, luận văn thạc sĩ, đại học. .. nhắc lại rằng, ở lớp 8 học sinh đã được học chính thức PT dạng tích và PT chứa ẩn ở mẫu số sau đó được 29 mở rộng thêm ở lớp 9 Trong khi đó, BPT dạng tích và BPT chứa ẩn ở mẫu lớp 10 mới được học chính thức Tuy nhiên, trong E8.2 có xuất hiện hai bài tập về BPT tích và hai bài tập về BPT chứa ẩn ở mẫu Vậy kĩ thuật giải của hai KNV này ở lớp 8 và lớp 10 có gì khác nhau và nó có mối liên hệ gì với PT cùng ... mối quan hệ với đối tượng phương trình, cụ thể bất phương trình bậc nhất, bất phương trình bậc hai mối quan hệ với phương trình bậc nhất, bậc hai? Q3 Có sai lầm việc giải bất phương trình tìm... bất phương trình bậc ẩn §4 Dấu nhị thức bậc §5 Bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn §6 Dấu tam thức bậc hai §7 Bất phương trình bậc hai §8 Một số phương trình bất phương trình quy bậc. .. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Phú DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ở TRUNG HỌC TRONG MỐI QUAN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: LL&PP dạy học môn