hệ phương trình và hệ bất phương trình chứa căn thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Các tính chất cơ bản của đa thức đối xứng và phản đối xứng . . . 5 1.1.1. Đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp Viète . . . . . . . . 5 1.1.3. Đa thức đối xứng ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Một số tính chất khác của đa thức đối xứng. . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Chứng minh hằng đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4. Bài toán thiết lập phương trình bậc hai . . . . . . . . . . 9 1.2.5. Hệ phương trình đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Một số tính toán và ước lượng biểu thức chứa căn thức . . . . . 13 1.3.1. Sử dụng định lí Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Một số ước lượng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Hệ phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1. Các phương pháp giải phương trình chứa căn thức . . . . . . 21 2.1.1. Điều kiện có nghĩa của phương trình . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2. Quy tắc giản ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3. Quy tắc thay giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.4. Phương pháp hữu tỷ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.5. Đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.6. Phương pháp đưa về hệ không đối xứng. . . . . . . . . . . . 36 1 2.1.7. Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.8. Phương pháp sử dụng nhiều ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.9. Phương pháp đưa về hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . 41 2.2. Hệ phương trình chứa căn thức đối xứng . . . . . . . . . . . . 46 2.2.1. Hệ phương trình đối xứng loại 1 . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.2. Hệ phương trình đối xứng loại 2 . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.3. Một số phương pháp giải hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . 52 2.3. Một số hệ phương trình đặc biệt chứa căn thức . . . . . . . . . 62 Chương 3. Hệ bất phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1. Một số phương pháp giải bất phương trình chứa căn thức . . . . . 66 3.1.1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . 66 3.1.2. Phương pháp phân khoảng tập xác định . . . . . . . . . 68 3.1.3. Phương pháp hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2. Hệ bất phương trình đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3. Một số hệ bất phương trình đặc biệt chứa căn thức . . . . . 74 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2 Mở đầu Chuyên đề "Hệ phương trình và hệ bất phương trình chứa căn thức" là một phần quan trọng của chương trình Toán ở bậc THPT. Các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình chứa căn thức có thể xem như những dạng toán cơ bản của chương trình đại số bậc THPT. Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải. Tuy nhiên, trong luận văn này chỉ tập trung đề cập đến các phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình chứa căn thức. Nhiều phương pháp chính thống khác như phương pháp biểu diễn hàm số, phương pháp hệ tuyến tính,. . . , không đề cập trong luận văn này. Các phương pháp giải toán ở đây chủ yếu có tính định hướng chung cho những lớp bài toán cơ bản nhất thường xuất hiện trong các kì thi Học sinh giỏi và Olympic toán bậc THPT. Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này trình bày các khái niệm đa thức đối xứng và phản đối xứng, tính chất của đa thức đối xứng, một số tính toán và ước lượng biểu thức chứa căn thức. Chương 2. Hệ phương trình chứa căn thức. Dựa trên tính chất đa thức đối xứng, chương này trình bày khái niệm, phương pháp giải phương trình chứa căn thức, hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2. Ngoài ra, trong chương này còn trình bày một số hệ phương trình đặc biệt chứa căn thức. Chương 3. Hệ bất phương trình chứa căn thức. Chương này trình bày khái niệm, phương pháp giải bất phương trình chứa căn thức, hệ bất phương trình đối xứng. Ngoài ra chương này còn trình bày một số hệ bất phương trình đặc biệt chứa căn thức. Trong thời gian thực hiện luận văn này, tôi đã nhận được sự chỉ dẫn tận tình, chu đáo của Giáo sư - Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Văn Mậu. Tôi xin bày 3 tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn. Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp Trường THPT Thủy Sơn - Hải Phòng đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Tác giả 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Các tính chất cơ bản của đa thức đối xứng và phản đối xứng 1.1.1. Đa thức đối xứng Định nghĩa 1.1. Giả sử A là một miền nguyên, một đa thức f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ A[x 1 , x 2 , . . . , x n ], được gọi là một đa thức đối xứng nếu và chỉ nếu với mọi phép thế  1 2 . . . n i 1 i 2 . . . i n  , ta có f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = f(x i 1 , x i 2 , . . . , x i n ) trong đó f(x i 1 , x i 2 , . . . , x i n ) suy ra từ f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) bằng cách thay x l bởi x i 1 , x i 2 , . . . , x i n . 1.1.2. Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp Viète Định nghĩa 1.2. Cho a là bộ n số {a 1 , a 2 , . . . , a n } (n ≥ 1, n ∈ N) . Khi đó f(x) = (x + a 1 )(x + a 2 ) . . . (x + a n ) = x n + E 1 (a)x n−1 + E 2 (a)x n−2 + ···+ E n (a). Trong đó E 0 (a) = n  i=1 a i , E 2 (a) =  1≤i<j≤n a i a j , E n (a) = a 1 a 2 . . . a n . Đặt E 0 (a) = 1. Ta gọi E r (a)(r ∈ (1, . . . , n)) là các hàm (đa thức) đối xứng sơ cấp thứ r (E r (a) là tổng của tất cả các tích r số khác nhau của bộ số a.) Kí hiệu P r (a) = r!(n − r)! n! E r (a). 5 Định nghĩa 1.3. Giả sử x 1 , x 2 , . . . , x n là bộ n các số thực không âm (kí hiệu bởi (x) và y 1 , y 2 , . . . , y n là bộ các số thực không âm khác được kí hiệu bởi (y)). Hai dãy (x) và (y) được gọi là đồng dạng (và kí hiệu (x) ∼ (y) nếu tồn tại λ ∈ R (λ = 0) sao cho ta có x j = λy j (j = 1, 2, . . . , n)). 1.1.3. Đa thức đối xứng ba biến Đa thức F(x, y, z) với bộ 3 biến thực x, y, z được hiểu là hàm số có dạng F (x, y, z) = N  s=0 M s (x, y, z), (1.1) trong đó M s (x, y, z) =  i+j+k=s a ijk x i y j z k , i, j, k ∈ N. (1.2) Định nghĩa 1.4. Nếu F (x  , y  , z  ) = F (x, y, z), trong đó (x  , y  , z  ) là một hoán vị tùy ý của (x, y, z) thì ta gọi F(x, y, z) là một đa thức đối xứng. 1.2. Một số tính chất khác của đa thức đối xứng Phép giải nhiều bài toán của đại số sơ cấp sẽ trở nên dễ dàng nếu ta biết lợi dụng tính đối xứng trong các giả thiết của bài toán. Qua những thí dụ cụ thể dưới đây ta sẽ thấy lí thuyết đối xứng được áp dụng như thế nào để giải theo một phương pháp thống nhất nhiều loại bài toán của đại số sơ cấp. 1.2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 1.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử (trên R) f(x, y) = 6x 4 − 11x 3 y − 18x 2 y 2 − 11xy 3 + 6y 4 . Lời giải. Ta có f(x, y) = 6(x 4 + y 4 ) −11xy(x 2 + y 2 ) −18x 2 y 2 = 6(σ 4 1 − 4σ 2 1 σ 2 + 2σ 2 2 ) −11σ 2 (σ 2 1 − 2σ 2 ) −18σ 2 2 = 6σ 4 1 − 35σ 2 1 σ 2 + 16σ 2 2 6 Vế phải là một tam thức bậc hai đối với σ 2 . Nó có các nghiệm là σ 2 = 2σ 2 1 , σ 2 = 3 16 σ 2 1 . Vì vậy ta có f = 16(σ 2 − 2σ 2 1 )  σ 2 − 3 16 σ 2 1  = (2σ 2 1 − σ 2 ) ×(3σ 2 1 − 16σ 2 ). Từ đó f(x, y) =  2(x + y) 2 − xy  3(x + y) 2 − 16xy  =  2x 2 + 3xy + 2y 2  3x 2 − 10xy + 3y 2  . Nhân tử thứ nhất có nghiệm phức, ta để nguyên. Nhân tử thứ hai phân tích thành 3x 2 − 10xy + 3y 2 = (x −3y)(3x − y). Vậy ta có f(x, y) =  2x 2 + 3xy + 2y 2  (x −3y) (3x − y) . 1.2.2. Chứng minh hằng đẳng thức Ví dụ 1.2. Chứng minh hằng đẳng thức (x + y + z)(xy + xz + yz) −xyz = (x + y)(x + z)(y + z). Lời giải. Ta có vế trái là σ 1 σ 2 − σ 3 . Mở các dấu ngoặc trong vế phải ta được: (x + y)(x + z)(y + z) = x 2 y + x 2 z + y 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz = (σ 1 σ 2 − 3σ 3 ) + 2σ 3 = σ 1 σ 2 − σ 3 . Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x 4 + y 4 + z 4 = 2(xy + xz + yz) 2 . Lời giải. Ta có x 4 + y 4 + z 4 = σ 4 1 − 4σ 1 σ 2 + 2σ 2 2 + 4σ 1 σ 3 . Theo giả thiết x + y + z = 0, vậy nên x 4 + y 4 + z 4 = 2σ 2 2 = 2(xy + xz + yz) 2 . 1.2.3. Chứng minh bất đẳng thức I. Trường hợp hai biến. Ta có thể áp dụng có kết quả các đa thức đối xứng để chứng minh nhiều bất đẳng thức. Cơ sở của phương pháp này là chú ý sau: 7 Giả sử σ 1 , σ 2 là những số thực. Muốn cho các số x, y xác định bởi các điều kiện:  x + y = σ 1 xy = σ 2 là các số thực, điều kiện cần và đủ là ∆ = σ 2 1 −4σ 2 ≥ 0. Muốn cho x, y là các số thực và không âm điều kiện cần và đủ là ∆ = σ 2 1 − 4σ 2 > 0 , σ 1 ≥ 0 , σ 2 ≥ 0. Giả sử đã cho một đa thức đối xứng f(x, y) và cần phải chứng minh rằng với những giá trị thực bất kì x, y (hoặc với những giá trị không âm bất kì, hoặc với x + y ≥ a, tùy theo các điều kiện của bài toán, đa thức f(x, y) lấy những giá trị không âm f(x, y) ≥ 0). Muốn vậy trước hết ta phải thay f(x, y) bởi biểu thức của nó qua σ 1 và σ 2 . Rồi trong đa thức tìm được ta thay σ bởi biểu thức của nó qua σ 1 và số không âm ∆ = σ 2 1 −4σ 2 , tức là ta đặt σ 2 = 1 4 (σ 2 1 −∆). Kết quả là ta thu được một đa thức của σ 1 và ∆, và ta phải chứng minh rằng với những giá trị không âm của z và với những điều kiện về σ 1 đã cho, đa thức đó chỉ lấy những giá trị không âm. Thông thường cách làm này dễ hơn chứng minh bất đẳng thức đã cho. Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng nếu a, b là những số thực thỏa mãn điều kiện a + b ≥ c và c ≥ 0 thì ta có bất đẳng thức: a 2 + b 2 ≥ c 2 2 ; a 4 + b 4 ≥ c 4 8 ; a 8 + b 8 ≥ c 8 128 . Lời giải. Ta có a 2 + b 2 = σ 2 1 − 2σ 2 = σ 2 1 − 2. 1 4  σ 2 1 − ∆  = 1 2 σ 2 1 + 1 2 ∆. Vì ∆ ≥ 0 và theo điều kiện đã cho σ 1 ≥ c, nên a 2 + b 2 ≥ 1 2 c 2 . Áp dụng kết quả đó ta được a 4 + b 4 ≥ 1 2  1 2 c 2  2 = 1 8 c 4 . a 8 + b 8 ≥ 1 2  1 8 c 4  2 = 1 128 c 8 . 8 [...]... 3y  √2x − 1 = y 4 3 Giải hệ phương trình √4y − 3 = z  6 6z − 5 = x 20 Chương 2 Hệ phương trình chứa căn thức 2.1 2.1.1 Các phương pháp giải phương trình chứa căn thức Điều kiện có nghĩa của phương trình Một trong những điều cần lưu ý nhất đối với phương trình chứa căn là tính không thuận nghịch của phép toán Nhìn chung những dạng phương trình đều có thể đưa về dạng phương trình đại số bậc nguyên Vì... trong đó cần tính những biểu thức chứa các nghiệm của một phương trình bậc hai Ví dụ 1.6 Cho phương trình bậc hai: x2 +6y +10 = 0 Hãy lập một phương trình bậc hai mà các nghiệm là bình phương các nghiệm của phương trình đã cho 9 Lời giải Gọi các nghiệm của phương trình đã cho là x1 và x2 , các nghiệm của phương trình phải tìm là y1 và y2 và các hệ số của nó là p và q Theo công thức Viète, ta có σ1 = x1... thu được phương trình t (t − 1) 2t2 − 4t + 3 = 0 có nghiệm t = 0 và t = 1, hay x = 1, x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho Cách 3 Nhận xét rằng phương trình đã cho chỉ chứa tổng và tích của hai biểu thức chứa căn và chúng thỏa mãn (2.12) 29 √ √ Do đó ta có thể đặt x = a, 1 − x = b Từ phương trình (2.10) đã cho kết hợp với (2.12) ta có hệ phương trình 2 1 + ab = a + b 3 a2 + b2 = 1 Đây là hệ đối xứng... biểu thức thích hợp để đặt làm ẩn phụ Để làm tốt bước này ta cần phải xác định được mối quan hệ của các biểu thức có mặt trong phương trình Cụ thể là, phải xác định được sự biểu diễn tường minh của một biểu thức qua một biểu thức khác trong phương trình đã cho Bước 2 Chuyển phương trình ban đầu về phương trình theo ẩn phụ vừa đặt và giải phương trình này Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì những phương. .. 2.1.5 Đặt ẩn phụ Nội dung của phương pháp này là đặt một biểu thức chứa căn thức bằng một biểu thức theo ẩn mới mà ta gọi là ẩn phụ, rồi chuyển phương trình đã cho về phương trình với ẩn phụ vừa đặt Giải phương trình theo ẩn phụ để tìm nghiệm rồi thay vào biểu thức vừa đặt để tìm nghiệm theo ẩn ban đầu Với phương pháp này ta tiến hành theo các bước sau Bước 1 Chọn ẩn phụ và tìm điều kiện xác định của... x0 ) f1 (x) = 0 và khi đó việc giải phương trình f (x) = 0 quy về phương trình f1 (x) = 0 Ví dụ 2.9 Giải phương trình √ √ 3 2 + x − 2 = 2x + x + 6 (2.8) x−2≥0 ⇔ x ≥ 2 x+6≥0 Ta thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình (2.8) đã cho Nhận xét rằng khi x = 3 thì x − 2 và 4x + 6 là những số chính phương Do đó ta tìm cách đưa phương trình đã cho về dạng (x − 3) f1 (x) = 0 √ √ Biến đổi phương trình về dạng... σ1 = 2 ra, phương trình còn hai nghiệm nữa là σ1 = 2 và σ1 = −4, là 2 nghiệm của phương trình bậc hai σ1 + 2σ1 − 8 = 0 Như vậy về σ1 ta có hai khả năng xảy ra σ1 = 2 hoặc σ2 = −4 2 Từ phương trình σ1 − 2σ2 = 4 ta thu được các giá trị tương ứng của σ2 là σ2 = 0 và σ2 = 6 Vậy để tìm x và y , ta có hai hệ phương trình x+y =2 và xy = 0 x + y = −4 xy = 6 Giải các hệ này ta được các nghiệm của hệ đã cho là:... khi và chỉ khi x = 1 Đáp số x = 1 Bài tập áp dụng 1 Giải phương trình √ 4 2−x= √ 4 √ x + 2 4 1 − x 2 Giải phương trình √ √ √ 2x − 1 + 4 4x − 3 + 6 6x − 5 = 3x 3 Giải phương trình √ √ √ 4 4x − 3 + 4 x + 4 2 − x = 2 + x 4 Sử dụng các ước lượng cơ bản giải hệ phương trình √ √ 4 x = 1 + √1 − y √ Ví dụ 1.15 Giải hệ phương trình 4 y = 1 + 1 − x Lời giải Điều kiện 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1 Cộng hai vế phương trình. .. của phương trình( 2.10) Ta nhận thấy cách giải trên dựa theo mối liên hệ đó là đẳng thức (2.11) Ngoài ra, ta có thể tạo ra mối quan hệ khác giữa các đối tương tham gia phương trình theo cách sau Cách 2 Từ phương trình đã cho ta có thể rút ra được một căn thức theo √ √ 3 1−x−3 biểu thức chứa căn còn lại là x = √ 2 1−x−3 √ Do đó, nếu ta đặt 1 − x = t √ 3t − 3 Khi đó ta có x = Và từ đẳng thức 2t − 3... trình bậc hai x3 + y 3 = 8 Ví dụ 1.8 Giải hệ phương trình x2 + y 2 = 4 Lời giải Ta đưa vào các ẩn mới σ1 = x + y, σ2 = xy 3 σ1 − 3σ1 σ2 = 8 Khi đó hệ đã cho trở thành: 2 σ1 − 2σ2 = 4 Rút σ2 từ phương trình thứ hai và thế vào phương trình thứ nhất, ta được phương trình đối với σ1 : 1 3 − σ1 + 6σ1 − 8 = 0 2 3 ⇔ σ1 − 12σ1 + 16 = 0 Ta dễ dàng thấy được phương trình này có nghiệm σ1 = 2 3 2 Vậy vế trái . " ;Hệ phương trình và hệ bất phương trình chứa căn thức& quot; là một phần quan trọng của chương trình Toán ở bậc THPT. Các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương. toán và ước lượng biểu thức chứa căn thức. Chương 2. Hệ phương trình chứa căn thức. Dựa trên tính chất đa thức đối xứng, chương này trình bày khái niệm, phương pháp giải phương trình chứa căn thức, . trình bày khái niệm, phương pháp giải bất phương trình chứa căn thức, hệ bất phương trình đối xứng. Ngoài ra chương này còn trình bày một số hệ bất phương trình đặc biệt chứa căn thức. Trong thời